精品解析：重庆市七校联考2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

2024-2025学年下期高2024级 第一次月考数学试题 （总分：150分 考试时间：120分钟） 命题人 第I卷（选择题共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. ，若，则实数为（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示即可计算得解. 【详解】因为， 所以. 故选：B 2. 复数，则为（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由复数乘法运算法则求得，再根据复数模的定义即可求解． 【详解】因为，所以， 故选：C． 3. 下列函数中，最小正周期为，且在上单调递减的是（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正余弦函数，正切函数的周期性和单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，由，得， 所以函数在上单调递增，故A不符题意； 对于B，函数的周期，故B不符题意； 对于C，由，得， 所以函数在上单调递增，故C不符题意； 对于D，函数的周期， 由，得， 所以函数在上单调递减，故D符合题意. 故选：D. 4. 在中，，则最大角余弦值为（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得，利用正弦定理边角的转化，将正弦值之比转化为边长之比，然后利用余弦定理即可求解. 【详解】在中，， ，. ，即， ，∴角即为的最大角. 由正弦定理可得，不妨设，，，， 再由余弦定理可得. 故选：A. 5. 向量 、满足：，，，则在上的投影向量的模为（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由数量积的运算律可得，然后结合投影向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，即，所以， 所以在上的投影向量的模为. 故选：C 6. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（ ） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设该塔的高度为米，由题意，根据同角的商关系可得，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】设该塔的高度为米， 则． 在中，， 即，由，解得， 即塔高为30米. 故选：A 7. 如图，在三角形中，已知边上的两条中线分别为，且相交于点，则（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量的定理用写出，然后得到和，由向量的夹角公式求得. 【详解】由题意可知， ， ∴， ， ， ∴. 故选：A. 8. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则当时，恰有3个使函数最得大值，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先求出函数的解析式，再结合正弦函数的图像性质，即可求出的取值范围. 【详解】因为，可得圆周的半径， 又旋转一周用时6秒，所以周期，从而， 所以，又点时，在函数图像上， 所以，且，所以 所以， 当时，， 由题意知，函数在恰有3个最大值， 所以，解得，即取值范围是. 故选：D. 二､多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 复数，，的共轭复数为，则下列结论正确的是（   ） A. 若为纯虚数，则 B. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A 利用纯虚数的定义；B利用复平面上的点的定义；CD，求出复数，再利用复数的乘法和除法运算. 【详解】A，若为纯虚数，则且，则，故A错误； B，由题意可知且，则，故B正确； C，若，则，， 则，故C错误； D，若，则，，则，故D正确. 故选：BD 10. 已知函数，，则（  ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数关于对称 C. 函数的值域为 D. 函数在上是减函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二倍角公式可得，即可判断；根据正切函数的对称中心即可判断；利用换元法可得，，根据正弦函数的单调性即可判断；由三角恒等变换可得，根据函数图象变换结合正弦函数的单调性即可判断. 【详解】由已知， 因为，所以函数的最小正周期为，故正确； 因为，正切函数的对称中心为，， 当时，的对称中心为，故正确； 因为，设，所以，， 因为在上单调递增，所以值域为， 所以的值域为，故错误； ， 设，因为，所以， 所以，， 因当时， ， 所以， 又当时，单调递增， 所以在上单调递减， 即在上是减函数，故正确. 故选：. 11. 在中，，，为边上及内部的一动点，设，则下列说法正确的是（  ） A. 若为的重心，则 B. 若为的外心，则 C. 若为的内心，，则 D. 若为的垂心，为锐角三角形，则与共线 【答案】ACD 【解析】 【分析】用向量的线性运算，数量积运算，再结合四心定义，可进行证明和求解． 【详解】 对于A，取的中点为，由重心可得， 由中线向量可得：，所以有， 又因为，所以，则，故A正确； 对于B，取的中点为，取的中点为，分别作中垂线，交于外心， 由 ，故B错误； 对于C，当为的内心，延长交于，根据角平分线定理有： ，利用等比性质有：， 所以有，又由角平分线定理得：， 则， 所以 又因为，所以， 即，故C正确； 对于D，由 ， 所以，又由为垂心得：， 所以，故D正确； 故选：ACD． 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将函数的图象向左或者向右平移个单位，图象关于原点对称，求的最小值_________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移变换的原则得出函数解析式，再根据正弦函数的对称性即可得解. 【详解】函数的图象向左平移个单位， 得， 由题意可得，解得， 因为，所以最小值， 函数的图象向右平移个单位， 得， 由题意可得，解得， 因为，所以的最小值， 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，已知且，则外接圆面积为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】在中，由余弦定理及题中条件可求得的值，进而求出的值，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可求解. 【详解】在中，由及余弦定理可得： ， ∴. ，. 设外接圆半径为，则由正弦定理可知：，即. ∴外接圆面积为. 故答案为：. 14. 正方形的边长为3，是线段上靠近的三等分点，是线段（含端点）上的动点，为线段的中点，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设，以为基底，利用向量的线性运算法则将用表示， 则转化为关于的二次函数，求该二次函数的最小值即为答案. 【详解】如图，，且，即不共线，故其可以作为基底，设， 由题意可得，由向量的线性运算法则可得 ， ， 故， 这是关于的二次函数，对称轴为， 所以当时，即与重合时，取得最小值. 故答案为：. 四、解答题：共5个小题，满分77分.