专题07 三角函数与解三角形-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（河南专用）

专题07 三角函数与解三角形 题型概览 题型01解三角形 题型02三角函数 解三角形题型01 1．（2025·河南安阳·一模）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，点到直线的距离为，求的周长. 2．（2025·河南郑州·一模）记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知， (1)求 (2)设，求边上的高. 3．（2025·河南·一模）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 4．（2025·河南信阳·一模）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 5．（2025·河南信阳·一模）已知三棱锥，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为 . 6．（2025·河南南阳·一模）如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s. (1)设A到P的距离为xkm，求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）. 三角函数题型02 7．（2025·河南郑州·一模）若，是函数两个相邻的最值点，则等于（      ） A．2 B． C．1 D． 8．（2025·河南郑州·一模）关于函数，下列结论错误的是（      ） A．函数的图象关于y轴对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的最小正周期为 D．函数的最小值为2 9．（2025·河南安阳·一模）已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河南信阳·一模）已知角和的终边关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D． 11．（2025·河南鹤壁·一模）已知函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·河南安阳·一模）定义：已知函数在其定义域上的最大值为，最小值为，若，则称是“间距函数”，则下列函数是“间距函数”的有（   ） A．， B．， C．， D．， 13．（2025·河南·一模）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 三角函数与解三角形 题型概览 题型01解三角形 题型02三角函数 ( 题型01 ) 解三角形 1．（2025·河南安阳·一模）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，点到直线的距离为，求的周长. 【答案】(1) (2)14. 【知识点】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解. （2）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及三角形面积公式列式求解. 【详解】（1）在中，，， 则，而，， 解得，则，所以. （2）由正弦定理得，不妨设，则， 由余弦定理得，解得， 由，得，解得， 所以，即的周长为14. 2．（2025·河南郑州·一模）记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知， (1)求 (2)设，求边上的高. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）先利用余弦定理求出，再由，结合平方关系可求的值； （2）结合（1）可得，再利用三角形面积相等可求得边上的高. 【详解】（1）在中， ，， 而A为三角形内角， ， ， 整理得，得， 又，且， （2）由正弦定理得， 得， 由（1）得，，， ， 设边上的高为h，则， 边上的高为 3．（2025·河南·一模）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据题意画出图形，并利用位置关系求得，设，结合平面向量线性运算以及余弦定理可求得当三点共线时取得最小值. 【详解】如图所示： 由题意得. 设， 则. 作点关于直线的对称点，连接. 由题可知， 则， 在中，由余弦定理可得； 所以， 当且仅当三点共线时取等号. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将表达式中的进行转化，记，再结合平面向量线性运算以及余弦定理可求得结论. 4．（2025·河南信阳·一模）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合辅助角公式即可求解； （2）法一：由余弦定理，结合基本不等式求得最大值，即可求解；法二：由正弦定理，得到，，再结合面积公式、辅助角公式即可求解； 【详解】（1）， 由正弦定理可得 ，，. . ，； （2）（方法一）在中，由余弦定理得， 即，当且仅当时取等号. . 即的面积的最大值为 （方法二）由正弦定理得 ，， 则面积 . 因为，所以， 所以， 所以当，取得最大值 所以即当且仅当时取等号. 即的面积的最大值为 5．（2025·河南信阳·一模）已知三棱锥，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】/ 【知识点】余弦定理解三角形、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先通过余弦定理求出的一个内角的余弦值，进而求出正弦值，再利用正弦定理求出外接圆的半径，然后根据三棱锥的性质求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式求出外接球的表面积. 【详解】在中，已知，，， 根据余弦定理可得： 设外接圆的半径为，根据正弦定理， 可得：，则. 因为，所以点在平面上的射影是的外心， 设三棱锥外接球的球心为，半径为，则平面，且，，. 又因为，即， 展开可得：， 移项化简可得，解得. 根据球的表面积公式，可得： . 故答案为：. 6．（2025·河南南阳·一模）如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s. (1)设A到P的距离为xkm，求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数在生活中的应用、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】（1）根据速度得三角形边之间关系，再根据余弦定理求结果， （2）作垂线，根据直角三角形解结果. 【详解】（1）依题意，得 ， ，所以 ， ．在 中，， 余弦定理，得 ． 同理在 中，． 由于 ， 所以 ， 解得 ． （2）作 ，垂足为 ，在 中， ． 所以目标 到海防警戒线 的距离为 ． ( 题型0 2 ) 三角函数 7．（2025·河南郑州·一模）若，是函数两个相邻的最值点，则等于（      ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】根据题意得到函数的最小正周期，再用最小正周期公式可解. 【详解】由，是函数两个相邻的最值点， ， 所以，即. 故选：A. 8．（2025·河南郑州·一模）关于函数，下列结论错误的是（      ） A．函数的图象关于y轴对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的最小正周期为 D．函数的最小值为2 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断或证明函数的对称性、求含cosx的函数的最小正周期、基本不等式求和的最小值 【分析】对A，利用偶函数定义判断；对B，利用函数对称性的定义判断；对C，根据周期函数的定义判断；对D，令，则 ，利用基本不等式求出最小值. 【详解】对于A，的定义域为 R ， 因为 ， 所以是 R 上的偶函数，所以函数的图象关于 y 轴对称，故A正确； 对于B，对于任意的， ， 所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，因为 ， 所以 为函数的一个周期，故不是函数的最小正周期，故C错误； 对于D，因为，设 ， 则 ，因为 ，当且仅当 ，即时等号成立， 所以函数 的最小值为2，故 D 正确. 故选：C. 9．（2025·河南安阳·一模）已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦函数图象的应用、利用正弦函数的对称性求参数、函数与方程的综合应用、函数不等式恒成立问题 【分析】先求出，根据恒成立，得到，不妨取，画出图象，数形结合，利用对称性得到，求出答案. 【详解】时，， 令，则当时，， 故要想在时满足恒成立， 需满足，不妨取， ，， 画出在上的图象，如下： 由图象可知，，， 则， 故， 两式相加得， 所以. 故选：C 10．（2025·河南信阳·一模）已知角和的终边关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】诱导公式二、三、四、辅助角公式 【分析】由题意得到，进而得到，再结合辅助角公式即可求解； 【详解】设角的终边与单位圆的交点为，由题意可知角的终边与单位圆的交点为， 所以， 所以由， 可得：， 所以， ， ，其中， 所以，即， 所以， 所以， 故选：D 11．（2025·河南鹤壁·一模）已知函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】首先根据已知条件求出的值，再将的值代入中，通过三角函数的差角公式进行化简计算. 【详解】由题可知，，则，， 又，所以， 所以． 故选：D. 12．（2025·河南安阳·一模）定义：已知函数在其定义域上的最大值为，最小值为，若，则称是“间距函数”，则下列函数是“间距函数”的有（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求含sinx(型)函数的值域和最值、求二次函数的值域或最值 【分析】对于A，利用的性质，求出最大值和最小值，即可求解；对于B，利用反比例函数的性质，求出最大值和最小值，即可求解；对于C，令，，利用复合函数的单调性，求出最大值和最小值，即可求解；对于D，令，则，求出在区间上最值，即可求解. 【详解】对于选项A，易知的最大值为，最小值为，则，所以选项A错误， 对于选项B，因为在区间上单调递减， 所以的最大值为，最小值为，则，所以选项B正确， 对于选项C，，令，， 当时，，又在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又在区间上单调递增，所以的最大值为，最小值为， 则，所以选项C正确， 对于选项D，令，因为，则，且， 易知在区间上单调递增，所以在区间的最大值为，最小值为， 则，所以选项D正确， 故选：BCD. 13．（2025·河南·一模）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用三角函数的周期公式求解. 【详解】的最小正周期为. 故选：A 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$