培优专题 一元一次不等式03 实际问题中的不等式与一次函数（知识盘点+4题型+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版)

培优专题 一元一次不等式的实际应用03 一元一次不等式的应用解题步骤 ·与一次方程(组)的应用类似： (1)审题；(2)设未知数；(3)列不等式(组)；(4)解不等式(组)；(5)写出答语 某校为迎接“2025年元旦校内足球赛”，计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知甲品牌足球的单价比乙品牌足球的单价多20元，且购买12个甲品牌足球和10个乙品牌足球共需2000元． (1)甲、乙两种品牌足球的单价各为多少元？ (2)学校决定购买甲品牌足球和乙品牌足球共60个，总费用不超过5300元，那么最多可以购买多少个甲品牌足球？ 【答案】(1)甲品牌足球的单价为100元，乙品牌足球的单价为80元 (2)最多可以购买25个甲品牌足球 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）乙品牌足球的单价为x元，则甲品牌足球的单价为元，根据“购买12个甲品牌足球和10个乙品牌足球共需2000元”列方程求解即可； （2）设购买m个甲品牌足球，则购买个乙品牌足球，根据“总费用不超过5300元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：乙品牌足球的单价为x元，则甲品牌足球的单价为元， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：甲品牌足球的单价为100元，乙品牌足球的单价为80元； （2）解：设购买m个甲品牌足球，则购买个乙品牌足球， 根据题意，得， 解得， 答：最多可以购买25个甲品牌足球． 芷阳村组织辆汽车装运完，，三种不同品质的石榴共吨到外地销售，按计划辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同一种石榴，根据下表提供的信息，解答以下问题： 石榴品种 每辆汽车运载量（吨） (1)设装运种石榴的车辆数为，装运种石榴的车辆数为，求与之间的函数关系式； (2)如果装运每种石榴的车辆数都不少于辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案． 【答案】(1) (2)有3种安排方案：方案一：装A种2辆车，装B种6辆车，装C种2辆车；方案二：装A种3辆车，装B种4辆车，装C种3辆车；方案三：装A种4辆车，装B种2辆车，装C种4辆车； 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、函数解析式 【分析】本题考查了列函数关系式，一元一次不等式组的应用； （1）根据题意列式：，变形后即可得到； （2）根据装运每种石榴的车辆数都不少于辆，，，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设装种为辆，装种为辆，则装种为辆， 由题意得：， ； （2）解：， ∴装种石榴的车也为 辆， ∴ 解得：．为整数， ，，， 故车辆有种安排方案，方案如下： 方案一：装种辆车，装种辆车，装种辆车； 方案二：装种辆车，装种辆车，装种辆车； 方案三：装种辆车，装种辆车，装种辆车． 列不等式的关键词： (1)见到“大于、多于、超过、高于”用＞; (2)见到“小于、少于、不足、低于”用＜;  (3)见到“至少、不低于、不小于、不少于”用≥；  (4)见到“至多、不超过、不大于、不高于”用≤. 最大利润和最省花费问题的解题思路 （1）列利润（费用）为因变量的一次函数； （2）根据条件表示出自变量的取值范围（难点）； （3）在自变量的范围中选一个值使利润有最大值（费用有最小值）. 方法：一次函数y=kx+b（k≠0）的最值问题 ①k>0，x越大y越大，此时取满足条件的x的最大值即y的最大值； ①k<0，x越大y越小，此时取满足条件的x的最小值即y的最大值； 学校准备为演讲比赛优胜者颁发笔记本作为奖品，经问询知，甲种笔记本的单价比乙种笔记本贵8元，若购买5个甲种笔记本和5个乙种笔记本共需160元． (1)分别求出甲、乙两种笔记本的单价； (2)现购买甲乙两种笔记本共45个，且甲种笔记本的数量不低于乙种笔记本数量的2倍，因购买数量较多，商家同意甲种笔记本可以打八折，请你设计一种费用最低的购买方案，并求出最低费用． 【答案】(1)甲种笔记本的单价是20元，乙种笔记本的单价是12元 (2)购买30个甲种笔记本，购买15个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是660元 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，不等式及函数关系式． （1）设甲种笔记本的单价是元，则乙种笔记本的单价是元，根据“购买5个甲种笔记本和5个乙种笔记本共需160元”列出一元一次方程，即可解得； （2）设购买个甲种笔记本，根据甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的2倍，可得，设所需费用为元，，由一次函数性质即可求解． 【详解】（1）解：设甲种笔记本的单价是元，则乙种笔记本的单价是元， 根据题意得：， 解得， ， 答：甲种笔记本的单价是20元，乙种笔记本的单价是12元； （2）解：设购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本， 甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的2倍， ， 解得， 设所需费用为元， ， ， 随的增大而增大， 时，最小，最小值为（元， 此时， 答：购买30个甲种笔记本，购买15个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是660元． 购物经济活动中的方案选择问题（二选一） ①列费用y关于数量x的一次函数； ②先对两种方案中的费用y比较大小，分为三种情况：、、； ③解不等式，根据x的取值范围做出决策. 