专题03 带电粒子在磁场中的运动（压轴20题10大考点）（考题猜想）-2024-2025学年高二物理下学期期中考点大串讲（教科版2019）

专题03 带电粒子在磁场中的运动（压轴20题10大考点） 训练范围：教科版（2019）： 选择性必修第二册 第1章。 一．回旋加速器（共2小题） 二．带电微粒(计重力)在磁场中的运动（共2小题） 三．带电粒子在直边界磁场中运动（共2小题） 四．带电粒子在弧形边界磁场中运动（共2小题） 五．根据粒子运动确定磁场区域的范围（共2小题） 六．粒子由磁场进入电场（共2小题） 七．粒子由电场进入磁场（共2小题） 八．带电粒子在叠加场中做直线运动（共2小题） 九．带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动（共2小题） 十．带电粒子在交变磁场中的运动（共2小题） 一．回旋加速器（共2小题） 1．（多选）1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示，这台加速器由两个铜质D形盒构成，D形盒的半径为R，D形盒间的交变电压大小为U，其间留有空隙。现对氚核加速，所需的高频电源的频率为f。已知元电荷为e，下列说法正确的是（　　） A．氚核的质量为 B．氚核从D形盒中飞出的最大速度随U的增大而增大 C．氚核被加速的次数为 D．若保持磁感应强度B和频率f不变，则该加速器也可以对氦核进行加速 2．（多选）我国建造的第一台回旋加速器的工作原理如图所示，其核心部分是两个D形盒（图甲），两盒中间接入交变电压（图乙）。粒子源置于D形盒的圆心附近，现粒子源产生质子，在时刻质子进入“D”型盒的间隙，质子获得的最大动能为，已知粒子的初速度不计，忽略粒子在电场中运动的时间，不考虑加速过程中引起的粒子质量变化。下列说法正确的是（　　） A．质子第二次加速前后在磁场中运动的轨道半径之比为 B．仅增大交变电压，质子在加速器中获得的最大动能将增大 C．仅增大交变电压，质子在加速器中运动的时间将减小 D．若仅将交流电源周期变为原来的两倍，则可使用该加速器对粒子加速，且粒子获得的最大动能等于 二．带电微粒(计重力)在磁场中的运动（共2小题） 3．（多选）如图所示为一个质量为m、电荷量为＋q的圆环，可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度为B的匀强磁场中，不计空气阻力，现给圆环向右的初速度v0，在以后的运动过程中，圆环运动的速度图像可能是下列选项中的（　　） A． B． C． D． 4．（多选）著名物理学家狄拉克曾经预言：“自然界应该存在只有一个磁极的磁单极子，其周围磁感线呈均匀辐射状分布（如图甲所示），距离它r处的磁感应强度大小为（k为常数），其磁场分布与负点电荷的电场分布相似”。现假设磁单极子S固定，有一质量为m，电量为q（电性未知）带电小球在S极附近距离r处做匀速圆周运动，运动轨迹相对于S中心形成的圆锥顶角为，重力加速度为g。则关于小球做匀速圆周运动的判断正确的是（　　）    A．若小球带正电，从上向下看粒子逆时针做匀速圆周运动，线速度大小为 B．若小球带正电，从上向下看粒子逆时针做匀速圆周运动，线速度大小为 C．若小球带负电，从上向下看粒子顺时针做匀速圆周运动，线速度大小为 D．若小球带负电，从上向下看粒子顺时针做匀速圆周运动，线速度大小为 三．带电粒子在直边界磁场中运动（共2小题） 5．（多选）如图所示，扇形区域AOC内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），∠AOC=60°。边界OA上有一距O为d的粒子源S，现粒子源在纸面内以等大速度向不同方向发射大量带正电的同种粒子（不计粒子重力及粒子间相互作用力），经过一段时间有部分粒子从边界OC射出磁场。已知从OC射出的粒子在磁场中运动的最大时间为（T为粒子在磁场中运动的周期）。关于从OC射出的粒子，下列判定正确的有（　　） A．O可能是粒子的轨迹圆心 B．粒子可能垂直于边界OC射出 C．从OC射出的粒子距O最远距离为 D．粒子在磁场中运动的最短时间等于 6．（多选）如图，坐标轴上三个点的坐标分别为a（-L，0）、b（2L，0）、c（0，2L），在第一、四象限内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在第二象限内有方向垂直纸面向外的匀强磁场，图中磁感线均未画出。某带电粒子以大小为 v、方向与x轴成的速度从a点射入，依次经过 O、b、c三点。不计粒子重力及磁场的边界效应，下列说法正确的是（　　） A．第二象限内的磁感应强度大小为2B B．粒子的比荷为 C．粒子从a点运动到c点的时间为 D．粒子能通过坐标为的点 四．带电粒子在弧形边界磁场中运动（共2小题） 7．（多选）在高能物理研究中，常用环状磁场来约束带电粒子的活动范围，其简化模型如图所示：内、外圆半径分别为的环形区域有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为。到圆心的距离为（）的点有一粒子源，可向纸面内发射速度大小不同的质量为、电荷量为的粒子，点发出的各种速度的粒子向各个方向均匀分布。不计重力和粒子间的相互作用。则（　　） A．若，速度小于的粒子都被约束在环的外圆以内 B．若，速度为的粒子中，有一半被约束在环的外圆以内 C．若，速度大于的粒子都会从环的外圆出去 D．若，速度小于的粒子都被约束在环的外圆以内 8．（多选）如图所示，在光滑绝缘的水平面上，有一半径为R的圆形区域，以圆形区域的圆心为坐标原点，在水平面内建立直角坐标系xOy。在圆形区域内（含边界）加上竖直向下的匀强磁场，在x>R的区域内加上沿x轴正方向的匀强电场。