专题03 勾股定理及逆定理（6题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（山西专用）

专题03 勾股定理及逆定理 题型概览 题型01勾股定理的运用 题型02勾股定理逆定理的运用 题型03利用勾股定理求面积 题型04赵爽弦图问题 题型05 勾股定理在方格纸中的运用 题型06 实际问题的应用 ( 题型01 ) 勾股定理的运用 1. （2024春•孝义市期中）探究勾股定理的思路是：先从等腰直角三角形入手，发现等腰直角三角形三边有特殊数量关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”，再探究一般的直角三角形是否也具有这样的性质．从等腰直角三角形到一般直角三角形的研究过程中主要体现的数学思想是　　 A．从特殊到一般思想 B．从一般到特殊思想 C．方程思想 D．归纳思想 【分析】根据勾股定理和直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：先从等腰直角三角形入手，发现等腰直角三角形三边有特殊数量关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”，再探究一般的直角三角形是否也具有这样的性质． 这种研究思路主要体现的数学思想是从特殊到一般． 故选：． 2. （2024春•杏花岭区校级期中）如图所示，在中，，于点，，则的长为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】利用等腰三角形三线合一的性质得到为的中点，进而利用勾股定理求得的长度，则，解答即可． 【解答】解：在中，，于点， ，． 在中，，，则由勾股定理得到：． ． 故选：． 3. （2024春•朔州期中）在中，，，边上的高，则边的长是 　 　． 【分析】根据题意作出如图1和图2，分两种情况分别求解即可． 【解答】解：如图1，在中，，，边上的高， ， ， ； 如图2，在中，，， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 综上所述，的长为14或4， 故答案为：14或4． 4. （2024秋•太谷区期中）直角三角形的两条直角边的长分别为4，5，则斜边的长在　 6　和　　这两个连续的正整数之间． 【分析】直接利用勾股定理求出斜边的长，进而估算的大小，即可求解． 【解答】解：直角三角形的两条直角边的长分别为4，5， 由勾股定理得，斜边长为：， ， ， 故答案为：6；7． ( 题型02 ) 勾股定理逆定理的运用 1. （2024春•朔州期中）△的三条边分别为，，，下列条件不能判断△是直角三角形的是　　 A． B． C． D．，， 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：、， ， ， 此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 、，， ， 此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 、设，则，， ， ，解得， ， 此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； 、， 此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. （2024春•盐湖区期中）以下列线段、、的长为边，能构成是直角三角形的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【解答】解：、，， ， 不能构成直角三角形， 故不符合题意； 、，， ， 不能构成直角三角形， 故不符合题意； 、，， ， 不能构成直角三角形， 故不符合题意； 、，， ， 能构成直角三角形， 故符合题意； 故选：． 3. （2024秋•盐湖区期中）五根木棒（单位：的长度分别为5，9，12，15，17，从其中选出三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是　　 A．5，9，12 B．5，12，15 C．9，12，15 D．12，15，17 【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可． 【解答】解：．，， ， 以5，9，12为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； ．，， ， 以5，12，15为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； ．，， ， 以9，12，15为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； ．，， ， 以12，15，17为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意， 故选：． 4. （2024秋•介休市期中）下列给出的三条线段的长度中，能组成直角三角形的是　　 A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，8，10 D．7，24，25 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形． 【解答】解：、， 三条线段不能构成直角三角形，不符合题意； 、， 三条线段不能构成直角三角形，不符合题意； 、， 三条线段不能构成直角三角形，不符合题意； 、， 三条线段能构成直角三角形，符合题意； 故选：． 5. （2024秋•盐湖区期中）三角形的三边长为，，，且满足，则这个三角形是　　 A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【分析】对等式进行整理，再判断其形状． 【解答】解：化简，得，所以三角形是直角三角形， 故选：． ( 题型03 ) 利用勾股定理求面积 1. （2024春•忻府区期中）如图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为 　 　． 【分析】根据勾股定理求出，分别求出三个半圆的面积和的面积，即可得出答案． 【解答】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 阴影部分的面积， 故答案为：14． 2. （2024秋•介休市期中）如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为　 　． 【分析】根据勾股定理求得的长度，然后结合图形得到：阴影部分的面积正方形的面积直角三角形的面积． 【解答】解：根据题意知，，， 所以，，， 所以． 