专题02 函数的概念与基本初等函数-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（河南专用）

专题02 函数的概念与基本初等函数 题型概览 题型01函数的性质 题型02指对幂函数 函数的性质题型01 1．（2025·河南郑州·一模）关于函数，下列结论错误的是（      ） A．函数的图象关于y轴对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的最小正周期为 D．函数的最小值为2 2．（2025·河南安阳·一模）已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南鹤壁·一模）已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南信阳·一模）已知定义在上的函数与函数的图象有唯一公共点，则实数的值为（   ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 5．（2025·河南鹤壁·一模）塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到．常见的塌缩函数有，，设的值域为，的值域为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．方程的所有实根之和为1 D．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 6．（2025·河南安阳·一模）已知函数满足，则实数 ，设为的导函数，则不等式的解集为 . 7．（2025·河南安阳·一模）定义：已知函数在其定义域上的最大值为，最小值为，若，则称是“间距函数”，则下列函数是“间距函数”的有（   ） A．， B．， C．， D．， 指对幂函数题型02 8．（2025·河南·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·河南南阳·一模）集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数的概念与基本初等函数 题型概览 题型01函数的性质 题型02指对幂函数 ( 题型01 ) 函数的性质 1．（2025·河南郑州·一模）关于函数，下列结论错误的是（      ） A．函数的图象关于y轴对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的最小正周期为 D．函数的最小值为2 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断或证明函数的对称性、求含cosx的函数的最小正周期、基本不等式求和的最小值 【分析】对A，利用偶函数定义判断；对B，利用函数对称性的定义判断；对C，根据周期函数的定义判断；对D，令，则 ，利用基本不等式求出最小值. 【详解】对于A，的定义域为 R ， 因为 ， 所以是 R 上的偶函数，所以函数的图象关于 y 轴对称，故A正确； 对于B，对于任意的， ， 所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，因为 ， 所以 为函数的一个周期，故不是函数的最小正周期，故C错误； 对于D，因为，设 ， 则 ，因为 ，当且仅当 ，即时等号成立， 所以函数 的最小值为2，故 D 正确. 故选：C. 2．（2025·河南安阳·一模）已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦函数图象的应用、利用正弦函数的对称性求参数、函数与方程的综合应用、函数不等式恒成立问题 【分析】先求出，根据恒成立，得到，不妨取，画出图象，数形结合，利用对称性得到，求出答案. 【详解】时，， 令，则当时，， 故要想在时满足恒成立， 需满足，不妨取， ，， 画出在上的图象，如下： 由图象可知，，， 则， 故， 两式相加得， 所以. 故选：C 3．（2025·河南鹤壁·一模）已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、函数不等式恒成立问题、由对数函数的单调性解不等式 【分析】利用换底公式得，然后利用对数函数的性质即可推得；再对求导，利用导数和指数函数的性质，求解不等式即得或，合并考虑即可. 【详解】由题可知， 因为在区间上单调递增，所以，即， 当时，有，得，不成立舍去； 当时，有 ，则显然成立，故. 又在区间上单调递增， 在时恒成立， 所以在时恒成立， 因为，则有，即， 则得，即，解得或， 又，所以. 故选：D. 4．（2025·河南信阳·一模）已知定义在上的函数与函数的图象有唯一公共点，则实数的值为（   ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】C 【知识点】函数对称性的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】由两个函数图象都关于对称，即可求解； 【详解】易知的图象关于对称， 且当时，单调递增，当时单调递减， 又，由可看作向右平移两个单位得到， 所以的图象也关于对称， 由于函数与函数的图象有唯一公共点， 即方程只有一根，因为两函数图象都关于对称， 所以方程的根为2， 即，解得：， 经检验符合题意， 故选：C 5．（2025·河南鹤壁·一模）塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到．常见的塌缩函数有，，设的值域为，的值域为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．方程的所有实根之和为1 D．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数对称性的应用、判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】利用函数单调性可分别求出两函数的值域，从而判断A；利用的结构特征，得出，再计算即可判断B；将方程的根转化成函数图象的交点，利用两函数的对称性可得到交点的对称性，从而判断C；利用将不等式变形，结合单调性得到二元不等式，利用最值解决恒成立问题即可判断D. 【详解】对于A，因为.，所以在上为增函数，且的值域为，又，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，由B可知的图象关于点对称，又的图象也关于点对称，所以两函数图象的交点也关于点对称，则方程的所有实根之和为0，故C错误； 对于D，易知为增函数，且，即， 则，即，因为，当且仅当时等号成立，所以，解得，所以实数的取值范围是，故D正确． 故选：ABD. 6．（2025·河南安阳·一模）已知函数满足，则实数 ，设为的导函数，则不等式的解集为 . 【答案】 ； 【知识点】求函数值、导数的运算法则 【分析】令即可代入求解,求导，即可代入化简，根据一元二次不等式的求解得空2. 【详解】由可得令，则， 故，解得， 由可得， 故得， 化简可得，解得或， 故答案为：， 7．（2025·河南安阳·一模）定义：已知函数在其定义域上的最大值为，最小值为，若，则称是“间距函数”，则下列函数是“间距函数”的有（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求含sinx(型)函数的值域和最值、求二次函数的值域或最值 【分析】对于A，利用的性质，求出最大值和最小值，即可求解；对于B，利用反比例函数的性质，求出最大值和最小值，即可求解；对于C，令，，利用复合函数的单调性，求出最大值和最小值，即可求解；对于D，令，则，求出在区间上最值，即可求解. 【详解】对于选项A，易知的最大值为，最小值为，则，所以选项A错误， 对于选项B，因为在区间上单调递减， 所以的最大值为，最小值为，则，所以选项B正确， 对于选项C，，令，， 当时，，又在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又在区间上单调递增，所以的最大值为，最小值为， 则，所以选项C正确， 对于选项D，令，因为，则，且， 易知在区间上单调递增，所以在区间的最大值为，最小值为， 则，所以选项D正确， 故选：BCD. ( 题型02 ) 指对幂函数 8．（2025·河南·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】由对数函数和指数函数的性质可得. 【详解】由题可知，故. 故选：D 9．（2025·河南南阳·一模）集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算、求对数型复合函数的值域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先化简集合，再根据集合的交集运算求解. 【详解】，， . 故选：D. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$