第26章　二次函数 单元测试卷 2024-2025学年华东师大版九年级数学下册

第26章　二次函数 时间 90分钟　满分 100分 题号 一 二 三 总分 分数 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意) 1.(2023·江苏南通金郊中学月考)把二次函数的解析式y=x2-2x-1配方成顶点式为 (　　) A.y=(x-1)2 B.y=(x+1)2-2 C.y=(x+1)2+1 D.y=(x-1)2-2 2.(2023·北京西城区期中)若(3,7),(5,7)是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点的坐标,则抛物线的对称轴是直线(　　) A.x=1 B.x=2 C.x=3 D.x=4 3.(2023·浙江义乌期中)已知抛物线y=x2-2x-1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2-2m+2 023的值为 (　　) A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 025 4.(2022·河北廊坊霸州期末)下列具有二次函数关系的是(　　) A.正方形的周长C与边长x B.速度不变时,路程s与时间t C.正方形的面积S与边长x D.三角形的高一定时,面积S与底边长x 5.(2023·沈阳沈河区七中期中)关于二次函数y=2x2+1,下列说法正确的是 (　　) A.它的图象的开口方向向下 B.它的对称轴是直线x=1 C.当x<0时,y随x的增大而增大 D.当x=0时,y有最小值,是1 6.(2022·安徽合肥行知学校期中)一枚炮弹发射后第x秒的高度为y米,且y与x之间的关系为y=ax2+bx+c(a≠0).若此炮弹发射后在第5秒与第7秒时的高度相等,则在下列时刻中炮弹所在高度最高的是 (　　) A.第5.1秒 B.第5.8秒 C.第5.9秒 D.第6.9秒 7.(2023·山东泰安期末)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象为 (　　) 　 　 　 A B C D 　 　 (第7题)　 (第8题)　 8.(2022·黑龙江大庆龙凤区期中)如图,已知抛物线y1=(x+1)2-3向右平移2个单位长度得到抛物线y2,则阴影部分的面积为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 9.已知抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1<x<4的范围内有实数根,则t的取值范围是 (　　) A.2≤t<11 B.t≥2 C.6<t<11 D.2≤t<6 10.如图,在矩形ABCD中,AB=2,点E在边AD上,∠ABE=45°,BE=DE,连接BD,动点P在线段DE上(不与D,E重合),过点P作PQ∥BD交BE于点Q,连接QD.设PD=x,△PQD的面积为y,则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是 (　　) A B C D 二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分) 11.(2023·天津西青区期中)已知二次函数y=(2m-3)x2有最大值,则m的取值范围是　　　　.  12.(2023·广西贺州期中)如果关于x的函数y=(m+1)x|m|+1+2x-1是二次函数,则m=　　　　.  13.(2022·陕西安康期末)抛物线y=2(x-1)(x+3)与x轴的两个交点之间的距离是　　　　.  14.某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离s(单位:米)关于滑行的时间t(单位:秒)的函数解析式是s=10t-0.25t2,则无人机着陆后滑行　　　　秒才能停下来.  15.(2023·广东中山期中)如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2上,顶点B在x轴负半轴上,∠ABO=90°.将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°得到Rt△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为　　　　　.  　　　 (第15题)　 (第16题) 16.[课标新增|与一元二次方程的关系]如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A,B,C.