7.2 离散型随机变量及其分布列-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教A版2019）

(2)4人选择3种编程语言之一,每种编程语言至少有1 :3.B 依题意可得P(X-1)+P(X-0)=1. P(X-1)-P(X-0)-0.32. A 所以P(x-o)-1-0.32-0.34. 甲学习VisualBasic编程语言、乙学习VisualBasic编程 2 语言、乙学习VisualC十十编程语言,各有CA十A= 故选B. 4.ABD 易得a=0.1,P(X二3)-0.3,故C错误,其余都 正确。 甲、乙均学习VisualBasic编程语言,有A一2种方案, 课堂案·互动探究 (A行 [例1] [解析] A是,因为1小时内经过该收费站的车 辆可一一列出;B不是,质点在直线y一x上运动时的位 甲学习VisualBasic编程语言且乙学习VisualC十+编 置无法一一列出;C是,1小时内网站的访问次数可一 程语言,有1+CC-5种方案,..P(AC)= 一列出;D不是,1天内的温度n是该天最低温度和最高 36 温度这一范围内的任意实数,无法一一列出. 对于A,'P(AB)P(A)P(B),..事件A与B不相互 [答案] AC 独立,故A错误; [触类旁通] 1.ABD 由题意知C中的球的半径是固定的,可以求出 来,所以不是随机变量,而ABD是离散型随机变量. 件,故B正确; [例2] [解析] (1)由a+2a十3a+4a十5a=1 P(AC)5 对于C,P(ClA)一 -1 P(A),故C正确; -#__),D正. 对于D,P(BA)= (2):P(x-)-1(k=1,2.3.,4,5), 故选BCD. $ ($>3))-P(x-)+P(x-+$(x$-1 [答案](1)C(2)BCD [例2] [解析] 设事件B,表示“被保险人是’谨慎的’” -3/## 事件B2表示“被保险人是'一般的'”,事件B表示“被 保险人是‘冒失的'”,则P(B)一20%,P(B)一50% (3)#<#时,只有x-,#时满足,# P(B。)一30%,设事件A表示“被保险人在一年内发生 事故”,则P(A|B )-0.05,P(A|B)-0.15,P(A B$$ 故$$ (<x<)=-P^($x-)+P($x-)+ -0.30.由全概率公式,得P(A)一P(B)P(A|B) 0.05×20%+0.15×50%+0.30×30%-0.175 #$(×-)6-1++3-# [答案]B [触类旁通] 7.2 离散型随机变量及其分布列 课前案·自主学习 [教材梳理] P(<x)-2,故5x<6. 导学1 (2)随机变量X的分布列为P(X-)-(十1),k-1, [问题](1)[提示] 可以,可用数字1和0分别表示正 面向上和反面向上. 2.3..+号+f--1,即$+2c士-1,解得- (2)[提示] 2-0,1,2,3,...,10 12 O结论形成 '*P(0.5 $>2.5)=P($=1)+P($X=2 ##-#-# (1)唯一 (2)有限个或可以一一列举 (③)X,,Z 导学2 [例3] [解析] (1)设袋中原有n个白球,由题意知 (2)X与P的对应关系为 nGn-1) x 3 5 2n(n-1). 7×6) ##分 分#0分分#分 P 2 可得n一3或n=-2(舍去). O结论形成 即袋中原有3个白球. 1.(1)p:(3)① ②1 (2)由题意,的可能取值为1,2,3,4,5 P(#=1- [基础自测] 1.(1)× (2)× (3)×(4)× 2.C 对于A中取到产品的件数,是一个常量不是变量, B,D也是一个常量,而C中取到次品的件数可能是0, P($-3)-4×33_6. 1,2,是随机变量. 7×6×5351 12 4×3X2×33 P(-4)一 课堂案·互动探究 7×6×5×4-35' [例1][解析](1)个位数字为4的“三位递减数”有: P(-5)- 4X3×2X1×3-1 7×6×5×4×335 984,974,964,954,874,864,854,764,754,654,共 10个. 所以的分布列为 (2)由题意,不同的“三位递减数”共有C。一120(个). 2 3 5 小明得到的优惠金额X的取值可能为5,3,1. #。1 当X一5时,三个数字之和可能为20或10, 3 一 P 当三个数字之和为20时,有983,974,965,875,共4个 “三位递减数”; [母题变式] 当三个数字之和为10时,有910,820,730,721,640, 解析 因为甲先取,所以甲只有可能在第一次、第三次 631,541,532,共8个“三位递减数” 和第五次取到白球,记“甲取到白球”为事件A, 35. 