专题02 二次根式的特殊题型（4题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（山西专用）

专题02 二次根式的特殊题型 题型概览 题型01分母有理化 题型02将二次根式化为整数 题型03二次根式的规律探究 题型04二次根式的应用 ( 题型01 ) 分母有理化 1. （2023春•兴县期中）若，，则与的关系是　　 A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 【分析】把的分子分母同乘，进一步化简与比较得出结论即可． 【解答】解：，， 与互为相反数． 故选：． 2. （2022秋•杏花岭区期中）的倒数是 　 　． 【分析】由倒数的定义可得的倒数是，再应用分母有理化的方法进行计算即可得出答案． 【解答】解：的倒数是． 故答案为：． 3. （2022春•怀仁市期中）阅读下列材料，然后解答问题： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如：，，一样的式子．其实我们还可以将其进一步化简： （一（二 （三 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ．（四 请解答下列问题： （1）请用不同的方法化简． ①参照（三式得　　； ②参照（四式得　　； （2）化简：；（保留过程） （3）猜想：的值．（直接写出结论） 【分析】根据分母有理化，可得答案． 【解答】解：（1）结果为； ②参照（四式得； （2）化简： ； （3）猜想：． 4. （2024春•孝义市期中）阅读下列解题过程，回答问题： ； ； ； （1）化简：　　，　　； （2）利用上面的规律，比较 　　（填“”或“”或“” ． 【分析】（1）仿照题意求解即可； （2）根据分母有理化的方法得到，，根据，得到，． 【解答】解：（1） ； ， 故答案为：，； （2）， ， ， ， ， 故答案为：． ( 题型02 ) 将二次根式化为整数 1. （2022春•尧都区期中）已知是一个正整数，则正整数的最小值为　　 A．0 B．6 C．3 D．2 【分析】先分解质因数，再根据是一个正整数和为正整数得出答案即可． 【解答】解：是一个正整数， 又，为正整数， 正整数的最小值为2， 故选：． 2. （2023春•太原期中）已知：是整数，则满足条件的最小正整数为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】因为是整数，且，则是完全平方数，满足条件的最小正整数为5． 【解答】解：，且是整数； 是整数，即是完全平方数； 的最小正整数值为5． 故选：． 3. （2023春•忻州期中）已知是正整数，是整数，则的最小值是2．那么若是正整数，是大于1的整数，则的最大值与最小值的差是 　 　． 【分析】由，结合是正整数，是大于1的整数，可得是15的倍数，从而可得答案． 【解答】解：， 又是正整数且是大于1的整数， 当时，的整数值最大为4，此时的值最小， 当时，的整数值最小为2，此时的值最大， 的最大值与最小值的差是． 故答案为：45． 4. （2022春•阳高县期中）若是整数，则正整数的最小值是 　 　． 【分析】因为是整数，且，则是完全平方数，满足条件的最小正整数为21． 【解答】解：，且是整数， 是整数，即是完全平方数； 的最小正整数值为21． 故答案为：21． ( 题型03 ) 二次根式的规律探究 1. （2023春•兴县期中）观察式子：，；；；．由此猜想．上述探究过程蕴含的思想方法是　　 A．特殊与一般 B．类比 C．转化 D．公理化 【分析】观察题意，确定出蕴含的数学思想方法即可． 【解答】解：观察式子：，；；；， 由此猜想．上述探究过程蕴含的思想方法是特殊与一般． 故选：． 2. （2023春•忻州期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中、、、均为整数），则有．，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、的值； （2）试着把化成一个完全平方式． 【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形，进而得出答案； （2）利用完全平方公式将原式变形得出答案． 【解答】解：（1）， ， ，； （2）． 3. （2024秋•屯留区期中）阅读与思考 请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，为三边构造一个△，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： （1）填空： 　　． （2）①判断△的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小． 【分析】（1）路完全平方公式计算； （2）①利用勾股定理的逆定理可证明△为直角三角形 ②通过比较与的大小判断断与的大小． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）①△为直角三角形． 理由如下： ， △为直角三角形； ②； ， ． ( 题型04 ) 二次根式的应用 1. （2023春•吕梁期中）古希腊几何学家海伦在他的著作《度量》中，给出了计算三角形面积的海伦公式，若一个三角形三边长分别为、、，记，三角形的面积为，如图，请你利用海伦公式计算△的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题中的公式，代入计算求值． 