6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册同步学习方案（人教A版2019）

第六章平面向量及其应用。 [母题变式] 若将例3条件“|AP|=2|PB|”改为 “AP=3PB”,其他条件不变，求点P的 坐标. [素养聚焦]通过共线向量定理的综合应用，把数 学运算和逻辑推理等核心素养体现在解题过程中， 规健团器 在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公 课堂小结 式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解，同 知识落实 技法强化 时应注意分类讨论· (1)平面向量数乘运算的坐标表示 [触类旁通] 及简单应用。 两个向量共线 3.如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为 (2)两个向量共线的坐标表示. 的坐标表示的 A(x1y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D是边 (3)有向线段的定比分点坐标公式易记错. AB的中点，G是CD上的-点，且品-2。 公式 求点G的坐标. 请完成[课后案]学业评价（八） 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 学业标准 素养目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算， 1.通过平面向量数量积的坐标运算，培养数学 2.会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问 运算等核心素养。 题.（重点、难点） 2.通过数量积的坐标运算求模、夹角等问题 3.分清向量平行与垂直的坐标表示。 提升逻辑推理、数学抽象等核心素养。 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 问题2a,|b分别用坐标怎样表示？ 导学 平面向量数量积的坐标表示 已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2y2). 问题3能用a,b的坐标表示a·b吗？ 问题1若i,j是两个互相垂直且分别与 x轴、y轴的正半轴同向的向量，则a,b如 问题4垂直的条件和向量夹角能用坐标表 何用i,j表示？ 示吗？ 27 ●数学·必修第二册（配RJA版） ⊙结论形成 》基储自测 1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 设两个非零向量a=(x1,y1),b= （1)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量 (x2y2). 积是向量，其坐标为(x1x2yy2).() 两向量的 两个向量的数量积等于 (2)若a·b=0,则a=0或b=0.( 数量积 即a·b= 两向量 (3)向量的模等于向量坐标的平方和. a⊥b台 垂直 2.两个重要公式 (4)|AB|的计算公式与A,B两点间的距 离公式是一致的」 向量的模公式：若a=(x,y),则a2=x2+y 2.已知向量a=(1,0),b=(一2,2)，则a与b 或|a= 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的 的夹角为 ( 坐标分别为(x1y1),(x2,y2),那么|a= A B哥 c D. 个重要公式 3.已知a=(1,W3),b=(-2,0),则|a十b|= 向量的夹角公式：设两非零向量a=(x1,y1), b=(.x2,y2),a与b的夹角为0，则cos0 4.a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),则 a·b (a+b)·c= ;a·b= 关键能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 数量积的坐标运算 [触类旁通] 1.(1)设向量a=(1,一2)，向量b=(-3,4), 例1(1)已知a=(-4,3),b=(1,2),则a2 向量c=(3,2),则向量(a+2b)·c= (a-b)·b= ( A.8 B.3+5 A.(-15,12) B.0 C.28 D.32 C.-3 D.