现有下面四个推断: ①抛物线开口向下; ②当x=-2时,y取最大值; ③当m<4时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m必有两个不相等的实数根; ④直线y=kx+c(k≠0)经过点A,C,当kx+c>ax2+bx+c时,x的取值范围是-4<x<0. 其中推断正确的个数是 　　　　.  三、解答题(共6小题,共52分) 17.(6分)已知二次函数y=x2+2x+c的图象经过点(2,5). (1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标; (2)若将该函数图象向右平移1个单位长度、向上平移2个单位长度后得到新抛物线,判断点(-1,2)是否在新抛物线上. 18.(7分)[课标理念|真实情境]如图,一个运动员推铅球,铅球在点A处出手,出手后的铅球沿一段抛物线运行,运行至点B处高度最高.已知铅球运行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系是y=-(x-4)2+3,按如图所示建立平面直角坐标系.请判断铅球推出的距离能否达到11 m,并说明理由. 19.(8分)小爱同学学习了二次函数后,对函数y=-(|x|-1)2进行了探究.在经过列表、描点、连线等步骤后,得到如下的函数图象.请根据函数图象,回答下列问题: (1)观察探究: ①写出该函数的一条性质:　;  ②方程-(|x|-1)2=-1的解为　;  ③若方程-(|x|-1)2=a有四个实数根,则a的取值范围是　　　　　　.  (2)延伸思考: 将函数y=-(|x|-1)2的图象经过怎样的平移可得到函数y1=-(|x-2|-1)2+3的图象?写出平移过程,并直接写出当2<y1≤3时,自变量x 的取值范围. 20.(9分)小李在某景区销售一种旅游纪念品,已知每件进价为6元,当销售单价定为8元时,每天可销售200件.经市场调查发现,销售单价每提高1元,日销量将会减少10件,而物价部门规定,销售单价不能超过12元.设该纪念品的销售单价为x(元),日销量为y(件),日销售利润为w(元). (1)求y与x之间的函数关系式. (2)要使日销售利润为720元,销售单价应定为多少元? (3)求日销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,计算当x为何值时,日销售利润最大,求出最大利润. 21.(10分)(2023·河南濮阳二模)如图,已知对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,其中A(1,0). (1)①求点C的坐标及抛物线对应的函数表达式; ②请你根据图象分析回答,一元二次方程ax2+bx+3=n有一正根和一负根时,n的取值范围是　　　　　　　　.  (2)当m≤x≤1时,函数的最大值与最小值的差是一个定值,求m的取值范围. 22.(12分)(2023·湖北随州期末)如图,抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),点B的坐标为(1,0),OC=3BO. (1)求抛物线所对应的函数表达式. (2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值. (3)若点E在x轴上,点P在抛物线上.是否存在以点A,C,E,P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 备用图 第26章　二次函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D C C D C B D A C 11.m< 12.1 13.4 14.20 15.(,2) 16.2 1.D　y=x2-2x-1=x2-2x+1-2=(x-1)2-2.故选D. 2.D　∵(3,7),(5,7)是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点的坐标,且纵坐标相等,∴根据抛物线的对称性知抛物线的对称轴是直线x==4.故选D. 3.C　把(m,0)代入y=x2-2x-1,得0=m2-2m-1,∴m2-2m=1,∴m2-2m+2 023=1+2 023=2 024. 4.C　逐项分析如下. 选项 分析 正误 A C=4x,是一次函数 ✕ B s=vt,v不变,是一次函数 ✕ C S=x2,是二次函数 √ D S=hx,h一定,是一次函数 ✕ 5.D　由a=2>0,可知它的图象的开口方向向上,A错;由b=0可知,抛物线对称轴为直线x=0,B错;当x<0时,y的值随x值的增大而减小,C错;当x=0时,y有最小值是1,说法正确.