八下期中真题百题大通关（提升版）（范围：二次根式、勾股定理、平行四边形）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（人教版，吉林专用）

八下期中真题百题大通关（提升版） （范围：二次根式、勾股定理、平行四边形） 一、单选题 1．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，矩形的对角线交于点O，，，则的长为（    ）    A．4 B．2 C． D．p 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握矩形的性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的对角线相等且互相平分可得，由可得，从而是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解得． 【详解】解:∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：B． 2．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添一个条件成为平行四边形、判断能否构成平行四边形 【分析】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理． 【详解】、由可得，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 、由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 、∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，符合题意； 、由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 故选：． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，．顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，点D的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、坐标与图形 【分析】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质，图形与坐标等知识， 过点作轴于，在中，，，可得，根据四边形是正方形以及等腰直角三角形的性质可得， 【详解】如图，过点作轴于， ，  顶点的坐标为， ， 在中，，， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ∵轴， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 故选：A． 4．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，此时对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长 【分析】根据菱形的性质可知，过点E作，交的延长线于点，根据等边三角形的性质可知，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再根据求解即可． 【详解】图1连接，    菱形中，， ， 是等边三角形， 对角线， ， ， 图3过点E作，交的延长线于点， 是等边三角形， ， ∴， ， ∴， 故选：D 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 5．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，直线经过的对角线交点，若四边形的面积为，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解 【分析】如图，连接，由平行四边形的性质可得，则，证明，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，的对角线交点为， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 6．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，点E为的边上的一点，连接，满足，，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、利用平行四边形的性质求解 【分析】先利用平行四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质得出，进而得出，即可得到的度数. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴ 故选：C 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、三角形的外角、等腰三角形的性质，解题的关键是根据平行四边形的邻角互补解答. 7．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，的平分线交于点E，交的延长线于点G，的平分线交于点F，交的延长线于点H，与相交于点O，连接，则下列结论：；；；；．正确的个数是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质证明、三角形角平分线的定义 【分析】根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质对各个结论进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，故②正确， 平分， ，，故⑤正确， ，故①正确， 同理可证， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证， ， ，故③正确， ， ， ， ， 故错误， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键． 二、填空题 8．（23-24八年级下·吉林松原·期中）若，则 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值等知识点，根据二次根式的非负性求得x、y的值成为解题的关键． 先根据二次根式的非负性求得x，进而求得y，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（22-23八年级下·吉林松原·期中）如果，，那么 ． 【答案】 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，最后将式子的值代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 10．（22-23八年级下·吉林松原·期中）若与都是二次根式，那么 ． 【答案】0 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，进而即可求解． 【详解】解：∵与都是二次根式， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 11．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，中，，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为、、已知，， ． 【答案】100 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形面积的计算等知识点,熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出正方形的面积关系是解题的关键． 由勾股定理得出得出，然后代入相关数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． 故答案为：100． 12．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离）．踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，若设秋千绳索长为，则可列方程为 ．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．找到直角三角形，利用勾股定理即可列方程．设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ． 设的长为，则， ． 在中， 由勾股定理，得， 即， 故答案为： 13．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，，，的顶点在的斜边上．若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、等边对等角、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识， 连接，由题意可知，，，求出可证，可得，，由勾股定理求出即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵和都是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．（22-23八年级下·吉林·期中）在中，，，，则的面积= ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】先根据直角三角形得出，再由三角形的面积公式即可得出结论. 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：. 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质和三角形的面积，根据题意求出直角边的长度是解题的关键. 15．（21-22八年级下·重庆江津·期中）如图，分别以等腰的边AB，AC，BC为直径画半圆，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】1 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】根据阴影部分的面积等于阴影部分所在的两个半圆的面积加上△ABC的面积减去大半圆的面积，列式计算即可得解． 【详解】解： 等腰， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的利用割补法求解阴影部分的面积，勾股定理的应用，理解阴影部分的面积等于直角三角形ABC的面积是解题的关键． 16．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，正方形的边长为4，点Р为对角线上任意一点，E为上一点，且．则的最小值为 ． 【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，连接，交与点F，连接，根据、C关于对称，得出，说明，得出当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当、P、E三点共线时， 最小，且最小值为，根据勾股定理和正方形的性质，求出结果即可． 【详解】解：连接，交与点F，连接， ∵四边形为正方形， ∴、C关于对称， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当、P、E三点共线时，最小，即点P与点F重合时，最小，最小，且最小值为， ∵正方形的边长为4，， ∴，， ∴， ∴的最小值为5． 故答案为：5． 17．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，在正方形中，按以下步骤作图：连接相交于点；分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点；连接，交于点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，正方形的性质，勾股定理，由作图可知，垂直平分，利用正方形的性质和勾股定理可得，，再由勾股定理即可求出的长，由作图得出垂直平分是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（23-24八年级下·吉林长春·期中）在正方形中，，点是上一点，过点作于，于，连结，当的长度取得最小值时， ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】连接，过作于，证明，即可得，证出四边形是矩形，由矩形的性质得出，当时，最小，由的面积关系，问题即可得解． 【详解】解：连接，过作于，如图所示： 四边形是正方形，为对角线， ，，， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， ，， 四边形是矩形， ， 当时，最小，即如图长， 此时点与点重合，则有最小值， 当点与点重合时， 的面积， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理以及最小值问题；熟练掌握正方形和矩形的性质是解题的关键． 19．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，点、分别是边、上的动点，，若，，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短、根据矩形的性质与判定求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、轴对称、勾股定理求最短路径问题，熟练掌握轴对称、矩形的性质作辅助线是解题的关键．连接，作点关于的对称点，连接，，根据轴对称的性质可得，，根据矩形的性质可得，，进一步可知四边形是矩形，根据矩形的性质可得，推出的最小值等于的最小值，即的长度，利用勾股定理求的长，即可确定的最小值． 【详解】解：如图，连接，作点关于的对称点，连接，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点、、在同一直线上， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小值等于的最小值， ∵两点之间线段最短， ∴的最小值等于的长度， ∵，， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 20．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，在菱形中，，点为中点，点在对角线上运动，若，则长的最大值为 ．    【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】连接、、，如图所示，由菱形的性质得，，则，再证，即可解决问题． 【详解】解：连接、、，如图所示：     四边形是菱形， ，垂直平分， ， ， ，， 是等边三角形， 点为边的中点，由等边三角形“三线合一”可知，， ， 在中，设，则，由勾股定理得到， ， ， 长的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明为等边三角形是解题的关键． 三、解答题 21．（23-24八年级下·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的乘法法则将原式化简，再将代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键．