精品解析：2025年辽宁省沈阳市皇姑区九年级中考数学零模试卷

2025年辽宁省沈阳市皇姑区中考数学零模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 检测4个排球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，哪个球更接近标准（　　） A. ﹣2.5 B. +0.8 C. ﹣3.2 D. ﹣0.7 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的意义，求出各个数的绝对值，进而比较得出答案． 【详解】解：通过求4个排球的绝对值得： |﹣2.5|＝2.5，|+0.8|＝0.8，|﹣3.2|＝3.2，|﹣0.7|＝0.7， ﹣0.7的绝对值最小． 所以第四个球是最接近标准的球． 故选：D． 【点睛】本题考查正负数的意义，理解绝对值的意义和计算方法是正确解答的前提． 2. 如图所示的几何体是由七个相同的小正方体组合成的，从上面看到的图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据从上面看到的图形是第一列是2个小正方形，第二列是2个小正方形，最后一列是1个小正方形，据此即可作答． 【详解】解：∵如图所示的几何体是由七个相同的小正方体组合成的，从上面看到的图形是第一列是2个小正方形，第二列是2个小正方形，最后一列是1个小正方形， ∴是正确的 故选：D 3. 光年是天文学中的距离单位，光年大约是，这个数据用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】. 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数是关键． 4. 如图，在正方形外侧作等边，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形和等边三角形的性质得，，，，则，，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求出的度数． 此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的加法法则，乘法法则，积的乘方计算法则，完全平方公式分别计算进行判断． 【详解】A、，故该项错误； B、，故该项错误； C、，故该项错误； D、，故该项正确； 故选：D． 【点睛】此题考查整式的计算，正确掌握整式的加法法则，乘法法则，积的乘方计算法则，完全平方公式是解题的关键． 6. 消费者在网店购物后，将从“好评、中评、差评”中选择一种作为对卖家的评价，假设这三种评价是等可能的，若小明、小亮在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，则两人中至少有一个给“好评”的概率为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人中至少有一个给“好评”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】画树状图： 共有9种等可能的结果数，两人中至少有一个给“好评”的结果数为5， 所以两人中至少有一个给“好评”的概率＝． 故选C． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 7. 垃圾分类功在当代，利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 厨余垃圾 B. 可回收物 C 其他垃圾 D. 有害垃圾 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：因为图A是轴对称图形，不是中心对称图形，所以此选项不符合题意； 因为图B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以此选项不符合题意； 因为图C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以此选项不符合题意； 因为图D既是轴对称图形，也是中心对称图形，所以此选项符合题意． 故选：D． 8. 已知一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且，则函数的图像大致是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据题意得出，进而得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可求解． 【详解】解：∵一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：C． 9. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD＝8，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，若GA＝3，则AD的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由作法知EF垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到BG=GA=3，则DG=5，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由作图可知：EF是线段AB的垂直平分线， ∴BG=GA=3， ∴DG=BD-BG=8-3=5， ∵GA⊥AD， ∴∠GAD=90°， 在Rt△ADG中，由勾股定理，得 AD==4， 故选：B． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的尺规作法，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作法＼线段垂直平分线的性质是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在x轴和y轴上，并且，．若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，直接利用相似三角形的判定与性质得出三边关系，再利用勾股定理得出答案． 【详解】解：过点作轴于点N，过点作轴于点M， 由题意可得：， ∴轴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， 则， 解得：（负数舍去）， 则， 故点C的对应点的坐标为：． 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程 的解为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求解后，检验即可． 