当X一3时,三个数字之和只能被2整除,即这三个数 [触类旁通] 字只能是三个偶数或两个奇数一个偶数,但不包括能被 3.解析 将O,A,B,AB四种血型分别编号为1,2,3,4,则 10整除的“三位递减数”, X的可能取值为1,2,3,4. 0 120 P(X-1)- P(X-3)- 所以他得到的优惠金额X的分布列为 x 5 故X的分布列为 3 一1二 X #}# P ##6 ) 7.3 离散型随机变量的数字特征 [触类旁通] 7.3.1 离散型随机变量的均值 1.解析 (1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A 课前案·自主学习 “取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B,则 [教材梳理] P(B)二 导学 [问题](1)[提示] X-5,6,7. (2)X的取值为1,2,3,4. P(x-6-# P(X-1)-CC+C3C _49. C 84 C]C+C3Cl25. P(X-2)- C 84. $×4+6×3+7×5-5×+6×1+7× (3)[提示] 12 P(X-3)- C{} 结论形成 2 所以X的分布列为 1.(1)x1力1+x2b十..十x.n (2)平均水平 1 & 1 3 4 (3)aE(X)十b 4 2 P {0 2.P [基础自测] 1.(1)x(2)× (③)/ (4) 84 3 84 3.A 因为P(X-1)-,P(X--1)-,所以由均值 [例2] [解析] (1)由A表示事件“购买该商品的3位 顾客中至少有1位采用1期付款”知,A表示事件“购买 该商品的3位顾客中无人采用1期付款”. 4.解析 E(2X-5)-2E(X)-5-3. P(A)=(1-0.4)=0.216,P(A)=1-P(A) 答案3 1-0.216-0.784.第七章 随机变量及其分布。 7.2 离散型随机变量及其分布列 学业标准 素养目标 1.理解离散型随机变量的含义，会用离散型随机变量1.通过离散型随机变量及其分布列概念的学习， 描述随机现象.（重点） 培养数学抽象等核心素养。 2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法及性质，了 2.在求离散型随机变量分布列的过程中，提升数 解两点分布.（难点） 学运算等核心素养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 导学1随机变量 2问题(1)抛掷一枚质地均匀的硬币，可能 出现正面向上、反面向上两种结果，这种试 ©结论形成 验结果能用数字表示吗？ 1.分布列的概念 (1)定义：设离散型随机变量X可能取值 为x1,x2,…,x,…,xn,称X取每一个值 (2)在一块地里种10棵树苗，成活的棵数 x:的概率P(X=x)= ,i=1,2, 为x,则x可取哪些数字？ …,,为X的概率分布列，简称分布列. (2)表示方法：①表格；②概率分布图. (3)性质：①p, 0,i=1,2,3,…,n ◎结论形成 ②p1十p2十…+p= 随机变量 2.两点分布 (1)随机变量：对于随机试验样本空间2 对于只有两个可能结果的随机试验，用A 中的每个样本点ω，都有 的实数 表示“成功”，A表示“失败”，定义X= X(ω)与之对应，称X为随机变量. 1,A发生， (2)离散型随机变量：可能取值为 0,A发生. 的随机变量，称之为离散型 如果P(A)=p,则P(A)=1一p,那么X 随机变量 的分布列如下表所示： (3)字母表示：通常用大写英文字母表示随 X 0 机变量，如 :用小写英文字母表示 1-p 随机变量的取值，如x,y,之. 我们称X服从两点分布或0一1分布。 导学2离散型随机变量的分布列 问题掷一枚骰子，所得点数为X,则X 基础自测 可取哪些数字？X取不同的值时，其概率 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） 分别是多少？你能用表格表示X与P的 (1)在离散型随机变量分布列中每一个可能 对应关系吗？ 值对应的概率可以为任意的实数.() 37 ●数学·选择性必修第三册（配RJA版） (2)手机电池的使用寿命X是离散型随机： 3.