专题08 二元一次方程组应用题（安徽地区，人教版2024）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编

专题08 二元一次方程组应用题 题型概览 题型01销售利润 题型02古代问题 题型03几何问题 题型04方案问题 销售利润题型01 1．(23-24七下·安徽巢湖第七中学·期中)开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本共350本，已知A种笔记本的进价为12/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4800元． (1)请问购进了A种笔记本多少本？ (2)在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．受疫情影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于2348元，请求出m的最小值． 【答案】(1)150本 (2)128 【分析】本题主要考查了二一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设购进了种文件夹个，则购进了种文件夹y个，根据题意列出二一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）根据题意，列出关于的一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设购进了A种笔记本x本，购进了种笔记本y本， 由题意得：， 解得：， 答：购进了A种笔记本150本，购进了B种笔记本200本； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：m的最小值为128． 2．(23-24七下·安徽铜陵枞阳县白云中学·期中)某中学七年级（3）班去体育用品商店买一些篮球和足球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个足球，花570元，并且每个足球比篮球便宜25元． (1)求篮球和足球的单价各是多少； (2)商店里搞活动，有两种套餐： ①套餐打折：五个篮球和五个足球为一套餐，套餐打八折； ②满减活动：满1000减100，满2000减200； 两种活动不重复参与，学校打算购买14个篮球，12个足球，请问如何安排更划算？ 【答案】(1)篮球每个元，足球每个元； (2)选用套餐①购买更划算． 【来源】安徽省铜陵市枞阳县白云中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际应用问题及择优方案问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式． （1）设篮球单价为每个元，足球单价为每个元，根据买了2个篮球和6个足球，花元，并且每个足球比篮球便宜元，列方程组求解即可得到答案； （2）分别计算两种活动方案费用比较即可得到答案； 【详解】（1）解：设篮球单价为每个元，足球单价为每个元， 由题意可得， 解方程组得， 答：篮球每个元，足球每个元； （2）解：若按照①套餐打折购买费用为： （元）， 若参加②满减活动购买费用为： （元）， 又， 所以（元）． 而， 所以选择套餐①所花费用比选择套餐②所花费用低． 3．(22-23七下·安徽芜湖无为·期中)某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共60万套，两种礼盒的成本和售价如下表所示． 甲 乙 成本（元/套） 20 24 售价（元/套） 25 30 (1)该工厂计划筹集资金1340万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？ (2)经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒m万套，增加生产乙种礼盒n万套（m，n都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为400万元，请问该工厂有几种生产方案？并写出所有可行的生产方案． 【答案】(1)甲礼盒生产25万套，乙礼盒生产35万套； (2)两种，方案1：生产甲种礼盒32万套，乙种礼盒40万套； 方案2：生产甲种礼盒26万套，乙种礼盒45万套． 【详解】（1）设甲种礼盒生产万套，乙种礼盒生产万套， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种礼盒生产25万套，乙种礼盒生产35万套； （2）根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或， 或， 该工厂有2种生产方案， 方案1：生产甲种礼盒32万套，乙种礼盒40万套； 方案2：生产甲种礼盒26万套，乙种礼盒45万套． 4．(22-23七下·安徽安庆外国语学校·期中)黑马铃薯又名“黑金刚”，它富含碘、硒等多种微量元素，特别是含有花青素、花青原素，素有“地下苹果”之称．老李今年种植了5亩品种黑马䍅薯，亩品种黑马铃薯，其中品种的平均亩产量比品种的平均亩产量低，共收获两个品种黑马铃薯千克． (1)求，两个品种黑马铃薯平均亩产量各多少千克？ (2)根据如图信息，求收购时、两种马铃薯每箱的收购价格分别是多少元？ (3)在（2）的条件下某蔬菜商人分两次向老李收购完这些黑马䍅薯．收购方式如下：，两个品种各自独立装箱，品种每箱千克，品种每箱千克，老李给出如下优惠： 收购或的数量（单位：箱） 不超过箱 超过箱 -优惠方式 收购总价打九五折 收购总价打八折 第一次收购了两个品种共箱，且收购的品种箱数比品种箱数多；受某些因素影响，蔬菜商人第二次收购时做出了价格调整：每箱的收购价不变，每箱的收购价比第一次的收购价降低，优惠方式不变．两次收购完所有的黑马铃薯后，蔬菜商人发现第二次支付给老李的费用比第一次支付给老李费用多元，求蔬菜商人第一次收购品种黑马铃薯多少箱？ 【答案】(1)品种黑马铃薯平均亩产量为千点，品种黑马铃薯平均亩产量为千克 (2)品种每箱元，品种每箱元 (3) 【详解】（1）解：设品种的亩产量为千克，则品种的亩产量为， 根据题意得 ， 解得 品种的亩产量为（千克） 所以品种黑马铃薯平均亩产量为千点，品种黑马铃薯平均亩产量为千克． （2）解：设品种每箱元，品种每箱元， ， 解得 所以品种每箱元，品种每箱元； （3）解：品种共有的箱数：（箱） 产品共有的箱数：（箱） 设第一次收购品种箱，第二次收购箱，则品种第一收购为箱， 整理得 即 那么 解得 所以蔬菜商人第一次收购品种黑马铃薯箱． 