也考查二次根式的性质． 【详解】解： ， 当时，原式． 22．（23-24八年级下·吉林·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式乘除法，再计算减法即可． 【详解】解； ． 23．（23-24八年级下·吉林松原·期中）计算： 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质化简，混合运算法则是解题的关键．先根据二次根式的性质化简二次根式，再根据二次根式的混合运算法则即可求解． 【详解】解：原式 ． 24．（23-24八年级下·吉林松原·期中）计算：． 【答案】2 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先算乘除和绝对值，再算加减即可解答，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 25．（23-24八年级下·吉林四平·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的乘法，平方差公式．熟练掌握二次根式的乘法，平方差公式是解题的关键． 利用平方差公式计算求解即可． 【详解】解： ． 26．（23-24八年级下·吉林松原·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，直接根据二次根式的混合运算法则计算即可得出答案． 【详解】解： 27．（23-24八年级下·吉林四平·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 利用二次根式的性质进行化简，然后进行乘法和加法运算即可． 【详解】解： ． 28．（22-23八年级下·吉林松原·期中）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】根据二次根式的加减进行计算即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握二次根式的加减的运算法则是解题的关键． 29．（21-22八年级下·吉林·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，10 【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】利用完全平方公式和单项式乘以多项式展开后，合并同类项，再代入计算即可． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 【点睛】此题考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键． 30．（22-23八年级下·吉林松原·期中）观察下面的运算，完成下列各题的解答． (1)判断下列各式是否成立（成立的画√，不成立的画×）； （ ） （ ） （ ） （ ） (2)根据（1）判断的结果，你能发现什么规律？请用含有自然数n的式子将你发现的规律表示出来，并注明n的取值范围； (3)请说明你所发现式子的正确性． 【答案】(1)√；√；√；√ (2)， (3)见解析 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】（1）各式计算得到结果，即可作出判断； （2）根据（1）得出的规律写出即可； （3）验证得出的规律即可． 【详解】（1）解：√；√；√；√； 故答案为：√；√；√；√； （2）解：根据题意得：（n为的自然数）； （3）解：等式左边右边， ∴（n为的自然数）． 【点睛】本题是对二次根式化简的考查，熟练掌握二次根式的化简是解决本题的关键． 31．（22-23八年级下·吉林松原·期中）下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务： 解：            …第1步               …第2步                            …第3步                               …第4步 任务： (1)上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为 （用字母表示）； (2)上述解答过程，从第 步开始出错，具体的错误是 ； (3)计算的正确结果为 ． 【答案】(1) (2)3，计算错误 (3)1 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】（1）根据完全平方公式即可解答； （2）根据二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，逐步进行计算，即可解答； （3）根据二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，逐步进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：第1步依据的乘法公式为， 故答案为：； （2）解： ， ∴第3步计算错误， ，计算错误， 故答案为：3，计算错误； （3）解：解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，以及完全平方公式和平方差公式． 32．（22-23八年级下·吉林松原·期中）已知，，求下列各式的值． (1)______，______； (2)． 【答案】(1)； (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、二次根式的混合运算 【分析】（1）直接把，代入所给代数式计算即可； （2）根据完全平方公式把变形，然后把（1）中结论代入计算． 【详解】（1）∵，， ∴ ； ． 故答案为：；； （2）∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式的变形求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 33．（22-23八年级下·吉林松原·期中）已知正方形纸片的面积是，如果用这个正方形围成一个底面最大的圆柱体，请问这个圆柱体底面圆的直径是多少？（，．保留3个有效数字） 【答案】 【知识点】求一个数的近似数、利用二次根式的性质化简、算术平方根的实际应用 【分析】根据正方形面积求出边长，此边长即为圆柱底面圆的周长，根据周长公式求半径． 【详解】解：∵正方形纸片的面积是， ∴正方形边长为， 设圆柱底面圆半径为，则， 解得． ∴直径为 答：圆柱底面圆的直径为． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 34．（22-23八年级下·吉林松原·期中）如图，在中，，，于，，，求的面积．    【答案】． 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】根据三角形内角和定理得出，进而可得是等腰直角三角形，得出，根据三角形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 又∵ ∴， 则是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，三角形内角和定理，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键． 35．（22-23八年级下·吉林白山·期中）在一块矩形的地面上铺设地砖，该矩形地面的长为、宽为． (1)求该矩形地面的周长； (2)现计划在该矩形地面上铺满地砖，请计算需要的地砖总面积（提示：结果保留整数，）． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的应用 【分析】（1）根据矩形的周长（长宽），计算即可． （2）根据矩形的面积=长×宽，计算即可． 【详解】（1）矩形的周长 （2）矩形的面积 【点睛】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是熟知矩形周长和面积的计算公式． 36．（22-23八年级下·吉林·期中）阅读下面问题： ；   ；    ． (1)计算：①_______，②______； (2)计算：____________； (3)计算：． 【答案】(1)①，② (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】（1）仿照题干例题方法求解①②即可； （2）仿照题干例题方法求解即可； （3）找到变化规律，求解每一项，再加减即可求解． 【详解】（1）解：① ； ② ； 故答案为：①，②； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查二次根式的加减、分母有理化，熟练掌握分母有理化的解法步骤并灵活运用是解答的关键． 37．（22-23八年级下·吉林·期中）如图，在中，，D是上的一点，，求的长．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】勾股定理逆定理，得到，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，，即：， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理．解题的关键是利用勾股定理逆定理得到直角三角形． 38．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，以正方形的边为一边在正方形外作等边，连接，交正方形的对角线于点F，连接，求的度数． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、等边三角形的性质、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，先证明为等腰三角形，进而求出的度数，证明，得到，再利用三角形的外角求出即可． 【详解】解：∵以正方形的边为边在正方形外作等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 39．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在菱形中，，且，试求的度数． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求角度、等边对等角 【分析】本题主要考查了菱形的性质及等边对等角，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键． 由菱形的性质可知，结合，得，即可求解． 【详解】解：在菱形中，， ． 又， ． ． 40．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟记判定方法是解本题的关键； （1）先证明，可得，再证明四边形是平行四边形，即可得到结论； （2）先证明，可得．证明，可得，可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ． 平分， ， ∴， ． ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形，且， ． ，， ， ． ， ， ∴， ， ， ． ． 41．（22-23八年级下·吉林松原·期中）图①，图②，图③均是55的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上．在图①，图②，图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上．    (1)在图①中，画线段，使其长为（画出一个即可）； (2)在图②中，画等腰三角形，使其面积为3（画出一个即可）； (3)在图③中，画等腰直角三角形，使其面积为5（画出一个即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】格点图中画等腰三角形、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】（1）利用勾股定理，结合网格画图即可； （2）取格点 ，使 的底是 2 ，高是 3 ， 即可； （3）由勾股定理可知，，取格点 ，使 ，且 即可； 【详解】（1）如图①中，线段即为所求； 理由：由图可知 （2）如图②中，即为所求； 理由：由图可知 （3）如图③中，即为所求 理由：由图可知 且 为等腰直角三角形    【点睛】本题考查作图一应用与设计作图、等腰直角三 角形、等腰三角形的判定与性质、勾股定理, 熟练掌握相关知识点是解答本题的关键 42．（21-22八年级下·吉林·期中）图①、图②都是10×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．点E是边BC上任意一点，将沿AE翻折得到，使点落在的边上．按要求在图①、图②中各画一个（图①、图②中所画的三角形不全等），并写出BE的长． BE＝______ BE＝______ 【答案】图①：图见解析，3；图②：图见解析，5 【知识点】勾股定理与网格问题、画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】根据轴对称的性质作图及勾股定理即可求得． 【详解】解：如图①， 由图可知，，， ∴△ABE与△关于AE成轴对称， 由图可知，BE＝3， 故答案为：3， 如图②， 由图可知，，， ∴△ABE与△关于AE成轴对称， 此时BE＝5， 故答案为：5 【点睛】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质与勾股定理等知识点． 43．（21-22八年级下·吉林松原·期中）如图，ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为单位1． (1)求证：ABC为直角三角形； (2)在图中画一条线段DE，使DE=AB，且D、E两点落在正方形网格的格点上； (3)求点B到AC的距离． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，答案不唯一 (3) 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积 【分析】（1）根据勾股定理以及逆定理解答即可； （2）根据题意使DE=AB，画图即可； （3）根据三角形得面积公式解答即可． 【详解】（1）由勾股定理得， AB＝， BC＝， AC＝， ∵ ∴AB+BC＝AC ∴△ABC为直角三角形； （2）根据题意所画如下图，答案不唯一； （3）设B到AC的距离为h ， 由得， ， 解得h＝， ∴点B到AC的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理问题，解决本题的关键是根据勾股定理以及逆定理解答． 44．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，将矩形沿过点A的直线折叠，使点B恰好与其对角线的中点O重合，折痕与边交于点E．延长交于F，连接． (1)根据题意补全图形； (2)判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，则的长为____________． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，见解析 (3)4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、证明四边形是菱形 【分析】（1）按照要求作图即可； （2）由矩形，可得，则，证明，结合折叠性质得，进而结论得证四边形是菱形； （3）由折叠的性质可知，，，由题意知，，由勾股定理得，，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图； （2）四边形是菱形；理由如下： ∵四边形是矩形，对角线的中点O ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵使点B恰好与其对角线的中点O重合，折痕与边交于点E． ∴ ∴ ∴四边形是菱形； （3）解：由折叠的性质可知，，， ∵四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，， 设， 则， 由勾股定理得，， 即， 解得，， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，垂直平分线的性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形与折叠，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，垂直平分线的性质，勾股定理是解题的关键． 45．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在每个边长为1的小正方形的网格中，点A，B，C均在格点上．仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)画出以为边的菱形； (2)直接写出点D到的距离____________； (3)在上画点E，使． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)见解析 【知识点】证明四边形是菱形、利用菱形的性质求线段长、勾股定理与网格问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了网格中的无刻度直尺作图，结合菱形的判定与性质、勾股定理与网格问题，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握知识点作图是解题的关键． （1）根据网格、勾股定理可知，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，取将点向右平移5格得格点，连接即可得到菱形； （2）观察图形，根据菱形的性质、平行线之间的距离处处相等，得出点到的距离即可； （3）利用网格，取点向右平移4格，再向下平移3格的格点，构造出等腰直角三角形，即可得到上的点，使； 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求作的菱形； （2）解：∵所作四边形是菱形， ∴，， ∴点到的距离点到的距离（平行线之间的距离处处相等）， 点到的距离点到的距离（同一个菱形中等底等高）， 又∵观察图形，点到的距离是网格线的长度， ∴点到的距离点到的距离， 故答案为：4； （3）解：如图，取点A向右平移4格，再向下平移3格的格点， ∴，且，， ∴是等腰直角三角形， ∴线段与交于点，即为所求作的点； 46．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，中，，点D，E分别是边的中点，连接并延长，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当____________时，四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)30，见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是菱形 【分析】（1）由点D、E分别是边的中点，可得，且，则，进而可证四边形是平行四边形； （2）由E为中点，可得，由，可得，证明是等边三角形，则，进而可证四边形是菱形． 【详解】（1）证明：∵点D、E分别是边的中点， ∴，且， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）当时，四边形是菱形，理由如下： ∵中，，E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查了中位线，平行四边形的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，菱形的判定等知识．熟练掌握中位线，平行四边形的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，菱形的判定是解题的关键． 47．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在和中，，交于点O，，，沿直线翻折得到． 求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、证明四边形是平行四边形、折叠问题 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定，图形翻折的性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）由，根据等边对等角，可得，结合，，利用即可证明； （2）根据可得，利用翻折的性质可得，，由此得到，，进而得到，由此可证四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明： ， ， ， ． （2）证明： ， ， 沿直线翻折得到， ，， ，， ， ，又， 四边形是平行四边形． 48．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，地块的周长为，四边形为种植花卉区域，于点E，点F、G分别在边、上，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若E是的中点，，，求种植花卉区域四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)种植花卉区域四边形的面积为 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是矩形 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定与性质； （1）先证明，结合，可得四边形是平行四边形．再证明，从而可得结论； （2）先求解，再利用勾股定理求得，从而可得答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ，，， ， ∵， 四边形是平行四边形． ∵于点E， ， 四边形是矩形； （2）解：地块的周长为，， ， ． ，是的中点， ． 在中，， 由勾股定理，得， ， 种植花卉区域四边形的面积为． 49．（23-24八年级下·吉林·期中）图①所示是某小区倾斜式停车位，图②是车位示意图，工人在绘制时保证，，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若为6米，为米，求停车位的面积． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2)平方米 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． （1）证明，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）过点作于点，有平行四边形的性质得到，利用平行四边形的面积计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点，则， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ∴， ， 在中，， （平方米）， 答：停车位的面积为平方米． 50．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，有两个全等矩形纸条，长与宽分别是18和12，按如图所示的方式交叉叠放在一起，重合部分构成四边形． (1)求证：四边形是菱形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)156 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）由矩形和矩形是全等矩形，可得，，，，即可证明四边形是平行四边形，证明，可得，由此证明四边形是菱形； （2）设菱形的边长为，则，，，利用勾股定理可得，求得，利用四边形的面积为：，即可求解． 【详解】（1）证明： 矩形和矩形是全等矩形， ，，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是菱形． （2）解：设菱形的边长为， 则，，， 在中，利用勾股定理得，即， 解得， 四边形的面积为：． 51．（23-24八年级下·吉林·期中）小惠自编一题：“如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，求证：四边形是菱形．”之后她将自己的证明过程与同学小洁交流． 小惠：证明：，， 垂直平分， ，， 四边形是菱形． 小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明． 你赞同谁的证法？若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 【答案】补充条件：，利用见解析 【知识点】添一个条件使四边形是菱形、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行证明． 【详解】证明：赞成小洁的说法，补充条件：， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形． 52．（23-24八年级下·吉林·期中）【问题解决】把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，点A的对应点为，折痕为，连接BE，求证：四边形是菱形； 【拓展研究】在【问题解决】的条件下：若，，求线段的长． 【答案】问题解决：见解析；拓展研究： 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了勾股定理、平行四边形的判定、菱形的判定和性质，解题的关键是作好辅助线由面积法求线段的长． 问题解决：证得，得四边形四条边相等是菱形； 拓展研究：连接，得，利用，易得的长． 【详解】问题解决：由折叠的性质可得，，， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形． 拓展研究：连接，在中，． 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，· ∵四边形的面积， ∴， 解得． 53．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，中，点是的中点，过的直线，，的平分线分别交于，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形，请说明理由． 【答案】(1)四边形是矩形，证明见解析 (2)，四边形是正方形.见解析 【知识点】证明四边形是矩形、证明四边形是正方形 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定，熟记平行四边形，矩形，正方形的判定方法是解本题的关键. （1）根据平分，，可知，可得，同理：，可得，且，可证四边形是平行四边形，由对角线相等的平行四边形是矩形可证四边形是矩形； （2）当时，四边形是正方形，由正方形的判定可证矩形是正方形． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵点P是的中点， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴是矩形； （2）解：如图，当时，四边形是正方形；    理由如下： ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形. 54．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明四边形是菱形、利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形、化为最简二次根式 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟记判定方法是解本题的关键； （1）先证明，可得，再证明四边形是平行四边形，即可得到结论； （2）先证明，可得．证明，可得，可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ． 平分， ， ∴， ． ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形，且， ． ，， ， ． ， ， ∴， ， ， ． ． 55．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图．已知点P、Q是对角线上的两点，且，连接、、、．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若Q为的中点，的面积为2，则的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2)12 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点并能够添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接交于点，由平行四边形的性质可得，，结合已知可得，即可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明． （2）先证明，，再利用平行四边形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：连接交于点，    ∵四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， ， ∴四边形是平行四边形． （2）∵Q为的中点，， ∴， ∵的面积为2， ∴，， ∴的面积为． 56．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在平行四边形中，分别平分交于点E、G． (1)求证：． (2)过点E作于点F，若，平行四边形的周长为28，则平行四边形的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)42 【知识点】利用平行四边形的性质证明、利用平行四边形的性质求解、角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）由平行四边形的性质证即可求证； （2）作，由即可求解； 【详解】（1）证明：在中， ∵， ∴， ∵分别平分，， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ， ∴； （2）解：如图，作， ∵的周长为28， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 57．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，的对角线和相交于点O，过点且与边、分别相交于点和点． (1)求证：． (2)若，则的最小值为__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明即得． （2）根据，得到，，结合，得到，利用垂线段最短计算即可． 