现从坐标为（0，-R）的P点向xOy平面内的圆形区域同时沿不同方向发射一群质量为m、电荷量为-q（q>0）、速度大小为v0的带电微粒（视为质点，忽略微粒之间的相互作用）。已知磁感应强度的大小，则从微粒发射到完全离开圆形区域的过程中，下列说法正确的是（　　） A．微粒最终离开圆形区域时的速度方向均相同 B．微粒最终离开圆形区域时的速度大小均相同 C．微粒在磁场中运动的总路程均为 D．微粒在磁场中运动的总时间均为 五．根据粒子运动确定磁场区域的范围（共2小题） 9．（多选）一质量为m、电量为q的带电粒子以速度从x轴上的A点垂直y轴射入第一象限，第一象限某区域存在磁感强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，粒子离开第一象限时速度方向与x轴正方向夹角θ=60°。如图所示（粒子仅受洛伦兹力），下列说法正确的是（　　） A．带电粒子带负电荷 B．带电粒子在磁场中的做圆周运动的圆心角为60° C．如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是 D．如果该磁场区域是矩形，则该磁场的最小面积是 10．（多选）一质量为m、电量为q（q<0）的带电粒子以速度v0从x轴上的A点垂直y轴射入第一象限，第一象限某区域磁感强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，粒子离开第一象限时速度方向与x轴正方向夹角θ＝60°。如图所示（粒子仅受洛伦兹力），下列说法正确的是（　　） A．如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是 B．如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是 C．如果该磁场区域是矩形，则该磁场的最小面积是 D．如果该磁场区域是矩形，则该磁场的最小面积是 六．粒子由磁场进入电场（共2小题） 11．如题图所示，xOy平面内，区域存在垂直平面向里的匀强磁场，区域内存在沿x轴正方向的匀强电场。在坐标原点O有一粒子源，分别沿x、y轴正方向以相同速率发射带正电粒子a、b，两粒子质量均为m，电荷量均为q。粒子b离开磁场时的速度与x轴负方向的夹角为，之后粒子b从（）处经过y轴。不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用。 (1)求匀强磁场的磁感应强度大小 (2)求匀强电场的场强大小 (3)若粒子a、b同时离开磁场，求两粒子从O点发射的时间差，以及粒子 b在电场中经过处时对应的粒子a的位置坐标。 12．如图，在坐标系内，第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场，第二象限有沿x轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E。一质量为m、电荷量为q的带电粒子从x轴上的点以速度v沿与x轴正方向成60°角的方向射入磁场，恰好垂直于y轴射出磁场进入电场，不计粒子重力，求： (1)磁感应强度B的大小； (2)粒子从P点射入到第二次到达y轴的时间t。 七．粒子由电场进入磁场（共2小题） 13．现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。如图所示，在真空坐标系xOy中，第二象限内有边界互相平行且宽度均为d的两个区域，分别分布着方向竖直向下的匀强电场和方向垂直纸面向里的匀强磁场，调节电场和磁场大小，可以控制飞出的带电粒子的速度大小及方向，现将质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界P处由静止释放，粒子恰好以速度大小为v0、沿x轴正方向从坐标原点O进入x>0区域，x>0区域存在磁感应强度大小B1、方向垂直xOy平面向里的匀强磁场和另一未知的匀强电场，粒子进入x>0区域后恰好做匀速直线运动，不计粒子重力，求： (1)x>0区域中电场强度E1的大小和方向； (2)第二象限中电场强度大小E0与磁感应强度大小B0； (3)保持第二象限中磁感应强度大小不变，将电场强度大小增大为原来的4倍，同时左右调整入射P点的位置，使粒子仍能从O点进入x>0区域，求粒子进入x>0区域后，运动过程中距离x轴最远位置的坐标。 14．如图所示，平行金属板a、b水平放置，板长，极板间距，过两极板右端的虚线MN右侧有范围足够大的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。在两极板左端正中间O点水平向右发射一比荷、初速度的带正电粒子。粒子恰好从上极板右端边缘进入磁场，经磁场偏转后恰好从两板右端正中间进入电场，不计粒子的重力，不考虑极板边缘电场的影响。求： (1)两板间所加电压大小 (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)若粒子进电场时，将两板间的电压减小，当粒子出电场时，两板间的电压恰好减为零，不考虑电场变化带来的效应，试分析此后粒子经磁场偏转后能不能再进入两板间； (4)若粒子进入磁场后，某时刻将磁场反向，此后粒子的运动轨迹恰好与MN相切，则磁场反向时，粒子离MN的距离为多少。 八．带电粒子在叠加场中做直线运动（共2小题） 15．如图所示，竖直面内有正交的匀强电场和匀强磁场，其中电场的方向与水平方向的夹角为θ。一带电油滴以一定的初速度沿电场方向射入，恰好做直线运动。已知磁感应强度为B，油滴的质量为m、电荷量为q，重力加速度为g。