学业评价(四十二) 事件的相互独立性-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册课后案·学业评价（人教A版2019）

@ 15.解析1)由题意，可知1+1十一乞' ”=1 ②当a≠0时，需要满足b≤1，即b≤a,符合条件的有 解得n=2. (1,-1),(1,1),(2,-1),(2,1),共4种 (2)不放回地随机抽取2个小球的样本空间Q={(0,1), ∴.函数f(x)=ax2-2bx在区间(1，十∞)上单调递增的概率 (0,21),(0,22),(1,0),(1,21),(1,22),(20),(21.1), 5 (2.22),(220),(22.1),(22.2)》,共12个，事件A包含的样 。海技网 是P=2 本点为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(2.0)，共4个.∴.P(A)= 12=3· (0.01十0.03十0.03+0.01)×10=0.2，则x=0.02. 故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为(55×0.011 学业评价（四十一）概率的基本性质 65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01)×10= 1上B2BA4BD5品 6.0.77.0.10 74(分). 由于前两组的频率之和为0.1十0.3=0.4，前三组的频率之 8.解析设小王的成绩在90分以上（含90分）、在80一89分、在 和为0.1+0.3+0.3=0.7，故中位数在第3组中. 60分以下（不含60分）分别为事件A,B,C,且A,B,C两两 互斥. 设中位数为t分，则有(1-70)×0.03=0.1，得1=220，即所 (1)设小王的成绩在80分以上（含80分）为事件D,则D=A +B, 求的中位数为22分. 3 所以P(D)=P(A十B)=P(A)+P(B)=0.18+0.51=0.69. (2)由(1)可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3十 (2)设小王数学考试及格为事件E,由于事件E与事件C为对 0.2十0.1=0.6，用样本估计总体，可以估计高三年级 立事件， 2000名学生中成绩不低于70分的人数为2000×0.6= 所以P(E)=1-P(C)=1-0.07=0.93. 1200. 9.C擦一个鞭子的试验有6种可能结果， (3)由(1)可知，后三纽中的人数分别为15,10,5，由分层随机抽 依题意P(A)=名 样的知识得这三组中所抽取的人数分别为3,2,1， 记成绩在[70,80)的3名学生分别为a,b,c,成绩在[80,90) 所以P(B)=1-PB)=1-号-子周为B表示“出现5点或 的2名学生分别为d,e,成绩在[90,100]的1名学生为f,则 6点”的事件，因此事件A与B互斥，从而P(A十B)=P(A)十 试验的样本空间为 ={(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a,b,fD,(a,c,d),(a,c,e), (a,c,fD,(a,d,e),(a,d,f),(a,e,f),(b,c,d),(b,c,e), 10.A设摸出红球的概率为P(A),摸出黄球的糊率为P(B), : (b,c,f),(b,d,e)(b,d,f),(b,e,f),(c,d,e),(c,d,f), 摸出白球的概率为P(C), (ce,f),(d,e,f)},共20个样本，点， : 所以P(A)+P(B)=0.4,P(A)+P(C)=0.9, 其中成绩在[80,100]的学生没人被抽到的样本点为(a,b,c), 且P(A)+P(B)+P(C)=1, 只有1个， 所以P(C)=1-P(A)-P(B)=0.6 故成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率P一1一 P(B)=1-P(A)-P(C)=0.1, 119 所以P(B)十P(C)=0.7. 20-20 11.解析设A={3人中至少有1名女生)，B={3人都为男 学业评价（四十二）事件的相互独立性 生}，则A、B为对立事件， P(B)=1-P=吉 :1.Ac2B3B4.D5.日6.0.267.合号 8.解析记“甲气象台预报天气准确”为事件A,“乙气象台预报 答案1 天气准确”为事件B. 5 12.解析将一颗质地均匀的散子先后抛椰2次，所有等可能的 显然事件A,B相互独立，且P(A)=号， 结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)， (2,2),…,(6,6),共36种情况.设事件A=“出现向上的，点数 P(B)=3 4 之和小于10”，其对立事件A=“出现向上的点敏之和大于或 (1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率 等于10”，A包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)， (6,5),(6,6),共6种情况.