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握平行四边形的性质，垂线段最短是解题的关键． 【详解】（1）∵的两条对角线相交于点O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴，， ∵的两条对角线相交于点O， ∴， ∴， 设边上的高为h， ∴， 解得， 根据垂线段最短， 故当为三角形的高时，最小，且最小值为， 故答案为：． 58．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作线段，连接，已知． (1)求证：； (2)连接，若，请给添加一个条件，使四边形为正方形（不需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明四边形是正方形、根据矩形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，，求得，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据正方形的判定定理得到结论． 本题考查了正方形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， ， 在与中， ， ， ； （2）解：添加， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形． 59．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在中，经过对角线交点O，交于E，交于F． (1)求证：． (2)若，，，那么四边形的周长为　　． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定． （1）利用平行四边形的性质得到证明全等的条件，再利用证明全等即可； （2）利用第一问的全等三角形和平行四边形的性质得到相等的边，再进行等量代换即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 在与中 ． （2）解：四边形是平行四边形， ，， 由（1）得， ， ， ， ， ， 四边形的周长 故答案为：12.6． 60．（23-24八年级下·吉林·期中）如图①，在四边形中，，．点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接，设运动时间为t秒． (1)当四边形为平行四边形时，求t的值； (2)如图②，将沿翻折，得． ①当四边形为平行四边形时，求t的值； ②当四边形为正方形时，直接写出的长． 【答案】(1)2 (2)①② 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据菱形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）由题意得，，根据条件证明矩形，即可表示出；然后依据平行四边形性质即可求解； （2）①当四边形为平行四边形时，易得四边形为菱形，进而得到，进行求解即可； ②根据正方形性质可得，进而得到，即可求出． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， ，， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 四边形为平行四边形时，， ， 解得：； （2）解：①沿翻折得到， ∴， ∴当四边形为平行四边形时，四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②四边形为正方形， ， 沿翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题主要考查了四边形综合题，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定，正方形的性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键． 61．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图， 为正方形的对角线，．动点P、Q分别从点A、C同时出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿、向终点B、D运动．连接交于点O，过点O作交边于点E．设点P运动的时间为t秒． (1)当点P运动到边的中点时，四边形的面积为__________； (2)连接、，求证：四边形是平行四边形； (3)求四边形的面积； (4)当将四边形分成面积比为两部分时，直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2)详见解析 (3)4 (4)或 【知识点】全等三角形综合问题、证明四边形是平行四边形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）利用正方形性质证明，得到，结合当点P运动到边的中点时，则点Q运动到边的中点，利用三角形中位线性质得到四边形是正方形，即可求得四边形的面积； （2）连接、，由题中运动情况可知，，结合正方形性质，即可证明四边形是平行四边形； （3）作于点，作于点，证明四边形是正方形，再证明，即可得到四边形的面积，即可解题； （4）根据将四边形分成面积比为两部分，分以下两种情况讨论，①，②，根据以上两种情况得到，再结合三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：四边形是正方形，为对角线， ，，， 由题中运动情况可知，， ， ， ，是的中点， 当点P运动到边的中点时，则点Q运动到边的中点， ，， ， ， 四边形是正方形， 四边形的面积为， 故答案为：． （2）证明：连接、， 由（1）可知，，， 四边形是平行四边形； （3）解：作于点，作于点， ，与（1）中相等为， 四边形是正方形，为对角线， ，， 四边形是矩形， ， ， ； 四边形是正方形， ，， ， ， ， 四边形的面积， 四边形的面积为． （4）解：将四边形分成面积比为两部分， ①， ， ， 解得； ②， ， ， 解得； 综上所述，或． 【点睛】本题考查正方形性质和判定，全等三角形性质和判定，矩形的判定定理，三角形中位线性质，平行四边形判定，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． 62．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在中，O是对角线的中点，，，，动点P从点A出发，以2的速度沿折线向终点C运动，连接并延长交折线于点Q，设点P的运动时间为（s）． (1)当点P在边上时，求证：； (2)当与的边垂直时，求的长； (3)当以B、D、P、Q为顶点的四边形是矩形时，直接写出t的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为或； (3)； 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握相关性质和判定，利用分类讨论思想是解题的关键． （1）由四边形是平行四边形，O是对角线的中点，可得，，又，利用即可证明； （2）由题意知，分，两种情况进行求解．当时，可知为的高，利用等面积法，即，，即可求得；当时，即当与点重合时，，由此得解； （3）当以B、D、P、Q为顶点的四边形是矩形时，则，根据第（２）问结果，可得，利用勾股定理可求得，由此可求得时间t的值； 【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形， ， ， O是对角线的中点， ， ， ． （2）解：① 当与的边垂直时，即，，如图所示， 四边形是平行四边形，，，，， ， ， ， ， ， ． ② 当时，根据题意可知，即当与点重合时， ， 综上，当与的边垂直时，的长为或． （3）解：当以B、D、P、Q为顶点的四边形是矩形时，如图所示， 四边形为矩形， ，，即为的高， 根据第（2）问，可知， 由勾股定理得，， ， ，解得， 当时，以B、D、P、Q为顶点的四边形是矩形． 63．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在中，，，于点E，且．点P从点B出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点C运动；点Q从点D出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点A运动，P、Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止，连接．设点P运动的时间为t秒． (1)的长是_______； (2)用含t的代数式表示的长； (3)设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (4)当以E、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值． 【答案】(1)12 (2) (3) (4)或9 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质、勾股定理和动点问题，解题关键是能够分情况讨论关于t的表达式并能确定取值范围求解． （1）在中，利用勾股定理可解； （2）利用时间乘以速度等于路程可解，的长需要分类讨论； （3）时与时，分别求得的面积即可； （4）需要分类讨论，点P在E点左侧还是右侧时，分别进行求解． 【详解】（1）解：在中，， ∴， 故答案为：12； （2）解：∵四边形是平行四边形， 当P点运动到点E时，，当点P运动到点C时，， ①当时，； ②当时，； ∴用含t的代数式表示的长为： （3）解：当时，； 当时，； ∴S关于t的函数关系式为：； （4）解：以点E、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时， ①当四边形为平行四边形时，， ∴ 解得， ②当四边形为平行四边形时，， ∴， 解得， 综合上述，当或9时，以点E、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形． 64．（23-24八年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】如图是华师版数学教材八年级下册第117页的部分内容． (1)【问题解决】请根据教材分析，结合图1，写出完整的证明过程： (2)【结论应用】如图2，直线分别交矩形的边于点E、F，将矩形沿翻折，使点C与点A重合，点D落到点处·若，则矩形的面积为 (3)【拓展探究】如图3，直线分别交平行四边形的边于点E、F，将平行四边形沿翻折，使点A与点C重合，点D与点重合，连结，若，，则四边形的面积是 【答案】(1)见解析 (2)32 (3)15 【知识点】证明四边形是菱形、利用菱形的性质求面积、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，矩形的判定及性质，三角形全等的判定及性质 （1）证明，再由，即可证明四边形是菱形； （2）连接交于点G，连接，由折叠可知，垂直平分，根据（1）的结论可得四边形是菱形，分别求出的边即可求面积． （3）过点作，交延长线于点，可求出，设，则，则，在中，由勾股定理得，，即可求出答案； 【详解】（1）问题解决：证明： 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：【结论应用】连接交于点，连接， 由折叠可知，垂直平分， 由（1）可得四边形是菱形， ， 由折叠可知，， ， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：32 （3）解：【拓展探究】如图，过点作，交延长线于点， 将平行四边形沿直线翻折，使点的对称点与点重合， 则由（1）可知：四边形是菱形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得， 所以， 则四边形的面积是：． 故答案为：15 65．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在矩形中，，，延长到点，使，连接．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点运动的时间为秒．．    (1)____________； (2)连接，当四边形是菱形时，求的值； (3)连接、，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (4)直接写出点到四边形相邻两边距离相等时的值． 【答案】(1)5 (2) (3)； (4)秒或秒或秒 【知识点】利用菱形的性质求线段长、矩形性质理解、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）利用勾股定理直接计算即可； （2）根据菱形的性质可得答案； （3）分两种情形，当和时，分别计算梯形的面积即可； （4）当点在上，若点到、的距离相等时，则；当点到、距离相等时，则，利用证明，得；当点在上时，若到、距离相等时，则，利用面积法求出，进而解决问题． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，， 在中，由勾股定理得，， 故答案为：5； （2）解：四边形是菱形，且， ， ； （3）解：当时，由题意知，， ， 当时，则，   ， 综上：； （4）解：当点在上，若点到、的距离相等时，则， ； 当点到、距离相等时，则，   ，，． ， ， ， ， 当点在上时，若到、距离相等时，则，   ， ， ； 综上：秒或秒或秒． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，运用分类思想是解题本题的关键． 66．（23-24八年级下·吉林·期中）综合与实践 数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图①，已知矩形纸片，其中，． (1)操作判断 将矩形纸片按图①折叠，使点B落在边上的点处，请判断四边形的形状，并说明理由； (2)探究发现 将图①的纸片展平，把四边形剪下来，如图②，取边的中点，将沿折叠得到，延长交CD于点N． ①求的长； ②直接写出的周长． 【答案】(1)四边形是正方形，见解析 (2)①；② 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、矩形与折叠问题、勾股定理与折叠问题、全等三角形综合问题 【分析】（1）利用矩形的性质和折叠的性质即可证明四边形是正方形； （2）①先证明四边形是矩形，可得，，根据点是边的中点，得，根据勾股定理即可求出 ②连结，由折叠性质可得到，，，然后证明可得到，最后计算的周长为，即可解答； 【详解】（1）解∶四边形是正方形．理由∶ 四边形是矩形， ， 将矩形纸片按图①折叠，使点B落在边上的点处， ，， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形． （2）①四边形是矩形，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 点是边的中点， ， 在中 ． ②连接， 由折叠性质得∶，，， 为的中点， ， ， 与中， ， 的周长为∶， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查折叠的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．通过添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 67．