求： (1)油滴的电性； (2)带电油滴的初速度大小和匀强电场的电场强度E大小。 16．如图所示，磁感应强度大小为的匀强磁场垂直纸面向里，匀强电场水平向左，比荷的带负电微粒，刚好能够在纸面内以的速度做匀速直线运动，速度方向与竖直方向的夹角为。已知图中点是它的运动轨迹上的一点，重力加速度取。 (1)求匀强电场的电场强度大小； (2)当微粒运动到点时，撤去磁场，当微粒运动到点时（图中未画出），速度变为竖直，求点与点的水平距离和竖直距离； (3)当微粒运动到点时，撤去电场，同时恢复被撤去的磁场，求在此后的运动中，微粒与点在竖直方向上的最大距离是多少。 九．带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动（共2小题） 17．如图所示，在真空中有一个无限大的区域。在该区域内有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，匀强磁场的磁感应强度大小为一质量为m、电荷量为q的带正电小球(视为点电荷)从到磁场上边界高度为H(未知)的A点由静止释放，小球进入磁场区域后做半径为2H的匀速圆周运动，重力加速度大小为 (1)求匀强电场的电场强度大小E和小球距离磁场区域的高度 (2)将小球以大小为未知的初速度从A点向左水平抛出，小球恰好能回到初始位置，求初速度的大小和从抛出到第一次回到初始位置所用的时间 18．如图所示，竖直平面直角坐标系xOy的第一、四象限，存在大小相等、竖直向上的匀强电场，第一象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小，第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小。一质量为m、电荷量为+q的带电粒子，从y轴上的A点以初速度v0沿与y轴正方向成θ=60°角进入第一象限做匀速圆周运动，恰好运动到x轴上的C点处（图中未画出），然后垂直于x轴进入第四象限。不计空气阻力及电磁场的边界效应，重力加速度为g，求： (1)第一、四象限匀强电场的电场强度大小E； (2)粒子从A点开始到第三次经过x轴时经历的时间t； (3)仅撤去第四象限的匀强电场，粒子从A点开始到第三次经过x轴时与O点间的距离x。 十．带电粒子在交变磁场中的运动（共2小题） 19．如图1所示，圆心为O、半径为R的圆形有界磁场。磁感应强度B在一个周期T内的变化规律如图2所示（周期T满足T=2t0+ Δt，T、t0、Δt均未知，B0大小可调），0~t0时间磁场方向垂直纸面向里。边界a点处有一电子枪，电子经电压加速后，于t=0时刻沿直径ab进入磁场。电子的初速度、重力不计，比荷为k。 (1)若已知加速电压为U0，电子进入磁场后运动t0时间速度偏转90°打到边界上。求对应磁感应强度B0的大小； (2)保持（1）中B0、t0不变，当Δt=2t0时，调节加速电压，电子进入磁场后恰能击中磁场边界上的b点，求加速电压U与U0的关系； (3)若T已知，调节加速电压为U1，电子进入磁场后经过一个周期T恰能回到发射点，且运动过程中恰好不打到磁场边界，求加速电压U1。 20．如图a所示，平面直角坐标系中，第三象限中存在方向沿y轴负方向的匀强电场，第四象限直角三角形区域中存在着大小、方向均可调整的磁场。已知C点坐标边与x轴正方向的夹角大小为，一质量为m，电荷量为q的带正电粒子，从P点以大小为y，方向与边平行的初速度进入电场。经偏转后从A点垂直边进入磁场。若磁场为方向垂直纸面向外的匀强磁场，则发现粒子恰好不从边射出。若磁场为随时间呈周期性变化的交变磁场（如图b，规定磁场方向垂直纸面向外为正），则发现在时从A点进入磁场的粒子，经两个完整周期后恰好从C点射出，已知匀强电场场强，不计粒子重力。求： (1)A点的坐标； (2)粒子恰好不从边射出时，匀强磁场磁感应强度的大小； (3)交变磁场的磁感应强度和周期的大小。 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 带电粒子在磁场中的运动（压轴20题10大考点） 训练范围：教科版（2019）： 选择性必修第二册 第1章。 一．回旋加速器（共2小题） 二．带电微粒(计重力)在磁场中的运动（共2小题） 三．带电粒子在直边界磁场中运动（共2小题） 四．带电粒子在弧形边界磁场中运动（共2小题） 五．根据粒子运动确定磁场区域的范围（共2小题） 六．粒子由磁场进入电场（共2小题） 七．粒子由电场进入磁场（共2小题） 八．带电粒子在叠加场中做直线运动（共2小题） 九．带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动（共2小题） 十．带电粒子在交变磁场中的运动（共2小题） 一．回旋加速器（共2小题） 1．（多选）1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示，这台加速器由两个铜质D形盒构成，D形盒的半径为R，D形盒间的交变电压大小为U，其间留有空隙。现对氚核加速，所需的高频电源的频率为f。已知元电荷为e，下列说法正确的是（　　） A．氚核的质量为 B．氚核从D形盒中飞出的最大速度随U的增大而增大 C．氚核被加速的次数为 D．若保持磁感应强度B和频率f不变，则该加速器也可以对氦核进行加速 【答案】AC 【解析】A．根据周期公式 又 可知，故A正确； B．设D形盒的半径为，则最终射出回旋加速器的速度满足 即有 最终射出回旋加速器的速度与电压无关，故B错误； C．由动能定理得 解得，故C正确； D．因为氚与氦核的比荷不同，在磁场中做圆周运动的周期不同，所以不能用来加速氦核，故D错误。 故选AC。 2．