2024年清明节假期某风景区迎来了四面八方的游客，为促进消费景区内外甲，乙两商店以相同的价格出售相同的纪念商品，并各自推出了不同的优惠方案，甲商店的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分打八折，乙商店的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分打八八折．若某顾客准备购买标价为元的商品． (1)当时，在甲商店购买的优惠价为 元，在乙商店购买的优惠价为 元． (2)顾客到哪家商店购物花费更少？写出解答过程． 【答案】当时，顾客在甲商店购物花费少，当时，顾客在甲，乙商店购物花费相等，当时，顾客在乙商店购物花费少． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，列出不等式关系式即可求解．注意此题分类讨论的数学思想． 根据在甲，乙两商店的花费列出的不等式，分情况讨论，求出顾客到哪家商店购物花费更少． 【详解】解：在甲商店购买的优惠价为：（元）， 在乙商店购买的优惠价为：（元）， 当顾客在甲商店购物花费少时，， 解得：； ②当顾客在乙商店购物花费少时，则， 解得：； ③当顾客在甲，乙商场购物花费相等时，则， 解得：； ∴当时，顾客在甲商店购物花费少， 当时，顾客在甲，乙商店购物花费相等， 当时，顾客在乙商店购物花费少． 二元一次方程组与不等式的实际应用 例1．一家电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)已知购买2台型电脑和3台型电脑需要元，且购买3台型电脑和8台型电脑的费用刚好可以买20台型电脑．求型电脑和型电脑的售价． (2)这家电脑公司为提高型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买型电脑，拿出的旧电脑和购买的型电脑数量一共是台．若要使购买型电脑的数量是旧电脑数量的倍，且购买型电脑的实际总费用不少于元，则要在计划的基础上再多买台型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 【答案】(1)型每台元、型每台元 (2)该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设型每台元、型每台元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． （2）设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑，根据购买型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，可列出关于，的二元一次方程，变形后可得出，利用总价单价数量，结合购买型电脑的实际总费用不少于100000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最小值为4． 【详解】（1）解：设型每台元、型每台元，根据题意得， 解得： 答：型每台元、型每台元 （2）解：设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑， 根据题意得：， ． 购买型电脑的实际总费用不少于元， ， 即， 解得：， ． 答：该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值． 破题思路：表格法分析问题 原计划数量 现计划数量 费用=数量×单价 B电脑 y y+a 4000×(y+a) 旧电脑 30-y 30-y+a -1000×(30-y+a) 合计费用=数量×单价-抵扣 30 y+a=2(30-y+a) 4000×(y+a)-1000×(30-y+a)≥100000 一元一次不等式与一次函数——最大利润问题 例2．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）某市场管理部门规划建造面积为的集贸大棚，大棚内设有两种类型的店面共间，每间种类型店面的平均面积为，月租费为元，每间种类型店面的平均面积为，月租费为元，全部店面的建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的． (1)试确定种类型店面的数量范围； (2)该大棚管理部门通过了解业主的租赁意向得知，种类型店面的出租率为，种类型店面的出租率为，设店面的总月租费为，为使店面的月租费最高，应建造种类型店面多少间？ 【答案】(1)种类型店面的数量范围为 (2)为使店面的月租费最高，应建造种类型店面40间 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一元一次不等式，一次函数的性质，掌握解不等式，一次函数图象的性质是解题的关键． （1）设型店面间，则型店面有间，根据数量关系列不等式即可求解； （2）根据题意，，再根据一次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：设型店面间，则型店面有间， ∴， 解得，， ∴种类型店面的数量范围为； （2）解：由（1）可知型店面间，则型店面有间， ∴， ∵， ∴当时，最大，（元）， ∴为使店面的月租费最高，应建造种类型店面间． 【变式2-1】（23-24七年级下·全国·期末）我市某水果生产基地，用名工人进行采摘或加工水果，每名工人只能做其中一项工作．采摘的工人每人可以采摘水果千克；加工罐头的工人每人可加工千克．加工水果数量不能多于采摘数量．设有名工人进行水果采摘．水果的销售方式有两种：一种是可以直接出售；另一种是可以将采摘的水果加工成罐头出售．直接出售每吨获利元；加工成罐头出售每吨获利元． (1)①加工罐头的工人为 人，可以加工罐头 千克；（用含的式子表示） ②采摘水果的工人至少多少人？ (2)直接出售和加工成罐头出售的利润如表所示： 销售方式 直接出售 加工成罐头销售 利润（元/千克） 要使直接出售所获利润不超过总利润的，请问应如何分配工人？所获最大利润是多少？ 【答案】(1)①，；②人； (2)名工人进行水果采摘，名工人加工罐头；最大利润为元． 