5．(22-23七下·安徽合肥包河区·期中)为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？ （3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元（2）共有4种进货方案（3）当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元 【详解】解：（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元， 根据题意得方程组得：， 解方程组得：， ∴购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元； （2）设该商店购进A种纪念品x个，则购进B种纪念品有（100﹣x）个， ∴， 解得：50≤x≤53， ∵x 为正整数， ∴共有4种进货方案； （3）因为B种纪念品利润较高，故B种数量越多总利润越高， 因此选择购A种50件，B种50件． 总利润=50×20+50×30=2500（元） ∴当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元． 古代问题题型02 6．(23-24七下·安徽合肥庐江县·期中)《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可． 【详解】解：设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意可得： ， 故选：D． 7．(23-24七下·安徽阜阳界首第五中学·期中)《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺．现设绳长尺，木长尺，则可列二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题的等量关系是：绳长木长；木长绳长，据此可列方程组求解． 【详解】解：设绳长尺，长木为尺， 依题意得， 故选：B． 【点睛】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解． 8．(23-24七下·安徽亳州利辛县·期中)盈不足术是中国古代解决盈亏类问题的一种算术方法．中国古代数学名著《九章算术》中，专辟一章名为“盈不足”．该章第一个问题大意是“有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问该物品售价为多少元？”，则该物品售价为 元． 【答案】53 【分析】设该物品售价为x元，共y人一起买该物品，根据“每人出8元，多3元；每人出7元，少4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】设该物品售价为x元，共y人一起买该物品， 依题意，得：， 解得：． 故答案为53． 【点睛】考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9．(23-24七下·安徽铜陵第十五中学等·期中)我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： （1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？ （2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 【答案】(1) 每头牛3两银子,每只羊2两银子;(2) 三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买养8只． 【分析】(1)根据题意列出二元一次方程组,解出即可． (2)根据题意列出代数式,穷举法代入取值即可． 【详解】(1)设每头牛x银两,每只羊y银两． 解得: 答:每头牛3两银子,每只羊2两银子． (2)设买牛a头,买羊b只． 3a+2b=19,即． 解得a=5,b=2；或a=3,b=5,或a=1,b=8． 答:三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买羊8只． 10．(22-23七下·安徽滁州定远县永康片·期中)被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作．九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有只雀、只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．只雀、只燕重量为斤．问雀、燕每只各重多少斤？”请列方程组解答上面的问题． 【答案】雀、燕每一只各重斤、斤 【来源】安徽省滁州市定远县永康片2022-2023学年七年级下学期期中数学试题 【分析】设雀、燕每1只各重x斤、y斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可． 【详解】解：设雀、燕每只各重斤、斤．根据题意，得 整理，得 解得 答：雀、燕每只各重斤、斤． 【点睛】考查二元一次方程组得应用，解题的关键是分析题意，找出题中的等量关系． 几何问题题型03 11．(23-24七下·安徽阜阳颍州区第十五中学·期中)在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A．48 B．44 C．36 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据图中各边之间的关系，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， 即小长方形的长为，宽为， 阴影部分的面积为． 故选：B． 12．(23-24七下·安徽阜阳颍州区第十五中学·期中)小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试试”．结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为1mm的小正方形，则每个小长方形的面积为（    ） A．9 B．10 C．