【详解】解：， ∴， 解得：； 经检验：是原方程的解； 故答案为：． 12. 小丽参加“强国有我”主题演讲比赛，其形象、内容、表达三项的成绩分别是85分、90分、80分，若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小丽的最终比赛成绩为______分． 【答案】86 【解析】 【分析】本题主要考查了求加权平均数，根据加权平均数的公式计算，即可求解． 【详解】解：小丽的最终比赛成绩为（分）． 故答案为：． 13. 如图，菱形的边长为，，将该菱形沿AC方向平移得到四边形，交CD于点E，则点E到AC的距离为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】首先根据菱形对角线的性质得出AC的长，然后利用菱形对角线平分对角和平移的性质得出等腰 ，过顶点作垂线段EF，利用三线合一得出CF的长，再利用直角三角形30°所对的直角边等于斜边一半和勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】∵∠BAD=60°， ∴连接对角线AC,BD，则AC⊥BD，且AC平分∠BAD, ∴在Rt△ADO中， 利用勾股定理得 又∵AC=2AO, ∴AC= ， 由题可知 =， ∴A’C=; 由平移可知 =∠DAC=30°,而∠DAC=∠DCA, ∴=∠DCA，即==30°， ∴ 是等腰三角形； 过点E作EF⊥AC，垂足为F，如图所示： 则由等腰三角形三线合一可得：A’F=FC=, 在Rt△ECF中， ,设EF=x，则EC=2x， 由勾股定理得： ，解得x=2， 故填：2． 【点睛】本题考查菱形的性质，等腰三角形三线合一，直角三角形中30°所对的直角边等于斜边一半和勾股定理；菱形对角线互相垂直且平分，一条对角线平分一组对角，熟知概念定理是解题的关键． 14. 如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，AC与DE相交于点F，若CE＝2EB，S△AFD＝27，则三角形ACD的面积等于_____． 【答案】45 【解析】 【分析】先证明△ADF∽△CEF，可知，然后根据相似三角形的性质可知 ＝（）2，再根据 ，从而可求出三角形ACD的面积． 【详解】解：在▱ABCD中， AD∥CE，AD＝BC ∴△ADF∽△CEF， ∴ ， ∵CE＝2EB， ∴CE＝ ， ∴ ， ∴ ， ∴S△CEF＝12， ∵ ， ∴S△CFD＝18， ∴S△ACD＝S△AFD+S△CDF ＝27+18 ＝45， 故答案为45 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型． 15. 如图，已知三角形的顶点在反比例函数位于第一象限的图象上，顶点在轴的负半轴上，顶点在反比例函数位于第四象限的图象上，边与轴交于点，，边与轴交于点，，若面积为，则__． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，过作于点，则，可得，，根据相似三角形的性质进而得出，根据面积为，即可求解． 【详解】过作于，过作于点，如图示： 设，则，， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简： 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根，立方根，负整数指数幂，特殊角的三角函数值解答即可； （2）根据分式的加减乘除混合运算法则解答即可 【详解】解： ； 【点睛】本题考查了分式的混合运算，实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17. 某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用元从农户处购进，两种水果共进行销售，其中种水果收购单价元，种水果收购单价元；求，两种水果各购进多少千克？ 【答案】种水果购进千克，种水果购进千克 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设种水果购进千克，种水果购进千克，根据该合作社用元从农户处购进，两种水果共进行销售，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设种水果购进千克，种水果购进千克， 根据题意得：， 解得：， 答：种水果购进千克，种水果购进千克． 18. 某教育平台推出A，B两款人工智能学习辅导软件，相关人员开展了A，B两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分测验，并从中各抽取20份，对数据进行整理、描述和分析评分分数用x表示，分为以下四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：，下面给出了部分信息．抽取的对A款人工智能学习辅导软件的所有评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99， 抽取的对B款人工智能学习辅导软件的评分数据中“满意”的数据为：86，89，86，88，87，88，90， 抽取的对A，B两款人工智能学习辅导软件的评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 A 86 b B 86 a 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______；______； （2）本次调查中，若有800名用户对A款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名用户对B款人工智能学习辅导软件进行了评分，请你估计对A款或B款软件非常满意的用户共有多少人？ 【答案】（1），85，20 （2）估计对A款或B款软件非常满意的用户共有440人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出a、b的值，再求出B款中“满意”所占的百分比，然后用1分别减去各组所占的百分比得到m的值； （2）用800乘以A款中“非常满意”所占的百分比和1000乘以B款中“非常满意”所占的百分比，然后求它们的和即可． 本题考查扇形统计图，中位数、众数、方差以及样本估计总体，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的前提． 【小问1详解】 解：款人工智能软件的所有评分数据中85出现的次数最多， ∴款人工智能软件的所有评分数据众数为85，即， 款人工智能软件中满意所占的百分比为， ， 即， ， ， 故把款人工智能软件的评分按照从低到高排列，处在第10名和第11名的分数分别为86，87， ∴款人工智能软件的评分的中位数为， 即； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计对A款或B款软件非常满意的用户共有440人． 