【知识点】列代数式、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键． （）①根据题意列式即可求解；②根据题意列出不等式即可求解； （）根据题意，列出不等式即可求解； 【详解】（1）解：①由题意得，加工罐头的工人为人，可以加工罐头千克， 故答案为：，； ②由题意可得，， 解得， ∵为整数， ∴采摘水果的工人至少人； （2）解：由题意得，， 解得， 要使直接出售所获利润不超过总利润的，应该有名工人进行水果采摘，名工人加工罐头， 所获最大利润为元． 【变式2-2】某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元． (1)求每台A型和B型打印机的销售利润： (2)商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ ※(3)在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案． 【答案】(1)每台A型和B型打印机的销售利润分别为80元和160元 (2)该商店购进A、B两种型号的打印机分别为40台和80台 (3)方案一：当时，A型打印机进货50台，B型打印机都进货70台；方案二：当时，A型打印机满足的整数即可；方案三：当时，A型打印机都进货40台，B型打印机都进货80台． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数a值的增大而确定W值的增减情况，同时注意自变量的取值范围． （1）设每台A型和B型打印机的销售利润分别为x元和y元，根据题意可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可； （2）根据题意可列出W和a的一次函数关系，关于a的一元一次不等式，再结合一次函数的性质求解即可； （3）由题意可知A型打印机利润为元，B形打印机利润不变，则可列出W、a和m的关系式为，又可知．分类讨论：①当，②当和③当，结合一次函数的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：设每台A型和B型打印机的销售利润分别为x元和y元， 根据题意有：， 解得：， 答：每台A型和B型打印机的销售利润分别为80元和160元； （2）解：设购进A型打印机a台，则购进B型打印机台， 根据题意有：， ∴． ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W有最大值． 台． 答：该商店购进A、B两种型号的打印机分别为40台和80台； （3）解：由题意可知A型打印机利润为元，B形打印机利润不变， ∴． 分类讨论：①当，即时，W随a的增大而增大， ∴当时，W最大，此时B型打印机为台； ②当，即时，， ∴当a满足的整数时，W最大； ③当，即时，W随a的增大而减小， ∴当时，W最大，此时B型打印机为台． 综上所述，商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案为： 方案一：当时，A型打印机进货50台，B型打印机都进货70台； 方案二：当时，A型打印机满足的整数即可； 方案三：当时，A型打印机都进货40台，B型打印机都进货80台． 一元一次不等式与一次函数——给出方案做选择 例3．（23-24八年级下·陕西西安·期末）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．国家“双减”政策实施后，某校为了发展棋社，决定增添副中国象棋．文具店中国象棋的标价为40元/副，现推出优惠活动，方案如下： 方案一：购买中国象棋超过20副时，超过部分每副打六折； 方案二：不论购买多少副中国象棋，全部按八折销售． (1)设按照方案一购买的总费用为，按照方案二购买的总费用为，请分别写出，与之间的关系式； (2)学校怎样选择购买方案更划算？ 【答案】(1)； (2)购买中国象棋40副时，两种方案总费用相同；购买中国象棋少于40副时，方案二划算；购买中国象棋多于40副时，方案一划算． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】此题考查了一次函数和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出一次函数是解题的关键． （1）购买中国象棋超过20副时，超过部分每副打六折；不论购买多少副中国象棋，全部按八折销售．据此分别列出一次函数解析式即可； （2）根据题意列出方程和一元一次不等式，分别解方程和不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， ， 即，与之间的关系式分别为； （2）解：当时，，解得， 即购买中国象棋40副时，两种方案总费用相同； 当时，，解得， 即购买中国象棋少于40副时，方案二划算； 当时，，解得， 即购买中国象棋多于40副时，方案一划算； 综上可知，购买中国象棋40副时，两种方案总费用相同；购买中国象棋少于40副时，方案二划算；购买中国象棋多于40副时，方案一划算． 审题关键:先对两种方案中的费用y比较大小，分为三种情况：、、，再解不等式，根据x的取值范围做出决策. 【变式3-1】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）某学校准备安装一批柜式空调（A型）和挂壁式空调（B型），已知A型空调的单价为5000元，型空调的单价为3000元，经协商有两家商场分别推出了优惠套餐． 甲商场：型空调和型空调均打八折出售； 乙商场：型空调打九折出售，型空调打七折出售； 若该学校需要购买型空调和型空调共16台，设购买A型空调且为整数）台，则该学校选择在甲商场购买共需元，在乙商场购买共需元． (1)请分别用含有的式子表示和； (2)该学校选择在哪家商场购买更划算？ 【答案】(1)， (2)当时，选择乙商场购买更划算；当时，选择甲，乙两商场所需费用一样；当时，选择甲商场购买更划算 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数和一元一次不等式的应用； （1）设购买A型空调m（，且m为整数）台，则购买B型空调（）台，设在甲商场购买共需元，在乙商场购买共需元， （2）根据题意分别求得，，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设购买A型空调m（，且m为整数）台，则购买B型空调（）台，设在甲商场购买共需元，在乙商场购买共需元， 根据题意得：； （2）当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：. 