7.1. 2 复数的几何意义-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册同步学习方案（人教A版2019）

O数学·必修第二册（配RUA版） 7.1.2 复数的几何意义 学业标准 素养目标 1.通过学习复数的几何意义，培养学生直观想 1.通过实例了解复平面的点与复数一一对应的关系.（重点） 象素养 2.通过复平面，把复数与向量建立起紧密的联系， 2.借助于复数的模和共轭复数的计算，培养学 3.通过向量的模表示复数的模.（重点） 生数学运算素养 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 复平面 导学 复数的几何意义 实轴 Z:a+bi(a.bER) 平面直角坐标系内的点与有序实数对之间 虚轴 的关系是一一对应的，即平面直角坐标系 2.复数的几何意义 内的任一点对应着一对有序实数；任一对 有序实数，在平面直角坐标系内都有唯一 复数z=a+ 的点与它对应 bi(a,b∈R 间题1复数x=a十bi(a,b∈R)与有序实数 对应 对应 对(a,b)有怎样的对应关系？ 复平面 句量02 内的点 起点为原 Z(a,b) 一对应 点0) 问题2有序实数对与直角坐标平面内的点 说明：为了方便，常把复数a十bi说成点Z 有怎样的对应关系？ 或说成向量O立，且规定相等的向量表示同 一个复数. 3.复数的模 问题3复数集与平面直角坐标系中的点集 向量OZ的模称为复数x=a十bi(a,b∈R) 之间能一一对应吗？ 的模或绝对值，记作 或 即|z=|a+bi= 如果b=0,那么z=a十bi是一个实数a.它 ◎结论形成 的模等于|a(a的绝对值). 1.复平面 4.共轭复数 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 (1)定义：当两个复数的实部 ,虚部 如图，x轴叫做 y轴叫做 时，这两个复数叫做互为共轭复 实轴上的点都表示实数；除了原点 数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 外，虚轴上的点都表示纯虚数. 共轭虚数 52 第七章复数© (2)表示方法：复数之的共轭复数用之表 2.在复平面内，复数x=i+22对应的点位于 示.即如果之=a十bi(a,b∈R),那么之= () A.第一象限 B.第二象限 >基础自测 C.第三象限 D.第四象限 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 3.在复平面内，复数x=(a2-2a)+(a2-a-2)i (1)原点是实轴和虚轴的交点， () 对应的点在虚轴上，则 (2)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示 A.a=0或a=2 B.a=0 纯虚数 C.a≠1且a≠2 D.a≠1或a≠2 (3)若|之1|=|z2,则之1=2. (4)若之1与z2互为共轭复数，则z|=z2. 4.已知复数之的实部为一1，虚部为2，则|z| ( 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 复数与复平面内的点的关系 规律方法 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间 例1已知复数x=(a2-1)+(2a-1)i,其中 的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序 a∈R.当复数x在复平面内对应的点Z满 实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所 足下列条件时，求a的值（或取值范围）. 表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部 (1)在实轴上： 的取值. (2)在第三象限. [触类旁通] [自主解答] 1.在复平面内，若复数之=(m2一m一2)十 (m2-3m十2)i(m∈R)的对应点在虚轴上 和实轴负半轴上，分别求复数之. 