所以由古典概型的概率公式，得 PAB)=PA)P(B)=号X是=是 P不-6-名所以PA)-1-名-音. (2)至少有一个气象台预报准确的概率为 答案6 P=1-PAB)=1-P(A)P(B)=1-号×=8 4201 9.C一道数学难题，恰有一人解出，包括： 13.解析(1)因为在区间[5,10)，[10,15)和[20,25)内的手机 的数量之比为5：10：15=1：2：3，所以抽取的6部手机中 ①A解出，B,C解不出，凝单为号×号×是- 44 价格在区同20,25)内的有6×号=3（廊）。 ②B解出AC将不出，展率为宁×号×是-日 (2)这6部手机中价格在区间[5,10)内的有1部记为a,在区 间[10,15)内的有2部，分别记为61，b2,在区间[20,25)内的有 ③C解出，A,B解不出，概单为号×号×号-是 3师，分别记为GG,从中任取2都， 试验的样本空间为 所以格有1人解出的概奉为子+言十立费 n={(a,6),(a,b2),(a,G),(a,cg),(a,c),(b,b), :10.BCD利用相互独立事件、互斥事件的定义以及相互独立事 (b1c1）,(b1c2）,(b1,c3）,(b2tc1),(bgc2）,(b2ca）,(c1c2), 件的概率公式，逐一判断四个选项即可. (c13),(c2,c3)},共15个样本点： 事件A=“第i枚硬币正面朝上”，i=1,2,3. 设“价格在区间[10,15)内的手机至少有1部”为事件A,则 因为A1与A2可以同时发生，所以A1与A2不互斥，故选项A 事件A包含的样本点有(a,b1),(a,b2),(b1,b2),(b,c1, 错误： (6cz),(bc),(6G),(6,c),(b2c),共9个. 因为A1,A2与A,相互独立，所以A1UA2与A1相互独立，故 故PA)=是-是 3 选项B正确： 14.Aa∈{0,1,2}，b∈{-1,1,3,5}， 国为PA,nA)=P(A)P(A)=×号-子，故选项C 共含有12个样本点. 正确； 函数f(x)=ax2一2bx在区间(1，十o∞)上单调递增， 因为P(AUA1)=P(A1)+P(A,)-P(A1)P(A2)= ①当a=0时，f(x)=一2bx,需要满足一2b>0,即b<0,将合 条件的只有(0，一1)，即a=0,b=一1，共1种： ,故选项D正确，故选B,C,D 3 70 11.解析设事件A表示“女农民工参加家政培训”， 13.解析(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193 事件B表示“女农民工参加医院陪护工培训”， 0.165,0.042. 则P(A)=0.6,P(B)=0.75, (2)样本中使用寿命不足1500小时的频数是48+121十 任选1名女农民工，地两项培训都没参加的概率为 208+223=600. P(AB)-PA)P(B)=(1-0.6)×(1-0.75)=0.1, 则地参加过培训的概率是1一P(AB)=1一0.1=0.9. 以样本中使用寿命不足1500小时的频率是600=0.6 答案0.9 即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6. 12.解析比赛结束时A队的得分高于B队的得分包含三种 情况。 14.ABC选项A中，应为出现正面的频率是号；选项B中，提 ①A全胜：②第一局A胜，第二局B胜，第三局A胜：③第一 : 到红球或黑球的概率相同：选项C中，取得的数小于0的概 局B胜，第二局A胜，第三局A胜， 所以比赛结束时，A队的得分高于B队的得分的概率P= 奉大于不小于0的概率：选项D中，男生被选中的概率为宁， (号)广+号×号×号+×号×号-品 而女生被选中的概率为了，故选ABC, 答案 27 15.解析(1)设A表示事件“赔偿金额为3000元”，B表示事件 13.解析记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件A(i= “暗偿金颜为400元”，以频率估计概率得P)-5品 1,2,3,4), 则P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(Ag)=0.5, 0.15,PB)=086=0.12, P(A)=0.2. (1)解法一该选手被淘汰的概率： 由于投保额为2800元，酷偿金额大于授保金颜的情形是酷 P=P(AUA A:UA AA:UA A:AA) 偿3000元和4000元，A与B互斥，所以所求概率为P(A) =P(A)+P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)P(A2)+P(A1)P +P(B)0.15+0.12=0.27. (A2)P(A3)P(A.)=0.4+0.6×0.6+0.6×0.4×0.5+ (2)设C表示事件“投保车辆中新司机获賠4000元”，由已 0.6×0.4×0.5×0.8=0.976. 