答：当时，选择乙商场购买更划算；当时，选择甲，乙两商场所需费用一样；当时，选择甲商场购买更划算 【变式3-2】（23-24八年级下·陕西渭南·期中）学校春季运动会前，准备向某商家购买A、B两种运动服100件（其中A种运动服不超过50件）．已知A种运动服每件40元，B种运动服每件30元．经商谈，商家给出以下两种优惠方案： 方案一：A种运动服打8折，B种运动服打4折； 方案二：购买一件A种运动服赠送一件B种运动服． 设学校购买了A种运动服m件．根据上述信息，回答下列问题： (1)请问学校购买这两种运动服按照方案一和方案二分别需要花费多少元？ (2)请问学校购买这两种运动服按照哪个方案更划算？ 【答案】(1)方案一：元，方案二：元 (2)当时，选择方案一购买更划算；当时，选择这两种方案购买所需费用相同；当时，选择方案二购买更划算 【知识点】列代数式、方案选择(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，读懂题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用总价单价数量，结合两种活动的优惠策略，即可用含m的代数式表示出按照两种活动购买100件文化衫所需费用； ②分类讨论，根据题意分：，及三种情况，求出m的取值范围（或m的值），再结合即可得出结论． 【详解】（1）解：方案一所需费用为（元）． 方案二所需费用为（元）． （2）解：当时，解得， 当时，解得， 当时，解得． 答：当时，选择方案一购买更划算；当时，选择这两种方案购买所需费用相同；当时，选择方案二购买更划算． 【变式3-3】为了进一步落实“双减”工作，某中学准备从商场一次性购买一批足球和篮球共50个用于开展课后服务训练，每个篮球300元，每个足球200元，要求总费用不超过12800元，现有甲、乙两商店以同样价格出售，同时又各自推出不同的优惠方案：在甲店购买篮球按原价收费，足球不优惠；在乙店购买篮球不优惠，但购买足球按原价收费；则学校到哪家商店购买篮球和足球花费少？ 【答案】见解析． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、一元一次不等式组的其他应用 【分析】设购买足球的个数为个，则购买篮球的个数为个，设甲乙两商店的费用分别为、元，求得、，比较即可． 【详解】解：设购买足球的个数为个，则购买篮球的个数为个，设甲乙两店的费用分别为、元， 由题意可得：，解得， 令即 解得 则当购买足球的数量大于等于小于30时，甲商店费用低； 当购买足球的数量等于30时，甲、乙两商店的费用相同； 当购买足球的数量大于30小于等于50时，乙商店的费用低． 【点睛】此题考查了一元一次不等式（组）的求解，解题的关键是正确表示出甲乙两商店的费用． 一元一次不等式的实际应用——讨论方案问题 例4．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求 A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆． ①求n关于m的关系式； ②请你帮助该公司设计购买方案；若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在你给出的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元 (2)①；②有三种方案，方案一：购进A型车2辆，B型车13辆；方案二：购进A型车4辆，B型车8辆；方案三：购进A型车6辆，B型车3辆；方案一利润最大，最大利润为元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①根据题意，得，化简得，即可求解； ②根据题意，得，两种车都买，故m，n都是正整数，得到，解得，且m是偶数，得到方案；设总获利W元，根据题意，得，根据一次函数的性质，m最小时，利润最大解答即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的增减性，熟练掌握方程组，一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元， 根据题意，得：， 解得：， 答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元． （2）①设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， 根据题意，得， 化简得， 得到． 故； ②根据题意，得，由两种车都买，故m，n都是正整数， 得到，解得，且m是偶数， 具体如下： ，，， 故有三种方案，方案一：购进A型车2辆，B型车13辆；方案二：购进A型车4辆，B型车8辆；方案三：购进A型车6辆，B型车3辆； 设总获利W元，根据题意，得，根据一次函数的性质，m最小时，利润最大，故方案一，利润最大，最大利润为元． 审题关键：涉及到两种商品的数量为变量时，可根据数量为非负整数列不等式，再确定整数解 破题思路：①用m表示n：，因为两种车都买，故m，n都是正整数，所以，解得，再根据m是偶数，讨论方案。 【变式4-1】（23-24七年级下·广东韶关·期末）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元． (1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元? (2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案?哪种方案能使每小时的分拣量最大? 【答案】(1)甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元 (2)有购买甲型机器人台，乙型机器人台；购买甲型机器人台，乙型机器人台，这两种购买方案．