(2024·菏泽高二期末)若X服从两点分布， 变量. ( P(X=1)一P(X=0)=0.32,则P(X=0)= (3)在离散型随机变量分布列中，在某一范 () 围内取值的概率等于它取这个范围内各值 A.0.32 B.0.34 C.0.66 D.0.68 的概率之积 ( ) 4.(多选题)已知随机变量X的分布列如下 (4)离散型随机变量的取值是任意的实数. 表（其中a为常数）： ( X 0 1 2 3 2.10件产品中有3件次品，从中任取2件， P 0.1 0.2 0.4 0.2 可作为随机变量的是 ( ) 则下列计算结果正确的是 ( A.取到产品的件数 B.取到正品的概率 A.a=0.1 B.P(X≥2)=0.7 C.取到次品的件数 D.取到次品的概率 C.P(X≥3)=0.4 D.P(X≤1)=0.3 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一离散型随机变量的判定 题型二 离散型随机变量分布列的性质及 例1（多选题）下面给出四个随机变量，其 应用 中是离散型随机变量的是 ( 例2 设随机变量X的分布列为P(X=) A.某高速公路上某收费站在未来1小时 ak(k=1,2,3,4,5) 内经过的车辆数X是一个随机变量 (1)求常数a的值： B.一个沿直线y=x进行随机运动的质点， 它在该直线上的位置Y是一个随机变量 2)求P(x≥)： C.某网站未来1小时内的点击量 D.一天内的温度7 3)求P品0<X<) 规律方法 [自主解答] “三步法”判定离散型随机变量 (1)依据具体情境分析变量是否为随机变量 (2)由条件求解随机变量的值域， (3)判断变量的取值能否一一列举出来，若能，则是 离散型随机变量：否则，不是离散型随机变量， [触类旁通] 1.(多选题)下列问题中的是离散型随机变 量的是 ( A.某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆 数为日 B.某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点 击的次数为 规健方阔 利用分布列及其性质解题时的两点注意 C.体积为1000cm3的球的半径长 (1)X的各个取值表示的事件是互斥的： D.射手对目标进行射击，击中目标得1 分，未击中目标得0分，用：表示该射 (2)不仅要注意之p,=1,而且要注意p,>≥0，i=1 手在一次射击中的得分 2,…,n. 38 第七章随机变量及其分布。 [触类旁通 [母题变式 2.(1)设随机变量只能取5,6,7，…，16这 (变结论)本例的条件不变，求甲取到白球 12个值，且取每一个值概率均相等，若 的概率。 P(g<)-2则x的取值范围是 (2)设随机变量X的分布列为P(X=k) k(k+)k=1,2,3,c为常数，则P(0.5< X<2.5)= 素养聚焦]求离散型随机变量的分布列的难点 题型三求离散型随机变量的分布列 是求各随机变量对应的概率值，在此过程中主要提 (一题多变) 升数学运算核心素养 例 袋中装有黑球和白球共7个，从中任 规健团法 取2个球都是白球的概率为7，现有甲、乙 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体 情况确定：的取值情况，然后利用排列、组合与概 两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后 率知识求出取各个值的概率，即必须解决好两个 取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两 问题，一是求出的所有取值，二是求出取每一 人中有一人取到白球时终止，每个球在每 个值时的概率。 一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示 [触类旁通] 取球终止所需要的取球次数， 3.某班有学生45人，其中0型血的有10人， (1)求袋中原有的白球的个数： A型血的有12人，B型血的有8人，AB型 (2)求随机变量的分布列. 血的有15人.现从中抽1人，其血型为随 [自主解答] 机变量X,求X的分布列. 讲堂小结 知识落实 技法强化 1.随机变量的概念、特征 解题过程中随机 2.离散型随机变量的概念. 变量的取值不明 3.离散型随机变量的分布列的 确导致分布列求 概念及其性质」 解错误。 4.两点分布 温碧 提示 请完成[课后茱1学业评价（「） 39