7.4 二项分布与超几何分布-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教A版2019）

第七章随机变量及其分布● 7.4 二项分布与超儿何分布 7.4.1二项分布 学业标准 素养目标 1.通过对伯努利试验和二项分布等概念的学习，培养 1.通过具体实例，了解伯努利试验.（重点） 数学抽象等核心素养。 2.掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的 2.利用二项分布解决实际应用问题，提升数学运算、 实际问题.（难点》 数学建模等核心素养。 必各知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 (1)用A如何表示B,并求P(B,). 导学1n重伯努利试验 ?问题要研究抛掷硬币时出现的统计规律 性，需要在相同的条件下多次重复做此试验。 (2)P(B2)和P(B,)的值是什么？ (1)试验结果有哪些？ (2)各次试验的结果有无影响？ (3)由以上问题的结果你能得出什么结论？ ◎结论形成 ◎结论形成 1.伯努利试验：只包含 结果的试验 1.二项分布 叫做伯努利试验， (1)在n重伯努利试验中，设每次试验中事 2.n重伯努利试验 (1)定义：将一个伯努利试验独立地 件A发生的概率为p(0<<1),用X表 进行n次所组成的随机试验称为n重伯努 示事件A发生的次数，则X的分布列为 利试验 P(X=k)= (2)n重伯努利试验的特征：①同一个伯努 k=0,1,2,…, 利试验 做n次：②各次试验的结 如果随机变量X的分布列具有上式的形 果 式，则称随机变量X服从二项分布，记作 导学2二项分布 ?问题射击比赛时，某射击运动员连续射 (2)性质：2P(X=k)=1. 击3次，每次击中靶心的概率都是0.8，用 2.二项分布的均值与方差 A,(i=1,2,3)表示第i次击中靶心这个事 如果X~B(n,p),那么E(X)= 件，用B表示事件仅击中k次. D(X)= 47 ●数学·选择性必修第三册（配RJA版） 少基础自测 中9环”；③甲、乙两运动员各射击箭靶 次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） 目标”；④在相同的条件下，甲射击10次， (1)n重伯努利试验每次试验之间是相互 5次击中目标.其中是n重伯努利试验的是 独立的， ( ) ( (2)重伯努利试验每次试验只有发生与 A.① B.② C.③ D.④ 不发生两种结果 ( 3.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率 (3)n重伯努利试验各次试验发生的事件 是互斥的 ( 为号，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的 (4)设X为n重伯努利试验中事件A发生 概率是 ( 的次数，则X~B(n,p) ( 12 A.125 B. 48 125 c品 D器 2.下列事件：①运动员甲射击箭靶一次，“射 中9环”与“射中8环”：②甲、乙两运动员 4设如果X~B(4, ,那么E(X) 各射击箭靶一次，“甲射中10环”与“乙射 D(X)= 关健能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 求重伯努利试验的概率 [母题变式] (一题多变) (变结论)本例的条件不变，求该射手射击 例1某射手进行射击训练，假设每次射击 5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他 击中目标的概率为，且每次射击的结果 两次没有击中日标的概率 互不影响，已知射手射击了5次.求： (1)其中只在第一、三、五次击中目标的 概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率. [自主解答] 规律万法 解答n重伯努利试验中概率问题的几点注意 (1)先要判断问题中所涉及的试验是否为n重独立 重复试验： (2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意 划分为若干个互斥事件的并： (3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数筒化运算。 48 第七章随机变量及其分布● [触类旁通] 规律万法 1.某安全监督部门对5家小型煤矿进行安全 解决二项分布问题的两个关注点 检查（简称安检），若安检不合格，则必须整 (1)对于公式P(X=k)=Cp*(1-p)-*(k=0,1, 改.设每家煤矿安检是否合格是相互独立 2,…,),必须在满足“n重伯努利试验”时才能应 的，且每家煤矿整改前安检合格的概率都 用，否则不能应用该公式· 是0.5.求： (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有 (1)恰有两家煤矿必须整改的概率： 两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两 (2)至少有两家煤矿必须整改的概率. 者必有其一：二是重复性，即试验是独立重复地进 行了n次. [触类旁通] 2.某一中学生心理咨询中心服务电话接通率 为子，某班3名同学商定明天分别就同一 问题询问该服务中心.且每人只拨打一次， 求他们中成功咨询的人数X的分布列、均 值和方差。 