故答案为：139． 3. （2024秋•杏花岭区校级期中）如图，在四边形中，，，，，． （1）求对角线的长； （2）求四边形的面积． 【分析】（1）根据勾股定理，在直角中计算即可； （2）首先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：（1）在中， 根据勾股定理得：； （2）在中 ， 是直角三角形，， ， ． ( 题型04 ) 赵爽弦图问题 1. （2023秋•榆次区期中）“赵爽弦图”（图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了一个重要的数学定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，这个图案被选为2002年国际数学家大会的会徽（图．利用这个图形证明的重要数学定理是　　 A．三角形内角和定理 B．勾股定理 C．勾股定理的逆定理 D．全等三角形的判定定理 【分析】利用大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个直角三角形的面积，以及大正方形的面积等于边长的平方可推导出勾股定理． 【解答】解：由图形可知，利用大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个直角三角形的面积，以及大正方形的面积等于边长的平方可推导出勾股定理， 利用这个图形证明的重要数学定理是勾股定理， 故选：． 2. （2024秋•晋中期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达芬奇的证明方法． 赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”（史称“赵爽弦图” ，其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达芬奇用如图2所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为． 任务： （1）下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为 　　． ，　　，　　， ，即． （2）请你参照小颖的验证过程，利用图2及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． 【分析】（1）根据正方形的面积公式和三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据面积法验证勾股定理即可． 【解答】（1）证明：由图1知，，正方形的边长为． ，，， ，即． 故答案为：，，； （2）解：根据题意得，， ， ， ， 即． 3. （2023秋•杏花岭区校级期中）请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽． （1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 如图2，在中，是边上的高，，，，设，求的值． （2）2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标，都包含了赵爽的弦图．如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为，较长直角边长为，且，那么小正方形的面积为 　 　． （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是 　　． ．函数思想 ．整体思想 ．分类讨论思想 ．数形结合思想 【分析】（1）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； （2）由正方形性质和勾股定理得，再由，得，则，即可解决问题； （3）根据勾股定理本身及其验证和应用过程体现了数形结合思想选择即可． 【解答】解：（1）在中，由勾股定理得， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ； （2）设大正方形的边长为， 大正方形的面积是18， ， ， ， ， ， 小正方形的面积， 故答案为：2； （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是数形结合思想， 故答案为：． 4. （2023春•交城县期中）问题情境： 勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面利用拼图的方法探究证明勾股定理； 定理表述： （1）请你结合图1中的直角三角形，叙述勾股定理（可以选择文字语言或符号语言叙述）； 尝试证明： （2）利用图1中的直角三角形可以构造出如图2的直角梯形，请你利用图2证明勾股定理； 定理应用： （3）某工程队要从点向点铺设管道，由于受条件限制无法直接沿着线段铺设，需要绕道沿着矩形的边和铺设管道，经过测量米，米，已知铺设每米管道需资金1000元，请你帮助工程队计算绕道后费用增加了多少元？ 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据等积法可进行求解； （3）利用勾股定理可进行求解． 【解答】解：（1）如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么 （2）， ， ， ； （3）在△中，（米， （元； 答：增加了8000元． ( 题型0 5 ) 勾股定理在方格纸中的运用 1. （2024秋•大同期中）如图是由边长相等的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，、、、四点均在格点上，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】取格点，可证△△，得到，又由等腰直角三角形可得，即得，进而即可求解． 【解答】解：如图，取格点， 由条件可知△△， ， ，， ． ， ， 故选：． 2. （2024春•朔州期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，为的高，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意利用割补法求得的面积，利用勾股定理算出的长，再利用等面积法即可求得的长． 【解答】解：由题可得： ， ， ， 解得：， 故选：． 3. （2024春•朔州期中）如图，将四根小棍放置在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则长度为有理数的小棍有　　 A．0根 B．1根 C．2根 D．