故选D. 6.C　由题意得抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的对称轴为直线x==6.∵5.9最接近6,∴第5.9秒时,炮弹所在高度最高. 7.B　∵二次函数的图象开口向上,∴a>0.∵函数图象的对称轴在y轴右侧,∴x=->0,∴b<0.∵二次函数的图象与y轴的正半轴相交,∴c>0.由a>0,b<0,c>0知y=ax+b的图象经过第一、三、四象限,反比例函数y=的图象位于第一、三象限,只有B选项中的图象符合.故选B. 8.D　(转化思想)如图,设点M为抛物线y1的顶点,点N为抛物线y2的顶点,A,B为y1,y2与x轴的交点,且A,B为对应点,连接MA,NB,则四边形AMNB的面积和阴影部分的面积相等.由题意得AB∥MN,AB=MN=2,∴四边形AMNB是平行四边形.∵抛物线y1=(x+1)2-3,∴顶点M的坐标为(-1,-3),∴点M到x轴的距离为3,∴平行四边形AMNB的面积是2×3=6,∴阴影部分的面积是6. 9.A 由题意可知-=1,解得b=-2,故该抛物线为y=x2-2x+3,抛物线如图所示.一元二次方程x2+bx+3-t=0在-1<x<4的范围内有实数根,即抛物线y=x2+bx+3与直线y=t在-1<x<4的范围内有交点,故t的取值范围为2≤t<11. 10.C　过点Q作QF⊥AD于点F.在Rt△ABE中,∵∠ABE=45°,∴BE=AB=2,∴DE=BE=2.∵PQ∥BD,∴∠EPQ=∠EDB,∠EQP=∠EBD.∵BE=DE,∴∠EDB=∠EBD,∴∠EPQ=∠EQP,∴QE=PE=2-x.在Rt△EQF中,∠FEQ=45°,∴QF=QE=2-x,∴y=x(2-x)=x-x2(0<x<2),该二次函数的最大值为.故选C. 11.m<　∵二次函数y=(2m-3)x2有最大值,∴2m-3<0,即m<. 12.1　由题意得|m|+1=2且m+1≠0，∴m=±1且m≠-1,∴m=1. 13.4　当y=0时,2(x-1)(x+3)=0，解得x1=1,x2=-3,∴抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0)和(1,0),∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离为1-(-3)=4. 14.20　s=10t-0.25t2=-0.25(t2-40t+400-400)=-0.25(t-20)2+100,即当无人机着陆后滑行20秒,才能停下来. 15.(,2)　∵点A(-2,4)在抛物线y=ax2上,∴4=a×(-2)2,解得a=1,∴抛物线的解析式为y=x2.∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°得到Rt△OCD,∴OB=OD=2,CD∥x轴,∴yP=2,∴令y=2,得2=x2,解得x=±.∵点P在第一象限,∴点P的坐标为(,2). 16.2　由题图可得抛物线开口向下,∴①正确;∵点A(-4,2),C(0,3)不关于直线x=-2对称,∴当x=-2时,y不取最大值,∴②错误;∵抛物线开口向下,且经过点(-2,4),∴当m<4时,ax2+bx+c=m必有两个不相等的实数根,∴③正确;∵直线y=kx+c(k≠0)经过点A,C,即抛物线与直线相交于点A,C,且抛物线开口向下,∴当-4<x<0时,抛物线在直线上方,即kx+c<ax2+bx+c,∴④错误.故推断正确的个数是2. 17.【参考答案】(1)∵点(2,5)在二次函数y=x2+2x+c的图象上, ∴4+4+c=5, 解得c=-3, ∴该二次函数的表达式为y=x2+2x-3. ∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4, ∴该二次函数图象的顶点坐标为(-1,-4). (3分) (2)将该函数图象向右平移1个单位长度、向上平移2个单位长度后得到的新抛物线为y=x2-2, 把x=-1代入,得y=-1, ∴点(-1,2)不在新抛物线上. (6分) 18.【参考答案】不能. (1分) 理由如下: (2分) 令y=0,则-(x-4)2+3=0, 即(x-4)2=36, 解得x1=10,x2=-2(舍去). (5分) ∵10<11, (6分) ∴铅球推出的距离不能达到11 m. (7分) 19.【参考答案】(1)①图象关于y轴对称[当x=-1或x=1时,y取最大值,最大值为0;当x<-1或0<x<1时,y随x的增大而增大;当 x>1或-1<x<0时,y随x的增大而减小等.