清单01 平行四边形（考点清单，知识导图+18个考点清单&题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（青岛版）

清单01平行四边形（19个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 平行四边形的性质与判定 1.平行四边形的性质: (1)边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； (2)角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D (3)对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 2.平行四边形的判定： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形 清单03 矩形的性质与判定 1.矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 2.矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 3.直角三角形斜边上中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 清单04 菱形的性质与判定 1，菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 2.菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 3.菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 清单05 正方形的性质与判定 1.正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 2.正方形常用的判定：（1）有一个内角是直角的菱形是正方形； （2）邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形。 清单06 三角形中位线定理 三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是 AC，AC 的中点，连接 DE.像 DE 这样， 连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。 【考点题型一】利用平行四边形的性质求解（） 【例1】如图，在周长为cm的平行四边形中，相交于点O，交于E， 则的周长为（        ）    A．4cm B．6cm C．8cm D．cm 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，由题意推出垂直平分，得，据此即可求解； 【详解】解：由题意得：点O为的中点，cm ∴ cm ∵ ∴垂直平分 ∴ ∴的周长 cm 故选D 【变式1-1】如图，在中，已知，，平分交边于点，则等于（    ） A．2 B．4 C．3 D．8 【变式1-2】如图，在平行四边形中，，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点F，交于点E，则的周长是（    ） A．7 B．10 C．11 D．12 【变式1-3】如图，在中，，点在边上，以为边作，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】如图，已知点，，将线段平移得到线段，且四边形的周长为，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D．9 【考点题型二】平行四边形中最小值问题（） 【例2】如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A．14.4 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【变式2-1】如图，在平行四边形中，，，点在边上，连接，，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式2-2】如图，在中，，，P为边上的一动点，连接，以为邻边作，则线段长的最小值为 ． 【变式2-3】如图，平行四边形，，，点为上一动点，则的最小值为 【变式2-4】如图，在中，，，点H，G分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最大值与最小值的差为 ．    【考点题型三】判断能否构成平行四边形（） 【例3】如图，四边形的对角线交于点O，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-1】 四边形 中，对角线与交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-2】不能判断四边形是平行四边形的是（　　） A． B．， C．， D．， 【变式3-3】如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】如图，若要使四边形为平行四边形，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】利用平行四边形的判定与性质求解（） 【例4】如图，在四边形中， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)当时，求四边形的面积． 【变式4-1】如图，在平行四边形中，点E、F分别是边的中点． (1)求证：； (2)若四边形的周长为12，，，求平行四边形的周长． 【变式4-2】如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求的长． 【变式4-3】如图，在矩形中，点E为的中点，延长，交于点F，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若为的角平分线，，求四边形的周长． 【考点题型五】利用矩形的性质求解（） 【例5】（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O，，已知，则的长度是（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式5-1】（2025·山西朔州·一模）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线分别交于点E和点F，点G是的中点，连接．若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25九年级上·贵州·期末）一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的，黄色的三角形的面积是21，则该矩形的面积为（）    A．60 B．70 C．120 D．140 【变式5-3】（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点，，则的长为 cm． 【变式5-4】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则 ． 【变式5-5】（24-25八年级下·全国·单元测试）将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形（折叠后点都落在的中点处）．若，则的长为 ． 【考点题型六】矩形的判定（） 【例6】（24-25八年级上·山东青岛·期末）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【变式6-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（   ）    A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，四边形是平行四边形，是两条对角线，添加下列条件后能判定四边形是矩形的是 （   ） A． B． C． D．平分 【变式6-3】（23-24八年级下·辽宁大连·期末）在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是否为矩形．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列验证方法中错误的为（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】矩形的性质与判定综合（） 【例7】（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图， 在平行四边形中，点，分别在，上，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)已知，，，求的长． 【变式7-1】（23-24八年级下·天津西青·期末）在中，对角线相交于点O，，，且． (1)如图①，求证：四边形是矩形； (2)如图②，连接，若，，求的长． 【变式7-2】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，于点，延长至点使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【变式7-3】（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向运动，动点从点出发，以的速度向运动，当其中一个点到达终点时，两点同时停止运动． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，？ 【考点题型八】直角三角形斜边上的中线定理（） 【例8】（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，中，，点为的中点，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，点E为中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·甘肃陇南·三模）如图，在中，，点D在上，且，点E和点F分别是和的中点，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点题型九】矩形种最小值问题（） 【例9】（2023内蒙古·一模）如图，矩形中，，E为边的中点，点P、Q为边上两个动点，且，当 时，四边形的周长最小． 【变式9-1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为为（   ） A． B．4 C． D．8 【变式9-2】（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ． 