6.2.1 向量的加法运算-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册同步学习方案（人教A版2019）

第六章平面向量及其应用● 6.2 平面向量的运算 6.2.1向量的加法运算 学业标准 素养目标 1.理解并掌握向量的加法的概念，了解向量加法的 1.通过向量的加法运算的三角形法则和平行四边形法 几何意义及其运算律. 则，培养逻辑推理、直观想象等核心素养」 2.掌握向量的加法运算法则，能熟练地进行加法运 2.根据向量的加法的运算和运算律，提升数学运 算.（重点、难点） 算、逻辑推理等核心素养 3.数的加法与向量的加法的联系与区别. 必备知识 课前案·自主学习 素养初成 教材梳理 2.向量求和的法则 已知非零向量a,b,在平面内任取 导学1向量加法的定义及运算法则 点A,作AB=a,BC=b,则向量 问题1利用向量的方法表 0 叫做a与b的和，记作 示，从景点O到景点A的 即a+b=AB+BC 角 位移为OA,从景点A到景 这种求向量和的方 法 法，称为向量加法 点B的位移为AB,那么经过两次位移后 的 法则。 a+b 的合位移是OB(如图所示)，这里向量OA, 对于零向量与任意 AB,OB三者之间有什么关系？ 量求和的法则 向量a,规定有a十0 以同一点O为起 点的两个已知向 问题2如图是中国象棋 平 量a,b为邻边作 的半个棋盘，“马走日” 边 □OACB,则以O 是中国象棋中“马”的走 形 为起点的对角线 就是向量 法，如果“马”从A点分别经过B点和C点 则 a与b的和.把这种作两个向量和的 到D点，那么在图中的向量AB,AC,AD三 方法叫做向量加法的 法则 者之间有什么关系？ (1) 的合成可以看作向量加法的三 角形法则的物理模型， 的合成可以 看作向量加法的平行四边形法则的物理 模型 ©结论形成 (2)1a+b≤a+b,当且仅当a,b中有 1.向量加法的定义 一个是零向量或a,b是方向相同的非零向 求 的运算，叫做向量的加法。 量时 成立. ●数学·必修第二册（配RUA版） 导学2向量加法的运算律 (2)两个向量相加实际上就是两个向量的 问题1数的加法满足交换律和结合律，向 模相加. () 量的加法是否也满足交换律和结合律？ (3)任意两个向量的和向量不可能与这两 个向量共线， (4)1a+b|=a+|b1. 问题2你能验证向量加法也满足结合律吗？ 2.CB+AD+BA= ( A.DB B.CA ©结论形成 C.CD D.DC 交换律 a+b= 3.在四边形ABCD中，若AC-AB+AD,则 结合律 (a+b)+c= 四边形是 ( A.矩形 B.菱形 北基诎自测 C.正方形 D.平行四边形 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 4.在正方形ABCD中，|AB|=1,则|AB十 (1)任意两个向量的和仍然是一个向量. ADI= 关健能力 课堂案·互动探究 素养提升 题型一 已知向量作和向量 一题多解 规健万因 应用三角形法则和平行四边形法则 例1如图，已知向量a,b,c,求作 应注意的问题 和向量a十b十c (1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时 [自主解答 要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对 应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的 终点的向量 (2)平行四边形法测只适用于不共线的向量求和， 作图时要求两个向量的起点重合 (3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法 则更筒单。 [触类旁通 1.如图，已知a,b,c,求作和向量a十b十c. 6 第六章平面向量及其应用。 题型二向量加法运算及运算律的应用 题型三向量加法的实际应用 例2(1)向量(AB+PB)+(BO+BM)+ 例3在某地抗震救灾时，一架飞机先从A地 OP化简后为 ( 按北偏东35°方向飞行800km到达B地 A.BC B.AB 接受伤人员，然后从B地按南偏东55°方 C.AC D.AM 向飞行800km将受伤人员送往C地医 (2)(多选题)设a=(AB+CD)十(BC+ 院，求这架飞机飞行的路程及两次飞行的 DA),b是任一非零向量，则在下列结论 位移之和. 中，正确的是 ( [自主解答] A.a∥b B.a+b=a C.a+b=b D.la+bl=la+b 韧律方法 解决向量加法运算时应关注两点 (1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简 或计算。 (2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的 起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注 意勿将0写成0. [触类旁通 2.设A,B,C,D是平面上的任意四点，试 化简： (1)AB+CD+BC: (2)DB+AC+BD+CA: (3)AB+DF+CD+BC+FA. [素养聚焦]利用向量加法的实际应用，把数学建 模等核心素养体现在解题过程中 规健方法 向量加法的实际问题的解题步骤 (1)用向量表示相应问题中既有大小又有方向的量. (2)利用平行四边形法则或三角形法则求向量的和 (3)利用直角三角形知识解决问题 ●数学·必修第二册（配RJA版） [触类旁通] 课堂小细 3.