题型二求二项分布的分布列、均值和方差 例2袋中有8个白球、2个黑球，从中随机 地连续抽取3次，每次取1个球.有放回抽 样时，求取到黑球的个数X的分布列、均 值和方差。 [自主解答] 49 ●数学·选择性必修第三册（配RJA版） 题型三二项分布的综合应用 [触类旁通 例一名学生每天骑自行车上学，从家到 3.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分 学校的途中有5个交通岗，假设他在各交 别是号和子假设两人射击是否击中目标。 通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且 相互之间没有影响：每人各次射击是否击 概率都是号 中目标，相互之间也没有影响. (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数 (1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标 的分布列； 的概率； (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目 (2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2 的地停车前经过的路口数)的分布列： 次且乙恰好击中日标3次的概率； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯 (3)假设某人连续2次未击中目标，则中止 的概率。 其射击.问：甲恰好射击5次后，被中止射 [自主解答] 击的概率是多少？ [素养聚焦]在利用二项分布解决简单的实际问 题时，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有 一个发生”“恰有一个发生”等词语的意义，在解题 过程中，提升数学建模等核心素养。 规律方法 对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定 课堂小结 事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独 知识落实 技法强化 立事件，n重伯努利试验四类事件中的某一种：其 次，要判断事件是A十B还是AB,确定事件至少 1.n重伯努利试验的概念及在数学建模过程中 有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘 特征。 常出现对二项分布 事件公式：最后，选用相应的求古典概型、互斥事 2.二项分布的概念及表示. 的判断错误。 件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率 温碧 公式求解 请完成[课后案1学业评价(【五) 50 第七章 随机变量及其分布● 7.4.2 超几何分布 学业标准 素养目标 1.通过超几何分布概念的学习，培养数学抽象等核 1.通过具体实例，了解超几何分布.（重点） 心素养 2.能利用超几何分布解决简单的实际问题.（难点）2.利用超几何分布解决实际应用问题，提升数学运 算、数学建模等核心素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 基健自测 导学 超几何分布 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 2问题在含有5名男生的100名学生中， (1)服从超几何分布的随机试验是不放回 任选3人。 抽取. ( (1)求其中恰有1名男生的概率表达式， (2)超几何分布的总体里只有两类物品. ( ) (3)某射手的命中率为0.8，现对目标射击 (2)求其中恰有2名男生的概率表达式， 3次，命中目标的次数X服从超几何分布. () (4)超几何分布与二项分布没有任何联系 ◎结论形成 2.已知在15个村庄中有7个村庄交通不方 1.超几何分布的定义：假设一批产品共有V 便，现从中任意选10个村庄，用X表示10 件，其中有M件次品，从N件产品中随机 个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概 抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件 CxC的是 产品中的次品数，则X的分布列为P(X= 率中等于Cg )=CC,k=m,m十1，m+2., A.P(X=2) B.P(X≤2) C C.P(X=4) D.P(X≤4) 其中n,N,M∈N",M≤N,n≤N,则m= 3.今有电子元件50个，其中一级品45个，二 max{0,n-N+M},r=min(n,M.如果随 级品5个，从中任取3个，出现二级品的概 机变量X的分布列具有上式的形式，那么 率为 称随机变量X服从超几何分布. c A. B. C+C+C3 2.超几何分布的均值：设随机变量X服从超 Co 几何分布，则X可以解释为从包含M件 C.1- C D. CC+C+Cis 次品的N件产品中，不放回地随机抽取n C 4.从一批含有13件正品、2件次品的产品 件产品的次品数，令p=,则E(X) 中，不放回地任取3件，则取得次品数为1 的概率为 (结果用最简分数表示) 51 ●数学·选择性必修第三册（配RJA版） 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一超几何分布 (一题多变) 2.