3根 【分析】分别计算出小棍的长度即可． 【解答】解：由图可知：四根小棍的长度分别为： ， 长度为有理数的小棍有1根， 故选：． 4. （2024秋•太谷区期中）如图，△的顶点分别在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，于点，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】利用勾股定理得出的长，再利用等面积法即可得出答案． 【解答】解：，， ， 解得：， 故选：． ( 题型0 6 ) 实际问题的应用 1. （2024秋•芮城县期中）如图，一架的云梯斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是　　 A． B． C． D． 【分析】利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而即可得解． 【解答】解：，， ，， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 2. （2024秋•盐湖区期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为　　 A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米 【分析】先根据题意求得，再求得，，，从而利用勾股定理求得的长；然后再利用勾股定理求得的长，进而利用线段的和差关系，求得即可． 【解答】解：如图，，，，， 在中，， ， ， ，即小巷的宽度为2.7米． 故选：． 3. （2024春•山西期中）我国秦汉时期，数学成就十分显著．当时流传这样一个数学题：今有竹高十二尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原本高12尺，从某处折断，竹梢触地处离竹根3尺，试问折断处距离地　　 A．4.5 B．5.625 C．4 D．6.375 【分析】根据勾股定理得出关于的方程，求出的值即可． 【解答】解：由题意知，尺，尺， ， 由勾股定理得，， 即， 解得， 折断处距离地5.625尺． 故选：． 4. （2024秋•太原期中）为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为 　 　米． 【分析】根据勾股定理求出，根据矩形的性质得到米，于是得到答案． 【解答】解：在△中，由勾股定理得，， 过点作于， ，， ， 四边形是矩形， 米， （米， 答：起重臂顶端离地面的高度为14米． 故答案为：14． 5. （2024春•山西期中）小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【分析】（1）根据勾股定理求出的长即可得出结果； （2）根据勾股定理求出的长即可得出结果． 【解答】解：（1）由勾股定理得，（米， （米； （2）如图，由勾股定理得， （米， （米， 他应该往回收线8米． 6. （2024春•朔州期中）校训对师生的行为规范有指导意义，它向所有师生指明了努力的方向．校训往往设置在学校最为醒目的地方，使每一个师生经常性地看到它，受其潜移默化的心理脉冲．如图，山西省实验中学有一处教学楼高，其上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点处，伸长的云梯（云梯最长刚好接触到的底部点处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点处？（结果保留根号） 【分析】根据题意，过点作交于点，在△中，由勾股定理可求出的长，在△中，由勾股定理可求出的长，根据即可求解． 【解答】解：如图，过点作交于点， 由题意得：，， 在△中，由勾股定理得： ， 设 ， 在△中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ． 答：工程车向教学楼方向行驶米，长的云梯刚好接触到的顶部点处． 7. （2024秋•太谷区期中）如图，为一棵大树，在树上距地面10米的处有两只猴子，他们同时发现处有一筐水果，一只猴子从处往上爬到树顶处，又沿滑绳滑到处，另一只猴子从滑到，再由跑到处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高． 【分析】在中，，则满足，（米，（米，（米，根据两只猴子经过的路程一样可得解方程组可以求的值，即可计算树高． 【解答】解：中，， 设（米，（米，（米 则（米． （米，（米 又在中，由勾股定理得：， ， 解得，，即（米 （米 答：树高为12米． 8. （2024秋•芮城县期中）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条到的小路，经测量，，，，，． （1）求小路的长； （2）淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？ 【分析】（1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出，最后结合运动速度，即可作答． 【解答】解：（1），，， 在△中，， 小路的长为； （2）如图所示：过作， 当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗淇淇的距离最近． ，．， ，， 即， ， 则， 即， ， 由题意可得：， 则， 当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑12秒与淇淇的距离最近． 1. （2024春•中阳县期中）学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下： 甲：如果是直角三角形，那么一定成立； 乙：在中，如果，那么不是直角三角形． 对于两人的观点，下列说法正确的是　　 A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．两人都错 D．两人都对 【分析】根据勾股定理及逆定理可判断两人说法是否正确． 【解答】解：若是直角三角形，那么， 但未指明斜边， 甲说法错误， 若是直角三角形，所对的边为斜边，此时， 满足，此时是直角三角形， 乙说法错误． 故选：． 2. （2024春•中阳县期中）如图，在中，是边上的一点，连接，已知，，．求证：是直角三角形． 【分析】先根据勾股定理判断出是直角三角形且，故可得出，据此得出结论． 【解答】证明：，，，， ， 是直角三角形且， ， ， 是直角三角形． 3. （2024春•盐湖区期中）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（图中阴影部分）．如图，已知，，，，试求这块可绿化的空地的面积． 