第27章　圆 单元测试卷 2024-2025学年华东师大版九年级数学下册

第27章　圆 时间 90分钟　满分 100分 题号 一 二 三 总分 分数 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意) 1.(2023·广西百色期末)如果☉O的半径为6 cm,圆心O到直线l的距离为d,且d=7 cm,那么☉O和直线l的位置关系是(　　) A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 2.如图,AB是☉O的直径,点C是☉O上一点,连接AC,BC,则∠C的度数是 (　　) A.60° B.90° C.120° D.150° 　　　　 (第2题) (第3题) (第4题) 3.(2023·北京海淀区开学考)如图,△ABC的外心的坐标是(　　) A.(-2,-1) B.(-1,-2) C.(-1,-1) D.无法确定 4.(2022·浙江杭州文晖中学期中)如图,在☉O中,直径AB与弦CD垂直,下列说法错误的是 (　　) A.AB是最长的弦 B.CP=DP C.= D.∠ABD=2∠ADC 5.(2022·山东临沂一模)如图,某市会展中心设置了一个圆形展厅,在其圆形边缘上的点P处安装了一台监视器,它的监控角度是72°,为了观察到展厅的每个位置,最少需在圆形边缘上安装这样的监视器共 (　　) A.5台　 B.4台　 C.3台　 D.2台 6.[课标理念|弘扬传统文化]抖空竹在我国有着悠久的历史,是国家级的非物质文化遗产之一.如示意图,AC,BD分别与☉O相切于点C,D,延长AC,BD交于点P.若∠P=120°,☉O的半径为6,则的长为 (结果保留π)(　　) A.π　　 B.2π　　 C.3π　　 D.4π 　　　 (第6题) (第7题) 7.如图,半径为r的☉O的弦AC=BD,且AC⊥BD于点E,连接AB,AD.若AD=,则半径r为(　　) A. B. C.1 D. 8.(2022·山东临沂期末)如图,两个圆都以点O为圆心,大圆的弦AB和小圆切于点P,若圆环的面积是4π,则弦AB的长等于(　　) A.8 B.4π C.2 D.4 9.等边三角形的内切圆与外接圆的半径之比为(　　) A.1∶2 B.∶3 C.∶2 D.∶1 10.(2022·河北保定一模)如图,在矩形ABCD中,AB=10,AD=8,以CD为直径作☉O.将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形A1B1CD1,使A1B1与☉O相切于点E,CB1与☉O相交于另一点F,则CF的长是 (　　) A.3　 B.4　 C.6　 D.8 二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分) 11.(2023·湖北咸宁部分学校月考)如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠A=80°,则∠C的度数是　　　　　.  　　　　 (第11题) (第12题) (第13题) 12.(2022·福建三明模拟)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,点A,B,C都在格点上,点D在以AB为直径的圆上,则tan∠ADC=　　　　.  13.(2023·江苏盐城期中)如图,四边形ABCD是☉O的外切四边形,且AB=8,CD=12,则四边形ABCD的周长为　　　　.  14.(2022·贵州贵阳模拟)如图,☉O与正六边形OABCDE的边OA,OE分别交于点F,G,M是劣弧FG的中点.若FM=2,则☉O的半径为　　　　.  　　　　 (第14题) (第15题) (第16题) 15.(2023·河南周口期末)如图,在半径为1的扇形CAB中,∠ACB=90°,以BC为直径作半圆,交AB于点D,连接CD,则图中阴影部分的面积是　　　　.  16.(2023·山东德州期末)如图,MN是☉O的直径,点A是半圆上的三等分点,点B是劣弧AN的中点,点P是直径MN上一动点.连接AB,AP,BP.若MN=2,AB=-1,则△PAB的周长的最小值是　　　　.  三、解答题(共6小题,共52分) 17.(6分)[课标理念|关注数学文化]在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用现代语言表述为:如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,AE=1寸,CD=10寸,求直径AB.请你解答这个问题. 18.(8分)[中考创新考法|补充条件]对于命题“若圆的内接四边形的对角线互相垂直,则圆心到该四边形一边的距离等于该边的对边长度的一半”,下面给出了“已知”(不完整)和“求证”,请补充完整,并写出证明过程. 已知:如图,四边形ABCD内接于☉O,且　　　　　　　　　,过点O作OE⊥AD于点E.  求证:BC=2OE. 19.(8分)[中考创新题型|创新作图题]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D. (1)求作☉O,使点O是AB上一点,且☉O经过B,D两点,分别交AB,BC于另一点E,F.