精品解析：四川省广安中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

高2023级高二下学期第一次月考数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列1，，4，，的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依次分析各项，寻找规律，求出结果. 【详解】数列1，，4，，中， ， ， ， ， ， ……， 故选：. 2. 已知数列为等比数列，若，，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等比数列公比，进而求出. 【详解】设等比数列公比为，，而，，则，解得， 所以. 故选：B 3. 已知数列满足，则数列中的最小项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项可得，计算，结合即可求解. 【详解】由可知为等差数列，且公差为2，首项为， 因此， 由于且， 故中的最小项为， 故选：B 4. 已知数列的项满足，而，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，利用累乘法计算可得. 【详解】因为，所以， 则，，，，，， 累乘可得， 所以，又，所以， 经检验时也成立， 所以. 故选：B 5. 公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（ ） A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式与前项和公式计算． 【详解】由题意记10人每人所得玉米时依次为，则时，，，即是等比数列， 由已知，， （斗）． 故选：A． 6. 数列的第2024项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察数列特点，发现有个，个，个，，个，根据等差数列的前项和得，再根据得第项为. 【详解】观察可知数列构成规律为个，个，个，，个， 因为，而， 所以数列的第项为， 故选：B. 7. 在数列中，，，则等于（ ） A. B. 0 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由得，即是周期为6的周期数列，利用对数的运算即可求解. 【详解】因为，所以，所以，所以是周期为6的周期数列， 所以 ， 又因为， 所以， 所以原式. 故选：B. 8. 分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽的图案．自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等．如图所示，为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方形的对应边所成的角为．若从外往里最大的正方形边长为9，则第5个正方形的边长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设第n个正方形的边长为，根据分形特点可得{}是以9为首项，为公比的等比数列，从而可得第5个正方形的边长. 【详解】设第n个正方形的边长为，则由已知可得 ∴， ∴{}是以9为首项，为公比的等比数列， ∴. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当取得最大值时， C. 数列是递减数列 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】ABD选项，根据、和求和公式得到，，；D选项，根据等差数列的性质判断增减性. 【详解】解析：，故，选项A正确； ，即，故且，选项D错误； 又因为是等差数列，故数列是递减数列，选项C正确； 当取得最大值时，，故B错误． 故选：AC. 10. 已知数列的前项和为，点在函数的图象上，等比数列满足，其前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，将点坐标代入函数中，可得 据此可得数列的通项公式，对于等比数列，设其公比为q，由题意可得 ,，即可得数列的通项公式，由等比数列前n项和公式计算可得的表达式，据此依次分析选项，即可得答案 【详解】根据题意，对于数列，点在函数的图象上， 则有 ，即①﹔ 由①可得∶，②, ①-②可得：,③ 时，, 验证可得∶时，符合③式, 则， 对于等比数列，设其公比为q， 等比数列满足，时，有④， 时，有⑤， 联立④⑤，解可得，则 ， 则有; 据此分析选项： 对于A、,则有，故A错误； 对于B、，，故，故B正确； 对于C、时，不成立，故C错误； 对于D、，，则有，D正确； 故选：BD 11. 将个数排成行列的数阵，如图所示：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中0）.已知，记这个数的和为，下面叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意，根据等差数列与等比数列的通项，表示出所求项，建立方程，可得A、B、C的正误，根据等差数列与等比数列的求和公式，可得D的正误. 【详解】对于A，由题意，，， 由，则，整理可得， 由，解得，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】等差数列与等比数列综合的题目中，一定分清数列的类型，利用正确的数列通项，建立合适的方程，求得所求量，在求和时，常用的方法有分组求和、裂项相消、错位相减、倒序相加，必须熟练掌握. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若正项等比数列满足，当取最小值时，数列的公比是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据等比数列的性质，得到，由基本不等式求出的最小值，由等号成立的条件，即可求出公比. 【详解】设正项等比数列的公比为， 因为，所以由等比数列的性质可得，； 因此， 当且仅当，即，即（负值舍去）时，等号成立. 所以数列的公比是. 故答案为：. 13. 已知数列的通项公式为（），数列满足，将这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，则__________. 【答案】110 【解析】 【分析】依题意求出的通项，通过分别列举找到两者的公共项，发现构成等差数列，利用等差数列的基本量运算即得. 【详解】由题意有， 所以数列， 数列， 可得两数列的公共项依次为，构成公差为12的等差数列， 所以. 故答案为：110. 14. 已知数列中，，且满足，若对于任意，都有成立，则实数的最小值是_________. 【答案】2 【解析】 【分析】 将已知等式化为，根据数列是首项为3公差为1的等差数列，可求得通项公式，将不等式化为恒成立，求出的最大值即可得解. 【详解】因为时，，所以，而， 所以数列是首项为3公差为1的等差数列，故，从而. 又因为恒成立，即恒成立，所以. 