【分析】根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形即可推出结果． 【解答】解：，，， ， ， 是直角三角形， ， 答：这块可绿化的空地的面积为． 4. （2024秋•左权县期中）项目化学习 项目主题：测量学校旗杆的高度 项目背景：国旗是国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大．同学们想知道学校旗杆的高度，但无法直接测量，学习了勾股定理后，“创新”小组在老师的指导下，利用所学知识展开了项目学习． 项目步骤： 测量工具 皮尺、旗杆顶端的绳子 模型抽象 测量方案及相关数据 ①如图1，线段表示旗杆高度，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，小乐同学用皮尺测出的长为0.2米； ②如图2，小新同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时该同学直立于地面点处，小雷同学用皮尺测出的长为8米； ③小新的身高为1.8米． 问题解决： 根据“创新”小组的测量方案及数据，要求出学校旗杆的高度，“智慧”小组想到了过点作于点，则米． 请根据“智慧”小组的思路完成下列问题： （1）直接写出线段与之间的数量关系：　 　； （2）求出学校旗杆的高度． 【分析】（1）根据题意可得出结论； （2）设米，过点作于点，则米，米，米，米，在△中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）绳子垂到地面多出部分是0.2米， ， 故答案为：； （2）设米， 如图2，过点作于点， 则米，米，米，米， 在△中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：学校旗杆的高度为16.8米． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理及逆定理 题型概览 题型01勾股定理的运用 题型02勾股定理逆定理的运用 题型03利用勾股定理求面积 题型04赵爽弦图问题 题型05 勾股定理在方格纸中的运用 题型06 实际问题的应用 ( 题型01 ) 勾股定理的运用 1. （2024春•孝义市期中）探究勾股定理的思路是：先从等腰直角三角形入手，发现等腰直角三角形三边有特殊数量关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”，再探究一般的直角三角形是否也具有这样的性质．从等腰直角三角形到一般直角三角形的研究过程中主要体现的数学思想是　　 A．从特殊到一般思想 B．从一般到特殊思想 C．方程思想 D．归纳思想 2. （2024春•杏花岭区校级期中）如图所示，在中，，于点，，则的长为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 3. （2024春•朔州期中）在中，，，边上的高，则边的长是 　 　． 4. （2024秋•太谷区期中）直角三角形的两条直角边的长分别为4，5，则斜边的长在　 　和　　这两个连续的正整数之间． ( 题型02 ) 勾股定理逆定理的运用 1. （2024春•朔州期中）△的三条边分别为，，，下列条件不能判断△是直角三角形的是　　 A． B． C． D．，， 2. （2024春•盐湖区期中）以下列线段、、的长为边，能构成是直角三角形的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 3. （2024秋•盐湖区期中）五根木棒（单位：的长度分别为5，9，12，15，17，从其中选出三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是　　 A．5，9，12 B．5，12，15 C．9，12，15 D．12，15，17 4. （2024秋•介休市期中）下列给出的三条线段的长度中，能组成直角三角形的是　　 A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，8，10 D．7，24，25 5. （2024秋•盐湖区期中）三角形的三边长为，，，且满足，则这个三角形是　　 A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 ( 题型03 ) 利用勾股定理求面积 1. （2024春•忻府区期中）如图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为 　 　． 2. （2024秋•介休市期中）如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为　 　． 3. （2024秋•杏花岭区校级期中）如图，在四边形中，，，，，． （1）求对角线的长； （2）求四边形的面积． ( 题型04 ) 赵爽弦图问题 1. （2023秋•榆次区期中）“赵爽弦图”（图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了一个重要的数学定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，这个图案被选为2002年国际数学家大会的会徽（图．利用这个图形证明的重要数学定理是　　 A．三角形内角和定理 B．勾股定理 C．勾股定理的逆定理 D．全等三角形的判定定理 2. （2024秋•晋中期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达芬奇的证明方法． 赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”（史称“赵爽弦图” ，其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达芬奇用如图2所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为． 任务： （1）下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为 　　． ，　　，　　， ，即． （2）请你参照小颖的验证过程，利用图2及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． 3. （2023秋•杏花岭区校级期中）请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽． （1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 如图2，在中，是边上的高，，，，设，求的值． （2）2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标，都包含了赵爽的弦图．