15 D．25 【答案】C 【分析】设小长方形的长为x mm，宽为y mm，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用长方形的面积计算公式，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x mm，宽为y mm， 依题意得：， 解得：， ∴xy=5×3=15， ∴每个小长方形的面积为15． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 13．(23-24七下·安徽阜阳太和县·期中)如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是（　　） A．16 B．44 C．96 D．140 【答案】B 【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的长和宽，接着就可以求出图中阴影部分的面积． 【详解】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，依题意得： 解得：． 故小长方形的长为8cm，宽为2cm，∴S阴影部分=S四边形ABCD﹣6×S小长方形=14×10﹣6×2×8=44（cm2）． 故选B． 14．（安徽省淮南市潘集区2023-2024学年七年级下学期期中）长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中a>b,如果将原长方形的长和宽各增加3厘米，得到的新长方形面积记为S1，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为S2． （1）若a、b为正整数，请说明：S1与S2的差一定是5的倍数； （2）如果S1＝2S2，求将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积； （3）如果用一个面积为S1的长方形和两个面积为S2的长方形恰好能没有缝隙没有重叠地拼成一个正方形，求a，b的值． 【答案】（1）见解析；（2）将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积为50平方厘米；（3）a，b的值分别为7和4.5 【分析】（1）分别求出S1，S2，S1﹣S2的值，从而求解；（2）由S1＝2S2，求得ab﹣7a﹣7b＝1，然后求出将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积，最后整体代入求值即可；（3）由题意，根据拼接图形的边长之间的等量关系，列方程组求解，根据问题的实际意义作出取舍即可． 【详解】解：（1）证明：由题意得： S1＝（a+3）（b+3）＝ab+3（a+b）+9 S2＝（a﹣2）（b﹣2）＝ab﹣2（a+b）+4 ∴S1﹣S2＝ab+3（a+b）+9﹣ab+2（a+b）﹣4 ＝5（a+b）+5＝5（a+b+1）  ∴S1与S2的差一定是5的倍数． （2）∵S1＝2S2，     ∴ab+3a+3b+9＝2（ab﹣2a﹣2b+4） ∴ab﹣7a﹣7b-1＝0    ∴ab﹣7a﹣7b＝1 ∵将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积为： （a﹣7）（b﹣7）＝ab﹣7a﹣7b+49＝1+49＝50 ∴将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积为50平方厘米． （3）由题意可得方程组： ①      解得 ②   解得：故该组方程组的解不符合题意 ∴a，b的值分别为7和4.5 【点睛】本题考查了多项式的混合运算及解简单的二元一次方程组，本题属于基础题型，难度不大． 15．(22-23七下·安徽合肥第四十五中学·期中)“光明”中学为了改善校园建设，计划在长方形的校园中间修一个正方形的花坛，预计正方形花坛的边长比场地的长少10米，比它的宽少8米，并且场地的总面积比花坛的面积大116平方米，求长方形的长和宽． 【答案】长方形的长是12米，宽是10米 【来源】安徽省合肥市第四十五中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题 【分析】分别设出长方形的长和宽，根据正方形的边长相等，和场地的总面积比花坛的面积大116平方米，列方程组求解即可． 【详解】设长方形的长和宽分别为米，米，根据题意得： 解得 答：长方形的长是12米，宽是10米． 【点睛】本题主要是运用方程解决实际问题，关键是找出题目的两个相等关系． 方案问题题型04 16．(23-24七下·安徽合肥第四十五中学·期中)某校准备租车运送450名学生去合肥市园博园，已知租1辆甲型客车和2辆乙型客车满载可坐学生165名，租2辆甲型客车和1辆乙型客车满载可坐学生150名，学校计划同时租甲型客车m辆，乙型客车n辆，一次性将学生运往市园博园，且恰好每辆客车都满载，两种型号客车都租用． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆甲型客车和1辆乙型客车满载时分别可坐多少名学生？ (2)如果乙型客车数量多于甲型客车数量，请求出甲型客车、乙型客车各多少辆？ (3)已知甲型客车每辆租金200元，乙型客车每辆租金250元，如果租车总费用不超过2000元，请制定最省钱的租车方案． 【答案】(1)1辆甲型客车满载时可坐45名学生，1辆乙型客车满载时可坐60名学生 (2)甲型客车2辆、乙型客车6辆 (3)最省钱的租车方案为甲型客车2辆，乙型客车6辆． 【来源】安徽省合肥市第四十五中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查二元一次方程和二元一次方程组的实际应用，有理数混合运算的实际应用．理解题意找出等量关系是解题关键． （1）设1辆甲型客车满载时可坐x名学生，1辆乙型客车满载时可坐y名学生，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可； （2）根据题意可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n都为正整数，求解即可； （3）结合（2）可得出有两种租车方案分别为当，时和当，时，再分别计算出所需租金比较即可． 