19. 某种杂交柑桔新品种，皮薄汁多，口感细嫩，风味极佳，深受人们喜爱，某果农种植销售过程中发现，这种柑桔的种植成本为6元/千克，日销量与销售单价元之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设该果农每天销售利润为W元，求W与x之间的函数关系式； （3）若果农每天销售这种柑桔不低于且不超过，则每天的最大利润为______元直接填空 【答案】（1） （2） （3）480 【解析】 【分析】（1）设，根据题意列方程即可得到结论； （2）设每天销售利润为W元，根据题意求得函数关系式； （3）根据（2）所求，结合二次函数的性质即可得到结论． 此题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数的解析式的运用，在解答时理清题意设出一次函数的解析式建立方程组是关键． 【小问1详解】 解：设， 一次函数的图象过，， ， 解得， 与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设该果农每天销售利润为W元， 根据题意得，； 【小问3详解】 解：，， ， ∴当时，， ∴其销售单价定为13时，除去种植成本后，每天销售利润最大，最大利润是480元， 20. 已知，如图，在△中，是边上一点，⊙过三点，直线是⊙的切线，． （1）求的度数； （2）如果，⊙的半径为，求的长． 【答案】（1）45°；（2）2 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质以及平行线的性质得到，即可求解； （2）先求得CD 的长以及的度数，作于点，解直角三角形即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵ 直线是⊙的切线， ∴， ∵， ∴， ∴ ． ∵， ∴ ， 所以 ； （2）解：∵ ，， ∴， ∵ ，， ∴ ， 作于点， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 21. 小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： （1）求高楼的高度； （2）求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】（1）高楼的高度为米 （2）点离地面的距离为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）在中，解直角三角形即可得出答案； （2）作于，于，则四边形是矩形，得出，，设米，则米，米，在中，解直角三角形即可得出答案． 小问1详解】 解：由题意得：在中，米，， ∴（米）， ∴高楼的高度为米； 【小问2详解】 解：如图，作于，于， ， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 设米， ∴米， ∵斜坡的坡比是， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴点离地面的距离为米． 22. 【定义】若二次函数的顶点在直线上，则此二次函数叫做直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． （1）若二次函数是直线的开心函数，求k的值； （2）若二次函数是直线的开心函数． ①求用含m的代数式表示； ②若当时，y的最小值为，求m的值． 【答案】（1） （2）①；②或3 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数表达式，新定义等，分类求解是解题的关键． （1）由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入，即可求解； （2）①由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入得：，即可求解； ②当时，则抛物线在时，取得最小值，即，则舍去或3，即；当或时，同理可解． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 将代入得：， ∴； 【小问2详解】 ①∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 将代入得：， ∴； ②由①知，抛物线的表达式为：，顶点坐标为：， 当时，， 当时，同理可得：， 当，即：时，则抛物线在时，取得最小值， 即，则舍去或3，即； 当，即：时，则抛物线在顶点，取得最小值， 即，则； 当，即：时，时，函数取得最小值， 即，无解， 综上，或 23. 如图①，在中，，，，点D和点E分别在边和上，连接，将沿折叠，使点A落在直线上的点G处． （1）如图②，若，求证：四边形是菱形； （2）如图③，当点G落在线段的延长线上，且时，直接写出线段的长； （3）如图④，四边形中，，，对角线与交于点F，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】设与相交于点F，由折叠的性质得，，则是线段的垂直平分线，，进而证明和全等得，由此得，据此即可得出结论； 过点E作于点H，先求出，设，则，由折叠的性质得，证明和相似得，，则，在中，由勾股定理可求出，由此可得的长； 过点E作交的延长线于点N，作于点M，交于点O，过点D作于点T，过点O作于点K，则，四边形是矩形，解得，，则，，证明和相似得，则，解得，，证明是的中位线得，则，解得，，则，再证明和相似得，设，，则，由此解得，则，然后根据即可得出答案． 【小问1详解】 证明：设与相交于点F，如图②所示： 由折叠的性质得：，， 是线段的垂直平分线，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：过点E作于点H，如图③所示： 在中，，，， 由勾股定理得：， 设，则， 由折叠的性质得：， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； 【小问3详解】 解：过点E作交的延长线于点N，作于点M，交于点O，过点D作于点T，过点O作于点K，如图④所示： ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 在四边形中，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， ，， ∴， ∴， 是的中位线，， ，， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， ，， ， ， ， 设，， ， 解得：， ， ． 