方案二能使每小时的分拣量最大 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出式子． （1）设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，根据“购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台，根据题意，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，故有两种购买方案，购买甲型机器人台，乙型机器人台；购买甲型机器人台，乙型机器人台．设台机器人每小时的分拣量为，则．得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得， 解得， 答：甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元． （2）解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台． 依题意，得， 解得． 故整数可以为和，可以为和， 故有两种购买方案，方案一，购买甲型机器人台，乙型机器人台； 方案二，购买甲型机器人台，乙型机器人台． 设台机器人每小时的分拣量为，则． ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时， ∴方案二：购买甲型机器人台，乙型机器人台时，才能使每小时的分拣量最大． 【变式4-2】5时代的到来，将给人类生活带来巨大改变，现有，两种型号的5手机，进价和售价如表所示： 价格 型号 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进，两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元． (1)营业厅购进，两种型号手机各多少部？ (2)若营业厅再次购进，两种型号手机共30部，其中型手机的数量不多于型手机数量的2倍，且两种手机总利润不低于13800元，问有几种购进方案？ 【答案】(1)营业厅购进型号手机部，型号手机部 (2)有三种购进方案 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，列出方程组和不等式组． （1）根据题意和表中的数据，设出未知数，列出方程组，解方程组即可； （2）根据题意设出未知数，列出关于两种型号手机数量的关系式，并根据利润列出不等式，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设营业厅购进型号手机部，型号手机部，根据题意，得： ， 解方程组，得 ∴营业厅购进型号手机部，型号手机部． （2）解：设营业厅购进型号手机部，型号手机部，根据题意，得： 解不等式组得 ∴可取整数10,11,12 即有三种购买方案： 方案一：购买型号手机部，型号手机部 方案二：购买型号手机部，型号手机部 方案三：购买型号手机部，型号手机部 ∴有三种购买方案． 1.新乡市将足球运球作为年初中毕业升学体育选考统考项目，某体育用品店购进甲、乙两种足球．已知甲、乙两种足球进货单价之和为元，店主第一批购买甲种足球个、乙种足球个一共花费元． (1)问甲、乙两种足球的进货单价分别是多少元？ (2)若甲种足球每个获利元，乙种足球每个获利元，该体育用品店预备第二批购进甲、乙两种足球共个，在费用不超过元的情况下，如何进货才能保证利润最大？ 【答案】(1)甲种足球的进货单价为元，乙种足球的进货单价为元； (2)当购进甲种足球个，购进乙种足球个时，获利最大，最大利润为元． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式和一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程和不等式． （）设甲种足球的进货单价为元，乙种足球的进货单价为元，根据题意列出方程，即可解得答案； （）设购进甲种足球的数量为个，根据费用不超过元，得，故，而，再由一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设甲种足球的进货单价为元，乙种足球的进货单价为元， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：甲种足球的进货单价为元，乙种足球的进货单价为元； （2）解：设购进甲种足球的数量为个，则购进乙种足球的数量为个， ∵费用不超过元， ∴， 解得：， 根据题意得：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为（元）， 此时购进乙种足球：（个）， 答：当购进甲种足球个，购进乙种足球个时，获利最大，最大利润为元． 2.（23-24八年级下·陕西商洛·期末）商南工业园区一化工厂组织20辆汽车装运A、B、C三种化学物资共200吨运到西安．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满．请结合表中提供的信息，解答下列问题： 物资种类 A B C 每辆汽车运载（吨） 12 10 8 每吨所需运费（元） 240 320 200 (1)设装运A种物资的车辆数为x，装运B种物资的车辆数为y，求y关于x的函数关系式； (2)如果装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案； (3)在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费． 【答案】(1) (2)共有4种方案：方案1：A种车5辆，B种车10辆，C种车5辆；方案2：A种车6辆，B种车8辆，C种车6辆；方案3：A种车7辆，B种车6辆，C种车7辆；方案4：A种车8辆，B种车4辆，C种车8辆； (3)安排A种车8辆，B种车4辆，C种车8辆总运费最少，最少运费48640元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】此题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用， （1）根据题意列得，整理可得函数解析式； （2）根据题意列得不等式组，根据x是正整数得到方案； （3）分别求出每种方案的运费，比较可得最少运费方案 【详解】（1）解：由题意得， 解得，； （2）解：∵装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资的车辆数不少于4辆， ∴ 解得， ∵x是正整数， ∴或6或7或8， 共有4种方案： 方案1：A种车5辆，B种车10辆，C种车5辆； 方案2：A种车6辆，B种车8辆，C种车6辆； 方案3：A种车7辆，B种车6辆，C种车7辆； 方案4：A种车8辆，B种车4辆，C种车8辆； （3）解：方案1费用为：（元）； 方案2费用为：（元）； 方案3费用为：（元）； 方案4费用为：（元）； ∵， ∴安排A种车8辆，B种车4辆，C种车8辆总运费最少，最少48640元 3.