【详解】（1）解：设1辆甲型客车满载时可坐x名学生，1辆乙型客车满载时可坐y名学生， 由题意得：， 解得：， 答：1辆甲型客车满载时可坐45名学生，1辆乙型客车满载时可坐60名学生； （2）解：由题意可知， 整理，得：， 所以． 因为m，n都为正整数，且乙型客车数量多于甲型客车数量，即， 所以，， 答：甲型客车2辆、乙型客车6辆； （3）解：结合（2）可知，；，； 当，时，； 当，时，． 又因为， 所以最省钱的租车方案为甲型客车2辆，乙型客车6辆． 17．(22-23七下·安徽马鞍山第八中学·期中)古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．伴着三月的春风，哼着欢快的曲调，我们踏上了研学之路．方树泉中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话： 王老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．” 小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．” 小萱：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”． 根据以上对话，解答下列问题： (1)参加此次活动的七年级师生共有 人； (2)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (3)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案？哪一种租车最省钱？ 【答案】(1)420； (2)客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元； (3)共有3种租车方案，租用60座客车7辆时最省钱． 【分析】（1）根据“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值，再将其代入中，即可求出结论； （2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元，租用4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据“租用的客车要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满”，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，可得出各租车方案，再求出各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）根据题意得：， 解得：， ， 参加此次活动的七年级师生共有420人． 故答案为：420； （2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元； （3）设租用60座客车m辆，45座客车n辆， 根据题意得：， ． 又m，n均为自然数， 或或， 共有3种租车方案， 方案1：租用60座客车7辆，所需租车费用为（元）； 方案2：租用60座客车4辆，45座客车4辆，所需租车费用为（元）； 方案3：租用60座客车1辆，45座客车8辆，所需租车费用为（元）． ， 租用60座客车7辆时最省钱． 18．(23-24七下·安徽宿州萧县·期中)某牛奶加工厂现有鲜奶9t，若在市场上直接销售，每吨可获利润500元；制成酸奶销售，每吨可获利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元．该工厂的生产能力为：制成酸奶每天可加工3t，制成奶片每天可加工1t．受人员限制，两种加工方式不能同时进行．受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕，为此，该加工厂设计了两种可行性方案：方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．你认为选择哪种方案获利最多？为什么？ 【答案】方案二获利多，原因见解析 【分析】分别求出两种方案的获利，进行比较后，即可得出结论． 【详解】解：方案二获利多，理由如下： 方案一：∵制成奶片每天可加工1t， ∴最多生产4t奶片，其余的鲜奶直接销售， 则其利润为（元）； 方案二：设生产x天奶片，生产天酸奶，由题意，得： ，解得：， 则利润为：（元）， ∵， ∴方案二获利多． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键． 19．（安徽省淮南市潘集区2023-2024学年七年级下学期期中）已知：现有 A 型车和B 型车载满货物一次可运货情况如下表： A型车（辆） B型车（辆） 共运货（吨） 3 2 17 2 3 18 某物流公司现有 35 吨货物，计划同时租用 A 型车 a 辆，B 型车 b 辆，一次运完， 且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆 A 型车和1辆 B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若 A 型车每辆需租金 200 元/次，B 型车每辆需租金 240 元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆 A 型车和1辆 B 型车都载满货物一次可分别运货3吨和4吨 (2)有3种租车方案：方案一：A型车1辆，B型车8辆；方案二：A型车5辆，B型车5辆；方案三：A型车9辆，B型车2辆 (3)A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2120元 【详解】（1）解：设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨， 依题意列方程组为：， 解得． 答：1辆A型车辆装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨． （2）结合题意，和（1）可得3a+4b=35， ∴a=． ∵a、b都是正整数， ∴或或． 