6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步学习方案（人教A版2019）

第六章 计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 学业标准 素养目标 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.1.通过对两个计数原理的学习，培养数学抽象、逻辑 (重点) 推理核心素养 2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计2.在利用两个计数原理解决简单实际问题的过程中， 数问题.（难点） 提升数学建模、数学运算核心素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 导学2分步乘法计数原理 导学1分类加法计数原理 2问题高三(1)班有22名男生，18名女 2问题 高三(1)班有22名男生，18名女 生，现在要从中选1名男同学和1名女同 生，现在要从中选1名同学作为数学课代 学作为数学课代表协助老师收发作业， 表协助老师收发作业， (1)如果每次选1名同学任课代表，那么选 (1)如果按照性别来分类，选1名同学任课 2名同学任课代表需要分几步完成？ 代表的方案可分几类？ (2)完成每一步各有几种方法？ (2)这几类方案中各有几种方法？ (3)选1名男同学和1名女同学任课代表 (3)选1名同学任课代表一共有多少种不 一共有多少种方法？ 同的方法？ ⊙结论形成 ©结论形成 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同的方案，在第1类 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 方案中有m种不同的方法，在第2类方案 种不同的方法，做第2步有n种不同的方 中有种不同的方法，那么完成这件事共 法，那么完成这件事共有V= 种 有N= 种不同的方法。 不同的方法。 ●数学·选择性必修第三册（配RJA版） 少基础自测 2.某商场共有4个门，购物者从一个门进，从 另一个门出，不同的走法种数是( 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） A.8 B.7 C.11 D.12 (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案 3.已知集合M={一2,1,3}，N={一4,5,6,7}， 中的方法可以相同 ( 从两个集合中各取一个元素作为点的坐 (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的 标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示 方法都能完成这件事。 () 第一、二象限内不同的点的个数是() (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完 成这个步骤的方法是各不相同的.() A.18 B.17 (4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两 C.16 D.10 步完成，那么其中任何一个单独的步骤都 4.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不 不能完成这件事，只有两个步骤都完成后， 相等的数a,b组成复数a十bi,其中虚数有 这件事情才算完成， ( 个 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 分类加法计数原理 规律方法 例 某校高三共有三个班，各班人数如 利用分类加法计数原理计数时的解题流程 下表. 符定成这件率的方云分减若干类 男生数 女生数 总数 求出每一类的疗法数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 将每。·类的方法数烂加得出结果 高三(3)班 35 20 55 [触类旁通 (1)从三个班中选1名学生任学生会主席， 1.设集合A=(1,2,3,4},m,n∈A,则方程工 有多少种不同的选法？ (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三 y=1表示焦点位于x轴上的椭圆的有 (3)班女生中选1名学生任学生会生活部 ( 部长，有多少种不同的选法？ A.6个 B.8个C.12个 D.16个 [自主解答] 题型二分步乘法计数原理 (一题多变) 例凰一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号 盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号 盘可以组成多少个四位数的号码？（各位 上的数字允许重复) 工自主解答] 2 第六章计数原理● [母题变式 [自主解答] (变条件)若各位上的数字不允许重复，那 么这个拨号盘可以组成多少个四位数的 号码？ [素养聚焦]在利用两个计数原理解决实际应用 问题的过程中，把数学建模、数学运算核心素养体 现在解题过程中 规律方法 见律方法 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 (1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是 什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这 艳完减这店多的业码分成书于非 件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解 京出年-分的方法娟 题方法. (2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当 河每“「的方法筑龙服得最越结朵 的画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清 [触类旁通 楚，便于探索规律 2.从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数 (3)混合间题一般是先分类再分步 字的整数，则满足下列条件的数有多少个？ [触类旁通] (1)三位数；(2)三位偶数. 3.如图，甲地到乙地有3条甲 公路可走，从乙地到丙地 有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙 地有2条水路可走.从甲地到丙地共有多 少种不同的走法？ 题型三两个计数原理的辨析 例阁书架上放有3本不同的数学书，5本 不同的语文书，6本不同的英语书， (1)从这些书中任取一本，有多少种不同的 课堂小结 取法？ 知识落实 技法强化 (2)从这些书中取数学书、语文书、英语书 1.分类加法计数原理.完成一件事情时，“分类”与 各一本，有多少种不同的取法？ 2.分步乘法计数原理.“分步”不清，导致计数错误 (3)从这些书中取不同科目的书共两本，有 温 多少种不同的取法？ 请完成[课后案」学业评价(·) 3 ●数学·选择性必修第三册（配RJA版） 习题课计数原理的综合应用 学业标准 素养目标 1.进一步掌握和理解分类加法计数原理和分步乘法计 数原理.（重点） 通过利用两个计数原理解决实际问题的方式，培 2.能利用两个计数原理解决数字组成、选取与分配、涂 养逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养. 色（种植）等实际问题.（难点） 关健能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 组数问题 (一题多变) 规闺方法 例1用0,1,2,3,4五个数字， 对于组数问题，应掌握以下原则 (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类” (2)可以排成多少个三位数？ 还是“分步”的关键.一般按特殊位置（末位或首位） (3)可以排成多少个能被2整除的无重复 分类，分类中再按特殊位置（或特殊元素）优先的策 略分步完成：如果正面分类较多，可采用间接法 数字的三位数？ 求解 [自主解答] (2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字 以上的数的最高位 [触类旁通 1.用0,1，…，9这10个数字，可以组成有重 复数字的三位数的个数为 A.243 B.252 C.261 D.648 题型二 选取与分配问题 例盟有一项活动，需在3名教师、8名男同 学和5名女同学中选人参加。 (1)若只需一人参加，有多少种不同选法？ [母题变式 (2)若需教师、男同学、女同学各一人参加， (变结论)由本例中的五个数字可组成多少 有多少种不同选法？ 个无重复数字的四位奇数？ (3)若需一名教师、一名学生参加，有多少 种不同选法？ [自主解答] 第六章计数原理● 规律方阔 [素养聚焦]在利用两个计数原理解决涂色与种 解决抽取（分配）问题的方法 植问题的过程中，有时需要分类讨论，在此过程中 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状 提升了数学建模、逻辑推理等核心素养 图法、框图法等. 靓律方法 (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直 1.涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有 接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一 几种常用方法： 般地，若抽取是有顺序的就按分步进行：若是按对 象特征抽取的，则按分类进行.②间接法：去掉限制 (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步 条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符 乘法计数原理分析 合条件的抽取方法数即可， (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线 [触类旁通] 段”等问题，用分类加法计数原理分析 2.3个不同的小球放人5个不同的盒子，每 (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色 个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？ 问题。 2.种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计 数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用 分类加法计数原理计数. [触类旁通 3.