为了提高同学们的运算能力，激发学习数学的兴趣，某中学开展了主题为“运算能力争霸赛”的数学活动，并计划购买两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生．已知奖品的单价是10元；奖品的单价是25元．学校计划购买两种奖品共100件，购买费用不超过1385元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的4倍． (1)该学校有几种购买方案？ (2)设购买、两种奖品的总费用为元，请写出（元）与种奖品的数量（件）之间的函数关系，并求出哪一种购买方案可以使得总费用最少，并求出的最小值． 【答案】(1)共有6种购买方案； (2)，购买种奖品件，两种奖品件使得总费用最少，的最小值为元． 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、不等式组的方案选择问题 【分析】（）根据题意列出不等式组，求解即可； （）列出函数关系式，再利用一次函数的性质即可求解； 本题考查了一次函数的应用及不等式组的应用，读懂题意，列出不等式组和函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设种奖品的数量是件，则种奖品的数量是件， ， 解得：， ∵是正整数， ∴种奖品的数量范围且是正整数； ∴共有6种购买方案； （2）解：由题意得， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，最小，为（元）． 即购买种奖品件，两种奖品件使得总费用最少，的最小值为元． 4.在平面直角坐标系中，过点作直线轴，图形W关于直线l的对称图形为，图形上任一点到x轴，y轴的距离的最大值是d，称d是图形W关于直线l的m倍镜像“接收距离”． 已知点，． (1)①线段关于直线l的1倍镜像“接收距离”是______； ②线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2，m的取值范围是______； (2)点，关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值是______． (3)点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”，求m的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、一元一次不等式组的其他应用、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题在新定义的基础上，考查了轴对称的性质，解一元一次不等式等知识，解决问题的关键是数形结合． （1）①求出A、B关于直线l的1倍镜像的对应点坐标，进而根据定义判断； ②表示出A、B关于直线l的m倍镜像的对应点坐标，根据定义列出不等式组，进一步得出结果； （2）可推出B、C关于直线l的m倍镜像、的距离之差也是8，从而得出关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值； （3）表示出A、B、C、D于直线l的m倍镜像的对应点坐标，关于直线l的m倍镜像的线段是，根据当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”等于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时，得出，从而求得临界m的值，进而得出结果． 【详解】（1）解：①设线段关于直线l的1倍镜像的线段为， ，， 点距离y轴距离最大为：3， 故答案为：3； ②点A和B关于直线的对称点为：，， 线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2， ， ， 故答案为：； （2）解：如图1， ，，， 、C距离y轴的距离之差是8， 、C关于直线l的m倍镜像、的距离之差也是8， ，关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值是 4， 故答案为：4； （3）解：如图2， 点A和B关于直线的对称点为：，， 线段关于直线l的m倍镜像的线段是，则，， 当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”等于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时， ， ， 当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时，． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 一元一次不等式的实际应用03 一元一次不等式的应用解题步骤 ·与一次方程(组)的应用类似： (1)审题；(2)设未知数；(3)列不等式(组)；(4)解不等式(组)；(5)写出答语 某校为迎接“2025年元旦校内足球赛”，计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知甲品牌足球的单价比乙品牌足球的单价多20元，且购买12个甲品牌足球和10个乙品牌足球共需2000元． (1)甲、乙两种品牌足球的单价各为多少元？ (2)学校决定购买甲品牌足球和乙品牌足球共60个，总费用不超过5300元，那么最多可以购买多少个甲品牌足球？ 