（23-24八年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点和点，均在格点上，点E为边上任一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中作射线，在其上找到一点，使． (2)在图②中画以为对角线的平行四边形． (3)在图③中作射线，在其上找到一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的判定与性质求解、根据矩形的性质求线段长、无刻度直尺作图 【分析】本题考查了无刻度直尺作图；矩形的性质，平行四边形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质． （1）根据网格的特点可得是的中点，作射线，在其上找到一点，使，即可求解； （2）由图可知，因此将点A向右移动两格即为点G，连接可得； （3）连接并延长，与的交点即为点H． 【详解】（1）解：如图所示，格点即为所求； （2）解：如图所示， 理由如下：由图可知，， 四边形以为对角线的平行四边形； （3）解：如图所示， 理由如下：由（2）知四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ． 68．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在四边形中，，，，，高，点从点出发，沿运动，点从点出发，沿方向运动，速度均为每秒个单位长度． 、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，连结、．设点运动时间为（秒）（）． (1)_______； (2)用含t的代数式表示的长； (3)当点P从D向A运动时，四边形始终是平行四边形．请说明理由； (4)当经过四边形其中一条对角线的中点时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)6 (2) (3)见解析 (4)， 【知识点】列代数式、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质与判定； （1）根据勾股定理，即可求解； （2）根据题意，当，分别列出代数式，即可求解； （3）当点P从D向A运动时，得出，又，则四边形是平行四边形， （4）分两种情况讨论，当点从向运动时，则四边形是平行四边形，当点P从D向A运动时，当为平行四边形时，分别讨论，即可求解． 【详解】（1）在中， ∴； 故答案为：． （2）解：∵， 点从点出发，沿方向运动，速度均为每秒个单位长度 ∴运动时间为秒， ∵，， 当时， 当时， ∴ （3）当点P从D向A运动时， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， （4）解：当点从向运动时， ∵ 又∵又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴经过的中点， 当点P从D向A运动时， 当为平行四边形时，如图所示， ∴ 即 解得： 综上所述，或时，经过四边形其中一条对角线的中点 69．（23-24八年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容． 猜想：如图，在中，点D、E分别是与的中点． 根据画出的图形，可以猜想： ，且． 对此，我们可以用演绎推理给出证明． (1)【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程． (2)【定理应用】如图②，已知矩形中，，，点P在上从B向C移动，R、E、F分别是的中点，则________ 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】矩形性质理解、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了三角形中位线的判定及性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握中位线的定义及性质是解题的关键． （1）延长到，使，连接，利用全等三角形的性质证明四边形是平行四边形即可解决问题； （2）连接，在中求出，再由中位线的性质求即可． 【详解】（1）证明：如图中，延长到，使，连接， 在和中， ， ， ，， ∴， 又， ， 四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ∴； （2）解：如下图，连接， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵是的中点，， ∴， ，，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 70．（23-24八年级下·吉林长春·期中）【感知】如图，在平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边于点，易证：（不需要证明）； 【探究】如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边的延长线于，求证：； 【应用】连接图中的，其它条件不变，如图，若，的面积为，则四边形的面积为__________．    【答案】探究：见详解， 应用：，过程见详解 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查行四边形的性质、三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． [探究]由平行四边形的性质得到，所以，从而判定，得证； [应用]因为，所以．由可求，由平行四边形性质得，可求，同理可求，则． 【详解】解：探究：证明：四边形是平行四边形， ， ． 在和中 ， ， 应用：解：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 同理，， ． 故答案为：． 71．（23-24八年级下·吉林松原·期中）把一张矩形纸片如图1那样折一下，再翻过来压平，可判断四边形是______形； 【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边上，点B的对应点为F，折痕为，点E在边上． （1）求证：四边形是菱形． （2）连接，若，，，则的面积为______． 【答案】正方形，（1）见解析：（2） 【知识点】利用平行四边形的性质求解、矩形与折叠问题、利用菱形的性质求面积、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查菱形的判定、平行四边形面积的计算、菱形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线以及等面积法的灵活应用成为解题的关键． 根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可解答； （1）先证明是平行四边形，再根据平行四边形邻边相等证明是菱形即可证明结论； (2)由①知，四边形是菱形，根据勾股定理求出的长，在菱形中利用等面积法表示出，然后根据面积公式求解即可． 【详解】解：由折叠后为一组邻边相等的矩形，即正方形； 故答案为正方形； （1）由折叠，得， ∵四边形是平行四边形， ∴，即． ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）如图，过点A作于点H，交于点O，若，，， 由（1）知四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 72．（23-24八年级下·吉林松原·期中）在一次数学研究性学习中，小亮将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合，如图①，其中，，，并进行如下探究活动．将图①中的三角形纸片沿射线方向平移，连接，如图②． 【思考发现】 （1）图②中的四边形是平行四边形吗？请说明理由； （2）当三角形纸片平移到某一位置时，小亮发现四边形是矩形，如图③，求此时的长； 【问题探究】 （3）在三角形纸片平移的过程中，能否是等腰三角形？若能，直接写出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）四边形是平行四边形，见解析；（2）；（3）能，或 【知识点】根据矩形的性质求线段长、证明四边形是平行四边形、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由全等三角形的性质得出，，推出，即可得出结论； （2）连接交于，设，则，表示出的长度，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）由勾股定理得出，分三种情况：当时，当时，这种情况是不存在；分别求解即可得出答案． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）如图，连接交于， ， ∵四边形为矩形， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； （3）∵，，， ∴， ∵是等腰三角形， ∴如图，当时， ， 此时； 如图，当时， ， ∵， ∴； ∵这种情况是不存在的， ∴综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 73．（23-24八年级下·吉林·期中）图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形： (1)在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形． (2)在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画轴对称图形、平移(作图)、判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了轴对称图形、平移作图，熟练掌握轴对称图形与平行四边形的概念是解题关键． （1）以所在直线为对称轴，找出点的对称点即为点，再顺次连接点即可得； （2）根据点平移至点的方式，将点进行平移即可得点，再顺次连接点即可得． 【详解】（1）解：如图①，四边形是轴对称图形． （2）解：先将点向左平移2格，再向上平移1个可得到点， 则将点按照同样的平移方式可得到点， 如图②，四边形平行四边形． 74．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中按要求作图． (1)在图①中画出线段，使其长度为（画一条即可）； (2)在图②中画出一个直角，使其三边长均是有理数（画一个即可）； (3)在图③中画出一个菱形，使其对角线的长均是无理数（画一个即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】利用菱形的性质求线段长、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，菱形的性质； （1）根据网格的特点以及勾股定理即可求解； （2）画一个边长分别为，，的三角形，即可求解； （3）画一个对角线分别为的菱形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，即为所求， ， （3）解：如图所示，菱形即为所求， 对角线 75．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，，，延长到点E，使，连接．若动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点E运动，连接．设点P运动的时间为t秒． (1)直接写出的长； (2)求当为何值时，和全等？ (3)是否存在，使为等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当或4或时，为等腰三角形 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质 【分析】（1）根据题可得，然后根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，当，即，进而即可求解； （3）分三种情形：或或，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， （2）当，即时， 则， （3）若为等腰三角形，则或或， 当时， ，， ， ． 当时， ， ． 当时， ， ， 在中，， ， ， ，．    综上所述，当或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形端点性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论 思想思考问题． 76．（23-24八年级下·吉林松原·期中）定义：在等腰三角形的外部，以一条腰为斜边作直角三角形，那么等腰三角形和直角三角形组成一个四边形，我们就称这个四边形是“等对邻直角四边形”． (1)如图①，在四边形中，若，，则四边形________“等对邻直角四边形”；（填“是”或“不是”） (2)如图②，在“等对邻直角四边形”中，，，E是的中点，F是的中点．试说明：； (3)如图③，在（2）的条件下，平分，，四边形为何种特殊四边形，并说明理由； (4)在（3）的条件下，当，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)四边形为菱形，理由见解析 (4) 【知识点】证明四边形是菱形、斜边的中线等于斜边的一半、与三角形中位线有关的证明、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据定义即可求解； （2）根据定义及三角形中位线的性质和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求解； （3）先证四边形为平行四边形，再证为菱形即可； （4）证明和都是等边三角形，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，，证明，利用梯形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：根据定义可得：四边形是“等对邻直角四边形”， 故答案为：是； （2）证明：∵“等对邻直角四边形”中，，，是的中点，是的中点， ∴，， ∴； （3）解：四边形为菱形，理由如下： 由（2）得， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等对邻直角四边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形； （4）解：∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，含30度角的直角三角形性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 77．（23-24八年级下·吉林松原·期中）【教材呈现】下列材料是人教版八年级下册数学教材第65页数学活动的部分内容． 在一张矩形纸片的一端，利用如图所示的方法折出一个正方形。 【问题解决】如图①，在矩形中，E为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上．求证：四边形是正方形． 【教材延伸】如图②，将图①中的矩形纸片沿过点D的直线折叠，使得点C恰好落在上的点处，为折痕．若，，求的长． 