专题05 平面解析几何-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（河南专用）

专题05 平面解析几何 题型概览 题型01圆锥曲线 题型02圆与方程 题型03直线与方程 圆锥曲线题型01 1．（2025·河南·一模）已知抛物线为上一点. (1)证明：以点为圆心且过点的圆与的准线相切. (2)若动直线与相交于两点，点满足（为坐标原点），且直线的斜率之和为. （i）求的方程； （ii）过点作的切线，若，求的面积的最小值. 2．（2025·河南·一模）椭圆的焦距为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 3．（2025·河南安阳·一模）设，是抛物线上除顶点以外的两点，过点，分别作的切线，两条切线相交于点. (1)若且，求直线的方程； (2)设，分别为直线，与轴的交点，证明：的外接圆过定点； (3)若的焦点为，点，在的准线上的射影分别为点，，证明：点是的外心.附：抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴. 4．（2025·河南信阳·一模）阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他曾经定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线上两个不同点A，B横坐标分别为，，以A，B为切点的切线交于P点.关于阿基米德三角形PAB的说法正确的有（   ） A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上 B．若为正三角形，则其面积为 C．若，则的面积的最小值为 D．一般情况下，的面积 5．（2025·河南信阳·一模）已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点M，N. (1)求曲线的方程； (2)若以线段为直径的圆经过点. ①求证：直线过定点，并求出的坐标； ②求三角形面积的最大值. 6．（2025·河南·一模）双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在上，点，点在直线上，则下列说法正确的是（    ） 附：双曲线在其上一点处的切线方程为. A． B． C．作于点，则（为坐标原点） D．若的延长线交于点，则的内心在定直线上 7．（2025·河南信阳·一模）将椭圆上所有的点绕原点旋转角，得到椭圆的方程：，则下列说法中不正确的是（   ） A． B． C．椭圆的离心率为 D．是椭圆的一个焦点 8．（2025·河南鹤壁·一模）已知椭圆（）的离心率为，短轴长为． (1)求C的方程． (2)若C上的两点满足，则称点为C上的一对伴点，设A为C上位于第一象限的一点，且点A的横坐标为1． （ⅰ）证明：点A在C上共有两个伴点； （ⅱ）设（ⅰ）中的两个伴点分别为G，H，若斜率为的动直线l与C交于点M，N，点G，H，M，N组成四边形，求四边形的面积的最大值． 9．（2025·河南郑州·一模）已知双曲线，双曲线C上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为 . 10．（2025·河南安阳·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，且，若的周长为20，则的实轴长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 11．（2025·河南安阳·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，圆，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的面积为2 B．若，则直线被圆截得的弦长为 C．若为等腰三角形，则满足条件的点有2个 D．若为与轴正半轴的交点，为圆的直径（在第一象限），的中点为，（表示斜率），则点的横坐标为 12．（2025·河南郑州·一模）已知两定点，，动点P满足 (1)求点P的轨迹方程; (2)过的直线l与动点P的轨迹交于两点A，B，与直线交于点C，设O为坐标原点，若，求直线l的方程. 13．（2025·河南安阳·一模）已知直三棱柱的底面为等腰直角三角形，，则下列说法正确的是（   ） A．三棱柱的体积为4 B．以为球心，体积为的球面与侧面的交线的长度为 C．若，分别为，的中点，点在平面上，则的最小值为 D．若空间中的一点满足，则的最小值为 圆与方程题型02 14．（2025·河南郑州·一模）如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆相交于A，C，B，D四点，M为弦AB的中点，下列结论正确的是（      ） A．AO长度的最大值为 B．线段BD长度的最小值为 C．点M的轨迹是一个圆 D．四边形ABCD面积的取值范围为 直线与方程题型03 15．（四川省攀枝花市第七高级中学校2023-2024学年高三下学期5月高考模拟数学试题（理科））已知椭圆的离心率为，直线过椭圆C的两个顶点，且原点O到直线l的距离为． (1)求椭圆C的标准方程; (2)当过点的动直线l与椭圆C相交于两个不同点A，B时，求的取值范围． 16．（2025届河南省鹤壁市高三3月模拟考试数学试卷）已知，分别是双曲线（）的左、右焦点，斜率为且过点的直线交C的右支于A，B两点，A在第一象限，且，则（   ） A．点到C的渐近线的距离为 B． C．C的离心率为2 D．分别以，为直径的圆的公共弦长为 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平面解析几何 题型概览 题型01圆锥曲线 题型02圆与方程 题型03直线与方程 ( 题型01 ) 圆锥曲线 1．（2025·河南·一模）已知抛物线为上一点. (1)证明：以点为圆心且过点的圆与的准线相切. (2)若动直线与相交于两点，点满足（为坐标原点），且直线的斜率之和为. （i）求的方程； （ii）过点作的切线，若，求的面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）. 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）利用抛物线的定义可证明结论. （2）（i）设.由表示直线的方程，可得，根据求出的值可得结果. （ii）设的中点为，通过计算可说明三点共线，且为线段的中点，转化的面积可得结果. 【详解】（1）由题可知点为的焦点，设为点，抛物线的准线方程为. ∵为上一点，∴由抛物线的定义得等于点到的准线的距离， ∴以为圆心且过点的圆与的准线相切. （2） 设. （i）当时，点关于轴对称，点， 直线关于轴对称，成立. 当时，由得，直线的方程为， 将点的坐标代入，可得，则. 联立直线与的方程，可得， ∴. ∵， ∴， 化简可得，则， 由得，，由得， 故的方程为. （ii）设直线， 与的方程联立，可得， 由，得， 由得，，故点. 设的中点为， ∵， ∴，故. ∵，∴三点共线，且为线段的中点， ∴的面积为的面积的， 由为的中点得，的面积为的面积的， ∴的面积为的面积的. ∵， ∴. ∵点到直线的距离， ∴， 当且仅当时等号成立，故的面积的最小值为. 2．（2025·河南·一模）椭圆的焦距为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】求椭圆的焦点、焦距 【分析】根据可求椭圆的焦距. 【详解】由题意得，，故， ∴椭圆的焦距为2. 故选：B. 3．（2025·河南安阳·一模）设，是抛物线上除顶点以外的两点，过点，分别作的切线，两条切线相交于点. (1)若且，求直线的方程； (2)设，分别为直线，与轴的交点，证明：的外接圆过定点； (3)若的焦点为，点，在的准线上的射影分别为点，，证明：点是的外心.附：抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的对称性的应用、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）作图，由对称性得到两条切线斜率，然后由导数求得切点即坐标，然后得到直线的方程； （2）设直线方程和点坐标，由导数得出直线方程，然后得到点坐标，同理求出点坐标.联立直线方程和抛物线方程，得到一元二次方程，由韦达定理得到坐标的参数的关系.联立直线的方程求得点坐标.由三点坐标求得三角形外接圆圆心和半径，从而得到三角形外接圆的方程，然后得到定点； （3）作图，由抛物线的光学性质得到角相等，再由抛物线的性质得到三角形全等，从而证明点到三个点距离相等，从而得证. 【详解】（1）根据对称性可知在，两点处的切线斜率为          由得，从而，               令，得，所以， 所以直线的方程为. （2）由题意可设直线，点，. 因为，所以直线，即， 令，得，所以. 同理，直线，令，得，所以        联立直线与的方程，得，消去整理得， 则，. 由解得所以          因为，，故的外接圆圆心落在直线上， 由，知线段的中点为，， 所以线段的垂直平分线方程为， 令，得，即圆心的坐标为.        设的外接圆半径为， 则， 所以圆的方程为，          即. 令得所以的外接圆过定点. （3）如图所示，将和视为从焦点射出的光线，直线和分别为，对应的反射光线，则与恰好是反射光线的反向延长线. 由抛物线的光学性质可得，             而，，故， 故，                                       同理可得，即，即点是的外心. 【点睛】方法点睛，本题考查了抛物线的综合运用.本题中的抛物线是函数关系，所以可以利用导数和切点坐标来求抛物线的切线方程，从而得到三个点的坐标，然后利用直线与抛物线方程得到这三个点坐标的关系，从而找到三个点外接圆的方程，即可求得圆的定点. 4．（2025·河南信阳·一模）阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他曾经定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线上两个不同点A，B横坐标分别为，，以A，B为切点的切线交于P点.关于阿基米德三角形PAB的说法正确的有（   ） A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上 B．若为正三角形，则其面积为 C．若，则的面积的最小值为 D．一般情况下，的面积 【答案】ABC 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求点到直线的距离、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设出直线的斜截式方程、点的坐标，根据导数的几何意义求出切线的方程，进而求出点的坐标，将直线的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系. A：把抛物线焦点的坐标代入直线的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可； B：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可； C：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可； D：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可. 【详解】由题意可知：直线一定存在斜率， 所以设直线的方程为：， 由题意可知：点，不妨设， 由，所以直线切线的方程分别为： ， 两方程联立得：， 解得：，所以点坐标为：， 直线的方程与抛物线方程联立得： . 对于A：抛物线：的焦点坐标为，准线方程为 ， 因为过抛物线的焦点，所以，而， 显然点一定在抛物线的准线上，故A正确； 对于B：因为阿基米德三角形为正三角形，所以有， 则， 因为 ，所以化简得：， 此时， 点坐标为：， 因为阿基米德三角形为正三角形，所以有， 所以， 因此正三角形的边长为， 所以正三角形的面积为 ，故B正确； 对于C：阿基米德三角形为直角三角形，当时， 所以，即，化简得， 直线的方程为：， 所以点坐标为，点 到直线的距离为： ， 又 ， 因为，所以 ， 因此直角的面积为：， 当且仅当时，取等号，所以其面积有最小值，故C正确； 对于D：因为，所以 ， 点到直线的距离为： ， 所以阿基米德三角形的面积为 ，故D不正确. 故选：ABC. 5．（2025·河南信阳·一模）已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点M，N. (1)求曲线的方程； (2)若以线段为直径的圆经过点. ①求证：直线过定点，并求出的坐标； ②求三角形面积的最大值. 【答案】(1)，且 (2)①证明见解析，；② 【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）设，则有即可求解； （2）①设直线的方程为，联立方程组，由韦达定理有，，由即可求解； ②点到直线的方程为，，代入，利用二次函数即可求解. 【详解】（1）设，动点满足直线和直线的斜率乘积为， ，即 即，. 曲线的方程为，且. （2）①设点、， 若轴，则且，，， 此时，，不合题意. 设直线的方程为，    联立可得， ， 由韦达定理可得，， ， ， 因为直线不过点，则，整理可得，解得. 直线的方程为，∴直线过定点. ②直线的方程为. 点到直线的距离为， ， 令， 则， 因为时，故当时，取最大值. 6．（2025·河南·一模）双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在上，点，点在直线上，则下列说法正确的是（    ） 附：双曲线在其上一点处的切线方程为. A． B． C．作于点，则（为坐标原点） D．若的延长线交于点，则的内心在定直线上 【答案】BCD 【知识点】求直线交点坐标、双曲线定义的理解、根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线的切线方程 【分析】设点在第一象限，根据离心率求出，可得选项A错误；根据得，结合双曲线方程可得B正确；分析得直线与双曲线相切，是切点，结合等腰三角形性质及双曲线定义可得选项C正确；分析得直线是双曲线的切线，切点分别为点，联立两切线方程表示点坐标可得选项D正确. 【详解】设双曲线的半焦距为.根据双曲线的对称性，不妨设点在第一象限. 对于A，由题意得，，，解得， 故，，A错误. 对于B，由题可知双曲线右顶点坐标为，故，则， ∴直线的斜率存在， ∵点在直线上，∴， ∴，则， ∵，∴，故，解得，故B正确. 对于C，由题意得，点处的切线方程为，切线斜率为， ∵，故直线与双曲线相切，是切点. 由双曲线的光学性质可知，双曲线上任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角， 则平分，延长，与的延长线交于点，连接， 则为等腰三角形，， ∵为的中点，为的中点， ∴，故C正确. 对于D，记的内心为，则是的平分线，是的平分线， 由选项C可得，直线是双曲线的切线，切点分别为点，设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立两式，解得， 由得，，设直线， 则式可化为，即点在定直线上，故D正确. 故选：BCD. 7．（2025·河南信阳·一模）将椭圆上所有的点绕原点旋转角，得到椭圆的方程：，则下列说法中不正确的是（   ） A． B． C．椭圆的离心率为 D．是椭圆的一个焦点 【答案】C 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意，由椭圆的对称性，求解顶点坐标，从而可求得，再由椭圆的性质对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】椭圆上所有的点绕原点旋转角，得到椭圆的方程：， 设点在该椭圆上，则其关于的对称点代入椭圆方程有，即，则该对称点位于椭圆方程上， 同理可得其关于的对称点代入椭圆方程有 ，即，则该对称点位于椭圆方程上， 所以关于直线，所以，故A正确； 将代入，可得，所以， 所以椭圆长轴的顶点为，所以，故B正确； 将将代入，可得，所以， 所以椭圆短轴的顶点为，所以， 所以，所以，故C不正确； 焦点在，结合，可得焦点坐标为，故D正确. 故选：C. 8．（2025·河南鹤壁·一模）已知椭圆（）的离心率为，短轴长为． (1)求C的方程． (2)若C上的两点满足，则称点为C上的一对伴点，设A为C上位于第一象限的一点，且点A的横坐标为1． （ⅰ）证明：点A在C上共有两个伴点； （ⅱ）设（ⅰ）中的两个伴点分别为G，H，若斜率为的动直线l与C交于点M，N，点G，H，M，N组成四边形，求四边形的面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）先根据短轴长确定的值，在根据离心率以及椭圆中的关系，列式，可求的值，得到椭圆方程. （2）（i）根据“伴点”的概念可确定伴点所在直线方程，与椭圆方程联立，解方程组，可得伴点坐标. （ii）先利用“点差法”确定中点的位置，设点到直线的距离为，则四边形的面积，再数形结合，求的最大值即可. 【详解】（1）设C的半焦距为c（）． 由题可知解得 所以C的方程为． （2）（ⅰ）由题可知点A的坐标为． 设点A在C上的伴点的坐标为， 则，即， 所以点A在C上的伴点在直线上． 联立方程得解得或 所以点A在C上所有伴点的坐标分别为，， 即点A在C上共有两个伴点． （ⅱ）设，则 两式相减得． 由题可知，则， 所以线段的中点在直线上，则线段被直线平分． 由（ⅰ）可知直线的方程为． 设点到直线的距离为， 则四边形的面积． 又，所以． 设过点且与直线平行的直线的方程为， 则当与相切时，取得最大值． 由可得（*）， 令，解得． 故的最大值为直线和直线（或）的距离， 即为， 所以， 即四边形的面积的最大值为． 【点睛】关键点点睛：利用“点差法”确定中点的位置，再求四边形的面积. 9．（2025·河南郑州·一模）已知双曲线，双曲线C上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为 . 【答案】12 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据双曲线定义求解. 【详解】由双曲线，得，，， 设其左右焦点为，， 则由双曲线的定义，得， 可设，则有(舍去或12， 故P在左支上，P到另一个焦点的距离为12. 故答案为： 10．（2025·河南安阳·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，且，若的周长为20，则的实轴长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据双曲线的定义，结合已知的线段比例关系以及的周长，求出的值，进而得到双曲线的实轴长. 【详解】设，因为，所以，. 根据双曲线的定义：平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定值（）的点的轨迹为双曲线. 对于点在双曲线右支上，有，即，可得  ①. 对于点在双曲线右支上，有，则 . 已知的周长为，的周长，而. 所以，即  ②. 将①代入②中，得到，即，解得. 根据双曲线的性质，双曲线的实轴长为. 把代入，可得实轴长为. 故选：C 11．（2025·河南安阳·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，圆，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的面积为2 B．若，则直线被圆截得的弦长为 C．若为等腰三角形，则满足条件的点有2个 D．若为与轴正半轴的交点，为圆的直径（在第一象限），的中点为，（表示斜率），则点的横坐标为 【答案】ABD 【知识点】已知两点求斜率、圆的弦长与中点弦、椭圆定义及辨析、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】设P记 则 ，利用，转化求解三角形的面积，判断A；应用圆的弦长几何法求解判断B；分情况讨论，找出使为等腰三角形的所有点可判断C；设点的坐标再结合斜率公式计算求解得出坐标判断 D. 【详解】对于A，，设点P,记 则 因为 , 所以 解得 , 所以 的面积为 ，故A正确； 对于B，若，则， 所以，所以直线为，所以， 又因为，圆心到直线距离， 所以直线被圆截得的弦长为，故B正确； 对于C，由椭圆的性质可知，即. 若是以为顶点的等腰三角形，点位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点有2个； 若是以为顶点的等腰三角形，则，则满足条件的点有2个； 同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有2个； 故使得为等腰三角形的点共6个，故C错误； 对于D：设，，因为， 所以，所以点的横坐标为，D选项正确. 故选：ABD. 12．（2025·河南郑州·一模）已知两定点，，动点P满足 (1)求点P的轨迹方程; (2)过的直线l与动点P的轨迹交于两点A，B，与直线交于点C，设O为坐标原点，若，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据椭圆的定义求解； （2）设直线l的方程为，设，，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得，再由面积比得出关系，两者结合起来求得得直线方程． 【详解】（1）依题意知，， 点P的轨迹是以、为焦点的椭圆，且焦点在x轴上， 设椭圆方程为， 由，，得，，， 故所求点P的轨迹方程为 （2）依题意，设直线l的斜率为，则直线l的方程为， 设，， 联立，消y得，， 可得：①，②， 由，，， ，整理得③， 由①③得，，代入②，解得， 直线l的方程为或 13．（2025·河南安阳·一模）已知直三棱柱的底面为等腰直角三角形，，则下列说法正确的是（   ） A．三棱柱的体积为4 B．以为球心，体积为的球面与侧面的交线的长度为 C．若，分别为，的中点，点在平面上，则的最小值为 D．若空间中的一点满足，则的最小值为 【答案】AD 【知识点】柱体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、椭圆定义及辨析 【分析】利用体积公式求得体积可判断A；先求得球的半径，进而可求得点的轨迹形状，可求轨迹长判断B；取关于平面的对称点，连接交于线段的中点，可分别求得与的最小值，进而可判断C；由，可确定点在空间中的轨迹，进而可求得的最小值. 【详解】对于A，由直三棱柱的底面为等腰直角三角形，， 所以，所以，故A正确； 对于B，设体积为的球的半径为，所以，解得， 取中点，由，所以，， 由直三棱柱的性质可得平面， 设为球面与侧面的交线上的任一点，所以， 所以，所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又点在侧面内，故体积为的球面与侧面的交线的长度为，故B错误； 对于C，取关于平面的对称点，连接交于线段的中点， 又点在平面上，故点为线段的中点时， 的最小值为， 此时的最小值为， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，点满足， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆绕长轴旋转形成的椭球面，且， 所以， 又，所以在椭圆的短轴所在直线上，又， 所以到椭圆的中心的距离为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：D选项，关键在于确定点的轨迹是以为焦点的椭圆绕长轴旋转形成的椭球面，以及在椭圆的短轴上，从而可求得最小值. ( 题型0 2 ) 圆与方程 14．（2025·河南郑州·一模）如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆相交于A，C，B，D四点，M为弦AB的中点，下列结论正确的是（      ） A．AO长度的最大值为 B．线段BD长度的最小值为 C．点M的轨迹是一个圆 D．四边形ABCD面积的取值范围为 【答案】BCD 【知识点】轨迹问题——圆、由标准方程确定圆心和半径、圆的弦长与中点弦 【分析】根据圆的一般方程写出已知圆的圆心和半径，由圆的性质判断B；由AO长度表示圆上点到原点的距离，即可判断A；若M，H，G，F分别是AB，BC，CD，AD的中点，圆心到直线AC，BD的距离且 ，易证四边形MHGF为矩形且其中心、对角线长度恒定，即可确定点M的轨迹判断C；根据 ，得到四边形ABCD的面积关于的表达式，结合二次函数性质求范围，判断D 【详解】由已知可得圆心为，半径， 由圆的性质知：圆心与直线BD距离最大为 ， 线段AO长度最大，则圆心与A，O共线且在它们中间， 此时，故A错误； 由圆的性质知：当圆心与直线BD距离最大为 时弦BD的长度最小， 此时，故B正确； 若M，H，G，F分别是AB，BC，CD，AD的中点， 则且 ，且 ， 又，易知：四边形为矩形，而 ， 若圆心到直线AC，BD的距离且 ， 所以 ， 则 ，故， 所以点M在以为直径，，的交点为圆心的圆上，故C正确； 由以上分析： ， ， 而 ， 所以 ， 令 ，则S ， 当，即时，， 当或2，即或时，， 所以，故D正确． 故选：BCD． ( 题型0 3 ) 直线与方程 15．（四川省攀枝花市第七高级中学校2023-2024学年高三下学期5月高考模拟数学试题（理科））已知椭圆的离心率为，直线过椭圆C的两个顶点，且原点O到直线l的距离为． (1)求椭圆C的标准方程; (2)当过点的动直线l与椭圆C相交于两个不同点A，B时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】直线截距式方程及辨析、根据离心率求椭圆的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的参数及范围 【分析】（1）根据离心率得到，设直线，根据点到直线的距离得到，得到椭圆方程； （2）设且，得到，代入椭圆方程化简得到，即可得答案. 【详解】（1）由，且，可得， 不妨令直线，即， 所以原点到直线距离，则， 所以椭圆C的标准方程为. （2）设，设且，即， 所以，又，则， 所以，整理得， 联立，可得，则，且， 所以. 16．（2025届河南省鹤壁市高三3月模拟考试数学试卷）已知，分别是双曲线（）的左、右焦点，斜率为且过点的直线交C的右支于A，B两点，A在第一象限，且，则（   ） A．点到C的渐近线的距离为 B． C．C的离心率为2 D．分别以，为直径的圆的公共弦长为 【答案】ACD 【知识点】余弦定理解三角形、求点到直线的距离、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题，利用椭圆的定义结合余弦定理，求出和，即可判断A，C ，B的正误；然后利用等腰三角形的性质，确定，为直径的圆的公共弦，求出其长度，即可判断D的正误. 【详解】 对于A,C，连接，由题意得，故，，由于，所以， 又，故， 设（），在中，由余弦定理可得， 解得（负值舍去），故离心率为2，即，渐近线方程为，点到C的渐近线的距离为，故A，C正确； 对于B，设（），则， , 在中，由余弦定理可得， 解得，故，故B错误； 对于D，因为，所以为等腰三角形，过点作于点，易知分别以，为直径的圆的公共弦为，且，故D正确． 故选：ACD. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$