53 O数学·必修第二册（配RUA版） 题型二复数模的几何意义 [母题变式] 1.在例3(2)中，BA对应的复数是x,则z= 例2设x∈C,在复平面内对应点Z,试说明 满足下列条件的点Z的集合是什么图形， 2.在例3(2)中，若点A关于实轴的对称点为 (1)z|=3;(2)1≤z≤2. [自主解答] 点C,则向量OC对应的复数为 规律方法 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面 向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即 为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从 原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应 的向量。 [素养聚焦]借助复数的几何意义，把直观想象与 (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般 数学运算等核心素养体现在解题过程中 以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复 ·规律方法 数、复平面内的点、向量之间的转化 解决复数的模的几何意义的问题， [触类旁通] 应把握两个关键点 3.(1)复数之=3一4i的共轭复数对应的点在 一是|z表示点Z到原点的距离，可依据|x ( 满足的条件判断点Z的集合表示的图形； A.第一象限 B.第二象限 二是利用复数的模的概念，把模的问题转化 为儿何问题来解决。 C.第三象限 D.第四象限 [触类旁通] (2)(多选题)下列说法正确的是（ A.复数和其共轭复数都是成对出现的 2.若复数z满足|z≤√2，则x在复平面所对 应的图形的面积为 B.实数不存在共轭复数 C.互为共轭复数的两个复数在复平面内 题型三复数、共轭复数与复平面内的向 对应的点关于虚轴对称 量的关系 一题多变 D.复数和其共轭复数的模相等 例3(1)向量OZ1对应的复数是5-一4i,向量 课堂小结 OZ对应的复数是-5+4i,则0Z,+OZ,对 应的复数是 ( 知识落实 技法强化 A.-10+8i B.10-8i (1)复数与复平面内的点、 C.0 D.10+8i 复数不能比较大小， 向量之间的对应关系。 (2)设O是原点，向量OA,OB对应的复数 复数的模可以比较 (2)复数的模及几何意义. 分别为2一3i,-一3+2i,那么向量BA对应 大小 (3)共轭复数， 的复数是 ( A.-5+5i B.-5-5i 请完成[课后案】学业评价（十五） C.5+5i D.5-5i 54⑧ =21,-00市+1+2%元. 3 3 6,解析设BC的中点为M,则 OB+OC 2 =O成应，结合已知条件， 而20-0+1+2以=1. 得O市=OM+AA户，即M亦-AA产， 3 3 ∴.P点的轨连一定通过△ABC的重心 所以得到P,D,C三点共线， 答案重 所以P的轨迹一定过△ABC的重心，故选C 7,解析固为Ai=Aò+Oi=O成+O心. 5.解析由正弦定理，得ABIsin B=AClsin C-k, 所以Ai.B元=(Oi+O心)·(O元-Oi)=0, 所以原等式即为A护-之(+A心. 所以Ai⊥BC,同理B方⊥AC,C方⊥AB. 所以P点的轨迹一定通过△ABC的重心， 别，点H为△ABC的垂心. 答案重 答案垂 第七章 复数 7.1复数的概念 [触类旁通] 7.1.1数系的扩充和复数的概念 1.(1)解析对于复数a十i(a,bER),若a=0,b=0,则a十bi为 课前案·自主学习 实数0，若b=0,则a十i=a为实数，故A错误，B正确：若 [教材梳理] a∈R,则a十1≠0，所以(a+1)i是纯虚数，故C正确：显然D 正确 导学1 问题1][提示]没有. 答案BCD 问题2][提示] 有解(x=士)，但不在实数范国内. (2)解析①当：为实教时，m需要满足m-1=0,解得 O结论形成 1m>0. 1.虚数单位 -1 {a+ila,b∈R n=1. 2.