精品解析：2025年陕西省西安市灞桥区铁一中陆港初级中学中考数学四模试卷

2025年陕西省西安市灞桥区铁一中陆港初级中学中考数学四模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. 64 B. C. D. 2. 下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 的算术平方根是4 C. 平方根等于本身的数是0和1 D. 0的平方根与算术平方根都是0 4. 一副三角板如图所示摆放，若直线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，，，则菱形边上高的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在半径为4的半圆O中，为直径，C是半圆上的一点，且，D为弧的中点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 关于二次函数（a为常数）的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线上横坐标为1的点必在第一象限 C. 抛物线的顶点可能在x轴下方 D. 当时，抛物线在上y随x的增大而增大 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 代数式有意义，则x的取值范围是_______． 10. 半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个正多边形的边心距为_______． 11. 运动展风采，筑梦向未来，为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，个长方体颁奖台的长均为，宽均为，，，号台的高度分别是，，．若一只蚂蚁从号颁奖台的顶点处沿表面爬到号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为________．（结果保留根号） 12. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于两点，点在轴上，且，若，则_____． 13. 如图，在四边形中，，，，，点E、G、H分别为线段上的点，将沿折叠至（点F在四边形内部，且与点B为对应点），则周长的最小值为_______． 三、计算题：本大题共1小题，共4分． 14. 若关于x的方程有增根，试求k的值. 四、解答题：本题共13小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 16. 分解因式：． 17. 解方程： 18. 已知中，点D为边上的一点．求作边上的一点E，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 19. 按要求画图． （1）将向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出平移后的图形； （2）将绕点A顺时针旋转，画出旋转后的图形． （3）连接，、，则的面积为______． 20. 如图，在中，，点O是斜边的中点，过点A作，与的延长线交于点D，连接．求证：四边形是矩形． 21. 小慧和小德玩掷骰子和抛硬币的游戏，胜者可获得一张铁一中新年音乐会的门票．规则如下：小慧先掷一次骰子，小德再抛一枚硬币，称为一次游戏；掷骰子时，记下朝上一面的数字a；抛掷硬币时，如果正面朝上，记作，如果反面朝上，记作；然后将a、b的值作为平面直角坐标系中点P的横、纵坐标进行记录．例如，在一次游戏中，小慧抛出骰子朝上一面的数字为4，即，小德抛出的硬币反面朝上，即，此时点P的坐标为． （1）小慧抛掷一次骰子，朝上一面的数字被3整除的概率为 ； （2）两人约定：在一次游戏中，若点P在平面直角坐标系中的第一象限，则小慧获得门票：若点P在第四象限，则小德获得门票．请你用列表或树状图的方法，判断这个游戏对两人是否公平？说明你的理由． 22. 小峰想用镜子测量一棵松树的高度，如图所示，把镜子放在点处（镜子的大小忽略不计），人站在点时，正好在镜子中看到树顶点，但由于树旁有一条河，不能直接测量镜子与树之间的距离，于是小峰从点向后退到点处，此时他发现自己的影子和树的影子于地面点处重合．已知小峰身高为1.6米（忽略头顶到眼睛的距离）．经过测量米，米，米，请你用所学的知识，帮小峰求出松树的高． 23. 2023年9月23日至10月8日第十九届亚运动会已在中国杭州举办，某校组织全校七、八年级学生举行了“亚运知识”竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95 八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82 【整理数据】两组数据各分数段如下表所示： 成绩 七年级 1 5 2 a 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 72 66.6 八年级 80 80 c 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ． （2）按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1200人，八年级学生共1000人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由． 24. 如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数，当输入不同的x值时，将输出对应的y值． （1）当输入x的值分别为和2时，输出的y值分别是多少？ （2）图象中，可以是“函数求值机”中函数对应图象的是 ．（填写A、B、C或D） （3）求要使输出结果为2，应输入的x值． 25. 如图，在中，，D为边上的点，以为直径作交于点E，与相切． （1）求证：； （2）若，，求和的长． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点，点P是直线下方抛物线上的一点，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 27. 如图，在矩形中，，，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别为点M，N． （1）当点N在射线上时． ①如图1，连接，若点N与点D重合，则的长为 ； ②如图2，连接交边于点P，交线段于点Q．当时，求的长． （2）若，连接，求面积的最大值与最小值之差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年陕西省西安市灞桥区铁一中陆港初级中学中考数学四模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. 64 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据（，p为负整数）计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 2. 下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何体的展开图．熟记常见的几何体的展开图，是解题的关键． 【详解】解：A、不能围成一个棱柱，不符合题意； B、能围成一个圆柱；不符合题意； C、能围成一个棱柱，符合题意； D、由正方体展开图得，不能围成棱柱；不符合题意； 故选：C． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 的算术平方根是4 C. 平方根等于本身的数是0和1 D. 0的平方根与算术平方根都是0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的定义，熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键．根据平方根及算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是负数，没有平方根，故A不符合题意； B、，4的算术平方根是2，故B不符合题意； C、平方根等于本身的数是0，1的平方根是，故C不符合题意； D、0的平方根与算术平方根都是0，故D符合题意； 故选：D． 4. 一副三角板如图所示摆放，若直线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行公理及平行线的性质即可得答案． 【详解】过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵直角三角形，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理． 5. 点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据解析式得到y随x增大而减小，再由，即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵点，在一次函数的图象上，且， ∴， 故选：A． 6. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，，，则菱形边上高的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．根据菱形的性质得出，求出，解直角三角形求出，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，即， ∴． 故选：B． 7. 如图，在半径为4的半圆O中，为直径，C是半圆上的一点，且，D为弧的中点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不规则图形的面积，涉及扇形面积公式，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，垂径定理等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 连接，交于点H，可得，再分别求和即可． 【详解】解：连接，交于点H， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵D为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而（圆心角相等，半径相等）， ∴， ∴， ∵∵D为弧的中点，为半径， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 8. 关于二次函数（a为常数）的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线上横坐标为1的点必在第一象限 C. 抛物线的顶点可能在x轴下方 D. 当时，抛物线在上y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据解析式得出开口向上，即可判断A选项；将代入计算，再根据二次函数的性质求出，即可判断B选项；利用一元二次方程根的判别式判断出二次函数（a为常数）的图象与x轴没有交点，结合开口向上，即可判断C选项；对称轴为直线，根据当时，，即可判断D选项． 【详解】解：关于二次函数， ，开口向上，正确，A不符合题意； 将代入，得：， 则抛物线上横坐标为1的点必在第一象限，正确，B不符合题意； 令， ， 则函数图象与x轴没有交点， ∵函数图象开口向上， 抛物线的顶点不可能在x轴下方，错误，C符合题意； ∵二次函数对称轴为直线， 当时，则， ∴当时，抛物线在上y随x的增大而增大，正确，D不符合题意； 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 代数式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查分式和二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握分式和二次根式的定义，从而完成求解．根据分母不为0和被开方数为非负数列出不等式，即可得到答案． 【详解】解：根据题意：， 解得：， 故答案为：． 10. 半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个正多边形的边心距为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，解直角三角形，掌握正六边形的性质是正确解答的前提．根据正六边形的性质，正三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为， ∴， ∴， 如图， ∴的内接正多边形是六边形， ， ， ∴是正三角形， ， ， ∴正六边形的边心距为， 故答案为：． 11. 运动展风采，筑梦向未来，为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，个长方体颁奖台的长均为，宽均为，，，号台的高度分别是，，．若一只蚂蚁从号颁奖台的顶点处沿表面爬到号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】首先确定蚂蚁的可能爬行路径，利用勾股定理求出每个路径的最短距离，再比较大小即可． 【详解】根据题意，蚂蚁选择的爬行路径有下列几种情况： ①爬行的路径为3号颁奖台的上底面→1号领奖台的左侧面→1号领奖台的上底面，展开图如图1所示，最短路径为线段． 此时； ②爬行的路径为3号颁奖台的上底面→1号领奖台的左侧面→1号领奖台的后面，展开图如图2所示，最短路径应为线段，但线段有一段不经过这三个面中的任何一个，因此这个路径无法实现，结合图形可知最短路径为． 此时路径的长度为： ； ③爬行的路径为3号颁奖台的上底面→1号领奖台的前面→1号领奖台的上底面，展开图如图3所示，最短路径为． 此时路径长度为：； ④爬行的路径为3号颁奖台的上底面→1号领奖台的前面→1号领奖台的右侧面，展开图如图4所示，最短路径为． 此时路径长度为：； 综上，四种情况下蚂蚁爬行的最短距离为． 12. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于两点，点在轴上，且，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数与反比例函数交于两点，得出、两点关于原点对称，推出，过点作轴于点，由三线合一可得，从而得到，进而可求出的值． 【详解】解：过点作轴于点， 函数与反比例函数交于两点， 、两点关于原点对称， 即， ， ，轴 ， ， 即， ． 13. 如图，在四边形中，，，，，点E、G、H分别为线段上的点，将沿折叠至（点F在四边形内部，且与点B为对应点），则周长的最小值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点B作于点，则四边形是矩形，则，可得，那么，可求，由翻折得，，则点F在以A为圆心，1为半径的圆上运动，连接，过点分别作的对称点，连接，过点作于点R，由翻折得到， 可求，，解直角三角形得到，则周长：，由勾股定理得，则，当点共线，且共线时，周长取得最小值为． 