答：有3种租车方案： 方案一：A型车1辆，B型车8辆； 方案二：A型车5辆，B型车5辆； 方案三：A型车9辆，B型车2辆． （3）∵A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次， ∴方案一需租金：1×200+8×240=2120（元）； 方案二需租金：5×200+5×240=2200（元）； 方案三需租金：9×200+2×240=2280（元）． ∵， ∴最省钱的租车方案是方案一：A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2120元． 20．(22-23七下·安徽合肥包河区·期中)已知2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨．用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆和B型车b辆，一次运完，且每辆车都满载货物．根据以上信息解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车载满货物一次分别可运货物多少吨？ （2）请帮助物流公司设计租车方案. （3）若A型车每辆车租金每次100元，B型车每辆车租金每次120元．请选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费． 【答案】（1）1辆A型车载满货物每次可运货物3吨，1辆B型车载满货物一次可运货物4吨.（2） 有三种租车方案：方案一，租用A型车9辆，B型车1辆;方案二，租用A型车5辆，B型车4辆;方案三，租用A型车1辆，B型车7辆．（3）选择方案三最省钱，最少的租车费为940元． 【详解】（1）设A、B型车都装满货物一次每辆车装x吨、y吨， 则 ， 解得：， （2）结合题意和上一问得：3a+4b=31， ∴a=， 因为a，b都是正整数， ∴或或， 有三种租车方案： 方案一：A型车9辆，B型车1辆； 方案二：A型车5辆，B型车4辆； 方案三：A型车1辆，B型车7辆； （3）A型车每辆车租金每次100元，B型车每辆车租金每次120元， 方案一：9100+1120=1020； 方案二：5100+4120=980； 方案三：1100+7120=940； ∵1020＞980＞940， ∴方案三最省钱，费用为940元． 21．(23-24七下·安徽阜阳颍州区第十五中学·期中)某班学生分组搞活动，若每组7人，则余下4人；若每组8人，则有一组少3人．设全班有学生x人，分成y个小组，则可得方程组（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【来源】安徽省阜阳市颍州区第十五中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】此题考查了根据实际问题列二元一次方程组，根据题中的每组7人，则余下4人；每组8人，则有一组少3人，列出方程组，正确理解题意中的等量关系是解题的关键． 【详解】设全班有学生x人，分成y个小组， 若每组7人，则余下4人，则总人数 若每组8人，则有一组少3人，则总人数， 故列方程组为 故选：B． 22．(23-24七下·安徽六安裕安区青山路初级中学·期中)《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知6个大桶加上4个小桶可以盛酒48斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），5个大桶加上3个小桶可以盛酒38斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒斛、1个小桶可以盛酒斛．根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设1个大桶可以盛酒斛、1个小桶可以盛酒斛，根据“6个大桶加上4个小桶可以盛酒48斛，5个大桶加上3个小桶可以盛酒38斛”即可列出二元一次方程组． 【详解】解：∵6个大桶加上4个小桶可以盛酒48斛， ∴， ∵5个大桶加上3个小桶可以盛酒38斛， ∴， ∴根据题意可列方程组， 故选：A． 23．（安徽省淮南市潘集区2023-2024学年七年级下学期期中）小明为班级购买信息学编程竞赛的奖品后，回学校向班主任李老师汇报说：“我买了两种书，共30本，单价分别为20元和24元，买书前我领了700元，现在还余38元．”李老师算了一下，说：“你肯定搞错了．” （1）李老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释； （2）小明连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本．但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于10元的整数，如果单价为20元的书多于24元的书，请问：笔记本的单价为多少元？ 【答案】（1）见解析；（2）6元 【分析】（1）设单价为20元的书买了x本，单价为24元的书买了y本，根据总价＝单价×数量，结合购买两种书30本共花费（700−38）元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，结合x，y的值为整数，即可得出小明搞错了； （2）设单价为20元的书买了a本，则单价为24元的书买了（30−a）本，笔记本的单价为b元，根据总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，化简后可得出a＝14＋，结合0＜b＜10，且a，b均为整数，可得出b＝2或6，将b值代入a＝14＋中可求出a值，再结合单价为20元的书多于24元的书，即可确定b值． 【详解】解：（1）设20元的书买了本，24元的书买了本，由题意，得 ，解得， ∵，的值为整数，故，的值不符合题意（只需求出一个即可） ∴小明搞错了； （2）设20元的书买了本，则24元的书买了本，笔记本的单价为元， 由题意，得：， 化简得： ∵，∴或6． 当，，即20元的书买了15本，24元的书买了15本，不合题意舍去 当，，即20元的书买了16本，则24元的书买了14本 ∴． 答：笔记本的价格为6元． 24．(21-22七下·安徽合肥第四十五中学·期中)某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进种型号衣服9件，种型号衣服10件，则共需1810元；若购进种型号衣服12件，种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件型号衣服可获利18元，销售一件型号衣服可获利30元．