(变条件)把本例的条件“一次随机抽取3 例 一个袋中装有6个形状、大小完全相 个球”改为“有放回地抽取3次球，每次抽 同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3： 取1个球”，其他条件不变，结果又如何？ 黑球有2个，编号为1,2：白球有1个，编 号为1.现从袋中一次随机抽取3个球. (1)求取出的3个球的颜色都不相同的 概率； (2)记取得1号球的个数为随机变量X,求 随机变量X的分布列. [自主解答] [母题变式 1.(变结论)本例的条件不变，若记取到白球 的个数为随机变量)，求随机变量？的分 布列. 规健方法 超几何分布的求解步骤 (1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题 是否由具有明显的两部分组成，如“男生、女生”， “正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分 具有该特征的概率模型为超儿何分布模型. (2)算概率：可以直接借助公式P(X=k)= CC二“求解，也可以利用排列，组合及概率的知 C 识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M,N, n,k的含义. (3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来， 52 第七章随机变量及其分布● [触类旁通 题型二超几何分布的综合应用 1.端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘 例盟甲、乙两人参加一次英语口语考试，已 中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，白粽 知在备选的10道试题中，甲能答对其中的 8个，这两种粽子的外观完全相同，从中任 6道试题，乙能答对其中的8道试题.规定 意选取3个 每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测 (1)求既有豆沙粽又有白粽的概率； 试，答对一题得5分，答错一题得0分.求： (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的 (1)甲答对试题数X的分布列； 分布列. (2)乙所得分数Y的分布列： (3)求乙的得分不低于10分的概率. [自主解答] [素养聚焦]解决超几何分布的实际应用问题的 关键是在具体的问题中识别超几何分布，把题目条 件和公式相对应，借以应用公式.在此过程中，培养 数学建模和数学运算核心素养 规律方法 (1)在求离散型随机变量的分布列时，明确随机变 量所取的每个值表示的意义是关键。 (2)求与分布列有关的概率问题，一般是把所求概 率的事件分解为几个互斥的事件，然后利用概率的 加法公式计算 53 ●数学·选择性必修第三册（配RJA版） [触类旁通 题型三超几何分布的均值和方差 2.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论 例某班从5名班干部（其中男生3人，女 赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B 生2人)中选3人参加学校学生会的干部 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推 竞选.设所选3人中女生人数为X,求随机 荐的学生一起参加集训.由于集训后队员 变量X的方差， 水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 [自主解答] 3人、女生中随机抽取3人组成代表队： (1)求A中学至少有1名学生入选代表队 的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随 机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人 数，求X的分布列. 规律方法 若随机变量X服从超几何分布，则其均值 EX)-心-，熟练应用上述两公式可大大减 少运算量，提高解题速度，但应用公式求均值前要 仔细辨别随机变量所服从的分布类型，若不能应用 公式，则利用均值的定义计算， [触类旁通 3.一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3 名女性成员，2名男性成员，现从中随机选 取2名成员进行学习汇报，记选出女性成 员的人数为X,则X的均值是 Ag c 0.5 课堂小结 知识落实 技法强化 1.超几何分布的概念及特征.超几何分布与二项 2.超几何分布的均值， 分布混淆，前者是 3.超几何分布与二项分布的不放回抽样，后者 区别与联系 是有放回抽样. 温碧 请完成[课后案】学业评价（十六) 提示 阶段测评(·】 54($)·Y-3$-2..'D(Y)=D(3X-2)=9D($ =5. 结论形成 .DY)-. 1.两个试验 2.(1)重复(2)重复 [母题变式] 相互独立 解析 因为Y=2X+1,所以D(Y)=D(2X+1)= 导学2 [问题](1)[提示] B =(A:AA)U(A:AA) 3 (AAA),因为P(A )-P(A)-P(A)-0.8, [触类旁通] 且AAA.A.AA.AAA两两互斥, 故P(B)-0.80.2+0.8×0.2+0.8×0.2-3$ 0.8×0.22-0.096. 