在静水中船的速度为20m/min,水流的速 知识落实 技法强化 度为l0m'min,如果船从岸边出发沿垂直 于水流的航线到达对岸，求船行进的方向. (1)向量加法的三角形 使用向量加法的三角 法则. 形法则时要注意向量 (2)向量加法的平行四边形 首尾相接，使用平行 法则. 四边形法则时要注意 (3)向量三角不等式. 把向量移到共同 (4)向量加法的运算律。 起点. (5)向量加法的实际应用. 请完成[课后案」学业评价（二）》 6.2.2 向量的减法运算 学业标准 素养目标 1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减 1.类比实数减法运算的定义，导出向量减法运算 的意义.（难点） 培养逻辑推理和数学抽象等核心素养。 2.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进 2.通过向量减法运算的三角形法则，提升直观想象 行向量的加减运算.（重点、难点） 和逻辑推理等核心素养。 3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算， 必各知识 课前案·自主学习 素养初成 教制梳理 2.性质 (1)零向量的相反向量仍是 导学1相反向量 (2)对于相反向量有：a+(一a)=(一a)十a= 问题1一个数a的相反数是什么？ (3)若a,b互为相反向量，则a=一b,b=一a, a+b= 问题2一个向量有相反向量吗？ 导学2向量的减法 问题1两个相反数的和为零，那么两个相 ©结论形成 反向量的和也为零吗？ 1.定义：与向量a长度 ,方向 的向量，叫做a的 向 量，记作高中同步学习方案 第六章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念 格数为3√3≈5,2，于是点C位置可以确定，画出向量BC知图 课前案·自主学习 所示， [教材梳理] 「触类旁通] 导学1 2.解析(1)由题意，作出向量AB. (北) [问题1门[提示]分别涉及位移、達度和力。 BC,CD,DA,如图所示. [问题2]「提示]面积、质量等只有大小没有方向，而位移，递 309 (2)依题意知，三角形ABC为正三 度和力既有大小又有方向， 角形，所以AC=2000km,又因为 309 ○结论形成 1.大小方向2.大小方向 ∠ACD=45.CD=1000√2，所以 A(O) 4509 (东) 导学2 △A(CD为等腰直角三角形，即AD L.(1)起点终点ABA店AB 1000√2km.∠CAD=45,所以D (2)起点、方向、长度 地在A地的东南方向，距A地 (南) 2.(1)长度AB1(2)0(3)1个单位 10002km. 导学3 [例3][解析]知图所示，满足与AC平行且长度为2,2的向量有 [问题1门[提示]AP∥Q苏，A∥B武，A市∥QC,1AP1 A亦，Fi.式C主GiH心，i,i共8个 QB1=BC1且它们的方向也相同. D [问题][提示]只要两个向量模相等，方向相同，两个向量 就是相等的，即向量可以平移，最后概括出平行向量即共线 向量， Q结论形成 1.相同或相反 非零(1)a∥b(2)平行 2.相等相同 [母题变式] 3.共线 L.解析与向量AC同向且长度为22的向量占与向量AC平行且长 [基础自测 1.(1)×(2)×(3)×X(4)× 度为2√2的向量中的一半，共4个 2.C 2.解析题图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量 3.AB.DC AO方向相同的向量与其相等，共有8个. 「触类旁通] 4.解析因为正方形的对角线长为2√2 3.解析(1)因为E,F分别是AC,AB的中点， 所以1OA1=2. 答案√② 所以EF∥BC,EF=BC 课堂案·互动探究 又因为D是BC的中点， [例1门[解析]A项，向量不能比较大小，不正确：B项，同向 所以与EF共线的向量有F正，BD,DB.DC,CD,BC,CB 的向量也不能比较大小，不正确：C项，向量的大小即向量的 (2)模与EF的模相等的向量有FE,BD,DB.DC.CD. 模，指的是向量的长度，与方向无关，不正确：D项，向量的模 是一个数量，可以比较大小，正确. (3)与EF相等的向量有DB,CD, [答案]ABC 6.2平面向量的运算 [触类旁通] 6.2.1向量的加法运算 L.ABC单位向量的长度为1，零向量的长度为0，故A正确：零 课前案·自主学习 向量与任一向量平行，B正确：因为向量AB与向量BA是方向 教材梳理 相反、模相等的两个向量，故C正确：向量可用有向线段来表 导学1 示，不能把两者等同起来，D不正确， [问题1][提示] 前两次位移的结果与合位移相同. L例2](1)[答案]12 [问题2][提示] AB-CD.AC=BD.AD=AB+AC. (2)[解析]①由于点A在，点0北编东45°处，所以在坐标纸 ○结论形成 上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等，文因为 1.