专题12.1 复数的概念及运算（七个重难点突破）-2024-2025学年高一数学下学期重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第二册）

专题12.1 复数的概念及运算 一、求复数的概念及分类 五、复数的乘方运算 二、复数相等及其简单应用 六、待定系数法求复数 三、复数的加减运算 七、复数范围内解方程 四、复数的乘除运算 知识点1数系的扩充及复数的有关概念 1.复数的有关概念 （1）复数的定义:形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且. （2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集. （3）复数的表示:,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部. 2.数系的扩充 3.复数相等 若,则复数与相等的充要条件是且. 4.复数的分类 （1）对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数. 这样,复数可以分类如下: 5.共轭复数 （1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. （2）表示:复数的共轭复数表示为,即若,则. （3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即. 知识点2复数的四则运算 设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 减法 乘法 除法 知识点3复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 乘法运算律 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 重难点一、复数的分类 【例1】以的实部为虚部，的虚部为实部的复数为 ． 【答案】/ 【详解】因为的实部为，的虚部为，故所求复数为． 故答案为： 【例2】复数为纯虚数的充分不必要条件是（    ） A．0 B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】复数为纯虚数，等价于，即或， 由选项知，只有是复数为纯虚数的充分不必要条件，其他选项均不符合. 故选：B 【变式1-1】已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【详解】（1）若z是实数，则，解得或． （2）若z是虚数，则，解得且． （3）若z是纯虚数，则解得． 【变式1-2】（多选）已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 【答案】AC 【详解】若，则的实部为25，虚部为-5，A正确，B错误. 若为实数，则，得，C正确. 若为纯虚数，则得，D错误. 故选：AC. 【变式1-3】已知复数为虚数单位是纯虚数，则实数 . 【答案】 【详解】∵复数是纯虚数， ∴且， ∴. 故答案为：. （1）若,只有当时,才是的实部,才是的虚部,且注意虚部不是,而是； （2）判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解. 重难点二、复数相等及其简单应用 【例3】已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由集合，，且， 得，因此，所以， 当时，，因，故，符合题意. 故选：C 【例4】设实数，，满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】因为， 所以， ， 又， 所以． 故答案为： 【变式2-1】若实数满足，其中为虚数单位，则 . 【答案】 【详解】根据复数相等可得：，解得：，所以. 故答案为：. 【变式2-2】已知关于x，y的方程组有实数解，则实数a，b的值分别为 ． 【答案】1，2 【详解】设是方程组的实数解．由已知及复数相等， 得由①②得 代入③④得所以实数a，b的值分别为1，2． 故答案为：. 【变式2-3】已知复数，，其中是虚数单位，． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）因为为纯虚数，所以，解得． （2）由，得． 因此． 因为， 所以当时，；当时，， 故的取值范围是． 解决复数相等问题的步骤:分别分离出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解. 重难点三、复数的加减运算 【例5】已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得. 故选：B. 【例6】计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2）. （3）. 【变式3-1】已知为虚数单位，设复数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 则. 故选：A. 【变式3-2】实数x，y满足，且，则的值是 . 【答案】1 【详解】. 因为， 所以，解得 所以. 故答案为：. 【变式3-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得：，解得：. 故选：A （1）复数的加、减运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部. （2）复数的加、减运算可以类比多项式的加、减运算(类似于合并同类项).若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算. 重难点四、复数的乘除运算 【例7】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得. 故选：B. 【例8】（多选）已知复数，，均不为0，则下列说法正确的是（    ） A．若复数满足，且，则 B．若复数满足，则 C．若，则 D．若复数，满足，则 【答案】ABD 【详解】对于A选项，令，a，，则， 因为，且，所以，则，故，故A正确； 对于B选项，令，则由，得， 所以，故B正确； 对于C选项，令，，此时，，，故C错误； 对于D选项，令，， 则，所以， ，故D正确. 故选：ABD 【变式4-1】复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以复数的虚部为， 故选：C. 【变式4-2】虚数满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】C 【详解】由已知，， 所以，， 所以，解得. 故选：C. 【变式4-3】已知复数z满足，，则z为实数的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：若z为实数，则设， 已知，可得，即， 所以，解得， z为实数的一个充分条件是或， 故选：C. （1）复数乘法运算法则：复数的乘法可以按照多项式的乘法计算,只是在结果中要将换成,并将实部、虚部分别合并； （2）两个复数代数形式的除法运算：①首先将除式写为分式;②再将分子、分母同乘分母的共轭复数;③然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式. 