要使在这次销售中获利不少于699元，且型号衣服不多于28件． （1）求型号衣服进价各是多少元？ （2）若已知购进型号衣服是型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案？并简述购货方案． 【答案】（1）型号衣服每件90元，型号衣服每件100元；（2）有三种进货方案：① 型号衣服购买10件，型号衣服购进24件；②型号衣服购买11件，型号衣服购进26件；③型号衣服购买12件，型号衣服购进28件． 【来源】安徽省合肥市第四十五中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题 【分析】（1）等量关系为：A种型号衣服9件×进价+B种型号衣服10件×进价=1810，A种型号衣服12件×进价+B种型号衣服8件×进价=1880； （2）关键描述语是：获利不少于699元，且A型号衣服不多于28件．关系式为：18×A型件数+30×B型件数≥699，A型号衣服件数≤28． 【详解】（1）设型号衣服每件元，型号衣服每件元， 则： 解得 答：型号衣服每件90元，型号衣服每件100元 （2）设型号衣服购进件，则型号衣服购进件， 则： 解得 为正整数， 、11、12，24、26、28． 答：有三种进货方案： ①型号衣服购买10件，型号衣服购进24件； ②型号衣服购买11件，型号衣服购进26件； ③ 型号衣服购买12件，型号衣服购进28件． 【点睛】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组，及方程组． 25．（安徽省阜阳市太和县2023-2024学年七年级下学期期中）为了鼓励市民节约用水，万州市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费自来水销售费用污水处理费用） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元吨 单价：元吨 17吨及以下 0.80 超过17吨不超过30吨的部分 0.80 超过30吨的部分 6.00 0.80 说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量，②水费=自来水费+污水处理费； 已知小明家2013年3月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元． （1）求，的值． （2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小梦计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%，若小梦加的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？ 【答案】（1）a=2.2，b=4.2；（2）张老师家六月份最多用水40吨． 【分析】（1）根据表格收费标准，及张老师4、5两月用水量、水费，可得出方程组，解出即可； （2）先判断用水量超过30吨，继而再由水费不超过184，可得出不等式，解出即可． 【详解】（1）由题意，得， 解得：． （2）当用水量为30吨时，水费为：17×2.2+13×4.2+0.8×30=116元，9200×2%=184元， ∵116＜184， ∴张老师家六月份的用水量超过30吨， 设张老师家6月份用水量为x吨， 由题意得：17×2.2+13×4.2+6（x-30）+0.8x≤184， 解得：x≤40， ∴张老师家六月份最多用水40吨． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 二元一次方程组应用题 题型概览 题型01销售利润 题型02古代问题 题型03几何问题 题型04方案问题 销售利润题型01 1．(23-24七下·安徽巢湖第七中学·期中)开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本共350本，已知A种笔记本的进价为12/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4800元． (1)请问购进了A种笔记本多少本？ (2)在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．受疫情影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于2348元，请求出m的最小值． 2．(23-24七下·安徽铜陵枞阳县白云中学·期中)某中学七年级（3）班去体育用品商店买一些篮球和足球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个足球，花570元，并且每个足球比篮球便宜25元． (1)求篮球和足球的单价各是多少； (2)商店里搞活动，有两种套餐： ①套餐打折：五个篮球和五个足球为一套餐，套餐打八折； ②满减活动：满1000减100，满2000减200； 两种活动不重复参与，学校打算购买14个篮球，12个足球，请问如何安排更划算？ 3．(22-23七下·安徽芜湖无为·期中)某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共60万套，两种礼盒的成本和售价如下表所示． 甲 乙 成本（元/套） 20 24 售价（元/套） 25 30 (1)该工厂计划筹集资金1340万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？ (2)经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒m万套，增加生产乙种礼盒n万套（m，n都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为400万元，请问该工厂有几种生产方案？并写出所有可行的生产方案． 4．(22-23七下·安徽安庆外国语学校·期中)黑马铃薯又名“黑金刚”，它富含碘、硒等多种微量元素，特别是含有花青素、花青原素，素有“地下苹果”之称．老李今年种植了5亩品种黑马䍅薯，亩品种黑马铃薯，其中品种的平均亩产量比品种的平均亩产量低，共收获两个品种黑马铃薯千克． (1)求，两个品种黑马铃薯平均亩产量各多少千克？ (2)根据如图信息，求收购时、两种马铃薯每箱的收购价格分别是多少元？ (3)在（2）的条件下某蔬菜商人分两次向老李收购完这些黑马䍅薯．