-11 (2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形 ABCD是平行四边形，AB=(1,-2),AD= (2)已知a=(2,一1)，b=(3,2),若存在向 (2,1),则AD·AC ( 量c,满足a·c=2,b·c=5,则向量 A.5 B.4 c= C.3 D.2 题型二向量模的坐标表示 一题多解 规律团法 例2(1)已知向量a=(2,m),b=(3,6),若 数量积坐标运算的两条途径 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运 3a+b=|3a一bl,则实数m的值为 算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先 将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算：二是先 A.1 B.-1 利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算. C.4 D.-4 28 第六章平面向量及其应用。 (2)已知向量a=(2,4),b=(1,n),若 规健方园 a∥b,则|3a-b|等于 ( 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的 A.45 B.12 C.8 D.5 数量积ab以及1alb1,弄由ms0-日治泉出 规健团法 cos0,也可由坐标表示cos0= x十M业一直接 √十十喝 求向量的模的两种基本策略 求出cos日.由三角函数值cos0求角0时，应注意角 (1)字母表示下的运算 0的取值范围是0≤≤π. 利用|a2=a,将向量的模的运算转化为向量与向 2)由于0区，利用m0=日治来判断角0时 量的数量积的问题. 要注意cos0<0有两种情况：一是0是钝角，二是 (2)坐标表示下的运算 0=π.cos0>0也有两种情况：一是0为锐角，二是 若a=(x,y),则a·a=a=|a2=x2+y,于是 0=0. [触类旁通 有a=+y: 3.(1)(2024·新课标I卷)已知向量a= [触类旁通] (0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= 2.(1)若a=(-4,3),b=(1,2),则2a12 3a·b= A.-2 B.-1 (2)已知点A(1,一2)，若向量AB与a= C.1 D.2 (2)若平面向量a=(1,x),b=(2x十3，一x), (2,3)同向，1AB|=2√/13，则点B的坐 且a⊥b,则a-b= 标是 课堂小结 题型三向量的夹角与垂直问题 一题多解 知识落实 技法强化 例3(1)(2022·新高考全国卷Ⅱ)已知向量 (1)平面向量数量积的坐标表示. (2)若a=(xy),则a=√x十y a=(3,4),b=(1,0),c=a十b,若(a,c〉 (3)若a=(x1y1),b=(x2,y2),则 (b,c〉，则t ( a⊥b台x十yy2=0(a,b为非零两向量夹角 A.-6 B.-5 向量) 的余弦公式 C.5 D.6 (4)若a=(xy),b=(x2,y),则易记错. a·b (2)已知向量a=(1,1),b=(2,-3),若 c0s0= 1x2十y2 ab √十y·√十y a一2b与a垂直，则实数入= (0为非零向量a,b的夹角). [素养聚焦]通过向量的夹角与垂直等问题，把数 请完成「课后案1学业评价（九）人 学运算和逻辑推理等核心素养体现在解题过程中， 阶段测评（一） 29[触类旁通] (2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3) 1.解析由图形可知，OA=6i+2j.O店=2i+4,A市=-4i+ =(-7,-1). 2j,它们的坐标表示为OA=(6,2),O店=(2,4)，AB 3)2a- 6=-1.2)8.1D 3 (-4,2) [例2][解析]由已知得a=(5,-5),b-(-6,-3),c=(1,8). -()-(号)（号）月 (1)a十b-c=(5.-5)+(-6,-3)-(1.8) [例2](1)[答案]A =(-2,-16). (2)[解析]AB=(0,4)-(2,1)=(-2,3). (2)设O为坐标原点 CD=(5,-3)-(1,3)=(4,-6): .CM-OM-OC-c. (-2)×(-6)-3×4=0Ai,CD共线. OM=e+(0C=(1,8)+(-3,-4)=(-2,4), 又：C市=一2AB,.AB.CD方向相反. .M(-2,4). 综上，AB与CD共线且方向相反. 