故D( ×)-(1+)#+(0+)#1+ (2)[提示] P(B)-3×0.2X0.8-0.384 (1)#### P(B )-0.83-0.512. (3)[提示]P(B)-C0.8{*0.2*(-0,1,2,3) 结论形成 1.(1)C{*(1-p)*-* x~B(n,p) 2.nn(1-p) [例3] [解析](1)依题意,0.5十3a十a+0.1-1, [基础自测] 解得a-0.1. 1.(1)(2) (3)X(4) ·.乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2; 2.D ①③符合互斥事件的概念,是互斥事件;②是相互 .乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)-0.2. 独立事件;④是n重伯努利试验。 'X,Y的分布列分别为 3.B 播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为C^{③}()^{}× 10 9 8 X & (1-) P 0.5 0.3 0.1 0.1 4.解析 E(X)-4×4-16.D(×)-4×4×1-1 Y 10 7 525 答 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)可得 课堂案·互动探究 E($)-10×0.5+9$0.3+8$0.1+7$0.1-9.2(环 ; [例1] [解析](1)该射手射击了5次,其中只在第一、 E(Y)-10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2-8.7(环); 三、五次击中目标,是在确定的情况下击中目标3次,也 D($)-(10-9.2)? 0.5+(9-9.2)?0.3+(8 就是在第二、四次没有击中目标,所以只有一种情况,又 9.2)×0.1+(7-9.2)×0.1-0.96; D(Y)-(10-8.7)0.3+(9-8.7)×0.3+(8 (1)#(1-)##-0 8.7)×0.2+(7-8.7)?×0.2-1.21. 由于E(X)>E(Y),说明甲平均射中的环数比乙高; 又'.D(X)<D(Y),说明甲射中的环数比乙集中,比较 (2)该射手射击了5次,其中恰有3次击中目标,根据排 列组合知识,5次当中选3次,共有C}种情况,因为各 稳定。 '.甲比乙的技术好,故应选拔甲射手参加奥运会. 次射击的结果互不影响,所以符合”重伯努利试验概率 [触类旁通] 3.解析 .由题意得,E(X.)-0,E(X)-0 [母题变式] 'E(X)-E(X). 解析 该射手射击了5次,其中恰有3次连续击中目 D(X)-(-2-0)x0.05+(-1-0)2×0.05+(0- 标,而其他两次没有击中目标,应用排列组合知识,把3 )$0.8+(1-0)?0.05+(2-0)②0.05-0.5. 次连续击中目标看成一个整体可得共有C种情况,故 班概率 P二)一()}(1一-)#3 D($)-(-2-0)0.1+(-1-0)0.2+(0-0)x 0.4+(1-0)×0.2+(2-0)×0.1-1.2 .D(X)D(X). [触类旁通] 综上可知,A大钟的质量较好。 1.解析 设需整改的煤矿有X家,则X~B(5,0.5). (1)恰好有两家煤矿必须整改的概率为P(X一2)一 7.4 二项分布与超几何分布 Cx(1-0.5)2×0.53- 5 7.4.1二项分布 16 课前案·自主学习 (2)“至少有两家煤矿必须整改”的对立事件为“5家都 [教材梳理] 不用整改或只有一家必须整改”,其概率为P(X一0)十 导学1 P($=1)=C$(1-0.5)*t0.5+Ct(1-0.5)1$ 0.5-3 [问题](1)[提示] 正面向上或反面向上,即事件发生 3,所以至少有两家煤矿必须整改的概率为1- 或者不发生. (2)[提示]无,即各次试验相互独立。 [例2] [解析] 有放回抽样时,取到的黑球数X可能的 故;的分布列为 取值为0,1,2,3.又每次取到黑球的概率均为,3次取 2 3 0 , , 4 。 80 0 球可以看成3重独立重复试验,则X~B(3,). 80 0 P 243 243 .P(X-o)-c3()#()- ##-1)_#()()# 个足红灯)一()-0.12.34 (2)n的分布列为P(n一k)一P(前b个是绿灯,第 +l #(#2)→一#()()## ## #(n-o)一({)##-# ##- P(X-3)-C》(){}()-125 ##_2>→(#)###4# .X的分布列为 & ##3一)# X 0 12 1 ##_4一{) P 因为X~B(3.). 故n的分布列为 。 4 [触类旁通] 2.解析 由题意可知X~B(3.3). #) 分分4# 1 32 P 所以P(x-k)-Cs(3) ()“-→(k-0.1,2,3). #(x-o)-c3()()#。△ 211 ##x-1)-一#()-# -243 [触类旁通] #(X2)_一() 3.解析 用A表示事件甲射击一次击中目标,B表示事件 一() 乙射击一次击中目标,则A,B相互独立,且P(A)一 P(B)- 所以分布列为 (1)用C表示事件甲射击4次,至少有1次未击中目标, x 0 2 3 P (2)用D表示事件两人各射击4次,甲恰好击中目标2 次且乙恰好击中目标3次,:P(D)=C·(){}. #x)#-0 (){2}·C(){}·-. [例3] [解析](1)由~B(5,),则P(=)= (3)甲恰好射击5次,被中止射击,说明甲第4、5次未击 &桂故中#()](1)一 中目标,第3次击中目标,第1、2两次至多一次未击中 C()#()第-)# ki0,1,2,3,4.5. #(-)#()()一 7.4.2 超几何分布 #($)_c##()5 课前案·自主学习 #(-2一()( [教材梳理] 导学 #. [问题] (1)[提示] $(-3))-c$(){#(){} #3C. (2)[提示] #(第_4_一(() #C0o 2-# 结论形成 P($-)_()- n [基础自测] [触类旁通] 1.