(写出一条即可)] (2分) ②x1=-2, x2=0,x3=2 (5分) ③-1<a<0 (6分) (2)将函数y的图象先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度(或先向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度)得到函数y1的图象. (7分) 当2<y1≤3时,自变量x的取值范围为0<x<4且x≠2.(8分) 20.【参考答案】(1)根据题意,得y=200-10(x-8)=-10x+280(6<x≤12), 故y与x之间的函数关系式为y=-10x+280. (2分) (2)根据题意,得(x-6)(-10x+280)=720, 解得x1=10,x2=24(不合题意,舍去). (4分) 答:要使日销售利润为720元,销售单价应定为10元. (5分) (3)根据题意,得w=(x-6)(-10x+280)=-10(x-17)2+1 210(6<x≤12). ∵-10<0, ∴当x<17时,w随x的增大而增大, ∴当x=12时,w最大,最大利润为960元. 答:当x为12时,日销售利润最大,最大利润为960元. (9分) 21.【参考答案】(1)①∵对称轴为直线x=-1, ∴-=-1. ∵抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于C点, 令x=0,则y=3, ∴C(0,3). ∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A点,A点的坐标为(1,0), ∴a+b+3=0, 则解得 ∴抛物线对应的函数表达式为y=-x2-2x+3. (3分) ②n<3 解法提示:当一元二次方程ax2+bx+3=n有一正根和一负根时, 即抛物线y=-x2-2x+3与直线y=n的交点在y轴两侧,如图, 由图象可知,n的取值范围是n<3. (6分) (2)∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4=-(x+3)(x-1), ∴抛物线的顶点坐标为(-1,4),B点的坐标为(-3,0). 当x=1时,y=0. ∵当m≤x≤1时,函数的最大值与最小值的差是一个定值, 即4-0=4, ∴m的取值范围为-3≤m≤-1. (10分) 22.【解题思路】(1)由点B的坐标易求得点C的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线所对应的函数表达式.(2)根据点A,C的坐标,易求得直线AC的表达式.由于AB,OC都是定值,则△ABC的面积不变,若四边形ABCD的面积最大,则△ADC的面积最大.可过点D作x轴的垂线,交AC于点M,交x轴于点N,易得△ADC的面积是DM与OA积的一半,求出DM的最大值即可求出四边形ABCD面积的最大值.(3)分AE为边,AE为对角线两种情况讨论求解即可. 【参考答案】(1)∵B(1,0), ∴OB=1. ∵OC=3BO, ∴OC=3,即C(0,-3). (1分) ∵抛物线y=ax2+3ax+c经过点B(1,0),C(0,-3), ∴解得 故抛物线所对应的函数表达式为y=x2+x-3. (3分) (2)如图(1),过点D作DN∥y轴,分别交线段AC和x轴于点M,N. 对于y=x2+x-3,令y=0,得x2+x-3=0, 解得x1=-4,x2=1, ∴A(-4,0). 设直线AC所对应的函数表达式为y=kx+b, 则解得 故直线AC所对应的函数表达式为y=-x-3. (5分) S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=×5×3+DM·(AN+ON)=+2DM. 设D(x,x2+x-3),M(x,-x-3), 则DM=-x-3-(x2+x-3)=-(x+2)2+3.(6分) 当x=-2时,DM有最大值3, 此时四边形ABCD的面积最大,最大值为+2×3=. (7分) 　 图(1) 图(2) (3)如图(2).①当AE为边时,四边形ACP1E1为平行四边形. ∵C(0,-3), ∴可设P1(n,-3), ∴n2+n-3=-3, 解得n1=0(舍去),n2=-3, ∴P1(-3,-3). (9分) ②当AE为对角线时,四边形ACE2P2,ACE3P3为平行四边形. ∵C(0,-3), ∴可设P(m,3), ∴m2+m-3=3, 解得m=或m=, 此时P2(,3),P3(,3). 综上所述,点P的坐标为(-3,-3),(,3)或(,3). 学科网（北京）股份有限公司 $$