【答案】问题解决：见解析；教材延伸： 【知识点】折叠问题、根据正方形的性质与判定求线段长、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理等等： （1）根据折叠的性质，三角形内角和可证明，利用等边对等角可得，结合折叠性质得出，从而证明四边形是菱形，再结合正方形的判定即可证明； （2）先证明四边形是矩形，可求出，，利用折叠和勾股定理可求出，，然后在中，利用勾股定理构建方程求解即可； 【详解】解：问题解决：∵折叠， ∴，，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又， ∴四边形是正方形； 教材延伸：∵矩形中，，， ∴，，， 由（1）知：四边形是正方形， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，即， 解得； 78．（23-24八年级下·吉林长春·期中）设的面积为，点是平面内一点，如图，连结、、、，和的面积分别记为、． 【感知】（1）如图①，点在边上，若，，则__________； 【探究】（2）如图②，点在内部，求证：； 【应用】（3）如图③，连结图②中的，其它条件不变．若，的面积为7，则的面积为__________； （4）如图④，点在边上方，且在直线、之间，连结，若，，且，则五边形的面积为__________． 【答案】（1）14；（2）见解析；（3）4；（4）19 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据三角形中线求面积 【分析】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． （1）证出，则可得出答案； （2）过点作于点，延长交边于点．证出．则可得出结论； （3）由（2）中的结论列出方程可得出答案； （4）过点作，交的延长线于点，延长交边于点．由（2）可知，，求出，再求出，则可得出答案． 【详解】（1）解：连接， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ，， ． 故答案为：14； （2）证明：如图，过点作于点，延长交边于点． 四边形是平行四边形， ∴，． ． ，． ． ， ； （3）解：设， ， ， ，， ， ， ； 故答案为：4； （4）解：过点作，交的延长线于点，延长交边于点． 由（2）可知，， ， ∵， ， ． 故答案为：19． 79．（23-24八年级下·吉林四平·期中）问题提出：如图1，是菱形的边上的一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与的数量关系． 问题探究： (1)先将问题特殊化，如图2，当时，在上截取，使得．连接． ①请说明； ②求出的度数． (2)再探究一般情形，如图1，求与的数量关系． 【答案】(1)①证明见解析；②； (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）①在上截取，使得．连接，根据三角形外角性质推出，再利用即可证明； ②根据，推出．据此即可求解； （2）在上截取，使，连接．证明，得到，利用即可求解． 【详解】（1）解：①在上截取，使得．连接． ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴． ∵， ， ∴． ∵， ∴； ②∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，在上截取，使，连接． ∵， ， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ， 即． 80．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，，点O为对角线的中点，动点P从点D出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度从点D向点B运动，当点P不与点D、B重合时，连接并延长，交矩形的边于点Q，连接，点P运动的时间为t（秒），解答下列问题． (1)①___________； ②用含t的式子表示的长度； (2)连接，当直线将矩形的面积分成两部分时，求t的值； (3)求四边形的面积S（用含t的代数式表示）； (4)当四边形是轴对称图形时，直接写出t的值． 【答案】(1)①10；②当时，；当时， (2)或6 (3)当时，；当时， (4)或4 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、根据矩形的性质求线段长、利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】（1）① 根据四边形为矩形，利用勾股定理即可求得； ②根据运动时间，当点在上和在上时，分两种情况求解即可； （2）由于直线将矩形的面积分成两部分，分别讨论当点在上时，；当点在上时，，利用面积公式分别求解即可； （3）当点在上时，四边形为平行四边形，；当点在上时，四边形为平行四边形，，利用平行四边形面积公式分别求解即可； （4）由第（3）问已证当点在和上时，四边形都为平行四边形，要满足是轴对称图形，则平行四边形为矩形或菱形时满足要求，根据两种情况分别求解即可； 【详解】（1）解：① 四边形为矩形， ，，应用勾股定理得 ， ②设点P运动的时间为t（秒） ，当，点在上，如图所示， ， ， 当，点在上，如图所示， 点走过的路程为， ， （2）解： 直线将矩形的面积分成两部分， 当，点在上时， ，即， 解得， 当，点在上时， ，即， 解得， 综上所述，或． （3）解：当，点在上时，如图所示， 四边形为矩形，点O为对角线的中点， ，，， ，又， ， ，且， 四边形为平行四边形， （）， 当，点在上时， 四边形为矩形，点O为对角线的中点， ，，， ，又， ， ，且， 四边形为平行四边形， （）， （4）解：当时，点与点重合，如图所示， 四边形为矩形，是轴对称图形， 当点在如图所示位置时，平行四边形为菱形时符合题意， 则：， ，， ， 解得， 综上所述，当，或，四边形是轴对称图形． 81．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在中，是对角线，于，于． (1)求证：． (2)四边形的形状是_______． (3)若是菱形，且，，则菱形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)矩形 (3) 【知识点】利用菱形的性质求线段长、证明四边形是矩形、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据平行四边形的性质的得，，又由垂线得．从而即可证明； （2）由（）得，，从而得，，进而证明四边形是平行四边形，根据，即可得四边形是矩形； （3）由菱形的性质得，再根据直角三角形的性质及勾股定理求得，从而即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵于，于， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：四边形的形状是矩形，理由如下： 由（）得，， ∴， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 故答案为：矩形； （3）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定及性质，菱形的性质，矩形及平行四边形的判定及性质，直角三角形的两锐角互余，度直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质，矩形及平行四边形的判定及性质是解题的关键． 82．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图1，在中，，．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点运动，过点作交于点．以为一边向右作正方形．设点的运动时间为秒．正方形与重叠部分图形的面积为． (1)当时，________； (2)当点落在上时，________； (3)当时，在图2中画出图形，并求出的值； (4)连接，当是等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)1； (3)图见解析，； (4)1，或． 【知识点】根据正方形的性质求面积、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质． （1）正方形与重叠部分图形即是边长为的正方形； （2）当点落在上时，点恰好与点重合，此时点在的中点处，即可求得的值； （3）当时，正方形与重叠部分图形是边长分别为和的矩形，即可求出的值； （4）当是等腰三角形时，进行分类讨论，当时，当时，都是等腰直角三角形，再讨论画图列式求的值即可． 【详解】（1）解：∵， 是等腰直角三角形， ∵， 是等腰直角三角形， ∴， ∵点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点运动， ∴当时， ∴四边形是边长为的正方形， 此时正方形与重叠部分图形就是正方形， ， 故答案为：． （2）解：由题意得，当点落在上时，点恰好与点重合，如图： 是等腰直角三角形，四边形是正方形， ， 故答案为：． （3）解：当时，如图： 由题意得：四边形是矩形，， ∴． （4）解：①如图： 当时， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，即此时点落在上， 由（2）得， 此时； ②当时，如图： ∵， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， 在中， ， 在中， 即 在中， 解得 ③当时，如图： 解得： 综上，当是等腰三角形时，的值为1，或． 83．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，在平行四边形中，，，平行四边形的面积为，动点从点出发以 1个单位长度的速度在上相D运动，同时动点从点出发以个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点和同时停止运动，连结设运动时间为秒． (1)直线与之间的距离是 _____． (2)当点从点向点运动时（点不与点、重合），设四边形的面积为，求与之间的函数关系式 (3)当时，求的值． (4)当平分平行四边形的面积时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 (4)或或 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，梯形的面积等知识点，合理利用分类讨论思想进行分类讨论是解题的关键． （1）根据平行四边形的面积为，列式运算即可； （2）过点作于，则，根据梯形的面积公式即可求解； （3）过点作于，利用勾股定理求出，当时，可得四边形为矩形，则，，分类讨论点在往返运动时的代数式，通过求解即可； （4）分三种情况根据梯形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：设直线与之间的距离是， ∵，平行四边形的面积为， ∴， ∴，即直线与之间的距离是， （2）过点作于，如图所示： ∵直线与之间的距离是， ∴， ∵动点从点出发以个单位长度的速度在间往返运动， ∴当点从点向点运动时（点不与点、重合），，， ∴四边形的面积 ∴； （3）过点作于， ∵，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， 当时，由题意得：， ∴，解得； 当时，由题意得：， ∴，解得； 当时，由题意得：， ∴，解得，不符合题意． ∴当PQ⊥BC时，t的值为或； （4）∵平行四边形的面积为， ∴当平分平行四边形的面积时，， 当时，由题意得：，， ∴， 解得； 当时，由题意得：，， ∴， 解得； 当时，由题意得：，， ∴， 解得． 综上所述，当平分平行四边形的面积时或或． 84．（22-23八年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第页的练习中的第题． 点是矩形边上的一个动点，矩形的两条边长、分别为和．求点到矩形的两条对角线和的距离之和．（提示：记对角线和的交点为点，连结）． (1)【问题解决】小明发现：如图①，连结，过点作，垂足分别为点、，利用矩形对角线的性质，便可求出的值，请你运用小明发现的方法，求出点到矩形的两条对角线和的距离之和 (2)【规律应用】如图②，当点是矩形边上任意一点时，_______． (3)【规律探究】如图③，当点是延长线上任意一点时，则和之间的数量关系是 ______． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积公式等知识点，勾股定理等知识点，灵活运用三角形的面积公式列出式子是解题的关键． （1）利用勾股定理运算出的长，再利用矩形的性质可得到，再利用，列式运算即可； （2）根据：列式运算即可； （3）根据：列式运算即可． 【详解】（1）解：如图①： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：； （2）如图②，连接OP， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3），理由如下： 如图③，连接， ∵， ∴， ∴， 解得：． 85．（22-23八年级下·吉林·期中）如图，在中，，点D在边上且，连接，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由； (3)当时，直接判断四边形的形状． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，见解析 (3)四边形是正方形 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是菱形、证明四边形是正方形 【分析】（1）由，得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得； （2）由，，得，可证明四边形是平行四边形，由，，得，即可证明四边形是菱形； （3）由，得，即可证明四边形是正方形，于是得到问题的答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：四边形是正方形， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 86．（23-24八年级上·吉林长春·期中）【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件． 【感知探索】补全下面两个问题的解答过程： （）已知，化简． 解：原式， ∵（显性条件）， 请进一步完成的化简． （）三角形的三边长分别为，化简． 解：∵三角形的三边长分别为， ∴的取值范围是______．（隐含条件） 化简． 【拓展应用】解方程：． 【答案】（）；（），；【拓展应用】． 【知识点】化简绝对值、利用二次根式的性质化简、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了二次根式，三角形的三边关系，解方程等， （）根据二次根式的性质即可求出答案； （）根据三角形的三边关系可得，然后根据二次根式的性质即可求出答案；根据二次根式的性质可得x的取值范围，然后根据二次根式的性质化简，再解方程即可求出答案； 解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及三角形的三边关系． 【详解】解：（）原式， ∵（显性条件）， 由题意得（隐含条件）， ∴， ∴， ∴原式， ； （）∵三角形的三边长分别为， ∴， ∴的取值范围是，（隐含条件） ∴原式 ， ， 故答案为：； 【拓展应用】由题意得， ∴（隐含条件）， ∴原方程可化为：， 解得，符合题意． 