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法) (2)求证:☉O与AC相切于点D. 20.(9分)如图,☉O的半径为4 cm,其内接正六边形ABCDEF,点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1 cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,QE,PE,BQ.设运动时间为t s. (1)求证:四边形PBQE为平行四边形; (2)填空: ①当t=　　　　时,四边形PBQE为菱形;  ②当t=　　　　时,四边形PBQE为矩形.  21.(9分)[中考创新题型|探究性试题]某种在同一平面内进行传动的机械装置如图(1)所示,图(2)是它的示意图.其工作原理是:滑块Q在平直滑道l上左右滑动,在Q滑动的过程中,连杆PQ也随之运动,并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动.在摆动过程中,两连杆的接点P在以OP为半径的☉O上运动.数学兴趣小组为进一步研究其中的数学知识,过点O作OH⊥l于点H,并测得OH=4分米,PQ=3分米,OP=2分米. 解决问题 (1)点Q与点O之间的最小距离是　　　　分米,最大距离是　　　　分米.  (2)如图(3),小明说:“当点Q滑动到点H的位置上时,PQ与☉O相切.”你认为他的说法对吗,为什么? (3)当OP绕点O左右摆动时,所扫过的区域为扇形,求扇形的最大面积. 　　　 图(1)　　　　　　　　　图(2) 　　　 图(3)　　　　　　　　　备用图 22.(12分)如图,在▱ABCD中,AB=4,BC=3,对角线AC长为.点O是平面内一点(不与点A重合),以点O为圆心,OA长为半径作☉O. (1)当点O是AB的中点时,如图(1),☉O交BC于另一点P,求BP和的长; (2)当☉O过点B且点O在DC的延长线上时,如图(2),求OA的长; (3)若☉O与BC边所在的直线相切,请直接写出当切点在BC边上时☉O的半径r的取值范围. 　　　图(1)　　　　　　　　　图(2)　　　　　　　备用图 第27章　圆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B A D C B C D A C 11.100° 12. 13.40 14.2 15.- 16.+1 1.A 2.B 3.A 如图，分别作边BC,AC的垂直平分线,相交于点P,则点P是△ABC的外心，由图可知P(-2,-1). 4.D　∵AB是直径,∴AB是最长的弦,故A选项正确.∵AB⊥CD,∴=,CP=DP,∴∠ADC=∠ABD,故B,C选项正确,D选项错误. 5.C　由题意可知,一台监视器所对应的圆心角为72°×2=144°,∵360°÷144°=2.5,∴至少需要3台.故选C. 6.B　如图,连接OC,OD.∵AC,BD分别与☉O相切于点C,D,∴∠OCP=∠ODP=90°.由四边形内角和为360°可得,∠COD=360°-∠OCP-∠ODP-∠CPD=360°-90°-90°-120°=60°,∴的长为=2π. 7.C　∵AC=BD,∴=,∴=,∴∠BAC=∠ABD,∴AE=BE.如图,连接OA,OD,∵ AC⊥BD,AE=BE,∴∠ABE=∠BAE=45°,∴∠AOD=2∠ABE=90°.∵OA=OD=r,∴AD=r.∵AD=,∴r=1. 　　　　 8.D 如图,连接OA,OP.∵大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点,∴OP⊥AB, ∴AP=BP=AB,∠OPA=90°,∴OA2-OP2=AP2.∵圆环的面积为4π,∴π·OA2-π·OP2=π(OA2-OP2)=π·AP2=4π,∴AP=2,∴AB=2AP=4.故选D. 9.A 如图,△ABC是等边三角形,AD是边BC上的高,点O是其外接圆的圆心.由等边三角形的性质可得点O在AD上,并且点O是△ABC内切圆的圆心,OD为其内切圆的半径.∵AD⊥BC,∠1=∠2=30°,∴BO=2OD,∴OD∶OB=1∶2. 10.C　如图,连接OE,作OH⊥B1C于点H,∵A1B1与☉O相切于点E,∴∠OEB1=∠OHB1=90°,∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A1B1CD1,∴∠B1=∠B1CD1=90°,AB=CD=10,BC=B1C=AD=8,∴四边形OEB1H是矩形,OE=OD=OC=5,∴B1H=OE=5,∴CH=B1C-B1H=3,∴CF=2CH=6.故选C. 11.100°　∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠A+∠C=180°. ∵∠A=80°,∴∠C=180°-80°=100°. 12.　连接AC,BC.由题图可知AC=3,BC=2.∵AB是圆的直径,∴∠ACB=90°.∵∠ADC=∠ABC,∴tan∠ADC=tan∠ABC==. 13.40　∵四边形ABCD是☉O的外切四边形,∴AD+BC=AB+CD=20,∴四边形ABCD的周长为AD+BC+AB+CD=40. 14.2　如图,连接OM,∵六边形OABCDE是正六边形,∴∠AOE==120°.∵M是劣弧FG的中点.∴∠AOM=∠EOM=∠AOE=60°.