实部虚部 ②当：为虚教时，m需要满足{m一1≠0， 3.a=c且b=d 1m>0, 导学2 解得m>0且m≠1. [问题1][提示]b=0. ③当x为纯虚数时，m需要满足 [问题2][提示]RC lgm=0,无解， 基础自测门 m2一1≠0， 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 即不存在m使：为纯虚数 2.A3i-2的虚部为3,3+②i=-3+√②i的实部为-3，故 [例2][解析](1)：x2-y+2.ryi=2i. 选A. 3.解析易知a=1,b=一2，所以a2+b=5. 0解得 y=1 y=-1. 答案5 (2)设方程的实数根为x=m, 4.解析(1)若复数g=一1一m+(2m一3)i为实数， 则3m-受m-1=（10-m-2mi 3 则2m-3=0,所以m= (2)若：为纯虚数，则一1一m=0, 3m-受m-1=0·解得4=11或a=- 5 所以n=一1. 10-m一2m2=0, [触类旁通] 答案1)2 (2)-1 2.解析因为m∈R,31=, 课堂案·互动探究 所以(2m+7)+(m一2)i=(m一8)+(4m+3)i [例1门(1)[解析]对于A,当∈R时，：≥0成立，否则不成 由复数相等的充要条件得 2m+7=m-8, 立，如=i,2=一1<0，所以A为假命题： m2-2=4m+3, 对于B,2i一1=一1十2i,其虚部是2，不是2i,B为假命题： 解得m=5. 答案5 对于C,2i=0+2i,其实部是0，C为真命题. 对于D,因为a+bi是实数，所以共虚部b=0, 7.1.2复数的几何意义 所以D是真命题.故选CD. 课前案·自主学习 [答案]CD 教材梳理 (2)[解析]①当m十3≠0， 导学 1m2-2m一15≠0， [问题1门 [提示] 一一对应 即m≠5且≠一3时，：是虚数. 「问题2]「提示 一一对应 1m2-m-6=0, 「问题3][提示] 由问题1、问题2可知能一一对应. ②当 ○结论形成 m+3 m2一2m一15≠0， 1.复平面实轴虚轴 即m=3或m=一2时，g是纯虚数. 3.la+i√/a+bi [母题变式] 4.(1)相等互为相反数(2)a一例 上解折当十015=0。 基础自测] 1.(1)/(2)×(3)×(4)/ 即m=5时，g是实数. 2.B=1十2=一2十i,.实部小于0，虚部大于0，故复数x对应 2.解析因为>0，所以：为实数，需满足 的点位于第二象很. m-m6>0,解得m=5, 3.A:复数z=(a2-2a)十(a2-a-2)i对应的点在虚轴上，∴.a- m十3 2a=0,∴.a=0或a=2 m一2m一15=0， 4.解析1=√(-1)+2=5. 3.解析，g是虚数， 答案⑤ .l0g1(3-m)≠0，且1十m>0, 课堂案·互动探究 13-m>0. 例1][解析](1)若：对应的点在实轴上，则有 即3-m≠1..-1<m<2或2<m<3. 1+m>0, 2a-1=0,解得a=2 .m的取值范国为（一1,2）U(2,3). (2)若g对应的点在第三象张，则有 g10解得-1<a<空 导学2 2a-1<0. [问题1门[提示]OZ-(a,),0OZ。-(c, 故a的取位范周是(-1，号)》 OZ+OZ;=(a+c.b+d). 「触类旁通] OZ-OZ-(a-cb-d). 1.解析若复数：的对应点在虚轴上，则m一m一2=0， [问题2][提示]向量OZ+OZ对应的复数是a十c十(b+dDi,也 所以m=一1或m=2.所以x=6i或=0. 就是十，向量O乙-OZ对应的复数是a一c十(b-d0i,也就是 若复数之的对应点在实轴负半轴上， 22. ©结论形成 1.0zZ2 所以m=1,所以之=一2 2.W-)+(-y) [例2][解析](1)|：=3说明向量O2的长度等于3，即复数：在 基础自测] 复平面内对应的点Z到原点的距离为3，这样的点Z的集合是以 1.(1)/(2)×(3)/(4)X 原点O为圆心，3为半径的圆. 2.ABC=AC-Ai=(-2-3i)-(-1+2i) (2)不等式1≤：≤2可以转化为不等式组 x12, =一1-5. 1>≥L. 3.解析由题意得x十y十(x一yi=2, 不等式|：|≤2的解集是圆l:=2及该圈 内部所有点的集合 释 不等式≥1的解集是圈=1及该圈 答案1 外部所有点的集合， 4.