芷阳村组织辆汽车装运完，，三种不同品质的石榴共吨到外地销售，按计划辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同一种石榴，根据下表提供的信息，解答以下问题： 石榴品种 每辆汽车运载量（吨） (1)设装运种石榴的车辆数为，装运种石榴的车辆数为，求与之间的函数关系式； (2)如果装运每种石榴的车辆数都不少于辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案． 列不等式的关键词： (1)见到“大于、多于、超过、高于”用＞; (2)见到“小于、少于、不足、低于”用＜;  (3)见到“至少、不低于、不小于、不少于”用≥；  (4)见到“至多、不超过、不大于、不高于”用≤. 最大利润和最省花费问题的解题思路 （1）列利润（费用）为因变量的一次函数； （2）根据条件表示出自变量的取值范围（难点）； （3）在自变量的范围中选一个值使利润有最大值（费用有最小值）. 方法：一次函数y=kx+b（k≠0）的最值问题 ①k>0，x越大y越大，此时取满足条件的x的最大值即y的最大值； ①k<0，x越大y越小，此时取满足条件的x的最小值即y的最大值； 学校准备为演讲比赛优胜者颁发笔记本作为奖品，经问询知，甲种笔记本的单价比乙种笔记本贵8元，若购买5个甲种笔记本和5个乙种笔记本共需160元． (1)分别求出甲、乙两种笔记本的单价； (2)现购买甲乙两种笔记本共45个，且甲种笔记本的数量不低于乙种笔记本数量的2倍，因购买数量较多，商家同意甲种笔记本可以打八折，请你设计一种费用最低的购买方案，并求出最低费用． 购物经济活动中的方案选择问题（二选一） ①列费用y关于数量x的一次函数； ②先对两种方案中的费用y比较大小，分为三种情况：、、； ③解不等式，根据x的取值范围做出决策. 2024年清明节假期某风景区迎来了四面八方的游客，为促进消费景区内外甲，乙两商店以相同的价格出售相同的纪念商品，并各自推出了不同的优惠方案，甲商店的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分打八折，乙商店的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分打八八折．若某顾客准备购买标价为元的商品． (1)当时，在甲商店购买的优惠价为 元，在乙商店购买的优惠价为 元． (2)顾客到哪家商店购物花费更少？写出解答过程． 二元一次方程组与不等式的实际应用 例1．一家电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)已知购买2台型电脑和3台型电脑需要元，且购买3台型电脑和8台型电脑的费用刚好可以买20台型电脑．求型电脑和型电脑的售价． (2)这家电脑公司为提高型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买型电脑，拿出的旧电脑和购买的型电脑数量一共是台．若要使购买型电脑的数量是旧电脑数量的倍，且购买型电脑的实际总费用不少于元，则要在计划的基础上再多买台型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 破题思路：表格法分析问题 原计划数量 现计划数量 费用=数量×单价 B电脑 y y+a 4000×(y+a) 旧电脑 30-y 30-y+a -1000×(30-y+a) 合计费用=数量×单价-抵扣 30 y+a=2(30-y+a) 4000×(y+a)-1000×(30-y+a)≥100000 一元一次不等式与一次函数——最大利润问题 例2．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）某市场管理部门规划建造面积为的集贸大棚，大棚内设有两种类型的店面共间，每间种类型店面的平均面积为，月租费为元，每间种类型店面的平均面积为，月租费为元，全部店面的建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的． (1)试确定种类型店面的数量范围； (2)该大棚管理部门通过了解业主的租赁意向得知，种类型店面的出租率为，种类型店面的出租率为，设店面的总月租费为，为使店面的月租费最高，应建造种类型店面多少间？ 【变式2-1】（23-24七年级下·全国·期末）我市某水果生产基地，用名工人进行采摘或加工水果，每名工人只能做其中一项工作．采摘的工人每人可以采摘水果千克；加工罐头的工人每人可加工千克．加工水果数量不能多于采摘数量．设有名工人进行水果采摘．水果的销售方式有两种：一种是可以直接出售；另一种是可以将采摘的水果加工成罐头出售．直接出售每吨获利元；加工成罐头出售每吨获利元． (1)①加工罐头的工人为 人，可以加工罐头 千克；（用含的式子表示） ②采摘水果的工人至少多少人？ (2)直接出售和加工成罐头出售的利润如表所示： 销售方式 直接出售 加工成罐头销售 利润（元/千克） 要使直接出售所获利润不超过总利润的，请问应如何分配工人？所获最大利润是多少？ 【变式2-2】某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元． (1)求每台A型和B型打印机的销售利润： (2)商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ ※(3)在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案． 一元一次不等式与一次函数——给出方案做选择 例3．（23-24八年级下·陕西西安·期末）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．国家“双减”政策实施后，某校为了发展棋社，决定增添副中国象棋．文具店中国象棋的标价为40元/副，现推出优惠活动，方案如下： 方案一：购买中国象棋超过20副时，超过部分每副打六折； 方案二：不论购买多少副中国象棋，全部按八折销售． (1)设按照方案一购买的总费用为，按照方案二购买的总费用为，请分别写出，与之间的关系式； (2)学校怎样选择购买方案更划算？ 审题关键:先对两种方案中的费用y比较大小，分为三种情况：、、，再解不等式，根据x的取值范围做出决策. 