∵OF=OG=OM,∴△OFM和△OMG都是等边三角形,∴OF=MF=2,即☉O的半径为2. 　　 15.-　根据题意,得AC=BC,∠CAB=∠ABC=45°.∵BC是直径,∴CD⊥AB,∴△ADC是等腰直角三角形.在Rt△ABC中,AB==,∴AD=BD=CD=,∴S阴影=S扇形CAB-S△ACD=-××=-. 16.+1　如图,作点A关于MN的对称点A',连接A'B,交MN于点P,连接OA',OA,OB,PA,此时PA+PB的值最小.∵点A与点A'关于MN对称,∴PA=PA'.∵点A是半圆上的三等分点,∴∠A'ON=∠AON=60°.∵点B是劣弧AN的中点,∴∠BON=30°,∴∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90°.又OB=OA'=,∴A'B=2,∴PA+PB=PA'+PB=A'B=2.∵AB=-1,∴△PAB的周长的最小值是2+-1=+1. 17.【解题思路】连接OC,由CD⊥AB,可求得DE的长,利用勾股定理列方程求出半径,从而求出直径AB. 【参考答案】连接OC(图略). ∵CD⊥AB,AB为☉O的直径,CD=10寸,E为CD的中点, ∴CE=DE=CD=5寸. (3分) 设OC=OA=x寸,得AB=2OA=2x寸,则OE=(x-1)寸. 由勾股定理,得OE2+CE2=OC2,即(x-1)2+52=x2, 解得x=13, ∴AB=26寸, (5分) 故直径AB为26寸. (6分) 18.【参考答案】AC⊥BD (2分) 证明:如图,连接AO并延长,交☉O于点F,连接DF. 连接AO并延长交☉O于点F,连接DF,则AF是直径. ∵AF为☉O的直径, ∴∠ADF=90°. ∵OE⊥AD, ∴AE=DE. 又AO=OF, ∴FD=2OE. (5分) ∵∠ABD=∠F,AC⊥BD, ∴90°-∠ABD=90°-∠F, ∴∠BAC=∠FAD, ∴=, ∴BC=FD, ∴BC=2OE. (8分) 19.【参考答案】(1)所作☉O如图(1). (3分) 　　　　 图(1) 图(2) (2)证明:连接OD,如图(2). ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD. ∵OB=OD, ∴∠ABD=∠ODB, ∴∠CBD=∠ODB, ∴OD∥BC, ∴∠ODA=∠C=90°, ∴OD⊥AC. 又OD是☉O的半径, ∴☉O与AC相切于点D. (8分) 20.【参考答案】(1)证明:∵正六边形ABCDEF内接于☉O, ∴AB=BC=CD=DE=EF=FA, ∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F. 由☉O的半径为4 cm, 易得正六边形ABCDEF的边长为4 cm. ∵点P,Q分别从A,D两点同时出发,以1 cm/s的速度分别沿AF,DC向终点F,C运动, ∴AP=DQ=t cm,PF=QC=(4-t)cm. (2分) 在△ABP和△DEQ中, ∴△ABP≌△DEQ, ∴BP=EQ,同理可证PE=QB, ∴四边形PBQE是平行四边形. (4分) (2)① 2 (6分) ② 0或4 (9分) 21.【参考答案】(1)4　5 (2分) (2)不对. (3分) 理由:∵42≠32+22,即OQ2≠PQ2+OP2, ∴OP与PQ不垂直, ∴PQ与☉O不相切. (6分) (3)∵PQ的长度固定,为3分米, ∴只有PQ⊥l时,点P到OH的距离最大,此时∠HOP最大. 设点P在左侧的最远位置为P1,在右侧的最远位置为P2,如图. 过点P2作P2M⊥OH于点M, 则HM=P2Q=3, ∴OM=4-3=1. 在Rt△OP2M中,OP2=2,OM=1, ∴∠MOP2=60°, ∴∠P1OP2=120°, ∴==. 故扇形的最大面积是分米2. (9分) 22.【参考答案】(1)如图(1),连接OP,AP. 由题意可知AB是☉O的直径, ∴∠APB=90°. 设BP=x,则CP=3-x. 在Rt△ABP中,根据勾股定理得AP2=AB2-BP2. 在Rt△ACP中,根据勾股定理得AP2=AC2-CP2. ∴AB2-BP2=AC2-CP2, 即42-x2=()2-(3-x)2, 解得x=2,即BP=2, (2分) ∴cos B===, ∴∠B=30°, ∴∠AOP=2∠B=60°, ∴的长为=. (5分) 　 图(1) 图(2) (2)如图(2),过点O作OM⊥AB于点M,过点C作CN⊥BA交BA的延长线于点N, 则AM=BM=2. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD, ∴OM=CN. 由(1)知,在Rt△BNC中,BC=3,∠B=30°, ∴CN=BC=, ∴OM=, ∴OA===. (10分) (3)1≤r≤4. (12分) 解法提示:如图(3),过点A作AH⊥BC于点H, 易知当点O是AH的中点时,r最小. ∵AB=4,∠B=30°, ∴AH=AB=2, ∴OA=AH=1, ∴r的最小值为1. 　 图(3) 图(4) 易知当☉O与BC边的切点为点B时,r最大. 如图(4),连接OB,则∠OBC=90°, ∴∠OBA=90°-30°=60°. 又OA=OB, ∴△OAB是等边三角形, ∴OA=AB=4, ∴r的最大值为4. 故1≤r≤4. 学科网（北京）股份有限公司 $$