解析设=d十i(a,b∈R),则a十i十3i=a十(b十3)i是纯虚数， 这两个集合的交集，就是满足条件1≤ .a=0.b+3≠0.又=3， ≤2的点的集合.如图中的阴影部分，所求 ∴.0=3，.*=3i 点的集合是以O为圈心，以1和2为半径 答案3i 的两国所夹的圈环，并且包括间环的边界」 课堂案·互动探究 触类旁通] 例1][解析](1)（一2+3i)十(5-） 2.解析满足2的点Z的集合是以原点O为圆心，以2为半 =(-2+5)+(3-1)i=3+2i. 径的圆及其内部所有的点构成的集合∴所求图形的面积为S= (2)(-1+W2i)+(1+V2i)=(-1+1)+(W2+√2)i=22i 2元.故填2元 (3)(a+i)-(2a-3)-3i=(a-2a)+(b+3b-3)i=-a+ 答案2π (4h-3)i [例3][解析](1)由复数的几何意义， 触类旁通 可得0Z=(5,-4).0Z。=(-54), 1.解析(1)原式=(3-10+2)+(-2+5+17)月 所以0Z+0Z,=(5,-4)+(-5,4)=(0,0), =一5+20元 所以OZ+O乙对应的复数为0. (2)原式=(1一2+3-4+·+2019-2020+2021)+(-2+3 (2)由复数的几何意义， 4+5-…-2020+2021-2022)i=1011-10121. 得0A=(2,-3),OB=(-3,2). [例2][解析](1)图为A0=一OA.所以A0表示的复数 Bi=0A-Oi=(2,-3)-(-3,2)=(5,-5). 为-3-2i 所以BA对应的复数是5-5i (2)因为CA=OA-元.所以对角线CA表示的复数为(3+2i) (-2+4i)=5-2i [答案](1)C(2)D 「母题变式] (3)因为对角线市=O+元，所以对角线O表示的复数为 (3+2i)+(-2+4i)=1+6i 1.解析由例3(2)的解析可知BA对应的复数是5一5i,即=5一5i, [母题变式] 所以=5+5i 答案5+5i 解析因为A店=Aò+O店.由例2的解析可知，Aò表示的复数为 2.解析复数2一3i表示的，点A(2,一3)关于实轴对称的，点为 一3一2i,O亦表示的复数为1十6i,所以向量AB表示的复数为 C(2.3),.向量0C对应的复数为2+3 (-3-2)+(1+6i)=-2+4i. 触类旁通] 答案2十31 「触类旁通] 2.A由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数 3.解析(1)=3一4i的共轭复数为三=3十4i,可知其对应的点在第 之的对应，点P到△ABC的顶点A,B,C距离相等，P为△ABC 的外心. 一象限 (2)由共轭复数的相关知识可知，AD正确」 [例3][解析]解法一设=a十i,=c十di(a,b,cd∈R),由 答案(1)A(2)AD 题设知a+6=1c2+cf=1,(a十c)+(6+d02=2. 7.2复数的四则运算 又，(a+c)+(h+d)2=a°+2ae+2++2d+d, ∴.2uc+2bl=0. 7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 |-=(a-c)2+(6-dD 课前案·自主学习 =a2+c2+b+d-(2ac+2bd)=2, 「教材梳理 .1-=√2. 导学1 [问题1][提示]两个复数相加减就是把实部与实部、虚部与虚 解法二作出名1,4对应的向量O,OZ, 部分别相加减，即(a十bi)士(c十di)=(a士c)+(b士d)i 使0Z,+0Z,=02. [问题2][提示]满足. :11=|=1,又OZ,OZ不共线（若OZ,O共线，则 [问题3][提示]1十=(a十)+(c+di)=(a+十c)+(b+d0i, z十=2或0与题设矛盾)， 十=(c+di)+(a+)=(c十a)+(d+b)i, .平行四边形(O)2,ZZ,为菱形」 1十g-十01 又|：1+2=2， 心结论形成 .∠Z0Z.=90° 1.(a+c)+(b+d0i(a-c)+(b-d)i 即四边形OZZZ为正方形， 2.(1)十x=十名1(2)十(g十) 故|-1一2=√2. 15