(2024·吴忠期末)如图，现要用5种不同 的颜色对某市的4个区县地图进行着色， 要求有公共边的两个地区不能用同一种颜 色，共有 种不同的着色方法， 题型三涂色与种植问题 例多(1)如图，用五种不同的颜 色分别给A,B,C,D四个区域 涂色，相邻区域必须涂不同颜 课堂小结 色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的 涂法种数为 知识落实 技法强化 A.280 B.180 解题过程中注意分 1.两个计数原理的区别与联系。 C.96 D.60 类讨论及正难则反 2.两个计数原理的应用：组数 (2)将3种作物全部种植在如图所示的5 的方法，且分类标 问题、占位模型中标准的选 块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的 准不明确时会出现 择、涂色问题及种植问题： 试验田不能种同一种作物，则不同的种植 重复或遗漏问题. 方法共有 种。 请完成[课后案1学业评价（二） 5高中同步学习方案 第六章 计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 [触类旁通] 课前案·自主学习 1.A 因为圆的焦点在x轴上,所以m>n.当m-4时 [教材梳理] n-1,2,3;当m-3时,n-1,2;当m-2时,n-1,即所 导学1 求的圆共有3十2十1一6(个). [例2] [解析] 按从左到右的顺序拨号可以分四步 [问题](1)[提示]可分两类,即选男同学、选女同学。 完成: (2)[提示]第1类方案(选男同学)有22种方法,第2 类方案(选女同学)有18种方法. 第一步,有10种拨号方式,所以m一10; 第二步,有10种拨号方式,所以m2-10; (3)[提示] 共有22十18一40种不同的方法 结论形成 m十n 第三步,有10种拨号方式,所以m。一10; 导学2 第四步,有10种拨号方式,所以m.一10. [问题] (1)[提示] 分两步完成,第1步选男同学任课 根据分步乘法计数原理,共可以组成N-10×10×10× 代表,第2步选女同学任课代表。 10=10000个四位数的号码 (2)[提示]第1步选男同学任课代表有22种方法,第 [母题变式] 解析 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成; 2步选女同学任课代表有18种方法。 第一步,有10种拨号方式,即m,一10; (3)[提示] 共有22×18-396种方法. 结论形成 m×n 第二步,去掉第一步拨的数字,有9种拨号方式,即m-9 [基础自测] 第三步,去掉前两步拨的数字,有8种拨号方式,即m-8 1.(1)×(2)(3)(4) 第四步,去掉前三步拨的数字,有7种拨号方式,即n-7. 根据分步乘法计数原理,共可以组成N一10×9×8×7 2.D 要完成这件事需两个步骤:第一步进门有4种方法; 一5040个四位数的号码. 第二步出门有3种方法,两步全部完成才能完成这件 事,所以完成这件事共有4×3一12种方法. [触类旁通] 2.解析(1)三位数有三个数位: 3.B 分两类:第1类,M中的元素作横坐标,N中的元素 作纵坐标,则有3×3一9个在第一、二象限内的点;第2 百位十位个位 类,N中的元素作横坐标,M中的元素作纵坐标,则有 故可分三个步骤完成: 4×2一8个在第一、二象限内的点,由分类加法计数原 第1步,排个位,从1,2,3,4中选1个数字,有4种方法; 理,共有9十8一17个点在第一、二象限内. 第2步,排十位,从剩下的3个数字中选1个,有3种 4.解析 第1步取b的数,有6种方法;第2步取a的数, 方法; 也有6种方法,根据分步乘法计数原理,共有6×6-36 第3步,排百位,从剩下的2个数字中选1个,有2种 个虚数。 方法。 答案 36 根据分步乘法计数原理,共有4×3×2一24个满足要求 课堂案·互动探穷 的三位数. [例1] [解析] (1)从三个班中选1名学生任学生会主 (2)分三个步骤完成: 席,共有三类不同的方案: 第1步,排个位,从2,4中选1个数字,有2种方法; 第1类,从高三(1)班中选出1名学生,有50种不同的 第2步,排十位,从余下的3个数字中选1个,有3种 选法; 方法; 第2类,从高三(2)班中选出1名学生,有60种不同的 第3步,排百位,只能从余下的2个数字中选1个,有2 选法; 种方法. 第3类,从高三(3)班中选出1名学生,有55种不同的 根据分步乘法计数原理,共有2×3×2一12个满足要求 选法。 的三位偶数. 根据分类加法计数原理知,从三个班中选1名学生任学 [例3] [解析] (1)由于书架上有3十5十6一14本书,则 生会主席,共有50十60十55-165种不同的选法. 从中任取一本,共有14种不同的取法. (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选 (2)由题意分步完成, 1名学生任学生会生活部部长,共有三类不同的方案: 第一步:任取一本数学书,有3种取法; 第1类,从高三(1)班男生中选出1名学生,有30种不 第二步:任取一本语文书,有5种取法; 同的选法; 第三步:任取一本英语书,有6种取法; 第2类,从高三(2)班男生中选出1名学生,有30种不 由分步乘法计数原理,得共有3×5×6一90种不同的 同的选法; 取法. 