（多选）我国建造的第一台回旋加速器的工作原理如图所示，其核心部分是两个D形盒（图甲），两盒中间接入交变电压（图乙）。粒子源置于D形盒的圆心附近，现粒子源产生质子，在时刻质子进入“D”型盒的间隙，质子获得的最大动能为，已知粒子的初速度不计，忽略粒子在电场中运动的时间，不考虑加速过程中引起的粒子质量变化。下列说法正确的是（　　） A．质子第二次加速前后在磁场中运动的轨道半径之比为 B．仅增大交变电压，质子在加速器中获得的最大动能将增大 C．仅增大交变电压，质子在加速器中运动的时间将减小 D．若仅将交流电源周期变为原来的两倍，则可使用该加速器对粒子加速，且粒子获得的最大动能等于 【答案】CD 【解析】A．质子第二次加速前，有 又 联立，解得 同理，可得质子第二次加速后在磁场中运动的轨道 质子第二次加速前后在磁场中运动的轨道半径之比为，故A错误； B．质子在加速器中获得的最大速率满足 解得 可得质子在加速器中获得的最大动能 则仅增大交变电压，质子在加速器中获得的最大动能不变，故B错误； C．设质子加速的次数为n，则有 则质子运动的时间 又 联立，解得 可知仅增大交变电压，质子在加速器中运动的时间将减小，故C正确； D．根据 可知粒子与质子在磁场中运动的周期关系为 根据回旋加速器的工作原理可知，若仅将交流电源周期变为原来的两倍，则可使用该加速器对粒子加速，根据 可知粒子和质子获得的最大动能分别表示为， 则有 故D正确。 故选CD。 二．带电微粒(计重力)在磁场中的运动（共2小题） 3．（多选）如图所示为一个质量为m、电荷量为＋q的圆环，可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度为B的匀强磁场中，不计空气阻力，现给圆环向右的初速度v0，在以后的运动过程中，圆环运动的速度图像可能是下列选项中的（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】A．带电圆环在磁场中受到向上的洛伦兹力，当重力与洛伦兹力相等时，圆环将做匀速直线运动，选项A正确； D．当洛伦兹力大于重力时，圆环受到摩擦力的作用，并且随着速度的减小而减小，圆环将做加速度逐渐减小的减速运动，最后做匀速直线运动，选项D正确； BC．如果重力大于洛伦兹力，圆环也受摩擦力作用，且摩擦力越来越大，圆环将做加速度逐渐增大的减速运动，故BC错误。 故选AD。 4．（多选）著名物理学家狄拉克曾经预言：“自然界应该存在只有一个磁极的磁单极子，其周围磁感线呈均匀辐射状分布（如图甲所示），距离它r处的磁感应强度大小为（k为常数），其磁场分布与负点电荷的电场分布相似”。现假设磁单极子S固定，有一质量为m，电量为q（电性未知）带电小球在S极附近距离r处做匀速圆周运动，运动轨迹相对于S中心形成的圆锥顶角为，重力加速度为g。则关于小球做匀速圆周运动的判断正确的是（　　）    A．若小球带正电，从上向下看粒子逆时针做匀速圆周运动，线速度大小为 B．若小球带正电，从上向下看粒子逆时针做匀速圆周运动，线速度大小为 C．若小球带负电，从上向下看粒子顺时针做匀速圆周运动，线速度大小为 D．若小球带负电，从上向下看粒子顺时针做匀速圆周运动，线速度大小为 【答案】AC 【解析】AB．若小球带正电，当小球位于最左侧时，重力与洛伦兹力的合力提供向心力，则洛伦兹力应垂直磁感线向上，根据左手定则，从上向下看粒子逆时针做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律 解得 故A正确，B错误； CD．若小球带负电，当小球位于最左侧时，重力与洛伦兹力的合力提供向心力，则洛伦兹力应垂直磁感线向上，根据左手定则，从上向下看粒子顺时针做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律 解得 故C正确，D错误。 故选AC。 三．带电粒子在直边界磁场中运动（共2小题） 5．（多选）如图所示，扇形区域AOC内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），∠AOC=60°。边界OA上有一距O为d的粒子源S，现粒子源在纸面内以等大速度向不同方向发射大量带正电的同种粒子（不计粒子重力及粒子间相互作用力），经过一段时间有部分粒子从边界OC射出磁场。已知从OC射出的粒子在磁场中运动的最大时间为（T为粒子在磁场中运动的周期）。关于从OC射出的粒子，下列判定正确的有（　　） A．O可能是粒子的轨迹圆心 B．粒子可能垂直于边界OC射出 C．从OC射出的粒子距O最远距离为 D．粒子在磁场中运动的最短时间等于 【答案】BD 【解析】CD．由于所有粒子的速度大小都相同，故在磁场中运动轨迹半径均相同；由于从OC边界射出的粒子在磁场中运动时间最长为半个周期，可知粒子在磁场中转过的圆弧都不是优弧。转过的弧长越小的粒子，在磁场中运动时间就越短，由于可断定粒子都是做逆时针圆周运动，则初速度沿OA方向的粒子运动时间最长，其在磁场中的运动轨迹是个半圆；如图所示 过S作OA的垂线与OC相交于D点，则SD为该粒子运动的轨迹直径，可得轨迹半径为 从OC射出的粒子距O最远距离为 绕S点逆时针旋转该粒子运动的轨迹，由点到直线垂线段最短可知，轨迹与OC相交于S在OC上的垂足E时，粒子在磁场中运动时间最短，而 即△O′SE为等边三角形，故运动时间最短的粒子在磁场中转过的圆心角为60°，最短时间为，故C错误，D正确； A．由上述分析可知，粒子的轨迹，故O不可能是粒子的轨迹圆心，故A错误； B．由上述分析可知，S点到直线OC的距离为，则粒子的轨迹圆心可以在直线OC上，当粒子的轨迹圆心O′落在直线OC上时，粒子垂直于边界OC射出，故B正确。 故选BD。 6．