【解答】解：， △的面积为：， 故选：． 2. （2023秋•泽州县期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：和高度（单位：近似满足公式（不考虑风速的影响），则从高空抛物到落地所需时间为　　 A． B． C． D． 【分析】将代入进行计算即可． 【解答】解：当时，（秒， 答：从高空抛物到落地所需时间是秒； 故选：． 3. （2023春•交城县期中）已知的三边长分别为，，，则的形状是 　 　． 【分析】根据勾股定理的逆定理，得出三角形是直角三角形． 【解答】解：的三边长分别为：，，，且， 是直角三角形， ， 是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形． 4. （2023秋•尧都区校级期中）英国物理学家焦耳于1840年确定了电流产生的热量跟电流、电阻和通电时间之间的关系为：，其中表示电流通过导体产生的热量（单位：焦），表示电流（单位：安），表示导体的电阻（单位：欧），表示通电时间（单位：秒），现有某品牌热水壶，加热时，其电动机线圈电阻为2欧，加热3分钟，电动机线圈产生的热量为10焦，求通过电动机线圈的电流为 　 　安． 【分析】利用公式代入求解即可． 【解答】解：，焦，欧，分钟秒， （安． 故答案为：． 5. （2023秋•长子县期中）如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间（单位：秒）与细线长度（单位：之间满足关系， （1）当所花时间为秒时，求此时细线的长度． （2）当细线的长度为时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留小数点后一位， 【分析】（1）首先将转化为，然后再将秒，代入进行计算即可得出答案； （2）将代入之中进行计算即可得出答案． 【解答】解：（1）将的两边平方得：， ， 秒， ， 答：细线的长度为． （2）将代入， 得：， ，， ． 答：小重物来回摆动一次所用的时间是2.8秒． 6. （2023春•交城县期中）已知三角形的三边，，，可以求出这个三角形的面积．古希腊几何学家海伦的公式为：（其中；我国南宋著名数学家秦九韶的公式为：．若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． （1）你认为选择 　 　（填海伦公式或秦九韶公式）能使计算更简便； （2）请利用你选择的公式计算出这个三角形的面积． 【分析】（1）根据三边数字特点即可选择正确的公式； （2）将三边的值代入公式计算即可． 【解答】解：（1）三边都是根号形式， 故用秦九韶公式能计算更简便； 故答案为：秦九韶公式； （2）， ，，， ． 1. （2024秋•盐湖区期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我们知道平方差公式，当，时，有． 在二次根式的计算或化简中灵活地应用平方差公式可使运算过程更简便．例如． 任务： （1）化简： 　　． （2）计算：． （3）计算：． 【分析】（1）把分子分母都乘以即可得到答案； （2）把每一项都分母有理化，再计算二次根式的加减运算即可； （3）把每一项都分母有理化，再结合分配律计算二次根式的加减运算即可． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）原式 ； （3） ． 2. （2023春•大同期中）有一块矩形木块，木工采用如图方式，求木板上截出两个面积分别为和的正方形木板，求剩余木料的面积． 【分析】根据两个正方形木板的面积分别为和，分别求得18和32的算术平方根，则可得两个正方形的边长，然后用小正方形的边长乘以两个正方形的边长之差即可得出答案． 【解答】解：两个正方形木板的面积分别为和， 这两个正方形的边长分别为：，， 剩余木料的面积为：． 3. （2023春•忻州期中）某地气象资料表明：某地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径． （1）如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ （2）如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是 　 　． 【分析】（1）根据，把代入公式，可得答案； （2）根据，把代入公式，可得答案． 【解答】解：（1）根据，其中， ， 这场雷雨大约能持续； （2）根据，其中， ， ， ， 这场雷雨区域的直径大约是． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次根式的特殊题型 题型概览 题型01分母有理化 题型02将二次根式化为整数 题型03二次根式的规律探究 题型04二次根式的应用 ( 题型01 ) 分母有理化 1. （2023春•兴县期中）若，，则与的关系是　　 A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 2. （2022秋•杏花岭区期中）的倒数是 　 　． 