如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为，较长直角边长为，且，那么小正方形的面积为 　 　． （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是 　　． ．函数思想 ．整体思想 ．分类讨论思想 ．数形结合思想 4. （2023春•交城县期中）问题情境： 勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面利用拼图的方法探究证明勾股定理； 定理表述： （1）请你结合图1中的直角三角形，叙述勾股定理（可以选择文字语言或符号语言叙述）； 尝试证明： （2）利用图1中的直角三角形可以构造出如图2的直角梯形，请你利用图2证明勾股定理； 定理应用： （3）某工程队要从点向点铺设管道，由于受条件限制无法直接沿着线段铺设，需要绕道沿着矩形的边和铺设管道，经过测量米，米，已知铺设每米管道需资金1000元，请你帮助工程队计算绕道后费用增加了多少元？ ( 题型0 5 ) 勾股定理在方格纸中的运用 1. （2024秋•大同期中）如图是由边长相等的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，、、、四点均在格点上，则的度数为　　 A． B． C． D． 2. （2024春•朔州期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，为的高，则的长为　　 A． B． C． D． 3. （2024春•朔州期中）如图，将四根小棍放置在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则长度为有理数的小棍有　　 A．0根 B．1根 C．2根 D．3根 4. （2024秋•太谷区期中）如图，△的顶点分别在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，于点，则的长为　　 A． B． C． D． ( 题型0 6 ) 实际问题的应用 1. （2024秋•芮城县期中）如图，一架的云梯斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是　　 A． B． C． D． 2. （2024秋•盐湖区期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为　　 A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米 3. （2024春•山西期中）我国秦汉时期，数学成就十分显著．当时流传这样一个数学题：今有竹高十二尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原本高12尺，从某处折断，竹梢触地处离竹根3尺，试问折断处距离地　　 A．4.5 B．5.625 C．4 D．6.375 4. （2024秋•太原期中）为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为 　 　米． 5. （2024春•山西期中）小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 6. （2024春•朔州期中）校训对师生的行为规范有指导意义，它向所有师生指明了努力的方向．校训往往设置在学校最为醒目的地方，使每一个师生经常性地看到它，受其潜移默化的心理脉冲．如图，山西省实验中学有一处教学楼高，其上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点处，伸长的云梯（云梯最长刚好接触到的底部点处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点处？（结果保留根号） 7. （2024秋•太谷区期中）如图，为一棵大树，在树上距地面10米的处有两只猴子，他们同时发现处有一筐水果，一只猴子从处往上爬到树顶处，又沿滑绳滑到处，另一只猴子从滑到，再由跑到处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高． 8. （2024秋•芮城县期中）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条到的小路，经测量，，，，，． （1）求小路的长； （2）淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？ 1. （2024春•中阳县期中）学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下： 甲：如果是直角三角形，那么一定成立； 乙：在中，如果，那么不是直角三角形． 对于两人的观点，下列说法正确的是　　 A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．两人都错 D．两人都对 2. （2024春•中阳县期中）如图，在中，是边上的一点，连接，已知，，．求证：是直角三角形． 3. （2024春•盐湖区期中）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（图中阴影部分）．如图，已知，，，，试求这块可绿化的空地的面积． 4. （2024秋•左权县期中）项目化学习 项目主题：测量学校旗杆的高度 项目背景：国旗是国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大．同学们想知道学校旗杆的高度，但无法直接测量，学习了勾股定理后，“创新”小组在老师的指导下，利用所学知识展开了项目学习． 项目步骤： 测量工具 皮尺、旗杆顶端的绳子 模型抽象 测量方案及相关数据 ①如图1，线段表示旗杆高度，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，小乐同学用皮尺测出的长为0.2米； ②如图2，小新同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时该同学直立于地面点处，小雷同学用皮尺测出的长为8米； ③小新的身高为1.8米． 问题解决： 根据“创新”小组的测量方案及数据，要求出学校旗杆的高度，“智慧”小组想到了过点作于点，则米． 请根据“智慧”小组的思路完成下列问题： （1）直接写出线段与之间的数量关系：　 　； （2）求出学校旗杆的高度． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$