（多选）如图，坐标轴上三个点的坐标分别为a（-L，0）、b（2L，0）、c（0，2L），在第一、四象限内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在第二象限内有方向垂直纸面向外的匀强磁场，图中磁感线均未画出。某带电粒子以大小为 v、方向与x轴成的速度从a点射入，依次经过 O、b、c三点。不计粒子重力及磁场的边界效应，下列说法正确的是（　　） A．第二象限内的磁感应强度大小为2B B．粒子的比荷为 C．粒子从a点运动到c点的时间为 D．粒子能通过坐标为的点 【答案】ACD 【解析】AB．根据题意，作出粒子运动轨迹如图所示 当带电粒子在第二象限内运动时，由几何关系可知，带电粒子做匀速圆周运动的圆心坐标为，轨道半径 粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有， 当带电粒子从 O点进入第四象限时，由几何关系可知，带电粒子做匀速圆周运动的圆心坐标为，轨道半径 粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有， 联立上述各式可得， A正确，B错误； C．结合上述可知，带电粒子在第二象限运动了个圆周，所以运动时间 带电粒子在第一与第四象限运动了个圆周，所以运动时间 所以粒子从 a点运动到c点的时间为 故 C正确； D．当带电粒子从 c点再次进入第二象限时，由几何关系可知：带电粒子做半径为的匀速圆周运动，圆心坐标为，由几何知识可知，当带电粒子第二次进入第一象限的位置设为d点，则坐标为，带电粒子第二次在第一象限内做匀速圆周运动的圆心，由几何知识可知，它的坐标为，半径为，由几何知识可知，当带电粒子第三次进入第二象限的位置设为 e点，坐标为，由几何关系可知，带电粒子做半径为的匀速圆周运动，圆心坐标为，坐标为的点在第二象限，根据几何知识有，它到圆心的距离，可知，粒子能通过坐标为的点，故D正确。 故选ACD。 四．带电粒子在弧形边界磁场中运动（共2小题） 7．（多选）在高能物理研究中，常用环状磁场来约束带电粒子的活动范围，其简化模型如图所示：内、外圆半径分别为的环形区域有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为。到圆心的距离为（）的点有一粒子源，可向纸面内发射速度大小不同的质量为、电荷量为的粒子，点发出的各种速度的粒子向各个方向均匀分布。不计重力和粒子间的相互作用。则（　　） A．若，速度小于的粒子都被约束在环的外圆以内 B．若，速度为的粒子中，有一半被约束在环的外圆以内 C．若，速度大于的粒子都会从环的外圆出去 D．若，速度小于的粒子都被约束在环的外圆以内 【答案】ABD 【解析】A．若，如图粒子从O点沿OM方向射出时刚好与外圆相切时 设此时粒子的运动半径为，结合几何关系有 解得 根据 解得 故速度小于的粒子都被约束在环的外圆以内，故A正确； B．若，此时粒子源位于内圆边上，根据前面分析可知此时速度为的粒子沿半径方向射出时刚好与外圆相切，刚好不能射出磁场；根据旋转圆法可知此时粒子速度方向向OM下方偏转时（速度方向还在圆环磁场中），粒子越不能射出外圆；粒子速度方向向OM上方偏转时（速度方向还在圆环磁场中），粒子就会射出外圆，根据对称性当粒子在内圆边上的其它位置同样满足该规律，故有一半被约束在环的外圆以内，故B正确； CD．若，如图所示，当粒子速度垂直OA方向向上射入磁场时，粒子在磁场中的运动轨迹刚好与磁场外边界相切时，运动轨迹半径最小，速度为最小值，设此时粒子运动半径为r 由几何知识OC2+CO′2=OO′2， 可知 解得 由 解得 故可知速度小于的粒子都被约束在环的外圆以内；根据前面B选项分析可知当速度为的粒子沿着图中OA方向射出时刚好不能射出磁场，该条件下速度越小，轨迹半径越小，越不可能射出磁场，故至少存在一种情况：当速度大于小于时从P点沿着OA方向时不会从环的外圆出去，所以若，速度大于的粒子不会都从环的外圆出去，故C错误，D正确。 故选ABD。 8．（多选）如图所示，在光滑绝缘的水平面上，有一半径为R的圆形区域，以圆形区域的圆心为坐标原点，在水平面内建立直角坐标系xOy。在圆形区域内（含边界）加上竖直向下的匀强磁场，在x>R的区域内加上沿x轴正方向的匀强电场。现从坐标为（0，-R）的P点向xOy平面内的圆形区域同时沿不同方向发射一群质量为m、电荷量为-q（q>0）、速度大小为v0的带电微粒（视为质点，忽略微粒之间的相互作用）。已知磁感应强度的大小，则从微粒发射到完全离开圆形区域的过程中，下列说法正确的是（　　） A．微粒最终离开圆形区域时的速度方向均相同 B．微粒最终离开圆形区域时的速度大小均相同 C．微粒在磁场中运动的总路程均为 D．微粒在磁场中运动的总时间均为 【答案】BD 【解析】A．带电微粒在电场、磁场中的运动，轨迹如图所示 微粒在磁场中做匀速圆周运动，有 解得 由于微粒的轨迹圆半径和原磁场半径相同，故微粒在xOy平面内将先后经历磁发散、进入电场做匀变速直线运动、返回磁场的磁聚焦三个过程，最终从xOy平面内的Q点离开，但是速度方向不相同，故错误； B．根据运动的对称性可知，微粒最终离开圆形区域时的速度大小均相同，故B正确； CD．微粒在磁场中均经历了半个周期，运动的总路程均为πR，在磁场中运动的总时间均为 故C错误，D正确。 故选BD。 五．根据粒子运动确定磁场区域的范围（共2小题） 9．（多选）一质量为m、电量为q的带电粒子以速度从x轴上的A点垂直y轴射入第一象限，第一象限某区域存在磁感强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，粒子离开第一象限时速度方向与x轴正方向夹角θ=60°。