两个向量和 O月1=4区，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格 2.ACa十bA心三角形0十aaO心平行四边形 数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量 (1)位移力(2)等号 O川如图所示. 导学2 ②由于点B在点A正东方向处，且AB=4,所以在坐标纸上 [问题1] [提示]是， 点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为O,于是点B: [问题2]提示] 如图，a+b+c=(a十b)》十c=a+(b+c). 住置可以确定，画出向量AB如图所示 北 ©结论形成 b十aa十(b十c) .. 「基础自测门 1.(1)/(2)×(3)×(4)X ③由于点C在点B北偏东30°处·且BC1=6,依据勾股定理 2.C3.D 可得：在坐标纸上点C距，点B的横向小方格数为3，纵向小方 4,2 课堂案·互动探究 故飞机飞行的路程是1600km,两次飞行的位移之和的大小 [例1门[解析]解法一可先作a+c,再作 为8002km,方向为北偏东80°， (a十c)十b,即a十b十c.如图，首先在平面内任 a+b+c 触类旁通 取一点O,作向量OA=a,接着作向量AB=c, 0 3.解析作出图形如图： D 则得向量Oi=a十c,然后作向量BC=b,则向 船速'm与岸的方向所成角度 为a,由图示可知'来十v三 节实际 量OC=a十b十c为所求. 解法二三个向量不共线，用平行四边形法则来 V,结合已知条件，可知四边 形ABCD为平行四边形. 做.如图.(1)在平面内任取一点O作0A=a.OB=b: 在Rt△ABC中， DC=AB=v =10 (my min).Ab =ve =20 (m/min), 所以c0sa CD1101 A 1AD2021 所以Q=60°，即船行进的方向与水流方向成120°角」 6.2.2向量的减法运算 (2)作平行四边形AOBC,期OC=a+b: 课前案·自主学习 (3)再作向量O市=c: [教材梳理 (4)作平行四边形CODE, 导学1 则Oi-=O心+e=a十b+c. [问题1门[提示] 即O正即为所求 [问题2][提示] 有，向量a的相反向量是一a. ○结论形成 [触类旁通] 1.相等相反相反一a 1.解析作法：在平面内任取一点O,如图所示， 2.(1)零向量(2)0(3)0 导学2 [问题1门[提示]不是，是零向量. [问题2][提示]①先作出一b:②再按三角形法剥或平行四 边形法则进行 0 ○结论形成 作Oi=a,AB=b.BC=c,则O心=a+b+c 1.相反差 [例2][解析](1)向量Ai+P克)+(B动+B成+O币 3.起点起点终点 「基础自测门 -AB+BO+OP+PB+BM-AM. 1.(1)/(2)×(3)/(4)/ (2)a=(AB+CD)+(BC+DA) 2.DCi=BA-BC=a-b.故选D. -AB+BC+CD+DA=0. 3.BCD,m与n是相反向量， 所以0∥b,A正确：0十b=b,C正确： .m=一n,m=n,m与n方向相反 0+b=10+b,D正确. 故选BCD. [答案](1)D(2)ACD 4.解析由题意，得A方-AD1=Di=2 [触类旁通] 2,解析(1)AB+CD+BC=(AB+BC)+C市 答案√2 课堂案·互动探究 -AC+CD-AD. (2)DB-AC+BD+CA [例1门(1)[解析]AB+AC-AP-AQ=(AB-AP)+(AC -AQ)=PB+QC=QC-BP=0. =(DB+BD)+(AC+CA) [答案]A =0+0=0. (3)AB+D亦+Ci+Bt+Fi (2)[解析]①原式=NP+M不-M币=NP+p式=N -AB+BC+CD+DF+FA NP=0. =AC+CD+D求+FA ②原式=AB-CD-AC+BD =Ai+D求+FA=A下+FA=0. =(AB-AC)+(DC-DB)=CB+BC=0. [例3】[解析]如图所示，设AB,B式分别表示飞机从A地按 [触类旁通] 北偏东35°方向飞行800km到达B地，从B地按南编东55 1.解析(1)解法-OA-O市+A心=D+AD=0. 方向飞行800km到达C地. 解法二Oi-O市+AD=Oi+AD-0币=O市-O币=0. 北 (2)AB+DA+BD-BC-CA -AB+DA+BD+CB+AC =(AB+BD)+(AC+CB)+DA 35 =AD+AB+DA -AD+DA+AB =0+AB=AB】 则飞机飞行的路程是|A店|+|B心，两次飞行的位移的和是 [例2][解析]解法一如图①，在平面内任取一点O,作OA AB+BC=AC. =a,OB=b,(OC=e,连接BC,则CB=b-c,迹点A作AD丝 依题意，有1AB1+|BC|=800+800=1600(km). BC,连接OD,则AD=b-c,所以Od=OA+AD=a+b-c. 因为∠ABC=35°+55°=90°， 解法二如图②，在平面内任取一点O,作O八=a,AB=b,连 所以1AC1=√/AB2+BC=√800+800 接OB,则Oi-a+b,再作O心-c,连接CB,则Ci-a+b-c. 800√2(km). 解法三如图③，在平面内任取一点O,作Oi=a,AB=b,连 由题可知∠BAC=45°，所以方向为北偏东35°十45°=80° 接OB,则Oi=a+b,再作Ci=c,连接OC,则OC=a+b-c,