【变式9-3】（24-25九年级上·江苏连云港·期末）如图，矩形中，，，点E、F分别为、边上的动点，且，M为的中点，直线分别交边、于点G、H，连接、，则的最小值为 ． 【考点题型十】利用菱形的性质求解（） 【例10】（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线，，于点H，则（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在菱形中，，点为对角线上一点，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25九年级下·宁夏吴忠·开学考试）如图，在菱形中，对角线与交于点Ｏ，，垂足为E，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在菱形中，与相交于点O，点P是的中点，，则菱形的周长是 ． 【考点题型十一】菱形的判定（） 【例11】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在中，对角线，相交于点，再添加一个条件，可推出是菱形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）如图，在中，添加下列条件仍不能判定是菱形的是（） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25九年级上·广东佛山·期末）在中，、是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使成为矩形，那么添加的条件是（    ） A． B． C． D．平分 【变式11-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，顺次连结四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A． B． C． D． 【考点题型十二】菱形的性质与判定（） 【例12】（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【变式12-1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，的对角线相交于点O，平分，过点D作，过点C作，交于点P，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【变式12-2】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，平行四边形的对角线、相交于点，平分，过点作，过点作，、交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【变式12-3】（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，在中，平分，的垂直平分线分别交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形： (2)若，，，求的面积． 【考点题型十三】菱形中最小值问题（） 【例13】（23-24八年级下·四川德阳·期中）如图，菱形中，，，点P为线段的中点，Q，K分别为线段上的任意一点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．2 【变式13-1】（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】（2023·四川德阳·中考真题）如图，的面积为12，，与交于点O．分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（    ）    A．1 B． C． D．3 【变式13-3】（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，菱形的对角线交于点，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【考点题型十四】利用正方形的性质求解（） 【例14】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，四边形是正方形，点E是正方形内的一点，且为等边三角形，于点F，若，则的长是（   ）    A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【变式14-3】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为 【考点题型十五】正方形的判定（） 【例15】（21-22八年级下·广东江门·期中）下列说法不正确的是（　　） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【变式15-1】（24-25九年级上·安徽宿州·期中）满足下列条件的四边形一定是正方形的是（   ） A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形 C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形 【变式15-2】（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式15-3】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在矩形中，的平分线交于的平分线交于，求证：四边形是正方形． 【考点题型十六】正方形的性质与判定（） 【例16】（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，在矩形中，点，分别在，上．将矩形分别沿，翻折后点，均落在点处，此时，，三点共线，若． (1)求证：矩形为正方形； (2)若，求的长． 【变式16-1】（23-24八年级下·甘肃武威·期末）已知：四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若正方形的边长为，，求正方形的边长． 【变式16-2】（23-24八年级下·广西南宁·期末）在正方形中，点P在对角线上，点E，F分别在边，上，且于点P． (1)特例发现：如图1，当点P在对角线，的交点处时，求证：； (2)探究证明：如图2，当点P不在对角线，的交点处时，判断与的数量关系，并说明理由； (3)拓展运用：在（2）的条件下，若，，连接，请直接写出的长． 【变式16-4】（22-23八年级下·广东江门·期中）如图，四边形是正方形，M是边上的点，N是边上的点，已知．    (1)求证：； (2)若，，求正方形的边长． 【考点题型十七】正方形中最小值问题（） 【例17】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图：已知正方形的边长为4，若P是对角线上一动点，E为边中点；连接；则P点运动过程中，的最小值为 ． 【变式17-1】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，、分别是边、上的动点，且＝，为中点，是边上的一个动点，则＋的最小值是 ． 【变式17-2】（2024·广东·模拟预测）如图．正方形的边长为1，E、F分别是上的动点．且．则的最小值为 ． 【变式17-3】（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知正方形的周长为20，，，若M为对角线上一动点，则的最小值为 ． 【考点题型十八】利用三角形的中位线性质求解（） 【例18】（2025·贵州·模拟预测）如图，是的中位线，按以下步骤作图：①以点B为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点D．若，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式18-1】（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在外选一点C连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，则 ． 【变式18-2】（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，平分，于点D，点E为的中点．若，，则的长为 ． 【变式18-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知平行四边形中，E为的中点，，F为的中点，与相交于点G，则的长等于 ．     【考点题型十九】与三角形中位线有关的证明（） 【例19】（2025·江西·模拟预测）【课本再现】 （1）如图1，线段，相交于点，，．求证： ①； ②； 【迁移应用】 （2）如图2，在四边形中，，，分别是边，的中点，连接，猜想，，三条线段的数量关系，并证明． 【变式19-1】（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，分别是的中点，延长到点，使．连接． (1)求证：与互相平分； (2)若，求的长． 【变式19-2】（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，点O是内一点，连接，并将的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【变式19-3】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）我们学习了三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 在中，D、E分别是、的中点． 通过延长至F，使，连接，易证：且． 【探究学习】 如果将截去，剩下梯形且，取、的中点M、N，连接，则叫梯形的中位线，探索与和的关系． 写出结论 ，请证明你的结论； 【学以致用】 在梯形中，，，，M、N分别是、的中点，，求梯形的面积． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01平行四边形（19个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 平行四边形的性质与判定 1.平行四边形的性质: (1)边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； (2)角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D (3)对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 2.