【点睛】此题主要考查了图形的折叠变换与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握图形的折叠变换与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理进行计算是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年辽宁省沈阳市皇姑区中考数学零模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 检测4个排球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，哪个球更接近标准（　　） A. ﹣2.5 B. +0.8 C. ﹣3.2 D. ﹣0.7 2. 如图所示的几何体是由七个相同的小正方体组合成的，从上面看到的图形是（　　） A. B. C. D. 3. 光年是天文学中的距离单位，光年大约是，这个数据用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正方形外侧作等边，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C D. 6. 消费者在网店购物后，将从“好评、中评、差评”中选择一种作为对卖家的评价，假设这三种评价是等可能的，若小明、小亮在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，则两人中至少有一个给“好评”的概率为(　　) A. B. C. D. 7. 垃圾分类功在当代，利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 厨余垃圾 B. 可回收物 C. 其他垃圾 D. 有害垃圾 8. 已知一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且，则函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD＝8，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，若GA＝3，则AD的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 3 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在x轴和y轴上，并且，．若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程 的解为 ___________． 12. 小丽参加“强国有我”主题演讲比赛，其形象、内容、表达三项的成绩分别是85分、90分、80分，若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小丽的最终比赛成绩为______分． 13. 如图，菱形的边长为，，将该菱形沿AC方向平移得到四边形，交CD于点E，则点E到AC的距离为____________． 14. 如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，AC与DE相交于点F，若CE＝2EB，S△AFD＝27，则三角形ACD的面积等于_____． 15. 如图，已知三角形的顶点在反比例函数位于第一象限的图象上，顶点在轴的负半轴上，顶点在反比例函数位于第四象限的图象上，边与轴交于点，，边与轴交于点，，若面积为，则__． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简： 17. 某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用元从农户处购进，两种水果共进行销售，其中种水果收购单价元，种水果收购单价元；求，两种水果各购进多少千克？ 18. 某教育平台推出A，B两款人工智能学习辅导软件，相关人员开展了A，B两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分测验，并从中各抽取20份，对数据进行整理、描述和分析评分分数用x表示，分为以下四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：，下面给出了部分信息．抽取的对A款人工智能学习辅导软件的所有评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99， 抽取的对B款人工智能学习辅导软件的评分数据中“满意”的数据为：86，89，86，88，87，88，90， 抽取的对A，B两款人工智能学习辅导软件的评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 A 86 b B 86 a 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______；______； （2）本次调查中，若有800名用户对A款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名用户对B款人工智能学习辅导软件进行了评分，请你估计对A款或B款软件非常满意用户共有多少人？ 19. 某种杂交柑桔新品种，皮薄汁多，口感细嫩，风味极佳，深受人们喜爱，某果农种植销售过程中发现，这种柑桔的种植成本为6元/千克，日销量与销售单价元之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设该果农每天销售利润为W元，求W与x之间的函数关系式； （3）若果农每天销售这种柑桔不低于且不超过，则每天的最大利润为______元直接填空 20. 已知，如图，在△中，是边上一点，⊙过三点，直线是⊙的切线，． （1）求的度数； （2）如果，⊙的半径为，求的长． 21. 小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： （1）求高楼的高度； （2）求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 22. 【定义】若二次函数顶点在直线上，则此二次函数叫做直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． （1）若二次函数是直线的开心函数，求k的值； （2）若二次函数是直线的开心函数． ①求用含m的代数式表示； ②若当时，y的最小值为，求m的值． 23. 如图①，在中，，，，点D和点E分别在边和上，连接，将沿折叠，使点A落在直线上点G处． （1）如图②，若，求证：四边形是菱形； （2）如图③，当点G落在线段的延长线上，且时，直接写出线段的长； （3）如图④，四边形中，，，对角线与交于点F，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $