27.2 相似三角形 27.2.2 相似三角形的性质（作业课件）-原创新课堂2023-2024学年九年级数学下册（人教版）河南

A A 8∶9 C B 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D.求△BCD与△ABC的周长之比． 解：∵∠B＝∠B，∠BDC＝∠BCA＝90°，∴△BCD∽△BAC.在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∴C△BCD∶C△ABC＝BC∶AB＝1∶2 B 8．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEF＝3，则S△BCF为( ) A．6 B．9 C．12 D．10 C 9．将一副三角板按如图所示叠放． (1)求证：△AOB∽△COD； (2)求△AOB与△COD的面积比． A B 1∶4 知识点❶：相似三角形对应线段的比等于相似比 1．(兰州中考)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为 eq \f(3,4) ，则△ABC与△DEF对应中线的比为( ) A． eq \f(3,4) 　　　 B． eq \f(4,3) 　　　 C． eq \f(9,16) 　　　 D． eq \f(16,9) 2．如图，已知△ADE≌△ABC，相似比为2∶5，AG⊥BC于点G，交DE于点F，AF∶AG＝( ) A．2∶5 B．5∶2 C．5∶1 D．1∶5 3．若两个三角形相似，相似比为8∶9，则它们对应角平分线的比是________，若其中较小三角形的一条角平分线的长为6 cm，则另一个三角形对应角平分线的长为____cm. eq \f(27,4) 知识点❷：相似三角形周长的比等于相似比 4．(2022·连云港)△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的△DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是( ) A．54 B．36 C．27 D．21 5．(2022·贵阳)如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AC∶AB＝1∶2，则△ADC与△ACB的周长比是( ) A．1∶ eq \r(2) B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 知识点❸：相似三角形面积的比等于相似比的平方 7．(2022·贺州)如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE∶S△ABC的值是( ) A． eq \f(3,25) B． eq \f(4,25) C． eq \f(2,5) D． eq \f(3,5) 解：(1)AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥CD，∴△AOB∽△COD (2)在Rt△ABC中，∠A＝45°，AB＝BC，在Rt△BCD中，∠D＝30°，CD＝ eq \r(3) BC，∴CD＝ eq \r(3) AB.又由(1)知△AOB∽△COD，∴ eq \f(S△AOB,S△COD) ＝( eq \f(AB,CD) )2＝ eq \f(1,3) 10．(湘西中考)如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是( ) A.1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5 11．(贵港中考)如图，在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE，若S四边形BCFE＝16，则S△ABC＝( ) A．16 B．18 C．20 D．24 12．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O.若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△CDE的比为_________． 13．(杭州中考)如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC. (1)求证：△ADE∽△ABC； (2)若AD＝3，AB＝5，求 eq \f(AF,AG) 的值． 解：(1)∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°.∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB.∵∠EAD＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC (2)由(1)知△ADE∽△ABC，又∵AF⊥DE，AG⊥BC，∴ eq \f(AF,AG) ＝ eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(3,5) 14．已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8. (1)如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC边上，EF交AD于点K. ①求 eq \f(EF,AK) 的值； ②设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求出S的最大值； (2)若AB＝AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长． 解：(1)①∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴ eq \f(AK,AD) ＝ eq \f(EF,BC) ，∴ eq \f(EF,AK) ＝ eq \f(BC,AD) ＝ eq \f(12,8) ＝ eq \f(3,2) ，即 eq \f(EF,AK) 的值是 eq \f(3,2) 　②∵EH＝x，∴KD＝EH＝x，AK＝8－x，∵ eq \f(EF,AK) ＝ eq \f(3,2) ，∴EF＝ eq \f(3,2) (8－x)，∴S＝EH·EF＝ eq \f(3,2) x(8－x)＝－ eq \f(3,2) (x－4)2＋24，∴当x＝4时，S的最大值是24　(2)设正方形的边长为a，①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时， eq \f(8－a,a) ＝ eq \f(8,12) ，解得a＝ eq \f(24,5) ；②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝6，∴AB＝AC＝ eq \r(AD2＋BD2) ＝ eq \r(62＋82) ＝10，∴AB或AC边上的高＝ eq \f(AD·BC,AB) ＝ eq \f(8×12,10) ＝ eq \f(48,5) ，∴ eq \f(\f(48,5)－a,a) ＝ eq \f(\f(48,5),10) ，解得a＝ eq \f(240,49) .综上可得，正方形PQMN的边长是 eq \f(24,5) 或 eq \f(240,49) $$