平行四边形的判定： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形 清单03 矩形的性质与判定 1.矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 2.矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 3.直角三角形斜边上中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 清单04 菱形的性质与判定 1，菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 2.菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 3.菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 清单05 正方形的性质与判定 1.正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 2.正方形常用的判定：（1）有一个内角是直角的菱形是正方形； （2）邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形。 清单06 三角形中位线定理 三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是 AC，AC 的中点，连接 DE.像 DE 这样， 连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。 【考点题型一】利用平行四边形的性质求解（） 【例1】如图，在周长为cm的平行四边形中，相交于点O，交于E， 则的周长为（        ）    A．4cm B．6cm C．8cm D．cm 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，由题意推出垂直平分，得，据此即可求解； 【详解】解：由题意得：点O为的中点，cm ∴ cm ∵ ∴垂直平分 ∴ ∴的周长 cm 故选D 【变式1-1】如图，在中，已知，，平分交边于点，则等于（    ） A．2 B．4 C．3 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，由平行四边形的性质可得，，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得，即可求的长． 【详解】四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：C． 【变式1-2】如图，在平行四边形中，，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点F，交于点E，则的周长是（    ） A．7 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图（垂直平分线）和平行四边形性质，要熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角，作已知线段的垂直平分线，作已知角的角平分线，过一点作已知直线的垂线）的方法．利用垂直平分线的作法得垂直平分，则，利用等线段代换得到的周长，然后根据平行四边形的性质可确定周长的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵由作法可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的周长． 故选B． 【变式1-3】如图，在中，，点在边上，以为边作，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，平行四边形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等，平行四边形的对角相等是解本题的关键．根据等腰三角形的性质可求，再根据平行四边形的性质可求． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 故选：． 【变式1-4】如图，已知点，，将线段平移得到线段，且四边形的周长为，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，根据点，得，根据将线段平移得到线段得，，则四边形是平行四边形，即，根据平行四边形的性质和四边形的周长为得，在中，，，根据勾股定理得，，即可得；掌握平移的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵点，， ∴， ∵将线段平移得到线段， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形的周长为， ∴， 在中，，，根据勾股定理得， ， ∴四边形的面积为：， 故选：D． 【考点题型二】平行四边形中最小值问题（） 【例2】如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A．14.4 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】A 【分析】设，交于点O，过点O作于点F，勾股定理求得，等面积法求得，根据垂线段最短，当点D与点F，重合时，最小，进而求得的最小值，即可求解． 【详解】解：设，交于点O，过点O作于点F，如图所示， 在四边形中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 当点D与点F，重合时，最小， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 【变式2-1】如图，在平行四边形中，，，点在边上，连接，，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是本题的关键．由直角三角形的性质可得，，由平行四边形的性质可得，当时，有最小值为，即可求解． 【详解】解：设与交于点，过点作于， ，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 当时，有最小值为， 的最小值为， 故选：D 【变式2-2】如图，在中，，，P为边上的一动点，连接，以为邻边作，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、平行四边形性质、垂线段最短等知识点，确定的最小值成为解题的关键，先利用勾股定理算出，再根据垂线段最短可得当时，的长的最小；再根据平行四边形的性质可知,即的长的最小值就是线段长的最小值，据此即可解答即． 【详解】解：∵，， ， 根据垂线段最短可得当时，的长的最小； ∴,即, 解得：， ∵在中， ∴， ∴的长的最小值就是线段长的最小值． 故答案为：． 【变式2-3】如图，平行四边形，，，点为上一动点，则的最小值为 【答案】10 【分析】本题考查了轴对称最短问题和平行四边形的性质，学会利用轴对称的性质解决最短问题是解题的关键； 作点A关于的对称点，连接交于点P，即为最小值，根据直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半及勾股定理求出，根据轴对称得出，然后根据平行四边形的性质得出，，再次利用勾股定理即可求出结果． 【详解】如图：作点A关于的对称点，连接交于点P，即为最小值， ，， ， ， ， ∴， ， ， ， 在中， ， 点A和点关于轴对称， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 故答案为：10． 【变式2-4】如图，在中，，，点H，G分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最大值与最小值的差为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形中位线定理．连接利用三角形中位线定理是关键．连接，过A作于M；由题意得，则可求得的长，从而由勾股定理求得；由三角形中位线定理得，当G与C重合时，最长；当G与M重合时，最短，从而可求得的最大值与最小值的差． 【详解】解：如图，连接，过A作于M；    则； ∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由勾股定理得； ∵点为的中点，点为的中点， ∴； 当G与C重合时，最长且为，此时； 当G与M重合时，最短且为，此时； ∴的最大值与最小值的差为． 故答案为：． 【考点题型三】判断能否构成平行四边形（） 【例3】如图，四边形的对角线交于点O，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 根据平行四边形的判定判断即可得到答案． 【详解】解：A．由，无法证明四边形是平行四边形； B．由，无法证明四边形是平行四边形； C．由，无法证明四边形是平行四边形； D．由，可以证明四边形是平行四边形． 故选：D． 【变式3-1】 四边形 中，对角线与交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理依次判断即可． 【详解】解：A．根据平行四边形的判定可知，满足，的四边形不一定是平行四边形，故A符合题意； B．根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故B不符合题意； C．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故C不符合题意； D．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故D不符合题意， 故选：A． 【变式3-2】不能判断四边形是平行四边形的是（　　） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②一组对边平行且相等的四边形的平行四边形，③两组对边分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； B．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题； C．不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意； D．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题； 故选：C． 【变式3-3】如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理． 【详解】、由可得，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 、由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 、∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，符合题意； 、由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 故选：． 【变式3-4】如图，若要使四边形为平行四边形，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，根据已知条件可得，再根据平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：由图可得， ， A，添加，可得，四边形中仅一组对边平行，不能判定四边形为平行四边形； B，添加，四边形中一组对边平行且相等，能判定四边形为平行四边形； C，添加，可得，推出与不平行，四边形不是平行四边形； D，添加，四边形中一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形为平行四边形； 故选B． 【考点题型四】利用平行四边形的判定与性质求解（） 【例4】如图，在四边形中， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)216 【分析】本题考查了平行四边的性质与判定，勾股定理，求平行四边的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由平行线的性质得，因为得，则两组对应边互相平行的四边形是平行四边形，即可作答． （2）运用勾股定理列式，，则，解出，再运算出，结合平行四边形的面积等于底乘高，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作 设 ∵ ∴在 在 则 解得 ∴ 则四边形的面积 【变式4-1】如图，在平行四边形中，点E、F分别是边的中点． (1)求证：； (2)若四边形的周长为12，，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，平行四边形的周长，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明且得到四边形为平行四边形，继而得证； （2）利用四边形的周长为12，，求出，继而求出，从而得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即，， 又∵点E，F分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）解：由（1）得：四边形是平行四边形， 又∵四边形的周长为12，即， ∴， ∴，， 又∵， ∴平行四边形ABCD的周长． 【变式4-2】如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定： （1）根据平行四边形的性质可得，根据E、F分别是的中点，可得，即可得结论； （2）利用角平分线的定义、平行线的性质可得到，进而利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E、F分别是边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【变式4-3】如图，在矩形中，点E为的中点，延长，交于点F，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若为的角平分线，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由可证，可得，由平行四边形的判定可得结论； （2）由角平分线的性质可得，可求，由勾股定理可求的长，即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵为的角平分线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质等知识，掌握矩形的性质是解题的关键． 【考点题型五】利用矩形的性质求解（） 【例5】（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O，，已知，则的长度是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质，根据矩形的对角线相等且互相平分得到，，再证明是等边三角形，得到，则． 【详解】解：∵矩形的对角线与相交于点O， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 【变式5-1】（2025·山西朔州·一模）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线分别交于点E和点F，点G是的中点，连接．若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线等于斜边一半，等腰三角形的性质，矩形的性质，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得到，则可求出，即可解答，熟知上述性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 垂直平分，点G是的中点， ， ， ， ， ， 故选：D． 【变式5-2】（24-25九年级上·贵州·期末）一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的，黄色的三角形的面积是21，则该矩形的面积为（）    A．60 B．70 C．120 D．140 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质以及面积的计算；关键是根据图得出黄色和绿色部分共占总面积的，再找出黄色面积占总面积的百分之几，进而根据除法的意义求解．黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的，而绿色三角形面积占矩形面积的，所以黄色三角形面积占矩形面积的，已知黄色三角形面积是21，用除法即可得出矩形的面积． 【详解】解：黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的， 矩形的面积， ， ， 故选：A． 【变式5-3】（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点，，则的长为 cm． 【答案】6 【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，根据相等垂直平分线的性质得到，再由矩形的性质得到，则． 【详解】解：垂直且平分线段， ， 四边形是矩形，对角线与相交于点，， ， ， 故答案为：6． 【变式5-4】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则 ． 【答案】/34度 【分析】本题主要考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、等角对等边等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、矩形的性质是解答本题的关键． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，则．结合矩形的性质可得，再根据即可解答． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-5】（24-25八年级下·全国·单元测试）将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形（折叠后点都落在的中点处）．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠以及菱形的性质，根据折叠以及菱形的性质发现特殊角是解题的关键． 根据折叠的性质结合菱形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求得结果． 【详解】解：∵为菱形， ∴， 由折叠的性质可知，， 又∵， ∴， 在中，， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【考点题型六】矩形的判定（） 【例6】（24-25八年级上·山东青岛·期末）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法，是解题的关键． 根据矩形的判定方法即可得到结论． 【详解】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意； B、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意； C、测量两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；不符合题意； D、测量对角线是否互相垂直，不能判定形状；不符合题意． 故选：A． 【变式6-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定．根据矩形的判定方法“对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”，由此得到答案． 【详解】解：A、添加，根据邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意； B、添加，根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意； C、添加，不能得到为矩形，本选项不符合题意； D、添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形，能得到为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 【变式6-2】（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，四边形是平行四边形，是两条对角线，添加下列条件后能判定四边形是矩形的是 （   ） A． B． C． D．平分 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题关键．由菱形的判定、平行四边形的性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 四边形是平行四边形，，能判定四边形是矩形，故选项符合题意； B.四边形是平行四边形，，能判定四边形是菱形，故选项不符合题意； C.四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，选项不符合题意； D.