收购方式如下：，两个品种各自独立装箱，品种每箱千克，品种每箱千克，老李给出如下优惠： 收购或的数量（单位：箱） 不超过箱 超过箱 -优惠方式 收购总价打九五折 收购总价打八折 第一次收购了两个品种共箱，且收购的品种箱数比品种箱数多；受某些因素影响，蔬菜商人第二次收购时做出了价格调整：每箱的收购价不变，每箱的收购价比第一次的收购价降低，优惠方式不变．两次收购完所有的黑马铃薯后，蔬菜商人发现第二次支付给老李的费用比第一次支付给老李费用多元，求蔬菜商人第一次收购品种黑马铃薯多少箱？ 5．(22-23七下·安徽合肥包河区·期中)为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？ （3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 古代问题题型02 6．(23-24七下·安徽合肥庐江县·期中)《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 7．(23-24七下·安徽阜阳界首第五中学·期中)《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺．现设绳长尺，木长尺，则可列二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 8．(23-24七下·安徽亳州利辛县·期中)盈不足术是中国古代解决盈亏类问题的一种算术方法．中国古代数学名著《九章算术》中，专辟一章名为“盈不足”．该章第一个问题大意是“有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问该物品售价为多少元？”，则该物品售价为 元． 9．(23-24七下·安徽铜陵第十五中学等·期中)我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： （1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？ （2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 10．(22-23七下·安徽滁州定远县永康片·期中)被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作．九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有只雀、只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．只雀、只燕重量为斤．问雀、燕每只各重多少斤？”请列方程组解答上面的问题． 几何问题题型03 11．(23-24七下·安徽阜阳颍州区第十五中学·期中)在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A．48 B．44 C．36 D．24 12．(23-24七下·安徽阜阳颍州区第十五中学·期中)小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试试”．结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为1mm的小正方形，则每个小长方形的面积为（    ） A．9 B．10 C．15 D．25 13．(23-24七下·安徽阜阳太和县·期中)如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是（　　） A．16 B．44 C．96 D．140 14．（安徽省淮南市潘集区2023-2024学年七年级下学期期中）长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中a>b,如果将原长方形的长和宽各增加3厘米，得到的新长方形面积记为S1，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为S2． （1）若a、b为正整数，请说明：S1与S2的差一定是5的倍数； （2）如果S1＝2S2，求将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积； （3）如果用一个面积为S1的长方形和两个面积为S2的长方形恰好能没有缝隙没有重叠地拼成一个正方形，求a，b的值． 15．(22-23七下·安徽合肥第四十五中学·期中)“光明”中学为了改善校园建设，计划在长方形的校园中间修一个正方形的花坛，预计正方形花坛的边长比场地的长少10米，比它的宽少8米，并且场地的总面积比花坛的面积大116平方米，求长方形的长和宽． 方案问题题型04 16．(23-24七下·安徽合肥第四十五中学·期中)某校准备租车运送450名学生去合肥市园博园，已知租1辆甲型客车和2辆乙型客车满载可坐学生165名，租2辆甲型客车和1辆乙型客车满载可坐学生150名，学校计划同时租甲型客车m辆，乙型客车n辆，一次性将学生运往市园博园，且恰好每辆客车都满载，两种型号客车都租用． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆甲型客车和1辆乙型客车满载时分别可坐多少名学生？ (2)如果乙型客车数量多于甲型客车数量，请求出甲型客车、乙型客车各多少辆？ (3)已知甲型客车每辆租金200元，乙型客车每辆租金250元，如果租车总费用不超过2000元，请制定最省钱的租车方案． 17．(22-23七下·安徽马鞍山第八中学·期中)古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．伴着三月的春风，哼着欢快的曲调，我们踏上了研学之路．方树泉中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话： 王老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．” 小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．” 小萱：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”． 根据以上对话，解答下列问题： (1)参加此次活动的七年级师生共有 人； (2)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (3)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案？哪一种租车最省钱？ 18．(23-24七下·安徽宿州萧县·期中)某牛奶加工厂现有鲜奶9t，若在市场上直接销售，每吨可获利润500元；制成酸奶销售，每吨可获利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元．该工厂的生产能力为：制成酸奶每天可加工3t，制成奶片每天可加工1t．受人员限制，两种加工方式不能同时进行．受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕，为此，该加工厂设计了两种可行性方案：方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．你认为选择哪种方案获利最多？为什么？ 19．（安徽省淮南市潘集区2023-2024学年七年级下学期期中）已知：现有 A 型车和B 型车载满货物一次可运货情况如下表： A型车（辆） B型车（辆） 共运货（吨） 3 2 17 2 3 18 某物流公司现有 35 吨货物，计划同时租用 A 型车 a 辆，B 型车 b 辆，一次运完， 且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆 A 型车和1辆 B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若 A 型车每辆需租金 200 元/次，B 型车每辆需租金 240 元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 20．(22-23七下·安徽合肥包河区·期中)已知2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨．用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆和B型车b辆，一次运完，且每辆车都满载货物．根据以上信息解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车载满货物一次分别可运货物多少吨？ （2）请帮助物流公司设计租车方案. （3）若A型车每辆车租金每次100元，B型车每辆车租金每次120元．请选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费． 21．(23-24七下·安徽阜阳颍州区第十五中学·期中)某班学生分组搞活动，若每组7人，则余下4人；若每组8人，则有一组少3人．设全班有学生x人，分成y个小组，则可得方程组（    ）． A． B． C． D． 22．(23-24七下·安徽六安裕安区青山路初级中学·期中)《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知6个大桶加上4个小桶可以盛酒48斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），5个大桶加上3个小桶可以盛酒38斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒斛、1个小桶可以盛酒斛．根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 23．（安徽省淮南市潘集区2023-2024学年七年级下学期期中）小明为班级购买信息学编程竞赛的奖品后，回学校向班主任李老师汇报说：“我买了两种书，共30本，单价分别为20元和24元，买书前我领了700元，现在还余38元．”李老师算了一下，说：“你肯定搞错了．” （1）李老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释； （2）小明连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本．但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于10元的整数，如果单价为20元的书多于24元的书，请问：笔记本的单价为多少元？ 24．(21-22七下·安徽合肥第四十五中学·期中)某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进种型号衣服9件，种型号衣服10件，则共需1810元；若购进种型号衣服12件，种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件型号衣服可获利18元，销售一件型号衣服可获利30元．要使在这次销售中获利不少于699元，且型号衣服不多于28件． （1）求型号衣服进价各是多少元？ （2）若已知购进型号衣服是型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案？并简述购货方案． 25．（安徽省阜阳市太和县2023-2024学年七年级下学期期中）为了鼓励市民节约用水，万州市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费自来水销售费用污水处理费用） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元吨 单价：元吨 17吨及以下 0.80 超过17吨不超过30吨的部分 0.80 超过30吨的部分 6.00 0.80 说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量，②水费=自来水费+污水处理费； 已知小明家2013年3月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元． （1）求，的值． （2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小梦计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%，若小梦加的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？ 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$