又CN=ON-Oc=b. [触类旁通] .O八=b+元-(-6，-3)+(-3，-4)=(-9，-7)， 2.CaLb=x2+x+2x=0曰x=0或x=-3,所以x=-3是 .N(-9,-7), a⊥b的充分条件，x=0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正 .MN=0N-0M=(-9,-7)-(-2,4)=(-7,-11). 确.a∥b=2.x+2=x2台x2-2r-2=0=x=1±3，故B,D [触类旁通] 错误. 2.解析：AB=(-2.10).BC=(-8,4). [例3][解析]设P点坐标为(x,y),AP1=2Pi」 AC=(-10,14), 当P在线段AB上时，A下=2Pi, .(x-3,y十4)=2(-1-，2-y), ∴.AB+BC-(-2,10)+(-8,4)=(-10,14), BC-AC=(-8,4)-(-10,14)=(2,-10). r-3=-22r~解得r=3· y+4=4-2y, [例3][解析]设点D(m,n),则由题意得(4,3)=(m,n-2), y=0, 解得岸点D4,,故速C P点空标为（合0） [答案]C 当P在线段AB延长线上时，A币=-2PB. [触类旁通] .(x-3y+4)=-2(-1-x,2-y), 3解析设C的坐标为(xy),则由已知得O元-A店，所以(x,y) 二32+2.解得。5， 1y+4=-4+2y, y=8, =(-1,2). ∴.P点坐标为（一5,8）. 答案（一1,2） 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 熔上所运，点P的坐标为（号0）或(-5,8. 课前案·自主学习 [母题变式] [教材梳理] 解析因为AP=3P克. 导学1 所以(r-3,y+4)=3(-1-x.2-y), [问题1][提示]3a=3(.xi+yj)=31i+3yj r=0, 2a-b=(2x1一)i+(2y-y)j. 所以任二3-33解得 1y+4=6-3y, 1 [问题2][提示](3.x1,3y),(21一x12y1一y). y=2 ⊙结论形成 所以点P的坐标为(0,2)】 (1)(入1，Ay1) 导学2 [触类旁通] 3.解析：D是AB的中点， [问题1][提示]①②中b-2a:③中b=-2a:④中b=一a. [问题2][提示]共线. “点D的坐标为(5古，”产) O结论形成 (2)x1y-y=0 品-2武-2市.设G点分别为 [基础自测] 利用向量的坐标运算公式可得 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 2.D3.B 西+2×石十 2 r 十十五， 4.解析根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为（一1,3）. 1+2 3 答案（一1.3） 课堂案·互动探究 为+2×当+当 2 =出十4+业， 1+2 3 [例1](1)[解析] A店=20-0i 即点G的坐标为（十十飞，当+当+出）： z[(-5--8.-2 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 =(-8.1)=(-4,2)2g=(-4号)月 课前案·自主学习 [教材梳理 [答案]A 导学 (2)[解析]A市=(-2,10)，D成=(-8,4).Ad=(-10,140, [问题1门[提示]a=xi计yj,b=xi+j ∴.AB+2BC=(-2,10)+2(-8,4) [问题2][提示]Ia一√(x+y)=√+y: =(-2,10)+(-16,8) b=√i+j)=√+y =(-18,18). [问题3][提示]a·b=(x,i+yj)·(xi+y:j) C-号AC=(-8,)-(-1011 =x1x2+(x1y十xy1i·j+yy =x1x十y3 =(-8,4)-(-5,7) [问题][提示]能. =(-3,-3) ○结论形成 [触类旁通] 1.它们对应坐标的乘积的和1+y1y1x十出y=0 1.解析(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1) 2.T+y√(x1-)+(y一为) T3十y =(-2,4)+(6,3)=(4,7). 十y√十 @ [基础自测] 触类旁通 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 3.解析(1)解析解法一（向量法十坐标法）国为b⊥(b 2.D{a=1,bl=22,a·b=-2, 4a),所以b·(b-4a)=0,即b=4a·b.因为a=(0.1),b= 所以omsa=治-号 a·b (2,x),所以b=4十x,a·b=x,得4十x=4x,所以(x一2) =0,解得r=2,故选D. 又因为〈a,b)∈[0，x], 解法二（坐标法）因为a=(0,1),b=(2,x),所以b一4a 所以a与b的夹角为，故选D, (2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).图为b⊥(b 4a),所以b·(b一4a)=0,所以2×2十x(x一4)=0，所以(x 3.2 2)2=0,解得x=2,故选D. 4.解析a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1), (2)a⊥b,.a·b=0,即2x+3-x=0, .a+b=(4,0),∴.(a+b)·e=4X0+0×1=0. x=一1或x=3 .∴.a·b=2×2+1×(-1)=3. 又，a=(1,x),b=(2x+3,-x）, 答案03 .a-b=(一2x-2,2x). 课堂案·互动探究 当x=-1时，a-b=(0,-2), [例1][解析】(1)a-(a-b)·b=a-a·b+6=25 ,∴.a-b=2: (-4+6)+5=28. 当x=3时，a-b=(一8,6)， (2)由AC=AB+AD=(1,-2)+(2,1)=(3.-1D,得A市，AC .|a-b1=√(-8)+6-10. (2,1)·(3,-1)=5. 答案(1)D(2)10或2 [答案](1)C(2)A 6.4平面向量的应用 [触类旁通] 6.4.1 平面几何中的向量方法 1.解析(1)依题意可知，a十2b=(1,一2)十2(-3,4) =(-5.6)..(a+2b)·c=(-5,6)·(3,2) 6.4.2 向量在物理中的应用举例 -5×3+6×2=-3. 课前案·自主学习 (2)设c=(xy).因为a·c=2,b·c=5, [教材梳理] 9 导学1 所以 2x一y=2:解得 r=7 (1)向量 (2)向量运算(3)翻译 3r+2y=5, 4 基础自测] y= 1.(1)/(2)×(3)×(4)/ 所以=（号号）月 2.D3.C 4.-11 答案1c(2(号，） 课堂案·互动探究 [例1][解析]解法-设BA=a,BC-b,a-1,b-2 [例2][解析](1)解法一已知向量a=(2,m),b=(3,6), 则3a十b=(9,3m+6),3a-b=(3,3m一6). 则a·b=allbleos60°=1.Bd=a十b. 由13a+b|=13a-b1可得√9+(3m+6)T 设B正=ABC=b,则AE-B正-BA=b-a. √/3+(3m-6),解得m=一1. 由AE⊥BD,得A正·Bd-0,即(b-a)·(a十b)=0, 解法二，3a十b=3a一b, 解得A=号，所以BE1BC=号：是=23 ∴.(3a+b)=(3a-b), 解法二以B为坐标原点，BC所在 即9a2+6a·b+b=9a-6a·b+b, 直线为x轴建立平面直角坐标系，设 ∴.12a·b=0,℉a·b=0, B(0,0),C(2,0), .2×3+6m=0.m=-1. (2)因为向量a=(2,4),b=(1.n),且a∥b, 所以2n=1×4,解得n=2, B(O)E 所以3a-b=3(2,4)-2(1,2)=(4,8), 设Em0,则励-（停，） 所以3a-b1=√+8=4V5. [答案](1)B(2)A 花=(m-， [触类旁通] 2.解析(1)原式=2a2一3a·b=2×(16+9)-3×(-4+6)= 由AE⊥BD,得AE.BD=0, 50-6=44. (2)由题意可设AB=a(1>0), 中(m-）×9=0， 所以A市=(2X,3).又1AB=2√13. 解得阳=青 所以(2A)+(3x)=(2√/13)2， 解得1=2(1=-2舍去). 所以BE:EC-言：号=2：3 所以AB=(4,6),又A(1,-2),所以B(5,4) [触类旁通] 答案(1)44(2)(5,4) 1.解析设AD=a,AB=b, [例3][解析](1)由已知有c=(3十t,4),cos(a,c)= 则Bd=a-b,AC=a+b, e,t225 3+t e·1 而1Bd1=|a-b=√a-2a·b+b 解得1=5.故选C. =√1+4-2a·b=√/5-2a·b-=2. (2)解法一0-2b=(λ，1)-2(2，-3) =(a-4,+6). 所以5-2a·b=4,所以ab=号 .(a-2b)⊥a,∴.(a-2b)·a=0, 又|AC12=|a+b1=a+2a·b+b .(A一4)十(A十6)=0， =1十4十2a·b=6, .∴.=-1. 解法二(a-2b)⊥a.∴.(a-2b)·a=0, 所以AC=6,即AC=√6. 即a2=2a·b, [例2][证明]证法-设AD=a,AB=b, .(1+1)=2(1,1)·(2,-3), 则a=b,a·b=0. 即2%=一2，.1=-1. [答案](1)C(2)-1 又D成=Di+A花=-+台