由得，得， 所以，所以，即实数的最小值是2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：构造等差数列求出通项公式是本题解题关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列满足. （1）求的通项公式； （2）求数列 的前项和． 【答案】(1) ；(2). 【解析】 分析】 （1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式. （2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和. 【详解】（1）数列满足 时, ∴ ∴ 当时,,上式也成立 ∴ （2） ∴数列的前n项和 【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题. 16. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，可得，可得①， 由可得，整理可得②， 联立①②可得，，所以，. 【小问2详解】 因为，则， 所以，， ， 上式下式得 ， 因此，. 17. 已知数列中，它的前n项和满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知等式构造一个等式,两式相减，得，再变为即可得解； （2）利用分组求和法和等比数列的求和公式可求出结果. 【小问1详解】 由①，得②， 由①－②，得， 得， 又当时，由①得， 所以对任意的，都有， 故是以为首项，为公比的等比数列． 【小问2详解】 由（1）知， 所以，代入①，得， 所以 ． 18. 小楠是一位收藏爱好者，在第1年初购买了价值20万元收藏品，受收藏品市场行情的影响，第2年、第3年的每年初的价值为上年初价值的；从第4年开始，每年初的价值比上年初价值增加4万元. （1）求第几年初开始价值超过原购买的价值； （2）记（）表示收藏品前年初的价值的平均值，求的最小值. 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列以及等比数列的通项即可求解， （2）根据等比求和以及等差求和公式可得，进而可得的表达式，根据单调性即可求解. 【小问1详解】 设第n（）年初M的价值为万元， 依题意，当时，数列是首项为20，公比为的等比数列， 所以. 故，，所以. 当时，数列是以为首项，4为公差的等差数列. 因为，所以. 令，得，又，所以. 因此第7年初的价值超过原购买的价值. 【小问2详解】 设表示前n年初的价值的和，则. 由（1），知当时，，. 当时，由于， 故， . 当时，由①得，，，所以； 当时，由对勾函数性质可知单调递增的，故. 由于，故在第4年初的值最小，最小值为11. 19. 已知数列的前n项和为，且是公差为的等差数列． （1）求证：是等差数列； （2）用表示中的最大值，若，，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式，与的关系求解， （2）由题意得，分段讨论后由错位相减法求解， 【小问1详解】 因为是以为公差的等差数列，其首项为， 所以， 整理得 ① 当时， ② ①②得，即， ，，所以是以1为公差的等差数列． 【小问2详解】 ，又的公差为1，所以，所以， 当时， 令，， 所以， 所以， 所以当时，， 当时，， 当时，， 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2023级高二下学期第一次月考数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列1，，4，，的一个通项公式（ ） A B. C. D. 2. 已知数列为等比数列，若，，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 3. 已知数列满足，则数列中的最小项为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的项满足，而，则（ ） A B. C. D. 5. 公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（ ） A. 斗 B. 斗 C 斗 D. 斗 6. 数列的第2024项为（ ） A B. C. D. 7. 在数列中，，，则等于（ ） A. B. 0 C. D. 4 8. 分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽的图案．自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等．如图所示，为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方形的对应边所成的角为．若从外往里最大的正方形边长为9，则第5个正方形的边长为（ ） A. B. C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当取得最大值时， C. 数列是递减数列 D. 10. 已知数列的前项和为，点在函数的图象上，等比数列满足，其前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 将个数排成行列的数阵，如图所示：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中0）.已知，记这个数的和为，下面叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若正项等比数列满足，当取最小值时，数列的公比是__________. 13. 已知数列的通项公式为（），数列满足，将这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，则__________. 14. 已知数列中，，且满足，若对于任意，都有成立，则实数的最小值是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列满足. （1）求的通项公式； （2）求数列 的前项和． 16. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 17. 已知数列中，它的前n项和满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）求． 18. 小楠是一位收藏爱好者，在第1年初购买了价值20万元的收藏品，受收藏品市场行情的影响，第2年、第3年的每年初的价值为上年初价值的；从第4年开始，每年初的价值比上年初价值增加4万元. （1）求第几年初开始的价值超过原购买的价值； （2）记（）表示收藏品前年初的价值的平均值，求的最小值. 19. 已知数列的前n项和为，且是公差为的等差数列． （1）求证：等差数列； （2）用表示中的最大值，若，，求数列的前n项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$