【变式3-1】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）某学校准备安装一批柜式空调（A型）和挂壁式空调（B型），已知A型空调的单价为5000元，型空调的单价为3000元，经协商有两家商场分别推出了优惠套餐． 甲商场：型空调和型空调均打八折出售； 乙商场：型空调打九折出售，型空调打七折出售； 若该学校需要购买型空调和型空调共16台，设购买A型空调且为整数）台，则该学校选择在甲商场购买共需元，在乙商场购买共需元． (1)请分别用含有的式子表示和； (2)该学校选择在哪家商场购买更划算？ 【变式3-2】（23-24八年级下·陕西渭南·期中）学校春季运动会前，准备向某商家购买A、B两种运动服100件（其中A种运动服不超过50件）．已知A种运动服每件40元，B种运动服每件30元．经商谈，商家给出以下两种优惠方案： 方案一：A种运动服打8折，B种运动服打4折； 方案二：购买一件A种运动服赠送一件B种运动服． 设学校购买了A种运动服m件．根据上述信息，回答下列问题： (1)请问学校购买这两种运动服按照方案一和方案二分别需要花费多少元？ (2)请问学校购买这两种运动服按照哪个方案更划算？ 【变式3-3】为了进一步落实“双减”工作，某中学准备从商场一次性购买一批足球和篮球共50个用于开展课后服务训练，每个篮球300元，每个足球200元，要求总费用不超过12800元，现有甲、乙两商店以同样价格出售，同时又各自推出不同的优惠方案：在甲店购买篮球按原价收费，足球不优惠；在乙店购买篮球不优惠，但购买足球按原价收费；则学校到哪家商店购买篮球和足球花费少？ 一元一次不等式的实际应用——讨论方案问题 例4．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求 A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆． ①求n关于m的关系式； ②请你帮助该公司设计购买方案；若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在你给出的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 审题关键：涉及到两种商品的数量为变量时，可根据数量为非负整数列不等式，再确定整数解 破题思路：①用m表示n：，因为两种车都买，故m，n都是正整数，所以，解得，再根据m是偶数，讨论方案。 【变式4-1】（23-24七年级下·广东韶关·期末）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元． (1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元? (2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案?哪种方案能使每小时的分拣量最大? 【变式4-2】5时代的到来，将给人类生活带来巨大改变，现有，两种型号的5手机，进价和售价如表所示： 价格 型号 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进，两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元． (1)营业厅购进，两种型号手机各多少部？ (2)若营业厅再次购进，两种型号手机共30部，其中型手机的数量不多于型手机数量的2倍，且两种手机总利润不低于13800元，问有几种购进方案？ 1.新乡市将足球运球作为年初中毕业升学体育选考统考项目，某体育用品店购进甲、乙两种足球．已知甲、乙两种足球进货单价之和为元，店主第一批购买甲种足球个、乙种足球个一共花费元． (1)问甲、乙两种足球的进货单价分别是多少元？ (2)若甲种足球每个获利元，乙种足球每个获利元，该体育用品店预备第二批购进甲、乙两种足球共个，在费用不超过元的情况下，如何进货才能保证利润最大？ 2.（23-24八年级下·陕西商洛·期末）商南工业园区一化工厂组织20辆汽车装运A、B、C三种化学物资共200吨运到西安．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满．请结合表中提供的信息，解答下列问题： 物资种类 A B C 每辆汽车运载（吨） 12 10 8 每吨所需运费（元） 240 320 200 (1)设装运A种物资的车辆数为x，装运B种物资的车辆数为y，求y关于x的函数关系式； (2)如果装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案； (3)在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费． 3.为了提高同学们的运算能力，激发学习数学的兴趣，某中学开展了主题为“运算能力争霸赛”的数学活动，并计划购买两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生．已知奖品的单价是10元；奖品的单价是25元．学校计划购买两种奖品共100件，购买费用不超过1385元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的4倍． (1)该学校有几种购买方案？ (2)设购买、两种奖品的总费用为元，请写出（元）与种奖品的数量（件）之间的函数关系，并求出哪一种购买方案可以使得总费用最少，并求出的最小值． 4.在平面直角坐标系中，过点作直线轴，图形W关于直线l的对称图形为，图形上任一点到x轴，y轴的距离的最大值是d，称d是图形W关于直线l的m倍镜像“接收距离”． 已知点，． (1)①线段关于直线l的1倍镜像“接收距离”是______； ②线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2，m的取值范围是______； (2)点，关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值是______． (3)点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”，求m的取值范围（直接写出结果即可）． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$