如图所示（粒子仅受洛伦兹力），下列说法正确的是（　　） A．带电粒子带负电荷 B．带电粒子在磁场中的做圆周运动的圆心角为60° C．如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是 D．如果该磁场区域是矩形，则该磁场的最小面积是 【答案】BCD 【解析】A．磁场方向垂直于纸面向外，粒子在磁场中顺时针偏转，根据左手定则可知，带电粒子带正电荷，故A错误； B．由题意可知粒子在磁场中速度方向改变了60°，则带电粒子在磁场中的做圆周运动的圆心角为60°，故B正确； C．由洛伦兹力提供向心力得 可得轨道半径为 粒子的运动轨迹如图所示 若是圆形区域磁场，则以CD为直径的圆面积最小，根据几何关系可知，故最小面积为 故C正确； D．若是矩形区域磁场，则以CD为长，以圆弧最高点到CD的距离h为宽，则矩形的面积最小；则有 所以矩形区域磁场最小面积为 故D正确。 故选BCD。 10．（多选）一质量为m、电量为q（q<0）的带电粒子以速度v0从x轴上的A点垂直y轴射入第一象限，第一象限某区域磁感强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，粒子离开第一象限时速度方向与x轴正方向夹角θ＝60°。如图所示（粒子仅受洛伦兹力），下列说法正确的是（　　） A．如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是 B．如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是 C．如果该磁场区域是矩形，则该磁场的最小面积是 D．如果该磁场区域是矩形，则该磁场的最小面积是 【答案】AC 【解析】AB．由洛伦兹力充当向心力得 所以半径为 运动轨迹如下图所示 若是圆形区域磁场，则以CD为直径的圆面积最小，CD=R，故最小面积为 A正确，B错误； CD．若是矩形区域磁场，则以CD为长，以圆弧最高点到CD的距离h为宽，则矩形的面积最小。 所以矩形区域磁场最小面积为 C正确，D错误； 故选AC。 六．粒子由磁场进入电场（共2小题） 11．如题图所示，xOy平面内，区域存在垂直平面向里的匀强磁场，区域内存在沿x轴正方向的匀强电场。在坐标原点O有一粒子源，分别沿x、y轴正方向以相同速率发射带正电粒子a、b，两粒子质量均为m，电荷量均为q。粒子b离开磁场时的速度与x轴负方向的夹角为，之后粒子b从（）处经过y轴。不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用。 (1)求匀强磁场的磁感应强度大小 (2)求匀强电场的场强大小 (3)若粒子a、b同时离开磁场，求两粒子从O点发射的时间差，以及粒子 b在电场中经过处时对应的粒子a的位置坐标。 【答案】(1) (2) (3)， ， 【详解】（1）设粒子b在磁场中运动的半径为R，其运动轨迹如图 由几何关系有 得 又由洛伦兹力提供向心力 联立解得 （2）粒子b在电场中沿y轴方向做匀速直线运动，沿x轴方向做匀变运动，如图所示 设粒子b在电场中运动时间后到达处，沿y轴方向 解得 沿x轴方向 联立解得 （3）由分析知，粒子 a、b在磁场中运动的半径和周期均相等，设周期为T，则 粒子a在磁场中运动的轨迹如图所示 由几何关系得，粒子a在破场中运动的圆心角满足 解得 粒子b在磁场中运动的圆心角 要使两粒子同时离开磁场，粒子 a比粒子b先发射，且发射的时间差 解得 由分析知，粒子a进入电场时，与x轴正方向的夹角为，两粒子在电场中运动时 沿x轴方向加速度相同，相对速度 沿y轴方向的速度相同，均为 粒子b经过处时，在电场中运动的时间 粒子a相对粒子b沿x轴运动的位移 刚进入电场时，粒子a、b之间的距离 因此，粒子b经过时，粒子a的横坐标 解得 即对应的粒子a的位置坐标为 ，  。 12．如图，在坐标系内，第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场，第二象限有沿x轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E。一质量为m、电荷量为q的带电粒子从x轴上的点以速度v沿与x轴正方向成60°角的方向射入磁场，恰好垂直于y轴射出磁场进入电场，不计粒子重力，求： (1)磁感应强度B的大小； (2)粒子从P点射入到第二次到达y轴的时间t。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子在磁场中的运动情况如图所示 由几何关系得 解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 粒子在磁场中运动的时间 粒子从y轴进入电场至速度为0的过程中，可得, 解得 粒子从P点射入到第二次到达y轴的时间 七．粒子由电场进入磁场（共2小题） 13．现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。如图所示，在真空坐标系xOy中，第二象限内有边界互相平行且宽度均为d的两个区域，分别分布着方向竖直向下的匀强电场和方向垂直纸面向里的匀强磁场，调节电场和磁场大小，可以控制飞出的带电粒子的速度大小及方向，现将质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界P处由静止释放，粒子恰好以速度大小为v0、沿x轴正方向从坐标原点O进入x>0区域，x>0区域存在磁感应强度大小B1、方向垂直xOy平面向里的匀强磁场和另一未知的匀强电场，粒子进入x>0区域后恰好做匀速直线运动，不计粒子重力，求： (1)x>0区域中电场强度E1的大小和方向； (2)第二象限中电场强度大小E0与磁感应强度大小B0； (3)保持第二象限中磁感应强度大小不变，将电场强度大小增大为原来的4倍，同时左右调整入射P点的位置，使粒子仍能从O点进入x>0区域，求粒子进入x>0区域后，运动过程中距离x轴最远位置的坐标。 