第3类,从高三(3)班女生中选出1名学生,有20种不 (3)取两本不同科目的数,可以分三种情况: 同的选法. ①一本数学书和一本语文书,有3×5一15种情况; 根据分类加法计数原理知,从高三(1)班、(2)班男生中 ②一本数学书和一本英语书,有3×6一18种情况; 或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部 ③一本语文书和一本英语书,有5×6一30种情况; 长,共有30十30十20-80种不同的选法。 根据分类加法计数原理,共有15十18十30一63种情况 ) [触类旁通] 已有过的颜色,故D区域也有3种颜色可选用,由分步 3.解析 要从甲地到丙地共有两类不同的方案: 乘法计数原理,共有5×4×3×3-180种涂法. 第1类,从甲地经乙地到丙地,共需两步完成: (2)分别用a,b,c代表3种作物,先安排第一块田,有3 第1步,从甲地到乙地,有3条公路可走; 种方法,不妨设放入a,再安排第二块田,有两种方法 第2步,从乙地到丙地,有2条公路可走. 或c,不妨设放入b,第三块也有2种方法a或c 根据分步乘法计数原理,从甲地经乙地到丙地有3×2 ①若第三块田放c: 一6种不同的走法. a 6C 第2类,从甲地不经乙地到丙地,有2条水路可走,即有 2种不同的走法. 第四、五块田分别有2种方法,共有2×2一4种方法. 由分类加法计数原理知,从甲地到丙地共有6十2一8种 ②若第三块田放a: 不同的走法. 习题课 计数原理的综合应用 第四块有b或c两种方法, 课堂案·互动探究 I若第四块放c: [例1] [解析] (1)三位数字的电话号码,首位可以是 0,数字也可以重复,每个位置都有5种排法,共有5× 5×5-53-125(种). 第五块有2种方法; (2)三位数的首位不能为0,但可以有重复数字,首先考 II若第四块放b: 虑首位的排法,除0外共有4种方法,第二、三位可以排 0.因此,共有4×5×5-100(种) (3)被2整除的数即偶数,末位数字可取0,2,4,因此,可 第五块只能种作物c,共1种方法. 以分两类,一类是末位数字是0,则有4×3一12种排法 综上,共有3×2×(2×2十2+1)-42种方法 一类是末位数字不是0,则末位有2种排法,即2或4, [答案](1)B(2)42 再排首位,因为0不能在首位,所以有3种排法,十位有 [触类旁通] 3种排法,因此有2×3×3-18种排法,因而有12+1 3.解析 先给地区I染色有5种选择,再给地区II染色有 一30种排法,即可以排成30个能被2整除的无重复数 4种选择,然后给地区II染色有3种选择,最后给地区 字的三位数. IV染色也有3种选择,综上所述,满足题意的染色方法 [母题变式] 共有5×4×3×3-180(种). 解析 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,可以 答案 180 分四步:第一步定个位,只能从1,3中任取一个,有2种 6.2 排列与组合 方法;第二步定首位,把1,2,3,4中除去用过的一个剩 6.2.1 排列 下的3个中任取一个,有3种方法;第三步,第四步把剩 下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法,再排 6.2.2 排列数 十位有2种方法,由分步乘法计数原理知共有2×3× 第1课时 排列与排列数 3×2-36(个). 课前案·自主学习 [触类旁通] [教材梳理] 1.B 0,1,2,...,9共能组成9×10×10-900个三位数, 导学1 其中无重复数字的三位数有9×9×8一648个,所以有 [问题][提示] 分两步,第1步确定上午的同学;第2 重复数字的三位数有900一648一252(个). 步确定下午的同学。 [例2 [解析] (1)有三类选人的方法:3名教师中选一 结论形成 人,有3种方法;8名男同学中选一人,有8种方法;5名 (1)一定的顺序 (2)完全相同 排列顺序 女同学中选一人,有5种方法,由分类加法计数原理知, 导学2 共有3+8十5-16种选法. [问题](1)[提示] (2)分三步选人:第一步选教师,有3种方法;第二步选 4×3-12个无重复数字的两位数 男同学,有8种方法;第三步选女同学,有5种方法,由 (2)[提示] 4×3×2-24个无重复数字的三位数. (3)[提示] 分步乘法计数原理知,共有3×8×5一120种选法. n(n-1)(n-2)...(n-m十1)种不同的 (3)可分两类,每一类又分两步,第一类:选一名教师再 排法。 选一名男同学,有3×8一24种选法;第二类:选一名教 结论形成 不同排列n! 师再选一名女同学,共有3×5一15种选法,由分类加法 n(n-1)(n-2)..(n-m十1)n! 计数原理可知,共有24十15一39种选法. [基础自测] [触类旁通] 1.(1)× (2)× (3)×(4) 2.解析(以小球为研究对象)分三步来完成: 2.BD 因为加法和乘法满足交换律,所以选出两个数做 第一步:放第一个小球有5种选择; 加法和乘法时,结果与两数字位置无关,故不是排列问 第二步:放第二个小球有4种选择; 题,而减法、除法与两数字的位置有关,故是排列问题。 第三步:放第三个小球有3种选择, 3.C A12。-100×99X...x(100-12+1)-100×99t. 由分步乘法计数原理得,总方法数N一5X4X3-60. x89. [例3] [解析] (1)按区域分四步:第一步A区域有5 4.解析 从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列, 种颜色可选;第二步B区域有4种颜色可选;第三步C 共有A{一20种添加方法 区域有3种颜色可选;第四步由于可重复使用区域A中 答案 20