3. （2022春•怀仁市期中）阅读下列材料，然后解答问题： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如：，，一样的式子．其实我们还可以将其进一步化简： （一（二 （三 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ．（四 请解答下列问题： （1）请用不同的方法化简． ①参照（三式得　　； ②参照（四式得　　； （2）化简：；（保留过程） （3）猜想：的值．（直接写出结论） 4. （2024春•孝义市期中）阅读下列解题过程，回答问题： ； ； ； （1）化简：　　，　　； （2）利用上面的规律，比较 　　（填“”或“”或“” ． ( 题型02 ) 将二次根式化为整数 1. （2022春•尧都区期中）已知是一个正整数，则正整数的最小值为　　 A．0 B．6 C．3 D．2 2. （2023春•太原期中）已知：是整数，则满足条件的最小正整数为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 3. （2023春•忻州期中）已知是正整数，是整数，则的最小值是2．那么若是正整数，是大于1的整数，则的最大值与最小值的差是 　 　． 4. （2022春•阳高县期中）若是整数，则正整数的最小值是 　 　． ( 题型03 ) 二次根式的规律探究 1. （2023春•兴县期中）观察式子：，；；；．由此猜想．上述探究过程蕴含的思想方法是　　 A．特殊与一般 B．类比 C．转化 D．公理化 2. （2023春•忻州期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中、、、均为整数），则有．，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、的值； （2）试着把化成一个完全平方式． 3. （2024秋•屯留区期中）阅读与思考 请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，为三边构造一个△，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： （1）填空： 　　． （2）①判断△的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小． ( 题型04 ) 二次根式的应用 1. （2023春•吕梁期中）古希腊几何学家海伦在他的著作《度量》中，给出了计算三角形面积的海伦公式，若一个三角形三边长分别为、、，记，三角形的面积为，如图，请你利用海伦公式计算△的面积为　　 A． B． C． D． 2. （2023秋•泽州县期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：和高度（单位：近似满足公式（不考虑风速的影响），则从高空抛物到落地所需时间为　　 A． B． C． D． 3. （2023春•交城县期中）已知的三边长分别为，，，则的形状是 　 　． 4. （2023秋•尧都区校级期中）英国物理学家焦耳于1840年确定了电流产生的热量跟电流、电阻和通电时间之间的关系为：，其中表示电流通过导体产生的热量（单位：焦），表示电流（单位：安），表示导体的电阻（单位：欧），表示通电时间（单位：秒），现有某品牌热水壶，加热时，其电动机线圈电阻为2欧，加热3分钟，电动机线圈产生的热量为10焦，求通过电动机线圈的电流为 　 　安． 5. （2023秋•长子县期中）如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间（单位：秒）与细线长度（单位：之间满足关系， （1）当所花时间为秒时，求此时细线的长度． （2）当细线的长度为时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留小数点后一位， 6. （2023春•交城县期中）已知三角形的三边，，，可以求出这个三角形的面积．古希腊几何学家海伦的公式为：（其中；我国南宋著名数学家秦九韶的公式为：．若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． （1）你认为选择 　 　（填海伦公式或秦九韶公式）能使计算更简便； （2）请利用你选择的公式计算出这个三角形的面积． 1. （2024秋•盐湖区期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我们知道平方差公式，当，时，有． 在二次根式的计算或化简中灵活地应用平方差公式可使运算过程更简便．例如． 任务： （1）化简： 　　． （2）计算：． （3）计算：． 2. （2023春•大同期中）有一块矩形木块，木工采用如图方式，求木板上截出两个面积分别为和的正方形木板，求剩余木料的面积． 3. （2023春•忻州期中）某地气象资料表明：某地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径． （1）如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ （2）如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是 　 　． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$