【答案】(1)，方向沿y轴负方向 (2)， (3)和 【详解】（1）粒子进入区域后恰好做匀速直线运动，根据平衡条件由 解得 方向沿y轴负方向 （2）粒子从O到P，根据动能定理有 解得 粒子在中做匀速圆周运动，根据几何关系有 洛伦兹力提供向心力 解得 （3）将第二象限中电场强度大小增大为原来的4倍，根据动能定理有 解得 磁感应强度大小不变 解得 其运动轨迹如图 由图可知 即粒子从O点进入区域时速度方向与y轴负方向的夹角为 该速度沿x轴和y轴正方向的分速度大小为， 则粒子进入区域后的运动可分解为沿x轴正方向的匀速直线运动和速度大小为的匀速圆周运动，可知 解得 粒子做圆周运动的周期为 第一个周期内粒子运动和距离x轴最远，根据粒子运动的周期性，粒子运动和时距离x轴最远，最远位置的横坐标分别为 纵坐标分别为， 综上所述，最远的位置坐标为和， 14．如图所示，平行金属板a、b水平放置，板长，极板间距，过两极板右端的虚线MN右侧有范围足够大的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。在两极板左端正中间O点水平向右发射一比荷、初速度的带正电粒子。粒子恰好从上极板右端边缘进入磁场，经磁场偏转后恰好从两板右端正中间进入电场，不计粒子的重力，不考虑极板边缘电场的影响。求： (1)两板间所加电压大小 (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)若粒子进电场时，将两板间的电压减小，当粒子出电场时，两板间的电压恰好减为零，不考虑电场变化带来的效应，试分析此后粒子经磁场偏转后能不能再进入两板间； (4)若粒子进入磁场后，某时刻将磁场反向，此后粒子的运动轨迹恰好与MN相切，则磁场反向时，粒子离MN的距离为多少。 【答案】(1) (2) (3)能 (4) 【详解】（1）粒子穿过电场的时间 粒子在电场运动的加速度 粒子沿电场方向做初速度为零的匀加速运动，则 解得 （2）设粒子出电场时的速度为v，则 解得 则 设粒子出电场时速度与水平方向的夹角为，由于，则 由于经磁场偏转后恰好从两板右端正中间进入电场，设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，根据几何关系有 解得 根据牛顿第二定律 解得 （3）电场变小，由于电场力做功，粒子出电场时仍发生一定的侧移，设粒子出电场时速度为，速度与直线 MN 的夹角为，则 粒子做圆周运动的半径 粒子出磁场时在MN上的位置离进磁场时的位置间距离 由于粒子进磁场的位置在两板右端连线中点上方，因此粒子一定能再次进入两板间。 （4）粒子在磁场中方向改变前和改变后的轨迹如图所示： 磁场方向改变前，粒子做圆周运动的圆心到MN的距离为 根据几何关系，磁场方向改变时，粒子的位置离MN的距离 八．带电粒子在叠加场中做直线运动（共2小题） 15．如图所示，竖直面内有正交的匀强电场和匀强磁场，其中电场的方向与水平方向的夹角为θ。一带电油滴以一定的初速度沿电场方向射入，恰好做直线运动。已知磁感应强度为B，油滴的质量为m、电荷量为q，重力加速度为g。求： (1)油滴的电性； (2)带电油滴的初速度大小和匀强电场的电场强度E大小。 【答案】(1)正电 (2)； 【详解】（1）假设油滴带正电，根据左手定则可知，油滴受洛伦兹力方向斜向左上，受力如图所示 当三力平衡时，油滴恰好做匀速直线运动，可知油滴带正电。 （2）由平衡条件可知， 解得， 16．如图所示，磁感应强度大小为的匀强磁场垂直纸面向里，匀强电场水平向左，比荷的带负电微粒，刚好能够在纸面内以的速度做匀速直线运动，速度方向与竖直方向的夹角为。已知图中点是它的运动轨迹上的一点，重力加速度取。 (1)求匀强电场的电场强度大小； (2)当微粒运动到点时，撤去磁场，当微粒运动到点时（图中未画出），速度变为竖直，求点与点的水平距离和竖直距离； (3)当微粒运动到点时，撤去电场，同时恢复被撤去的磁场，求在此后的运动中，微粒与点在竖直方向上的最大距离是多少。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）微粒做匀速直线运动，受力情况如图所示 则， 解得 （2）撤去磁场后，微粒做类平抛运动  将速度分解可得， 水平方向的加速度 水平方向的速度减为零时 此时与点的竖直距离为 与点的水平距离为 （3）微粒运动的轨迹离点的竖直距离最大时，速度为水平方向 在水平方向上，由动量定理可得 即 在点时速度 由动能定理可得 求得 与点在竖直方向上的最大距离 九．带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动（共2小题） 17．如图所示，在真空中有一个无限大的区域。在该区域内有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，匀强磁场的磁感应强度大小为一质量为m、电荷量为q的带正电小球(视为点电荷)从到磁场上边界高度为H(未知)的A点由静止释放，小球进入磁场区域后做半径为2H的匀速圆周运动，重力加速度大小为 (1)求匀强电场的电场强度大小E和小球距离磁场区域的高度 (2)将小球以大小为未知的初速度从A点向左水平抛出，小球恰好能回到初始位置，求初速度的大小和从抛出到第一次回到初始位置所用的时间 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）带正电小球在磁场中做匀速圆周运动，电场力与重力大小相等，有 解得 小球刚进入磁场时的速度大小 在磁场中洛伦兹力提供向心力，有, 解得 （2）小球进入磁场前的水平位移大小， 竖直位移大小， 可得 设小球刚进入磁场时的速度方向与水平方向的夹角为，有, 由几何关系有 解得, 粒子在磁场中的运动时间为 再由对称性可知：。 