重难点五、复数的乘方运算 【例9】（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】, 故选：B 【例10】已知复数满足，则 . 【答案】 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 【变式5-1】复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 故， 所以虚部为. 故选：B. 【变式5-2】若，，则的取值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】 因为，所以，，． 故选：A. 【变式5-3】已知复数，则 ． 【答案】 【详解】复数 所以 ，所以， 所以的周期为3， 由，所以， 故答案为： 有如下性质：如果，那么有 重难点六、待定系数法求复数 【例11】复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 所以，， 所以，解得，，故，即复数的虚部为. 故选：A. 【例12】已知复数和复数满足：，则 ． 【答案】 【详解】设，则， 因为，可得； 且，可得， 由，可得， 由，可得， 则， ， 可得， ， 所以. 故答案为：. 【变式6-1】复数满足，求. 【答案】 【详解】解：设，，所以，因为 所以，即，所以，解得 所以 【变式6-2】若，则复数的虚部为 【答案】 【详解】设， 由， 则， 即， 即，解得或， 所以或. 则复数的虚部为. 故答案为：. 【变式6-3】（1）若复数是纯虚数，求实数的值； （2）若复数满足：，求复数. 【答案】（1）；（2）或 【详解】（1）复数是纯虚数，则， 解得； （2）设，，， 即，故， 解得或，故或. 重难点七、复数范围内解方程 【例13】若是关于的一元二次方程的一个虚根，则实数 . 【答案】2 【详解】方法一：因为实系数元二次方程的一个虚根为，所以该方程的另外一个根为：， 根据韦达定理：. 方法二：因为是关于的一元二次方程的一个虚根， 所以. 故答案为：2 【例14】在复数范围内，方程的根是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【详解】由，则方程的根为. 故选：C 【变式7-1】（1）计算：； （2）在复数范围内解方程：. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）. （2）∵， ∴， ∴或， ∴. 【变式7-2】已知复数和它的共轭复数满足． (1)求； (2)若是关于的方程的一个根，求复数的模． 【答案】(1)． (2)． 【详解】（1）设， 则，， 所以，解得，， 故； （2）是关于的方程的一个根， 是关于的方程的另一个根， ，解得，， ， 复数的模为． 【变式7-3】已知复数是方程的一个根，则等于（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【详解】∵复数是方程的一个根， ∴，故，， ∴. 故选：A． 在复数范围内,实系数一元二次方程的求解方法 （1）求根公式法：当时,;当时,. （2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为,将此根代入方程,化简后利用复数相等的定义求解. 1．复数的虚部为（    ） A． B．i C． D． 【答案】C 【详解】. 所以该复数的虚部为. 故选：C. 2．若为实数，是纯虚数，则复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】为实数，则， 是纯虚数，则， 则 故选：D 3．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以． 故选：D. 4．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，所以. 故选：D. 5．设复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 6．设复数（、，为虚数单位），则“是纯虚数”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【详解】因为“是纯虚数”“且”， 故“是纯虚数”成立的一个必要不充分条件是“”， 故选：A． 7．已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则是实数 C．若，则是纯虚数 D．若，则 【答案】ABC 【详解】因为，又，所以，A正确； 设，则，所以为实数，B正确； 设，则，又，所以，，所以是纯虚数，C正确； 若，，则满足，而，D错误. 故选：ABC. 8．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，可得， 所以. 故选：D. 9．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，则，所以. 故选：A 10．已知的实部与虚部互为相反数，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于, 的实部与虚部互为相反数，故， 故选：A 11．已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】因为， 所以，解得. 故选：B. 12．2024年全国普通高考报名人数达到1342万人，相较2023年增加51万人. 则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【详解】解：因为 . 故选：D. 13．若，则 . 【答案】16 【详解】因为， 所以，， 故答案为：16 14．在①，②为纯虚数，③为实数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 已知复数（为虚数单位），为的共轭复数，若_____，求实数的值．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分） 【答案】答案见解析 【详解】若选择①， 因为， 所以， 又，所以， 即，解得或， 若选择②， 因为为纯虚数，所以，解得， 若选择③， 因为为实数，所以，解得或． 15．（1）计算：； （2）已知，求的虚部． 【答案】（1）0；（2）． 【详解】（1）原式． （2）， 的虚部为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.1 复数的概念及运算 一、求复数的概念及分类 五、复数的乘方运算 二、复数相等及其简单应用 六、待定系数法求复数 三、复数的加减运算 七、复数范围内解方程 四、复数的乘除运算 知识点1数系的扩充及复数的有关概念 1.复数的有关概念 （1）复数的定义:形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且. （2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集. （3）复数的表示:,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部. 2.数系的扩充 3.复数相等 若,则复数与相等的充要条件是且. 4.复数的分类 （1）对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数. 这样,复数可以分类如下: 5.