知，样本车辆中车主是新斯司机的有0.1×1000=100（位）， 解法二P=1-P(A1A2AA,) 而略偿金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2× =1-P(A)P(A2)P(A)·P(A) 120=24(位)， =1-0.6×0.4×0.5×0.2=1-0.024=0.976 所以样本车辆中新司机车主获暗全额为4000元的频率为 (2)解法-P=P(AA2UA1AA,UA AAA) =P(A)P(A)+P(A:)P(A:)P(A,)+P(A:).P(A;) 00=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24. 24 P(A)P(A4)=0.6×0.6+0.6×0.4×0.5+0.6×0.4× 学业评价（四十四）随机模拟 0.5×0.8=0.576. 解法二P=1一P(A,)-P(A1A,A3A,) 1.D2.B3.B4.D5.号60.3677.0 =1-(1-0.6)-0.6×0.4×0.5×0.2=0.576. 8.解析用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或 14.C由题知甲得3分和2分的概率分别为0.1和0,5，若甲通 计算机产生1到7之间（包括1和7）取整数值的随机数.因为 过测试，则有以下可能：点M处进入营垒区，两次点A处授 要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一 掷中，前一次进，投掷结束，则概率为0.1×0.5=0.05；，点M 组.如下，产生20组随机数： 处进入营垒区，两次点A处投擦中，前一次不进，后一次进， 则概率为0.1×0.5×0.5=0.025：点M处未进营垒区，两次 666743671464571561156567732375 点A处投抑中，进入两次，则挪率为0.9×0.5×0.5=0.225， 716116614445117573552274114662 故甲通过测试的概率为0.05+0.025十0.225=0.3. 就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7， 15.解析(1)记“甲成绩优秀”为事件A,“乙成绩优秀”为事件 第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第 B,“丙成绩优秀”为事件C, 三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好 “甲、乙、丙至少有一名成绩为优秀”为事件E, 因为事件A,B,C是相互独立事件， 第三次提到红球的概◆约为易=0,1 所以PE)=1-PABC)-1-号×号×号-8 9.A由5根竹竿一次随机抽取2根竹竿的种数为4十3十2十 1=10,它们的长度恰好相差0.3m的是2.5和2.8及2.6和 (2)在该次竞赛中甲、乙、丙三名同学所得的班级积分之和为 20分的概率为 2.9两种，则它们的长度格好相差0.3m的概率为P=品 P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) 0.2. =号××号+号××号+号×号×- 10.A共有6种发车顺序：①上、中、下；②上、下、中：③中、上 下：④中、，下、上⑤下、中、上：回下、上、中（其中画横线的表 学业评价（四十三）频率的稳定性 1D2B3.B4.C5.号6.不公平7.80% 示求先生所乘的车)，所以他乘坐上等车的概率为君一子 11.解析16表示第一颗毅子向上的点数是1，第二颗骰子向上 8.解析(1)指胸买其商品的顾客中奖的可能性是20%： 的点数是6，则上面点数的和是1十6=7，不表示和是6的 (2)是说该厂生产的产品合格的可能性是98%. 倍数. 9,A落地时100个钢板朝上的面都相同，则这100个铜板两面 答案否 是相同的可能性较大， 10.ABCA错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件 产品来说的.BC混淆了频率与概乘的区别，D正确， 点共有24个，而满足三位数是"凹数”的有214,213,312， 11.解析由频率的定义可知用电量超过指标的频率为 314,324,412,413,423,共8个，所以这个三位数为“凹数”的概 品=0.4，由频率估计概率知第一天用电量超过指标的概率 ,81 30 率为43 约是0.4. 答案0.4 答案司 12.解析易知袋装白糖质量在496.5~500.5g之间的袋数为 13解析设事件A取到一级品 3,故其频率为 3 (1)用计算机的随机函数RANDBE TWEEN(1,10)或计算器 =0.2,即其概率约为0.2. 产生1到10之间的整数随机数，分别用1,2,3,4,5,6,7表示 答案0.2 取到一级品，用8,9,10表示取到二级品. 7。数学·必修第二册（配RJA版） 学业评价（四十二） 事件的相互独立性 8.在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气 [必备知识·基础巩固] 准确的概率分别为和子求： 1.(多选题)若PAB)=)PA)=号，P(B)=号 (1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率： 则事件A与B的关系是 (2)至少有一个气象台预报准确的概率。 A.事件A与B不互斥 B.事件A与B对立 C.事件A与B相互独立 D.事件A与B既互斥又独立 2.甲骑自行车从A地到B地，途中要经过4个十字 路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都 是了，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那 么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第 三个路口才首次遇到红灯的概率是 A B c 1 D.2 3.国庆节放假，甲去北京旅游的概率为了，乙、丙去 北京旅游的概率分别为}，号·假定3人的行动相 互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去 北京旅游的概率为 ( A号 c 1 0.60 4.甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概 率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录 [关键能力·综合提升] 取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为 ( 9.有一道数学难题，学生A解出的概率为2，学生 A.0.12 B.0.42 C.0.46 D.0.88 B解出的概率为了，学生C解出的概率为子，若 5.某自动银行设有两台ATM机.在某一时刻这两 A,B,C三人独立去解答此题，则恰有一人解出的 : 台ATM机被占用的概率分别为}，2，则该客户 概率为 () 此刻到达需要等待的概率为 A.1 B号 c贵 6.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在 10.(多选题)抛掷三枚硬币，设事件A,=“第i枚硬 两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的 币正面朝上”，i=1,2,3.则 () 概率是 A.A,与A2互斥 7.事件A,B,C相互独立，如果P(AB)=, B.A,UA2与Aa相互独立 P(BC)=gPAO)=日则P(B) C.P(AA)- P(AB)= D.P(A,UA.)- 86 11.某地区为女农民工免费提供家政和医院陪护工 [学科素养·探索创新] 培训，每人可选择参加一项、两项培训或不参加 培训，已知参加过家政培训的有60%，参加过医 14.某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为： 院陪护工培训的有75%，假设每个人对培训项 女 目的选择是相互独立的，且每个人的选择相互 之间没有影响.任选1名女农民工，则她参加过 发球区 培训的概率是 营垒区 12.某校组织《最强大脑》PK赛，最终A,B两队进 ①每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶 入决赛，两队各由3名选手组成，每局两队各派 进入营垒区得3分，未进营垒区不得分： 一名选手PK,除第三局胜者得2分外，其余各 ②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰 局胜者均得1分，负者得0分.假设每局比赛 壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分： A队选手获胜的概率均为号，且各局比赛结果相 ③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即 互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得： 终止投掷。 分的概率为 已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别 13.某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能 为0.1和0.5.则甲通过测试的概率为() 正确回答者进人下一轮考核，否则即被淘汰.已 A.0.1 B.0.25 知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的 C.0.3 D.0.35 概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能 15.某校高二八班选出甲、乙、丙三名同学参加级部 否正确回答互不影响。 组织的科学知识竞赛.在该次竞赛中只设成绩优 (1)求该选手被淘汰的概率： 秀和成绩良好两个等次，若某同学成绩优秀，则 (2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最 给予班级10分的班级积分，若成绩良好，则给予 终被淘汰的概率， 班级5分的班级积分.假设甲、乙、丙成绩为优秀 的概率分别为导，号·了，他们的竞赛成绩相互 独立 (1)求在该次竞赛中甲、乙、丙三名同学中至少有 一名成绩为优秀的概率： (2)求在该次竞赛中甲、乙、丙三名同学所得的班 级积分之和为20分的概率. 87