其中15题13分，16，17题分别15分，18，19题分别17分，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求的最小正周期和对称轴； （2）判断函数在的单调性. 【答案】（1）； （2）在单调递增，在单调递减. 【解析】 【分析】（1）利用周期公式，令可计算对称轴； （2）先求的范围，再结合正弦函数图象可得单调区间. 【小问1详解】 最小正周期； 令，得 所以的对称轴： 【小问2详解】 ，则， 令，解得，则在单调递增； 令，解得，则在单调递减； 综上：在单调递增，在单调递减. 16. 已知向量满足，且. （1）求，； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积运算律计算求出模长，再根据夹角公式计算求解； （2）先根据夹角为锐角得出向量与不共线，应用运算律计算求参. 【小问1详解】 因为，所以，即， 又，所以， 因为，所以，所以， ， 所以. 【小问2详解】 ， 由题意知且向量与不共线， 所以，且， 解得，且，即实数的取值范围为. 17. 在锐角中，角A，B，C的对边分别是且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正余弦定理对式子进行化简，求出角； （2）结合角的大小以及三内角和等于180度，将目标式子化简成关于角B的函数，再求出目标的范围. 【详解】解：（1）因为， 所以由正弦定理可得， 由余弦定理可得，即， 所以. 因为，所以； （2）因为，所以，所以， 则． 因为是锐角三角形，所以解得， 所以，所以，则， 即的取值范围是． 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数的图象上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域； （3）若函数在区间上恰好有二个零点，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图象即可求解周期，进而得，根据即可求； （2）根据图象的变换先求，令，最后利用单调性即可求解； （3）令，先求函数的值域，最后利用数形结合即可求解. 【小问1详解】 由题设，所以，则，故， 由，则，即， 又，当时，则，故； 【小问2详解】 由题意，将函数的图象上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数 所以；，则，由在上单调递增，对应值域为； 在上单调递减，对应值域为；所以 所以函数在上的值域： 【小问3详解】 ，则， 由在上单调递增，对应值域为； 在上单调递减，对应值域为； 函数在区间上有且仅有两个零点， 即在上只有两个解，有图可知. 19. 古希腊数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长计算三角形面积的公式：，这个公式常称为海伦公式，其中，．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长计算三角形面积的公式：，这个公式常称为“三斜求积”公式．请你结合阅读材料解答下面的问题： （1）已知的三条边分别为，分别利用海伦公式和“三斜求积”公式求的面积； （2）中，，，的对边分别为，，，已知的面积为，其内切圆半径为，，，求，； （3）在中，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用海伦公式和“三斜求积”公式直接代入计算； （2）由内切圆半径公式，结合海伦公式化简计算； （3）由三角函数公式化简可得，再结合“三斜求积”公式可得最值. 【小问1详解】 依题意，， 所以的面积 是相等的. 【小问2详解】 设内切圆半径为，因为， 代入，，，可得，， 又，由海伦公式， 可得，整理可得， 代入可得，，联立，，又因为， 可得，． 【小问3详解】 ，，， 由正弦定理，可得， 由， 由“三斜求积”公式得，， 当且仅当，即时，面积取最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下期高2024级 第一次月考数学试题 （总分：150分 考试时间：120分钟） 命题人 第I卷（选择题共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. ，若，则实数为（  ） A. B. C. D. 2. 复数，则（  ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，最小正周期为，且在上单调递减的是（  ） A B. C. D. 4. 在中，，则最大角余弦值为（  ） A. B. C. D. 5. 向量 、满足：，，，则在上的投影向量的模为（  ） A. B. C. D. 6. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，在三角形中，已知边上两条中线分别为，且相交于点，则（  ） A. B. C. D. 8. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则当时，恰有3个使函数最得大值，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 复数，，的共轭复数为，则下列结论正确的是（   ） A. 若为纯虚数，则 B. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，，则（  ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数关于对称 C. 函数的值域为 D. 函数在上是减函数 11. 在中，，，为边上及内部的一动点，设，则下列说法正确的是（  ） A. 若为的重心，则 B. 若为的外心，则 C. 若为的内心，，则 D. 若为的垂心，为锐角三角形，则与共线 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将函数的图象向左或者向右平移个单位，图象关于原点对称，求的最小值_________. 13. 在中，内角A，B，C所对边分别为，已知且，则外接圆面积为_________. 14. 正方形的边长为3，是线段上靠近的三等分点，是线段（含端点）上的动点，为线段的中点，则的最小值为_________. 四、解答题：共5个小题，满分77分.其中15题13分，16，17题分别15分，18，19题分别17分，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求的最小正周期和对称轴； （2）判断函数在的单调性. 16. 已知向量满足，且. （1）求，； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17. 在锐角中，角A，B，C的对边分别是且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数的图象上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域； （3）若函数在区间上恰好有二个零点，求实数k的取值范围． 19. 古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长计算三角形面积的公式：，这个公式常称为海伦公式，其中，．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长计算三角形面积的公式：，这个公式常称为“三斜求积”公式．请你结合阅读材料解答下面的问题： （1）已知的三条边分别为，分别利用海伦公式和“三斜求积”公式求的面积； （2）中，，，的对边分别为，，，已知的面积为，其内切圆半径为，，，求，； （3）在中，，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$