(1)(2)(3)×(4)× 1.解析 (1)记事件A:取出的3个都是白棕, 2.C X服从超几何分布,基本事件总数为Cl,所求事件 C 8X7×6 CXC{ 3x2×17 则P(A)一 数为C¥Clo-x...P(X-4)= C。 10×9×815' C 3×2×1 3.C 出现二级品的情况较多,可以考虑不出现二级品概 . 所以既有豆沙粽又有白粽的概率为 7 1-P(A)-1一 4.解析 设随机变量X表示取出次品的个数,则X服从 (2)X的可能取值为0,1,2, 超几何分布,其中N-15,M-2,n-3,它的可能的取值 CC7 则P(X-0) C 1 为0,1,2,相应的概率为P(X-1)- C{ 行 21 答案 P(X-2)- 所以X的分布列为 课堂案·互动探究 X 0 2 [例1] [解析] (1)从袋中一次随机抽取3个球,基本事 件总数n-C一20,取出的3个球的颜色都不相同包含 P 7 07 10 的基本事件的个数为CCC -6,所以取出的3个球的 [例2]解析](1)X的可能取值为0,1,2,3. (2)由题意知X-0.1,2,3. C12030' ClC9 一 (-0))0# #020, P(-1)- C20' P(X-1)- ### #0}_0, Pp(Nua) P(X-2)- 所以X的分布列为 P(X-3)一 X 0 2 1 ③ 所以甲答对试题数X的分布列为 P #s X 2 0 3 [母题变式] P 30 230 )0 1.解析 由题意可知n-0,1,服从两点分布 C{1 又P(n-1)- (2)乙答对试题数可能为1,2,3,所以乙所得分数Y-5. 10,15. 所以n的分布列为 C3C8-1 P(Y-5)- . C{o1201 0 1 CC567 ~ P 一{ P(Y-10)一 C 12015' 2.解析 (1)取出3个球颜色都不相同的概率 P(Y-15)- p_ 6{ 所以乙所得分数Y的分布列为 10 5 (2)由题意知X-0,1,2,3 15 1 1 7 7 P Cx3x3x33 P(X-1)- 6{ (3)由(2)可知,根据随机变量Y的分布列,可以得到乙 CCx3x33 的得分不低于10分的概率为 P(X-2)- 8 6 P($X10)-P($=10)+P($-15)-+-14. 1 1515 [触类旁通] 2.解析(1)由题意知,参加集训的男生、女生各有6人. 所以X的分布列为 代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有 1 0 ) 学生入选代表队)的概率为 3} _ 19 少有1名学生入选代表队的概率为1一 100100 (2)根据题意,X的所有可能取值为1,2,3. :3.。* 4.-3o.+3] C [基础自测] 1.(1)X(2)×(3)(4) 2$.C $(0<$<)=P$(1<$<2)=0.5-P($ = 所以X的分布列为 0.35. 1 2 3 3.A 由。的意义可知,图象越瘦高,数据越集中,^}越 1 小,故有>一. P 1 4.解析 由题意知曲线关于X一2对称,因此P(X<2)- [例3] [解析] X的所有可能取值为0,1,2,所以依题 答案 C{ 课堂案·互动探究 __ [例1] [解析] 由题中图象可知三科总体的平均数(均 P(X-2)- 值)相等,由正态密度曲线的性质,可知口越大,正态曲 所以X的分布列为 线越扁平;o越小,正态曲线越尖陵,故三科总体的标 准差从小到大依次为甲、乙、丙. 0 寸 2 [答案] AD 1 P [触类旁通] 1.解析 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数, 所以E(X)-0× 所以正态曲线关于y轴对称,即u一0,而正态分布的概 32 2π·。42 4v2π $$$=(0-){×1+(1-)*3+(2-) × 4v2π # r(-。0.十o). [例2] [解析] 因为X~N(1,2^②),所以-1,。-2 [触类旁通] (1P(-1<$<3)=P(1-2<x<1+2) -P(-t+o)-0.682 7. ($2)因为P(3<$<5)=P(-3<$<-1). 所以P(3<X<5) -[P(1-4<X<1+4)-P(1-2<x<1+2)] ~ 法二 易知X服从超几何分布,所以E(X)-3X26. 5 5. 7.5 正态分布 1[1-P(-3<x<5)]- (3)P(X>5)-P(X-3)= 课前案·自主学习 1[1-P(1-4<X<1+4)]-0.0228. [教材梳理] 导学 [母题变式] [问题](1)[提示]直线x-72 解析 因为X服从正态分布N(1,2^{}),所以对应的正 (2)[提示] x-72.-72. 态曲线关于x=1对称.又P(X>c十1)-P(X<c-1). (3)[提示](z)-(ceR). 因此(c+1)+(c-1)-1,即c-1. 10v2π 2 结论形成 [触类旁通] 1.某个区间甚至整个实轴 2.解析(1)由X~N(2,9)可知,密度函数关于直线x-2 0 对称(如图所示). (_ (2)X~N(n,a})标准正态分布(3)①x-u ③1(4)①平移 ②瘦高 集中 矮胖 口V2π 分散