【详解】解：过点B作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折得，， ∴点F在以A为圆心，1为半径的圆上运动， 连接，过点分别作的对称点，连接，过点作于点R， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴周长：， ∵， ∴， ∴，当点共线，且共线时，周长取得最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折的性质，圆的定义，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，难度大，解题的关键在于转化思想的应用． 三、计算题：本大题共1小题，共4分． 14. 若关于x的方程有增根，试求k的值. 【答案】1 【解析】 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x−3＝0，所以增根是x＝3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值． 【详解】方程两边都乘（x−3），得 k＋2（x−3）＝4−x， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x−3＝0，即增根为x＝3， 把x＝3代入整式方程，得k＝1． 【点睛】此题考查了分式的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 四、解答题：本题共13小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．先计算零指数幂，化简绝对，代入特殊三角函数值，再计算乘法，然后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 16. 分解因式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题时注意要按照“一提二套三化简”的过程进行． 先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：原式 ． 17. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后系数和化为1即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了一元一次方程求解，正确的计算是解决本题的关键． 18. 已知中，点D为边上的一点．求作边上的一点E，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示，点E为所求： 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，作一个角等于已知角，根据，推出，得到，结合，易证，推出，即根据角的作法作图即可． 【详解】解：如图所示，点E为所求： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 按要求画图． （1）将向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出平移后的图形； （2）将绕点A顺时针旋转，画出旋转后的图形． （3）连接，、，则的面积为______． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示： （3）15 【解析】 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点即可； （2）分别作出的对应点即可； （3）利用割补法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积为， 故答案为：15． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，平移变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20. 如图，在中，，点O是斜边的中点，过点A作，与的延长线交于点D，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵，点O是斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 先证明得到，由可得四边形是平行四边形，而，即可证明． 【详解】略 21. 小慧和小德玩掷骰子和抛硬币的游戏，胜者可获得一张铁一中新年音乐会的门票．规则如下：小慧先掷一次骰子，小德再抛一枚硬币，称为一次游戏；掷骰子时，记下朝上一面的数字a；抛掷硬币时，如果正面朝上，记作，如果反面朝上，记作；然后将a、b的值作为平面直角坐标系中点P的横、纵坐标进行记录．例如，在一次游戏中，小慧抛出骰子朝上一面的数字为4，即，小德抛出的硬币反面朝上，即，此时点P的坐标为． （1）小慧抛掷一次骰子，朝上一面的数字被3整除的概率为 ； （2）两人约定：在一次游戏中，若点P在平面直角坐标系中的第一象限，则小慧获得门票：若点P在第四象限，则小德获得门票．请你用列表或树状图的方法，判断这个游戏对两人是否公平？说明你的理由． 【答案】（1） （2）这个游戏对两人公平， 理由如下： 画树状图如下： 共有12中可能出现的结果，其中 点P在第一象限的结果数有6种，点P在第四象限的结果数有6种， 则 小慧获得门票和小德获得门票的概率都为， 这个游戏对两人公平． 【解析】 【分析】本题考查了概率问题中的公平性问题，读懂题意，利用列表法，列出所有可能的情况，是解答本题的关键． （1）根据题意，抛掷一次骰子，朝上一面的数字被3整除的数有3和6，由此得到答案． （2）用树状图即可列举出所有情况；得到点P在第一象限的结果数和点P在第四象限的结果数，求出所得概率是否相等即可． 【小问1详解】 解：抛掷一次骰子，朝上一面的数字可能为：，朝上一面的数字被3整除的数有3和6， 则朝上一面的数字被3整除的概率为； 【小问2详解】 略 22. 小峰想用镜子测量一棵松树的高度，如图所示，把镜子放在点处（镜子的大小忽略不计），人站在点时，正好在镜子中看到树顶点，但由于树旁有一条河，不能直接测量镜子与树之间的距离，于是小峰从点向后退到点处，此时他发现自己的影子和树的影子于地面点处重合．已知小峰身高为1.6米（忽略头顶到眼睛的距离）．经过测量米，米，米，请你用所学的知识，帮小峰求出松树的高． 【答案】9.6米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，，根据相似三角形的性质得出，，然后解方程即可求解． 【详解】解：根据题意，得，，， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：松树的高9.6米． 23. 