四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分 ， ∴， ∴， ∴， 四边形是菱形，故选项不符合题意； 故选：A． 【变式6-3】（23-24八年级下·辽宁大连·期末）在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是否为矩形．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列验证方法中错误的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； ， 平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； 由无法判断平行四边形是矩形，故选项C符合题意； 平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项D不符合题意； 故选C 【考点题型七】矩形的性质与判定综合（） 【例7】（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图， 在平行四边形中，点，分别在，上，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)已知，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，再证是等腰直角三角形，根据勾股定理得，进而求出，即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 即的长为． 【点睛】此题考查了矩形的判定与性质与平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 【变式7-1】（23-24八年级下·天津西青·期末）在中，对角线相交于点O，，，且． (1)如图①，求证：四边形是矩形； (2)如图②，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，，可判定四边形是平行四边形．再由则可证明四边形是矩形． （2）易得四边形是菱形，由进而可得是等边三角形，则可求得，再由菱形性质及矩形性质可得长度，最后在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴． ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形． ∴，． 是等边三角形． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，． 在中，． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，含30度直角三角形性质，勾股定理等知识，题目不难，但涉及的知识点较多，要能够灵活运用． 【变式7-2】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，于点，延长至点使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判断，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理． （1）先证四边形是平行四边形，再结合即可； （2）先用勾股定理的逆定理证明，再根据等面积法即可． 【详解】（1）证明：在中，于点，延长至点使 ∴ 即 在中，且 ∴且． ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴ ∴四边形是矩形； （2）∵四边形是矩形，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积 ∴． 【变式7-3】（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向运动，动点从点出发，以的速度向运动，当其中一个点到达终点时，两点同时停止运动． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，？ 【答案】(1)当为6时，四边形是矩形； (2)当为5或7时，． 【分析】（1）由矩形的性质得，则，计算求解即可； （2）分四边形是平行四边形，四边形是等腰梯形两种情况求解． 【详解】（1）解：由题意得：，，， 四边形是矩形， ，即， 解得：， 当为6时，四边形是矩形； （2）解：由题意知，分四边形是平行四边形，四边形是等腰梯形两种情况求解， ①当四边形是平行四边形时，， ，， ， 解得：； ②当四边形是等腰梯形时，如图，过作于，过作于，则四边形，是矩形， 由题意知，，， ，即， 解得：； 综上所述，当为5或7时，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰梯形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【考点题型八】直角三角形斜边上的中线定理（） 【例8】（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，中，，点为的中点，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线性质可，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可得出结论． 【详解】解：∵， D为中点， ， ， ． 故选：A． 【变式8-1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，点E为中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直角三角形的两个锐角互余可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，再利用三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，点E为中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 【变式8-2】（2024·甘肃陇南·三模）如图，在中，，点D在上，且，点E和点F分别是和的中点，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形，直角三角形，解题的关键是熟练掌握三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 连接，根据等腰三角形的性质得，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进行解答即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，点F是的中点， ∴，， ∵，点E是的中点， ∴， 故选：B． 【考点题型九】矩形种最小值问题（） 【例9】（2023内蒙古·一模）如图，矩形中，，E为边的中点，点P、Q为边上两个动点，且，当 时，四边形的周长最小． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，要使四边形的周长最小，由于与都是定值，只需的值最小即可．为此，先在边上确定点P、Q的位置，可在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，则此时最小，然后过G点作的平行线交的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度． 【详解】解：如图，在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，过G点作的平行线交的延长线于H点． ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：4． 【变式9-1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论．熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，     的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形， ， 的最小值为， 故选：C． 【变式9-2】（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，由折叠的性质及题意易得，则有是等边三角形，进而可得；设，，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得可得，则求得，，进而求得，根据对称性得到，当、Q、E共线时取等号，进而可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，，， ∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕， ∴，，， ∴，即是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， 则在中，， ∴， ∴， ∵在中，，又 ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵点Q是折痕上的一个动点，点A与点关于对称， ∴连接，则， ∴，当、Q、E共线时取等号，此时点Q在N处， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理及二次根式的运算、含30度角的直角三角形的性质、最短路径问题，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最短路径是解题的关键． 【变式9-3】（24-25九年级上·江苏连云港·期末）如图，矩形中，，，点E、F分别为、边上的动点，且，M为的中点，直线分别交边、于点G、H，连接、，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．先推导出点是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，得到当共线时，的值最小，利用勾股定理计算，从而得出的最小值． 【详解】解：连接， ∵矩形，直线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，M为的中点， ∴， ∴点是以为圆心，以为半径的圆弧上的点， 作关于的对称点，连接，， ∵， ∴当共线时，的值最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为9， 故答案为：9． 【考点题型十】利用菱形的性质求解（） 【例10】（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线，，于点H，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了菱形的性质，根据菱形的面积计算公式即可求出，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∵菱形的面积， ∴ ∴ 故选：A． 【变式10-1】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在菱形中，，点为对角线上一点，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由三角形外角的性质可得，于是得解． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【变式10-2】（24-25九年级下·宁夏吴忠·开学考试）如图，在菱形中，对角线与交于点Ｏ，，垂足为E，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，由菱形的性质可得，从而得出，再结合计算即可得解，熟练掌握菱形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式10-3】（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在菱形中，与相交于点O，点P是的中点，，则菱形的周长是 ． 【答案】16 【分析】本题考查菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，直角三角形形斜边上的中线等于斜边的一半．根据四边形是菱形得到，结合点是的中点，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴， 故答案为：16． 【考点题型十一】菱形的判定（） 【例11】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在中，对角线，相交于点，再添加一个条件，可推出是菱形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的判定，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，是菱形；故选项A符合题意； B，C，D三个选项都不能推出是菱形； 故选A． 【变式11-1】（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）如图，在中，添加下列条件仍不能判定是菱形的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．根据菱形的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴添加，能判定是菱形，故A不符合题意； 添加，能判定是菱形；故B不符合题意； 添加，则是矩形，不能判定是菱形；选项C符合题意； 添加，能判定是菱形；选项D不符合题意． 故选：C． 【变式11-2】（24-25九年级上·广东佛山·期末）在中，、是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使成为矩形，那么添加的条件是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判断，根据矩形和菱形的判定定理逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、由能判定是矩形，该选项符合题意； 、由能判定是菱形，该选项不合题意； 、由能判定是菱形，该选项不合题意； 、由平分能判定是菱形，该选项不合题意； 故选：． 【变式11-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，顺次连结四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的判定，先说明四边形为平行四边形，再结合四个答案依次判断即可. 【详解】连结，如图所示， ∵E、F、C、H分别为四边形各边中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 当或时， 只能判断四边形为平行四边形，故A、B选项错误； 当时，能判断四边形为矩形，故C选项错误； 当时，能判断四边形为菱形，故D选项正确． 故选：D. 【考点题型十二】菱形的性质与判定（） 【例12】（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先证得再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论； （2）由菱形的性质得 则即可求解． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识， 熟练掌握菱形的判定与性质，证明是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∵垂直平分， 在和中， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知， 四边形是菱形， 【变式12-1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，的对角线相交于点O，平分，过点D作，过点C作，交于点P，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得，进而利用等角对等边得到，然后根据菱形的判定定理可得结论； （2）先根据菱形的性质和勾股定理求得，，再证明四边形是矩形，利用矩形的对角线相等得到． 【详解】（1）证明∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握菱形和矩形的判定与性质是解答的关键． 【变式12-2】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，平行四边形的对角线、相交于点，平分，过点作，过点作，、交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)10 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的性质得到，推出，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （2）根据已知条件且结合勾股定理得到，根据菱形的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴ ∴ 平分， ∴ ∴ 四边形是菱形； （2）解：在菱形中，，， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ． 【变式12-3】（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，在中，平分，的垂直平分线分别交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形： (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证，可得，由菱形的判定可证结论； （2）过点作，由菱形的性质可得，，由直角三角形的性质可得，，即可求的长，再根据三角形面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）证明：在中，平分，的垂直平分线分别交于点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，过点作， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【考点题型十三】菱形中最小值问题（） 【例13】（23-24八年级下·四川德阳·期中）如图，菱形中，，，点P为线段的中点，Q，K分别为线段上的任意一点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，如图所示，取中点E，连接，先证明是等边三角形，得到，再证明，得到，则当三点共线，且时最小，即此时最小，由垂线段最短可知最小值即为线段的长，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，取中点E，连接，    ∵菱形中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点P为线段的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时最小，即此时最小， ∴由垂线段最短可知最小值即为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， 故选：C． 【变式13-1】（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形，，可得，，证明，则，如图，作于，作于，则，，可知当三点共线且时，最小为，由，可得，由勾股定理求，进而可得的最小值． 【详解】解：∵菱形，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， 如图，作于，作于， ∴， ∴， ∴当三点共线且时，最小为， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键． 【变式13-2】（2023·四川德阳·中考真题）如图，的面积为12，，与交于点O．分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（    ）    A．1 B． C． D．3 【答案】A 【分析】先证明，四边形是菱形，如图，连接，，而点G是的中点，可得为菱形对角线的交点，，当时，最小，再利用等面积法求解最小值即可． 【详解】解：∵，， ∴是矩形， ∴， ∵，， ∴四边形是菱形， 如图，连接，，而点G是的中点，    ∴为菱形对角线的交点，， ∴当时，最小， ∵即矩形的面积为12，， ∴，， ∴， ∴， 由菱形的性质可得：， ∴， ∴，即的最小值为1． 故选A 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的判定与性质，垂线段最短的含义，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． 【变式13-3】（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，菱形的对角线交于点，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短，连接，由菱形的性质得出，，，由勾股定理得出，证明四边形为矩形，得出，即当最小时，的值最小，由垂线段最短可得，当时，此时的值最小，的值最小，再由等面积法计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小时，的值最小， 由垂线段最短可得，当时，此时的值最小，的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 【考点题型十四】利用正方形的性质求解（） 【例14】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质．先根据正方形的性质得到，，再根据等边三角形的性质得到，，所以，，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数，进而可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D 【变式14-1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质，轴对称的性质是解题的关键．由在正方形中可求出，从而得到，由折叠可得，再根据正方形中，求得． 【详解】解：∵在正方形中，，， ∴， ∴， 由折叠可得， ∵在正方形中，， ∴． 故选：C． 【变式14-2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，四边形是正方形，点E是正方形内的一点，且为等边三角形，于点F，若，则的长是（   ）    A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形的性质，得到为含30度角的直角三角形，，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形，为等边三角形，，， ∴，，，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式14-3】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为 【答案】 【分析】连接并延长交于点P，连接，由正方形的性质，即可证得，可得，再由勾股定可理可求得的长，根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点P，连接，如图所示， 四边形是正方形， ， ， E、F分别为边的中点， ． G为的中点， ， 在和中， ， ． ． G为的中点， H为的中点， 是的中位线． ． 在中， ， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决本题的关键． 【考点题型十五】正方形的判定（） 【例15】（21-22八年级下·广东江门·期中）下列说法不正确的是（　　） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定问题，掌握正方形的判定定理是解题的关键． 利用正方形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】解：A、一组邻边相等的矩形是正方形，正确，不符合题意； B、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，因为矩形对角线互相平分，而此时对角线互相垂直，故一条对角线为另一条对角线的垂直平分线，则得到邻边相等，故对角线互相垂直的矩形是正方形，故不符合题意； C、对角线相等的菱形是正方形，正确，根据菱形的对角线垂直且互相平分，此时对角线相等，则菱形被两条对角线分割成的四个直角三角形均是等腰直角三角形，继而得到菱形的一个内角为直角，因此对角线相等的菱形是正方形，故不符合题意； D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，错误，因为对角线互相垂直且相等的四边形有无数个，故符合题意； 故选：D． 【变式15-1】（24-25九年级上·安徽宿州·期中）满足下列条件的四边形一定是正方形的是（   ） A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形 C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定，同时也考查了平行四边形、矩形及菱形的判定，掌握这些四边形的判定方法是关键．根据正方形的判定方法即可作出判断． 【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形不是正方形，不符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形不是正方形，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，符合题意． 故选：D． 【变式15-2】（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定，根据题意逐一对选项分析即可得出答案． 【详解】解：A、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故A错误； B、因为，所以为菱形，但不能证明为正方形，故B正确； C、因为，所以为矩形，又因为所以为正方形，故C错误； D、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故D错误； 故选：B． 【变式15-3】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在矩形中，的平分线交于的平分线交于，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题关键．首先结合矩形的性质证明四边形是平行四边形，再根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”证明四边形是矩形，然后根据“邻边相等的矩形为正方形”证明四边形是正方形． 【详解】证明：如下图， 四边形是矩形， ， ． 平分， ， ， ； 同理可得， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 【考点题型十六】正方形的性质与判定（） 【例16】（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，在矩形中，点，分别在，上．将矩形分别沿，翻折后点，均落在点处，此时，，三点共线，若． (1)求证：矩形为正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由翻折得，，，则，所以，而，即可证明，而四边形是矩形，所以四边形是正方形； （2）由翻折和正方形的性质得出，根据，得出，，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】（1）证明：由翻折得，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形，且， 四边形是正方形． （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的长是8． 【点睛】此题重点考查正方形的判定、折叠的性质、勾股定理、矩形的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 【变式16-1】（23-24八年级下·甘肃武威·期末）已知：四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若正方形的边长为，，求正方形的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2)正方形的边长为 【分析】（1）作于，于，得到，然后证得，得到，则有，根据正方形的判定即可证得矩形是正方形； （2）证明，可得，，进而可证明，连接，利用勾股定理即可求得正方形的边长． 【详解】（1）证明：如图，作于，于， 得矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； （2）解：正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 连接， ， ， 正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确作出辅助线，证得是解题的关键． 【变式16-2】（23-24八年级下·广西南宁·期末）在正方形中，点P在对角线上，点E，F分别在边，上，且于点P． (1)特例发现：如图1，当点P在对角线，的交点处时，求证：； (2)探究证明：如图2，当点P不在对角线，的交点处时，判断与的数量关系，并说明理由； (3)拓展运用：在（2）的条件下，若，，连接，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）证明，即可得证； （2）过点P分别作的垂线，垂足分别为M，N ．证明，即可得出结论； （3）勾股定理求出的长，证明是等腰直角三角形，进一步进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴．    ∴都是等腰直角三角形． ∴．    ∵， ∴． ∴， 即．    在和中 ∴．    ∴． （2）解：过点P分别作的垂线，垂足分别为M，N ． ∵四边形是正方形， ∴． ∴四边形是矩形． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是正方形． ∴． ∴即． 在和中 ∴． ∴． （3）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式．解题的关键是证明三角形全等． 【变式16-4】（22-23八年级下·广东江门·期中）如图，四边形是正方形，M是边上的点，N是边上的点，已知．    (1)求证：； (2)若，，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，，进而得到，再根据得到结论； （2）设正方形边长为，则，，根据勾股定理计算． 【详解】（1）证明：如图，将绕点D逆时针旋转，使与重合，点M落在点H处， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 即， ， ， ， ；    （2）解：由（1）得， 设正方形边长为，则，， 在中，， 即， 解得，（舍去）， 正方形的边长为12． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质以及旋转的性质，利用旋转的性质构造三角形全等是解题的关键． 【考点题型十七】正方形中最小值问题（） 【例17】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图：已知正方形的边长为4，若P是对角线上一动点，E为边中点；连接；则P点运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查轴对称﹣最短路线问题、正方形的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连接、、，由正方形的性质得，，则，所以，由垂直平分，点P在上，得，由，得 ，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵正方形的边长为4，E为边中点 ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分，点P在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式17-1】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，、分别是边、上的动点，且＝，为中点，是边上的一个动点，则＋的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】延长到，使，则，，当，，三点共线时，的值最小，根据题意，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧上，圆外一点到圆上一点距离的最小值．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：延长到，使，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 当，，三点共线时，的值最小， ∵，点是的中点，， ∴， ∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧上，圆外一点到圆上一点距离的最小值． ∵， ∴， ∴的最小值是． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正方形的性质，勾股定理，正确的找到点的位置是解题的关键． 【变式17-2】（2024·广东·模拟预测）如图．正方形的边长为1，E、F分别是上的动点．且．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将绕点旋转，得到，连接，证明，得到，进而得到，得到当三点共线时，取得最小值为的长，过点作，，得到四边形为矩形，为等腰直角三角形，进而求出 【详解】解：如图，将绕点旋转，得到，连接，则：，， ∵正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值为的长， 过点作，，则四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴ ， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径问题等知识点，解题的关键是通过旋转，构造全等三角形． 【变式17-3】（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知正方形的周长为20，，，若M为对角线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．作点E关于的对称点，连接，交于M，此时，最小值是的长，进而可求得答案． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接，交于M，此时最小， ∵四边形是正方形， ∴，，，点在上，， ∴， ∴， ∴四边形是 平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：5． 【考点题型十八】利用三角形的中位线性质求解（） 【例18】（2025·贵州·模拟预测）如图，是的中位线，按以下步骤作图：①以点B为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点D．若，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查三角形中位线的性质，角平分线的作法，三角形中等角对等边，由作图步骤可知平分，由中位线的性质可得，，，进而可得，由等角对等边可得，进而计算出，即可求解． 【详解】解：由作图步骤可知平分， ， 是的中位线，， ，，， ， ， ， ， ， 故选A． 【变式18-1】（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在外选一点C连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 由是的中点，是的中点可得是的中位线，由三角形的中位线定理可得，进而可得，由此即可求出的长． 【详解】解：是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， ， 故答案为：． 【变式18-2】（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，平分，于点D，点E为的中点．若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，延长，交于点，证明，利用性质求出，最后用中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，延长，交于点，    ∵平分， ∴ ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点为中点，点为中点， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：2． 【变式18-3】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知平行四边形中，E为的中点，，F为的中点，与相交于点G，则的长等于 ．     【答案】 【分析】取的中点，连接，证明，得到，求出，由的中点，F为的中点，得到，，证明，则，即可求出． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵E为的中点， ∴ ∵， ∴ ∵的中点，F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，构造中位线是解题的关键． 【考点题型十九】与三角形中位线有关的证明（） 【例19】（2025·江西·模拟预测）【课本再现】 （1）如图1，线段，相交于点，，．求证： ①； ②； 【迁移应用】 （2）如图2，在四边形中，，，分别是边，的中点，连接，猜想，，三条线段的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2），证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理： （1）①证明，即可得出结论； ②由得，再由平行线的判定即可证明； （2）连接，取的中点，连接，利用三角形的中位线定理，结合勾股定理即可得出结论． 【详解】解：（1）① ，，， ， ； ②由①知，， ， ； （2），证明如下： 连接，取的中点，连接， ∵，分别是边，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式19-1】（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，分别是的中点，延长到点，使．连接． (1)求证：与互相平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识； （1）利用三角形中位线定理可得出， ，结合，得出，可证明四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可得证； （2）先证明为等边三角形，可得，再利用平行四边形性质求解即可． 【详解】（1）证明：连接，．    ∵点E，F分别为、的中点， ∴， ． 又∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴与互相平分． （2）解：在中，，E为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴． 【变式19-2】（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，点O是内一点，连接，并将的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是． 【分析】此题重点考查三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由D，E，F，H分别是的中点，根据三角形中位线定理得，且，即可证明四边形是平行四边形； （2）作于点G，因为，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质结合勾股定理求得，，再根据三角形中位线定理求得即可． 【详解】（1）证明：∵D，E，F，H分别是的中点， ∴，且，，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：作于点G，则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的长是． 【变式19-3】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）我们学习了三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 在中，D、E分别是、的中点． 通过延长至F，使，连接，易证：且． 【探究学习】 如果将截去，剩下梯形且，取、的中点M、N，连接，则叫梯形的中位线，探索与和的关系． 写出结论 ，请证明你的结论； 【学以致用】 在梯形中，，，，M、N分别是、的中点，，求梯形的面积． 【答案】[探究学习]：且，证明见解析；[学以致用] 【分析】[探究学习] 连接并延长交延长线于F，易证，则可得，因此是的中位线．根据三角形的中位线的性质可得且 由此可得且． [学以致用] 由梯形的中位线的性质可得，过点D作于点G，根据三角函数的定义求出的长，最后再根据梯形的面积公式即可求出梯形的面积． 【详解】[探究学习] 连接并延长交延长线于F， 梯形且， ， 是的中点， ， 又， ， ， 又M是的中点， 是的中位线， 且 ， 且． 故结论为：且． [学以致用] 、N分别是、的中点，， ， 过点D作于点G， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及梯形的面积公式，熟练掌握三角形中位线的判定和性质，灵活运用转化的思想解决问题是解题的关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$