共轭复数 （1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. （2）表示:复数的共轭复数表示为,即若,则. （3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即. 知识点2复数的四则运算 设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 减法 乘法 除法 知识点3复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 乘法运算律 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 重难点一、复数的分类 【例1】以的实部为虚部，的虚部为实部的复数为 ． 【例2】复数为纯虚数的充分不必要条件是（    ） A．0 B． C．或 D．或 【变式1-1】已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 【变式1-2】（多选）已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 【变式1-3】已知复数为虚数单位是纯虚数，则实数 . （1）若,只有当时,才是的实部,才是的虚部,且注意虚部不是,而是； （2）判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解. 重难点二、复数相等及其简单应用 【例3】已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【例4】设实数，，满足，则的最大值为 ． 【变式2-1】若实数满足，其中为虚数单位，则 . 【变式2-2】已知关于x，y的方程组有实数解，则实数a，b的值分别为 ． 【变式2-3】已知复数，，其中是虚数单位，． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若，求的取值范围． 解决复数相等问题的步骤:分别分离出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解. 重难点三、复数的加减运算 【例5】已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【例6】计算： (1) (2) (3) 【变式3-1】已知为虚数单位，设复数，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】实数x，y满足，且，则的值是 . 【变式3-3】已知，则（    ） A． B． C． D． （1）复数的加、减运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部. （2）复数的加、减运算可以类比多项式的加、减运算(类似于合并同类项).若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算. 重难点四、复数的乘除运算 【例7】若，则（    ） A． B． C． D． 【例8】（多选）已知复数，，均不为0，则下列说法正确的是（    ） A．若复数满足，且，则 B．若复数满足，则 C．若，则 D．若复数，满足，则 【变式4-1】复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】虚数满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【变式4-3】已知复数z满足，，则z为实数的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． （1）复数乘法运算法则：复数的乘法可以按照多项式的乘法计算,只是在结果中要将换成,并将实部、虚部分别合并； （2）两个复数代数形式的除法运算：①首先将除式写为分式;②再将分子、分母同乘分母的共轭复数;③然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式. 重难点五、复数的乘方运算 【例9】（    ） A． B． C． D． 【例10】已知复数满足，则 . 【变式5-1】复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】若，，则的取值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式5-3】已知复数，则 ． 有如下性质：如果，那么有 重难点六、待定系数法求复数 【例11】复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【例12】已知复数和复数满足：，则 ． 【变式6-1】复数满足，求. 【变式6-2】若，则复数的虚部为 【变式6-3】（1）若复数是纯虚数，求实数的值； （2）若复数满足：，求复数. 重难点七、复数范围内解方程 【例13】若是关于的一元二次方程的一个虚根，则实数 . 【例14】在复数范围内，方程的根是（    ） A． B． C． D．无解 【变式7-1】（1）计算：； （2）在复数范围内解方程：. 【变式7-2】已知复数和它的共轭复数满足． (1)求； (2)若是关于的方程的一个根，求复数的虚部． 【变式7-3】已知复数是方程的一个根，则等于（    ） A． B．0 C． D． 在复数范围内,实系数一元二次方程的求解方法 （1）求根公式法：当时,;当时,. （2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为,将此根代入方程,化简后利用复数相等的定义求解. 1．复数的虚部为（    ） A． B．i C． D． 2．若为实数，是纯虚数，则复数为（   ） A． B． C． D． 3．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 4．若，则（   ） A． B． C． D． 5．设复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 6．设复数（、，为虚数单位），则“是纯虚数”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．且 7．已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则是实数 C．若，则是纯虚数 D．若，则 8．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 9．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 10．已知的实部与虚部互为相反数，则实数（    ） A． B． C． D． 11．已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 12．2024年全国普通高考报名人数达到1342万人，相较2023年增加51万人. 则（   ） A． B．0 C． D． 13．若，则 . 14．在①，②为纯虚数，③为实数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 已知复数（为虚数单位），为的共轭复数，若_____，求实数的值．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分） 15．（1）计算：； （2）已知，求的虚部． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$