2023年9月23日至10月8日第十九届亚运动会已在中国杭州举办，某校组织全校七、八年级学生举行了“亚运知识”竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95 八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82 【整理数据】两组数据各分数段如下表所示： 成绩 七年级 1 5 2 a 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 72 66.6 八年级 80 80 c 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ． （2）按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1200人，八年级学生共1000人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由． 【答案】（1）78.5，80 （2）估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数有340人 （3） 解：可以推断出八年级学生知识竞赛成绩更好， 理由为两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级， 说明八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、方差，用样本估计总体． （1）根据七年级10名同学测试成绩求出a的值，根据中位数和众数的概念分别求出b、c的值； （2）用各年级人数乘以对应的比例，然后相加即可； （3）根据中位数、众数、平均数、方差的定义解答即可． 【小问1详解】 解：将七年级抽样成绩重新排列为：69，72，72，75，78，79，84，85，91，95，其中在范围内的数据有2个， 故． 中位数， 将八年级抽样成绩重新排列为：72，74，75，76，80，80，82，84，85，92， 其众数， 故答案为：78.5，80； 【小问2详解】 解：由题意得：（人）， 答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数有340人； 【小问3详解】 略 24. 如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数，当输入不同的x值时，将输出对应的y值． （1）当输入x的值分别为和2时，输出的y值分别是多少？ （2）图象中，可以是“函数求值机”中函数对应图象的是 ．（填写A、B、C或D） （3）求要使输出结果为2，应输入的x值． 【答案】（1）和 （2）A （3）或 【解析】 【分析】本题考查了函数的图像以及函数的值，读懂“函数求值机”的示意图，并用分类讨论思想分析问题是解本题的关键． （1）把，分别代入“函数求值机”可得其值； （2）根据函数图像的特点，即可找出对应的图像； （3）分类讨论：①当时，，求出符合题意的值；②当时，，求出符合题意的值． 【小问1详解】 解：， ； ， ； ∴输出的值分别是和； 【小问2详解】 解：当时，，，，图像下降，交于轴的正半轴； 当时，，，，图像上升， 且时，， 综上所述，符合对应的图像是A选项． 故答案为：A； 【小问3详解】 解：①当时，， 即，解得：， ，符合题意； ②当时，， 即，解得：， ，符合题意； ∴应输入的值为或． 25. 如图，在中，，D为边上的点，以为直径作交于点E，与相切． （1）求证：； （2）若，，求和的长． 【答案】（1）证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与相切． ∴， ∴， ∴； （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据等边对等角，得出，结合平角概念以及直角三角形两个锐角互余得出，因为等角对等边，所以，即可作答． （2）先结合直角三角形两个锐角互余得出，因为，，所以，，结合勾股定理列式计算得，，最后根据垂径定理，得出，则，列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点C作，过点O作，如图所示： ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴ 解得（负值已舍去） ∴ ∵， ∴ 在中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， 则， ∴， 则． 【点睛】本题考查了切线性质，等角对等边，垂径定理，解直角三角形，勾股定理，直角三角形两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点，点P是直线下方抛物线上的一点，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【答案】（1） （2），面积的最大值 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，最值问题： （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴交于点，可求直线表达式为，设，则，则，由于，再代入化简，利用二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：过点P作轴交于点 设直线表达式为：， ∴， 解得：， ∴直线表达式为， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，面积的最大，且为， ∴， 当，点P到直线的距离在减小，故不存在最大值， 综上：，面积的最大值． 27. 如图，在矩形中，，，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别为点M，N． （1）当点N在射线上时． ①如图1，连接，若点N与点D重合，则的长为 ； ②如图2，连接交边于点P，交线段于点Q．当时，求的长． （2）若，连接，求面积的最大值与最小值之差． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由矩形，可得，由折叠的性质可知，，，则，，设，则，由勾股定理得，，即，可求，再由即可求解；②如图，作的延长线于，则四边形是矩形，则，，由勾股定理得，，同理①，，设，则， 由勾股定理得，，即，可求，即，证明，则，即，由，可求，同理，可得，进而可求，根据，求解即可； （2）如图，连接，作关于的对称点，关于的对称点，连接，，则，，由勾股定理得，，则，即在以为圆心为半径的劣弧上运动，则的最小值为，的最大值为，然后求差即可． 【小问1详解】 ①解：∵矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， 故答案为：； ②解：如图，作的延长线于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 同理①，， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， 同理， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：解：如图，连接，作关于的对称点，关于的对称点，连接，， 过点D作于点T， 由翻折可得：，， 由勾股定理得，， ∴， ∴在以为圆心为半径的劣弧上运动， ∵， ∴， 当点在上时，取得最小值为， ∴的最小值为， ∵， ∴当点与点D重合时，取得最大值为， 的最大值为， ∵， ∴面积的最大值与最小值之差为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，轴对称的性质，圆，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，轴对称的性质，圆，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $