精品解析：2025年安徽省宣城市宁国市中考一模数学试卷

25届九年级一模质量监测 数学试题 注意事项： 1．满分150分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）．根据无理数的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A．是整数，属于有理数，故不符合题意； B．是分数，属于有理数，故不符合题意； C．是整数，属于有理数，故不符合题意； D．是无理数，故符合题意． 故选：D． 2. 2024年，安徽全省粮食总产量亿斤，再创历史新高．将数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中＜，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数． 【详解】解：亿． 故选：B． 3. 下面四个几何体中，俯视图是四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了俯视图，从几何体上方看到的平面图形为俯视图，据此进行解答即可． 【详解】A、圆柱的俯视图是矩形，是四边形，符合题意； B、三棱锥的俯视图是三角形，不符合题意； C、五棱柱的俯视图是五边形，不符合题意； D、球的俯视图是圆，不符合题意． 故选A． 4. 下列各式中计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法原则、同底数幂的除法计算、同类项的合并原则逐一分析即可． 【详解】解：A、中,不是同类项，不可以进行合并，故该选项错误； B、中,不是同类项，不可以进行合并，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法原则、同底数幂的除法，同类项合并的原则，牢记知识点是解题的关键． 5. 已知圆锥的底面圆的半径为1，母线长为2，则该圆锥侧面展开图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求圆锥侧面展开图的面积．熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 根据圆锥的侧面积公式，进行计算即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：圆锥侧面展开图的面积为 ． 故选：B 6. 不透明袋子中装有红球1个、绿球2个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到颜色相同的球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用列表法或树状图法列举出所有可能出现的情况，求出两次都摸到颜色相同的球的概率，做出选择即可． 【详解】画树状图如图： 共用9种等可能性结果，两次都摸到颜色相同的球的结果有5个， ∴两次都摸到颜色相同的球的概率是； 故选：C． 【点睛】本题考查了树状图法与列表法求概率．解题关键是注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果． 7. 已知，满足，则下列判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握实数的运算法则． 根据题意，且的正负不能确定，再逐项进行判断即可． 【详解】解：∵ 且的正负不能确定， A．的正负不能确定，故A错误． B．的正负不能确定，故B错误， C．，故选项C正确， D. 的正负不能确定，故D错误， 故选：C． 8. 已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数图象的综合判断，解题的关键是根据图象获得各部分系数的符号． 根据已知一次函数图象得到a，b的符号，据此判断二次函数图象即可． 【详解】解：根据的图象可知：，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴二次函数图象过原点， 综上可知，符合要求的图象为D， 故选：D 9. 如图，在平行四边形中，点将对角线分成两段，且，连接，并延长至点，使得，连接．若，则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．连接，过点作交于点G，连接，证明，则，证明四边形和是平行四边形，可设，则，，得到,即可得到答案． 【详解】解：连接，过点作交于点G，连接， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴是平行四边形， ∴ ∵， ∴可设，则， ∴， ∴, ∴， 故选：A 10. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边与轴交于点．若点的坐标为，，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．过点A作轴于点，过点B作轴于点，则，利用解直角三角形求出，，根据同高三角形面积之比等于底之比即可求出答案． 【详解】解：过点A作轴于点，过点B作轴于点，则， ∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， 解得，即， ∴ ∴与的面积之比为 故选：C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．符合完全平方公式的结构形式，直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式得出，即，然后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∴． 故答案为：1． 13. 如图，在中，是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使得点落在下方的点处，与相交于点．若，，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质和三角形内角和定理．根据折叠的性质得到， ，再由三角形内角和定理求出，即可得到答案． 【详解】解：∵，沿所在的直线折叠，使得点落在下方的点处， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 14. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1）______． （2）若（不与点，重合）是线段上的动点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，轴，轴，垂足分别为，，则四边形面积的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题、矩形的判定和性质、二次函数的最值等知识，准确列出二次函数解析式是关键． （1）求出点和点的坐标，利用勾股定理即可求出答案； （2）设点C的坐标为，证明四边形是矩形，得到，则，得到四边形的面积为，利用二次函数的性质即可求出答案． 【详解】解：（1）当时，，解得， ∴点的坐标为， 联立得到， 解得或， ∴, ∴， 故答案为： （2）设点C的坐标为， ∵过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，轴，轴，垂足分别为，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形的面积 当时，四边形的面积取得最大值， 故答案： 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整指数幂、算术平方根和有理数的乘方的运算法则，解决本题的关键是掌握以上的运算法则．根据负整指数幂、算术平方根和有理数的乘方进行运算，即可求解． 【详解】解： ． 16. 近年来，随着新能源汽车保有量日益增多，某地大力推进公共充电桩的建设，计划今年第一季度新建快充桩与普充桩共计个，第二季度新建这两种充电桩的总量比第一季度增加，其中快充桩增加，普充桩增加，该地计划在第一季度新建快充桩与普充桩各多少个？ 【答案】设该地计划在第一季度新建快充桩个，则新建普充桩个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该地计划在第一季度新建快充桩个，则新建普充桩个，第二季度新建这两种充电桩的总量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设该地计划在第一季度新建快充桩个，则新建普充桩个，第二季度新建这两种充电桩的总量为，根据题意得， 解得： ∴新建普充桩（个） 答：设该地计划在第一季度新建快充桩个，则新建普充桩个 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段． （1）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，画出线段． （2）将线段向上平移2个单位长度，得到线段，画出线段，并连接线段． （3）在线段，上分别找到点，，使得直线垂直平分线段． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了画旋转图形，作平移图形，垂直平分线的性质，勾股定理与网格问题； （1）根据旋转的性质画出点，连接 （2）根据题意线段向上平移2个单位长度，得到线段，并连接线段 （3）根据网格的特点找到的中点，在上找到点，，进而可得直线垂直平分线段 【小问1详解】 解：如图所示，，即为所求 【小问2详解】 解：如图所示，，，即为所求 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求， ∵， ∴直线垂直平分线段 18. 观察下列等式． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解答下列问题． （1）写出第5个等式： ． （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探究，多项式乘以多项式，找到规律是解题的关键； （1）观察前几个式子得出第5个等式：； （2）猜想：第个等式为，根据多项式乘以多项式，进行计算证明，即可求解． 【小问1详解】 解：第5个等式：． 故答案为：． 【小问2详解】 猜想：第个等式为 证明：左边 右边 左边右边 ∴ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，某地规划建设一段东西走向的高速公路，点周围200米范围内为居民区，在上的点处测得点在点的北偏东方向上，从点向东走700米到达点处，测得点在点的北偏西方向上．根据相关规定，高速公路与居民区之间的安全距离不少于30米，那么高速公路在此处修建是否符合规定？请通过计算说明理由．（参考数据：，，） 【答案】高速公路在此处修建不符合规定．理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，过点C作于点，则，设，得到，根据米列方程，求出，比较后即可得到结论． 【详解】解：过点C作于点，则，设， ∵， ∴， ∵米， ∴ 解得， ∵， ∴高速公路在此处修建不符合规定． 20. 如图，在中，，是的平分线，点在上，经过，两点，交于点． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得出，进而，又，即，得到，根据切线的判定方法即可得出结论； （2）设的半径为，则在中，，列方程求解即可． 本题考查切线的判定和性质，勾股定理，掌握切线的判定方法和勾股定理是正确解答的关键． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， 又∵是的平分线，即， ∴， ∴， ∵， 即 ∴ ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：设的半径为，则 在中，， ∴ 解得， 即半径为． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目背景】 研究表明，体重在正常范围内者患各种疾病的危险性小于消瘦，超重或肥胖者．一般地，如果某人的体重为，身高为，我们把的值称为体重指数．下表给出了体重状况对应的体重指数的范围． 体重状况 消瘦 正常 超重 肥胖 体重指数的范围 某校学生开展了体重指数的综合实践活动． 【数据收集与整理】 从男生与女生中各随机选取150人进行体重指数测算统计，并绘制统计图表，部分信息如下． 150名男生体重状况扇形统计图 150名女生体重状况频数分布表 体重状况 频数 消瘦 18 正常 102 超重 肥胖 10 已知女生肥胖体重指数的全部数据如下：，，，，，，，，，． 请根据以上信息，解答下列问题 （1）填空： ， ． （2）女生肥胖体重指数的中位数是 ，众数是 ． （3）该校有750名男生与700名女生，估计该校学生中体重正常的人数． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与频数分布表，中位数与众数，样本估计总体，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据扇形统计图与频数分布表，分别求得的值，即可求解； （2）根据中位数与众数的定义，即可求解； （3）用样本估计总体，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ， 故答案为：，． 小问2详解】 解：已知女生肥胖体重指数的全部数据如下：，，，，，，，，，． 第5和第6个数据分别为，，中位数是：，众数是， 故答案为：，． 小问3详解】 解：， 估计该校学生中体重正常人数为． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在四边形中，对角线与相交于点，平分，过点作的垂线，交于点，且平分． （1）若，求的度数． （2）求证：． （3）如图2，若，，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，利用三角形内角和定理求出，即可求出，进而得到再根据垂线的定义得到，由三角形外角的性质即可求解； （2）连接，根据平分，平分，可得平分，结合三角形内即耦合定理，可得，再根据三角形外角的性质结合直角三角形的性质可证，再根据，可证，推出，结合，即可证明； （3）连接，由（2）知，求出，设，则，，利用等边对等角结合（2）中由（2）知平分，，可得，，，可证，推出，结合，利用正弦的定义即可解答． 【小问1详解】 解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴； 【小问2详解】 证明：连接 ∵平分，平分， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由（2）知， ∵， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， 由（2）知平分，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴． 【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，正弦的定义，熟练掌握三角形内心的性质及定义是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 规定：对于二次函数，我们把它的图象与轴交点的横坐标称为二次函数的零点．已知二次函数有两个零点，． （1）当，时，求，的值． （2）请用含，的代数式表示二次函数的最小值． （3）已知二次函数的图象经过点，且．求证：． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、函数的最值、一元二次方程根与系数关系等知识，熟练掌握二次函数的性质和根与系数关系是关键． （1）根据零点的定义列方程组并解方程组即可； （2）根据根与系数关系得到，求出二次函数的最小值为．代入即可； （3）由题意得到，根与系数关系得到，得到，则，由，得到，且，得到，即可证明结论． 【小问1详解】 解：当，时， ， 解得， 【小问2详解】 ∵二次函数有两个零点，． ∴ 即是的两个根， ∴， ∵二次函数的最小值为． ∴ 即二次函数的最小值为． 【小问3详解】 ∵二次函数的图象经过点， ∴， ∵是的两个根， ∴， ∴， 则， ∵， ∴，且， ∴ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 25届九年级一模质量监测 数学试题 注意事项： 1．满分150分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年，安徽全省粮食总产量亿斤，再创历史新高．将数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下面四个几何体中，俯视图是四边形是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中计算结果为的是（ ） A B. C. D. 5. 已知圆锥的底面圆的半径为1，母线长为2，则该圆锥侧面展开图的面积为（ ） A B. C. D. 6. 不透明袋子中装有红球1个、绿球2个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到颜色相同的球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，满足，则下列判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C D. 9. 如图，在平行四边形中，点将对角线分成两段，且，连接，并延长至点，使得，连接．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边与轴交于点．若点的坐标为，，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 分解因式：______． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 13. 如图，在中，是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使得点落在下方的点处，与相交于点．若，，则的度数为______． 14. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1）______． （2）若（不与点，重合）是线段上的动点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，轴，轴，垂足分别为，，则四边形面积的最大值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 近年来，随着新能源汽车保有量日益增多，某地大力推进公共充电桩的建设，计划今年第一季度新建快充桩与普充桩共计个，第二季度新建这两种充电桩的总量比第一季度增加，其中快充桩增加，普充桩增加，该地计划在第一季度新建快充桩与普充桩各多少个？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由小正方形组成网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段． （1）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，画出线段． （2）将线段向上平移2个单位长度，得到线段，画出线段，并连接线段． （3）在线段，上分别找到点，，使得直线垂直平分线段． 18. 观察下列等式． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解答下列问题． （1）写出第5个等式： ． （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，某地规划建设一段东西走向的高速公路，点周围200米范围内为居民区，在上的点处测得点在点的北偏东方向上，从点向东走700米到达点处，测得点在点的北偏西方向上．根据相关规定，高速公路与居民区之间的安全距离不少于30米，那么高速公路在此处修建是否符合规定？请通过计算说明理由．（参考数据：，，） 20. 如图，在中，，是的平分线，点在上，经过，两点，交于点． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目背景】 研究表明，体重在正常范围内者患各种疾病的危险性小于消瘦，超重或肥胖者．一般地，如果某人的体重为，身高为，我们把的值称为体重指数．下表给出了体重状况对应的体重指数的范围． 体重状况 消瘦 正常 超重 肥胖 体重指数的范围 某校学生开展了体重指数的综合实践活动． 【数据收集与整理】 从男生与女生中各随机选取150人进行体重指数测算统计，并绘制统计图表，部分信息如下． 150名男生体重状况扇形统计图 150名女生体重状况频数分布表 体重状况 频数 消瘦 18 正常 102 超重 肥胖 10 已知女生肥胖体重指数的全部数据如下：，，，，，，，，，． 请根据以上信息，解答下列问题 （1）填空： ， ． （2）女生肥胖体重指数的中位数是 ，众数是 ． （3）该校有750名男生与700名女生，估计该校学生中体重正常的人数． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在四边形中，对角线与相交于点，平分，过点作的垂线，交于点，且平分． （1）若，求的度数． （2）求证：． （3）如图2，若，，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 规定：对于二次函数，我们把它的图象与轴交点的横坐标称为二次函数的零点．已知二次函数有两个零点，． （1）当，时，求，的值． （2）请用含，的代数式表示二次函数的最小值． （3）已知二次函数的图象经过点，且．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$