18．如图所示，竖直平面直角坐标系xOy的第一、四象限，存在大小相等、竖直向上的匀强电场，第一象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小，第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小。一质量为m、电荷量为+q的带电粒子，从y轴上的A点以初速度v0沿与y轴正方向成θ=60°角进入第一象限做匀速圆周运动，恰好运动到x轴上的C点处（图中未画出），然后垂直于x轴进入第四象限。不计空气阻力及电磁场的边界效应，重力加速度为g，求： (1)第一、四象限匀强电场的电场强度大小E； (2)粒子从A点开始到第三次经过x轴时经历的时间t； (3)仅撤去第四象限的匀强电场，粒子从A点开始到第三次经过x轴时与O点间的距离x。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子在第一象限做匀速圆周运动，有 解得 （2）如图甲所示 粒子进入第一象限后做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 解得 粒子在第一象限运动的周期 粒子在第一象限的运动分为两个过程，用时分别为、，由几何关系可知在第一象限的运动的第一过程转过的圆心角为，第二过程转过的圆心角为，则 粒子进入第四象限后继续做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 ， 粒子在第四象限运动的时间 粒子从A点开始到第三次经过轴时经历的时间 （3）如图乙所示 粒子进入第一象限后做匀速圆周运动，粒子第一次经过x轴时与O点间的距离 把粒子在第四象限竖直向下的速度分解成左偏下45°的和水平向右的，其中水平方向的满足，故粒子在第四象限相当于参与两个运动：在水平方向以做匀速直线运动，在竖直面内以做匀速圆周运动，经四分之三周期再次回到第一象限。粒子在第四象限竖直面内的运动，由洛伦兹力提供向心力，有 解得 粒子第二次经过x轴时与C点间的距离 解得 粒子从 D点开始到第三次经过x轴时与D点间的距离 粒子从A点开始到第三次经过x轴时与O点间的距离 十．带电粒子在交变磁场中的运动（共2小题） 19．如图1所示，圆心为O、半径为R的圆形有界磁场。磁感应强度B在一个周期T内的变化规律如图2所示（周期T满足T=2t0+ Δt，T、t0、Δt均未知，B0大小可调），0~t0时间磁场方向垂直纸面向里。边界a点处有一电子枪，电子经电压加速后，于t=0时刻沿直径ab进入磁场。电子的初速度、重力不计，比荷为k。 (1)若已知加速电压为U0，电子进入磁场后运动t0时间速度偏转90°打到边界上。求对应磁感应强度B0的大小； (2)保持（1）中B0、t0不变，当Δt=2t0时，调节加速电压，电子进入磁场后恰能击中磁场边界上的b点，求加速电压U与U0的关系； (3)若T已知，调节加速电压为U1，电子进入磁场后经过一个周期T恰能回到发射点，且运动过程中恰好不打到磁场边界，求加速电压U1。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设电子进磁场时速度大小为，电子在电场中，根据动能定理有 又因为 联立解得 由于电子运动时间速度偏转打到边界上，可知电子轨道半径r与磁场圆半径R相等，即 又因为电子在磁场中 联立以上解得 （2）为使电子能击中磁场边界上的点，且当时，电子需运动个整周期才能回到虚线，故 因为电子在磁场中 电子在电场中，根据动能定理有 又因为 联立解得 （3）经过一个周期后恰能回到发射点，作出运动轨迹，如图所示 由图可知ΔABC为等边三角形，故 且运动过程中恰好不打到磁场上边界，根据几何关系有 且 又因为， 联立解得 20．如图a所示，平面直角坐标系中，第三象限中存在方向沿y轴负方向的匀强电场，第四象限直角三角形区域中存在着大小、方向均可调整的磁场。已知C点坐标边与x轴正方向的夹角大小为，一质量为m，电荷量为q的带正电粒子，从P点以大小为y，方向与边平行的初速度进入电场。经偏转后从A点垂直边进入磁场。若磁场为方向垂直纸面向外的匀强磁场，则发现粒子恰好不从边射出。若磁场为随时间呈周期性变化的交变磁场（如图b，规定磁场方向垂直纸面向外为正），则发现在时从A点进入磁场的粒子，经两个完整周期后恰好从C点射出，已知匀强电场场强，不计粒子重力。求： (1)A点的坐标； (2)粒子恰好不从边射出时，匀强磁场磁感应强度的大小； (3)交变磁场的磁感应强度和周期的大小。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）沿电场线反方向，粒子做匀减速直线运动，则有，   根据牛顿第二定律则有    联立解得 对A点     解得 A点的坐标为 （2）粒子进入的磁场中，则有 由牛顿第二定律 由几何关系得     联立解得 （3）粒子进入的磁场中，由牛顿第二定律 设粒子在的时间内，轨迹的圆心角为。由几何关系得，平行x轴方向 平行y轴方向 联立解得， 交变磁场每经过的时间，粒子在磁场中轨迹的圆心角为 解得 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