87．（21-22八年级下·吉林·期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE绕点B旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF______（填“是”或“不是”）“直等补”四边形； (2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AE＝6，AB＝BC＝10，AD>AB，过点B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥BE于点F． ①试求EF的长； ②连结BD，若点M是线段DB上的动点，请直接写出△MEF周长的最小值． 【答案】(1)是 (2)①EF=2；②△EMF的周长的最小值为12 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、全等三角形综合问题 【分析】（1）由旋转的性质可得∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，根据正方形的性质得∠ABC＝∠D＝90°，可得出∠EBF＝∠D＝90°，即可得出答案； （2）①根据勾股定理求出BE，根据“AAS”证明△ABE≌△BCF，即可得出结论； ②作点E关于BD的对称点，连接交BD于点N，连接交BD于点M，连接ME，此时最小，即△EMF的周长最小，根据垂直平分线的性质，得出，根据勾股定理，求出，根据“SAS”证明，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵将△BCE绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上， ∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠D＝90°， ∴∠ABE+∠CBE＝90°， ∴∠ABE+∠ABF＝90°，即∠EBF＝∠D＝90°， ∴∠EBF+∠D＝180°， ∵∠EBF＝90°，BF＝BE， ∴四边形BEDF是“直等补”四边形． 故答案为：是． （2）①证明：∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，，AD＞AB， ∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°， ∴∠D＝90°， ∵BE⊥AD，CF⊥BE， ∴∠DEF＝90°，∠CFE＝90°， ∵， ∴， ∵∠ABE+∠A＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°， ∴∠A＝∠CBF， ∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴AE＝BF=6， ∴； ②作点E关于BD的对称点，连接交BD于点N，连接交BD于点M，连接ME，此时最小，如图所示： ∵EF一定， ∴此时△EMF的周长最小， ∵BD垂直平分， ∴， ∴， 根据解析①可知，， ∴四边形CDEF是矩形， ∴，， ∵△ABE≌△BCF， ， ∴， ∵∠， ∴， ∵BE=DE，， ∴，， ，平分BD， ∴， ∵， ∴， ∵BE=DE， ∴， ， ∴， ∵在△BCD和中， ∴， ∴， ∴， ∴△MEF周长的最小值为． 【点睛】本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，第（2）①题关键在证明三角形全等，第（2）②题关键确定M的位置． 88．（23-24八年级下·吉林长春·期中）【例题呈现】 例：如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点且与边、分别相交于点和点．求证：． 分析：要证明，只要证明它们所在的两个三角形全等即可． 证明：四边形是平行四边形， （平行四边形的对角线互相平分）， 又∵， ， 又， ， ． 【方法运用】（1）如图①，平行四边形的对角线和相交于点，过点且与、分别相交于点、，，的周长为14，求的值； 【拓展提升】（2）如图②，若四边形是平行四边形，过点作直线分别交边、于点、，过点作直线分别交边、于点、，且，若，，，则______． 【答案】（1）；（2） 【知识点】利用平行四边形的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）证，得，，再由三角形的周长求出，即可得出答案； （2）过作于，于，先证，再由三角形面积关系得，然后由平行四边形的面积得，则，即可得出答案． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， ，， 的周长为14， ， ， ； （2）如图②，过作于，于，四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形面积公式、四边形的面积问题等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质以及三角形面积关系，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 89．（23-24八年级下·吉林四平·期中）【操作】如图①．矩形纸片中，．点P在上，点Q在上，，将纸片沿翻折，使顶点C落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点M，再将纸片的另一部分翻折，使顶点A落在直线上，对应点为，折痕为．猜想，之间的位置关系为__________； 【探究】如图②，将矩形纸片纸片任意翻折，折痕（P在上，Q在上），使顶点C落在矩形内，对应点为， 的延长线交直线于点M，再将纸片的另一部分翻折，使顶点A的对应点落在直线上，折痕为． ①若，求证：； ②当，，，时，直接写出的长． 【答案】操作；探究：①见解析；②4 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、二次根式的乘法 【分析】操作：由矩形的性质可得，则，由折叠可知，，于是得到，进而得到，由内错角相等，两直线平行即可证明； 探究：①由矩形的性质可得，，则，由折叠可知， ，于是，可得即可证明；②当时，过点M作于点G，则，，，易得，于是可得，则． 【详解】解：操作：． 理由：∵四边形为矩形， ， ， 根据折叠的性质可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 探究：①∵四边形为矩形， ，， ， 由折叠的性质可得， ，， ， ∵， ∴； ∴； ②过点M作于点G，如图， ∵，，， ∴，，， ， ，， 在中，， ∴， 解得：，， ； 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，正确理解题意，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键． 90．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，点E为的中点，连结．动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点B运动，当点P不与的顶点重合时，作，交边于点Q，以、为邻边作．设点P的运动时间为t秒．    (1)______． (2)若是轴对称图形，求t的值． (3)直接写出将梯形的面积分成两部分时t的值． (4)连结，作点A关于的对称点，当直线与线段的所成的锐角为时，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)或者 (3)、、 或者 (4)或者 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质求线段长、其他问题(轴对称综合题) 【分析】（1）结合等腰直角三角形的性质即可作答； （2）先确定点D在线段上，再根据是轴对称图形，可得是菱形，即有，分当点P在线段上时，和当点P在线段上时，两种情况讨论即可作答； （3）根据点P不与的顶点重合，可得，当点P在线段上时，根据，则，，进而得出，和，再根据将梯形的面积分成两部分，又当时和当时，两种情况作答；当点P在线段上时，同理作答即可； （4）当点Q在上时，根据，可得，再根据点A和点关于对称，可得，，进而可得，问题随之得解；当点Q在上时，同理可得，即问题得解． 【详解】（1）∵在中，，，点E为的中点， ∴，，， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴点D在线段上， ∵是轴对称图形， ∴是菱形， ∴， 当点P在线段上时，如图，    ∵，， ∴，即， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴（秒）； 当点P在线段上时，如图，    同理可求出：， 此时：， ∴（秒）； 故t的值为或者； （3）∵点P不与的顶点重合， ∴， 当点P在线段上时，如图，    根据运动可知：，则， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 在（2）中已经证明， ∴， ∴， ∵将梯形的面积分成两部分， 又∵将梯形分成平行四边形和， 则当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； 当点P在线段上时，如图，    同理可得：，， 进而同理求出：，， 则当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； 综上所述：t的值为秒、秒、 秒或者秒； （4）当点Q在上时，如图，    根据题意有：， ∴， ∵点A和点关于对称， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∴； 当点Q在上时，如图，    则有 ∵点A和点关于对称， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， 综上所述：线段的长为或者． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，菱形的性质，平行四边形的性质等知识，注重分类讨论的思想是解答本题的关键． 91．（23-24八年级下·吉林长春·期中）实践与探究操作一：如图①，已知矩形纸片，点E和点F分别是和上的点，将矩形沿折叠，使点B和点D重合，点C的对应点为点G．求证：． 操作二：在操作一的基础上，将矩形纸片沿继续折叠，点A的对应点为点H． 我们发现，当矩形的邻边长度的比值不同时，点H的位置也不同．如图②，当点H恰好落在折痕上时，则______． 应用：如图③，在操作二中点H恰好落在折痕上时，点M、N分别为、上任意一点，连结、．若，则的最小值是______． 【答案】操作一：见详解；操作二：；操作三： 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】操作一：由矩形的性质得出，．由折叠的性质得出，，．证出．则可得出结论； 操作二：由折叠得出，．．．进而可得，设，则，，由直角三角形的性质可得出答案； 操作三：连接，过点F作于点T，根据操作二可得：是的垂直平分线可得，即可推出，当、、共线且这三点所在的线段垂直时，最小，即为，在（2）中已求出，可得，证明四边形是矩形，即有． 【详解】操作一：证明：四边形是矩形， ，． 由折叠得，，． ，， ． 又∵，， ； ∴； 操作二：由折叠得，．．． ， ， ，， ， ， 设，则，， ， ， ， 故答案为：； 操作三：连接，过点F作于点T，如图，    根据操作二可得：是的垂直平分线， ， ， 当、、共线且这三点所在的线段垂直时，最小，即为， ， 在（2）中已求出， ， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴最小的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的判定，理解题意，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 92．（22-23八年级下·吉林长春·期中）定义：角内部的一点到角两边的距离分别为，，将与的比值叫做点关于这个角的“距离比”，记作，其中：若“距离比”，则称点P为这个角的“平衡点”．    (1)下列四边形对角线的交点一定是这个四边形内角的“平衡点”的是________（填序号） ①平行四边形    ②矩形    ③菱形 (2)在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，对角线、相交于点，，，垂足分别为、． ①如图，点在第一象限，且坐标为，求点关于的“距离比”的值； ②若点为的“平衡点”，且点的纵坐标为，直接写出点的坐标． 【答案】(1)③ (2)①；②或 【知识点】坐标与图形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】（1）利用平行四边形，矩形，菱形以及角平分线的性质求解即可； （2）①利用平行四边形的性质得出，利用三角形中线的性质得出，然后利用三角形面积公式可求，即可求点P关于的“距离比”k的值； ②利用“平衡点”的定义可知，进而得出，结合平行线的性质可得，利用等角对等边可得，从而得出平行四边形是菱形，得出C的纵坐标是7，设，利用两点间距离公式列出x的方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：根据“平衡点”的定义知：，即， ∴点P在这个角的平分线上， 而平行四边形、矩形的对角线不一定平分一组对角，只有菱形的对角线平分每一组对角， ∴菱形对角线的交点一定是菱形内角的“平衡点” 故选：③； （2）解：①∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点P关于的“距离比”k的值 ②∵点P为的“平衡点”， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵，B的纵坐标是7， ∴C的纵坐标是7， 设C的横坐标为x， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴点C的坐标为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，角平分线的判定，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 93．（22-23八年级下·吉林长春·期中）在等腰直角中，，，点D为边的中点．动点P从点A出发向终点D运动（不与点A、D重合），速度为每秒1个单位长度．过点P作交边于点Q，以为边向右侧作矩形，使得．设点P运动时间为t秒．    (1)用含的代数式表示线段的长为______； (2)当点落在边上时，求的值； (3)设矩形与重叠部分的面积为，当重叠部分为四边形时，求S与之间的函数关系式； (4)连接，当所在的直线垂直于的一边时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)当落在边上时，值为2 (3) (4)1， ，2 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明 【分析】（1）易得是等腰直角三角形，，因此； （2）根据勾股定理可求得，根据题意得到、都是等腰直角三角形，从而，，由可得方程，解方程即可求解； （3）动点从点出发向终点运动中，矩形与重叠部分分三种情况讨论：①当点M在内部时或边上，即时，重叠部分的面积S就是矩形的面积，根据矩形面积公式求解即可；②当点M在外部且点N为到达点B，即时，重叠部分是一个五边形，不合题意，舍去．③当点N离开点B后，即时，重叠部分的面积S就是直角梯形的面积，利用勾股定理求出的长，从而得到，易证，因此利用勾股定理在中求出的长，从而利用梯形的面积公式求解即可解答； （4）分三种情况讨论：①当于点F时，则，都是等腰直角三角形，，由可得方程即，求解即可；②当时，此时点N与点D重合，则，可得方程，求解即可；③，当时，此时点M在边上，由（2）可得． 【详解】（1）当点运动时间为秒时， ∵在等腰直角中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）当点M落在边上时，如图：    ∵在中， ∴， ∵四边形是矩形，、都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， 解得， ∴点M落在边上时，t的值为2； （3）当点P运动到AB的中点D时，，即 当点N与点B重合时，，即， ∴， ∴动点从点出发向终点运动中，矩形与重叠部分分三种情况讨论： ①当点M在内部时或边上，即时，如图①，    重叠部分的面积S就是矩形的面积， ∴． ②当点M在外部且点N为到达点B，即时，如图②，    重叠部分是一个五边形，不合题意，舍去． ③当点N离开点B后，即时，如图③    重叠部分的面积S就是直角梯形的面积， ∵在等腰中，， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∵在等腰直角，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，． ∵， ∴重叠部分的面积． 综上所述，S与之间的函数关系式为 （4）分三种情况讨论： ①如图④，当于点F时，    则，都是等腰直角三角形， ∴ ∵ 即， 解得； ②如图⑤，当时，此时点N与点D重合    ∴，即， 解得； ③如图⑥，当时，此时点M在边上，    由（2）可得：． 综上所述，当所在的直线垂直于的一边时， 的值为1或或2． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，学会用分类讨论的数学思想是解题的关键． 94．（22-23八年级下·吉林·期中）如图①，在Rt中，，，的外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，点、为垂足．      (1)___________； (2)①判断四边形的形状，并加以证明； ②若，则的长为___________； (3)如图②，在中，，于点，且，，则的长度为___________． 【答案】(1) (2)①四边形是正方形，证明见解析；② (3) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、证明四边形是正方形 【分析】（）设，，则，然后由三角形外角定理及角平分线定义得，，据此可求出，进而可求出的度数； （2）①过点作于点，先证四边形为矩形，再根据角平分线的性质得，，据此即可得出结论； ②设先证和全等得，同理则然后根据正方形的性质得，进而得最后在中由勾股定理求出即可； （3）如图②把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，推有关对应角对应边相等，进而证明四边形为正方形，设则，由勾股定理得：，计算求出 【详解】（1）解：设，， ， ， 由三角形外角定理得：，， ，分别为和的平分线， ，， ， ． 故答案为：． （2）①四边形是正方形， 证明：过点作于点，如图所示：   ，，， 四边形为矩形， ，分别为和的平分线，，，， ，， ， 矩形为正方形， 即：四边形是正方形； ②解：，设 由①得：，，四边形是正方形， 在和中， ， ， ， 同理： 四边形是正方形， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ． 故答案为：； （3）如图②，把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，     ，，，， ，，， ， ， 是边上的高， ， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 设则， 在中，， 解得：，即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，矩形的判定，角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质；三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，理解三个角都是直角的四边形是矩形；邻边相等的矩形；角平分线上的点到角两边的距离相等；难点是正确的作出辅助线，构造全等三角形和相似三角形，以及灵活运用勾股定理构造方程求解． 95．（22-23八年级下·吉林·期中）如图，将矩形纸片置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在上，将矩形沿折叠压平，使点落在坐标平面内，设点的对应点为点．      (1)当时，点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)随着的变化，点的位置不断改变，试探索当点恰好落在轴上时，请求出的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】化为最简二次根式、坐标与图形、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】（1）根据点、点、点的坐标、矩形的性质以及等腰直角三角形的性质可以得到点、点的坐标； （2）根据折叠的性质、矩形的性质求得的长，然后利用勾股定理得到的方程，求得的值即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在上，， 点的坐标为，点的坐标为，， ， 是等腰直角三角形， ， 将矩形沿折叠压平，使点落在坐标平面内，设点的对应点为点， ∴， ∴ 点在轴上，如图所示：   ， ， ， 点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在上 ，，，， 如图，由折叠的性质可得：，，，   ， 点恰好落在轴上时， 在中，由勾股定理可得：， ， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、坐标与图形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 96．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，在菱形中，，菱形面积为15，于点，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着折线向终点运动，连接，以、为边作平行四边形，设点运动时间为秒．    (1)______； (2)当时，求平行四边形的面积； (3)当四边形的面积为5时，求的值； (4)当点不与点重合时，作点关于直线的对称点，连接、、，设线段、、、组成的图形与菱形重叠部分图形为，请直接写出为轴对称图形时，的取值范围． （提示：当点在边上运动时，连接并延长，交延长线于点，则．） 【答案】(1)3 (2)6 (3)或 (4)或 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据菱形面积公式可得，据此可得答案； （2）根据题意可知当时，点P在上，且，同理求出菱形中边上的高为3，再利用平行四边形面积公式求解即可； （3）分当点P在上时，当点P在上时，两种情况利用平行四边形面积公式求出的长，进而求出点P的路程，由此即可得到答案； （4）先利用勾股定理求出的长，进而得到的长；当点P在上时，分别求出点P和点Q与点B重合时t的值，结合S为轴对称图形即可确定t的取值范围；当点P在上时，连接，连接并延长，交延长线于点，证明，进而求出，则，再根据，求出，即可确定t的取值范围． 【详解】（1）解：∵在菱形中，，菱形面积为15，， ∴， ∴， 故答案为：3； （2）解：由题意得，当时，点P在上，且， 同理可求出菱形中边上的高为3， ∵四边形是平行四边形， ∴；    （3）解：如图3-1所示，当点P在上时， ∵平行四边形的面积为5， ∴，即， ∴， ∴， ∴；    如图3-2所示，当点P在上时， ∵平行四边形的面积为5， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当四边形的面积为5时，的值为或；    （4）解：如图4-1所示，在中，， ∴， ∴；    如图4-2所示，当点P在上且点Q刚好与点B重合时， ∵关于直线对称， ∴，即是等腰三角形， ∴是轴对称图形， ∵， ∴当时，点P在上且点Q刚好与点B重合， ∴当时，线段、、、组成的图形与菱形重叠部分图形为等腰，即此时S为轴对称图形；    如图4-3所示，当点P恰好与点B重合时，此时， ∴当时，线段、、、组成的图形与菱形重叠部分图形为，即此时S为轴对称图形；    如图4-4所示，当点P在上，且点Q恰好在上时， 连接，连接并延长，交延长线于点， ∵关于直线对称， ∴， ∴四边形是轴对称图形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，线段、、、组成的图形与菱形重叠部分图形为四边形，即此时S为轴对称图形； 综上所述，当S为轴对称图形时，t的取值范围为或．    【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，轴对称图形的定义，等腰三角形的性质与判定等等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键． 97．（22-23八年级下·吉林白山·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，动点从点出发，以2个单位长度的速度沿边向终点匀速运动，以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上． 设点的运动时间为．    (1)当点在边上，直接写出的长并标出取值范围（用含的代数式表示）； (2)当点落在边上时， ①求的值； ②直接写出此时点、点的坐标； ③点在轴上，点在直线上，当以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②，；③满足条件的点的坐标为或 【知识点】利用菱形的性质求线段长、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）易证．根据题意知，当点E运动到B时终止，即时，x达到最大值，因，故可求得x的取值范围． （2）①当点F落在边上时，易证是等边三角形，，由含角的直角三角形中可求得为一半，即，利用直角三角形中含角，可求得为的一半，，利用，即可求得． ②根据多个含的直角三角形可求得点E、F到坐标轴的距离，结合所在象限即可求得这两点的坐标． ③分析可知点Q可能在的上方，也可能在的下方，分两种情况分别讨论． 【详解】（1）取的中点N连接（如下图）．    则为直角的中线，． ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵，， ∴， ∴ ∴． 又由菱形知，． ∴． 由可得：， 由是等边三角形可得：， ∴， ∴． 所以当点P运动点M时，点G恰好运动到点C． ∵， ∴， 当时，即， 解得：， 此时，， 因， 故P点恰好运动到点M． ∴． 用含x的代数式表示为：． （2）当点F落在边BC上时，如下图．    ①由菱形知， ∴， ∴． 又∵， ∴． 由，知 ∴， ∴． ②在直角三角形中，， ∴ ∴B点的坐标是 ∵， ∴， 因E点位于原点左侧， ∴E点的坐标为 过点F作，垂足为H．    则H为BE中点．， ， ∴点F的坐标为 ③分两种情况讨论： 第一种情况，点M位于的下方． 过点E作直线的平行线，与y轴交于点M，过点M作的平行线，交直线于点Q（如下图）．则四边形是平行四边形，        由得， ∴，． ∴ ∴ 过Q作，垂足为J，则，， ． ∴点Q的坐标为． 第二种情况，点M位于的上方（见下图），构成平行四边形，则且．        因、，点E、F的横坐标之差为1，作垂直于y轴，垂足为K， 因可平移到，故， ∴点Q的横坐标为． 在直角中，因， ∴． ∴ 在直角中， ∴． 即Q点的纵坐标为． 因此，Q点的坐标为 综合上面两种情况， 点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了菱形、平行四边形、含角的直角三角形的性质，涉及勾股定理的应用，解题的关键是应用数形结合和分类讨论的思想． 98．（22-23八年级下·吉林·期中）如图，在中，中线，相交于，点，分别是，的中点．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当四边形是矩形时，为__________三角形； (3)连接，当时，四边形的形状为__________． 【答案】(1)见解析 (2)等腰 (3)菱形 【知识点】全等三角形综合问题、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形 【分析】（1）由中线，相交于点，可得是的中位线，可得，，由、分别是，的中点，可得是的中位线，可得，，可推出，即可； （2）由四边形的形状为矩形，可得，，，，由、分别是，的中点，可得，，由中线，为中点，是的中点，可得，可推出，由等腰三角形性质可得平分，可证（），可得即可； （3）连接，由（）知四边为平行四边形，由中位线性质可得，，由，可得即可． 【详解】（1）证明：∵中线，相交于点， ∴、分别为、中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵、分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接交于点，如图，    ∵四边形的形状为矩形， ∴，，，， ∴, ∵、分别是，的中点， ∴， ∵中线，为中点，是的中点， ∴， ∴, ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∴为等腰三角形， 故答案为：等腰； （3）解：当时，四边形的形状为菱形． 由（）知四边为平行四边形， ∵中线，为中点，是的中点， ∴为的中位线， ∴， 又∵、分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故答案为：菱形．    【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，菱形的判定，掌握平行四边形的判定方法与性质，等腰三角形的判定，菱形的判定定理，细心观察图形，利用数形结合从图形中分析线段之间和角之间关系是解题关键． 99．（21-22八年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】如下是华师版八年级下册数学教材117页的部分内容． 已知：如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形． 分析：要证四边形AFCE是菱形，由已知条件可知，所以只需证明四边形AFCE是平行四边形，又知EF垂直平分AC，所以只需证明． 【问题解决】请结合图①写出证明过程； 【应用】如图②，直线EF分别交矩形纸片ABCD的边AD、BC于点E、F，将矩形纸片ABCD沿着EF翻折，使点C与点A重合，点D与点重合，连结CE，若，，则_______； 【拓展】如图③，直线EF分别交的边AD、BC于点E、F，将沿着EF翻折，使点A与点C重合，点D与点重合，连结CE，若，，，则四边形AFCE的面积是______． 【答案】[问题解决]证明见详解；[应用]；[拓展]15 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积、证明四边形是菱形 【分析】[问题解决]因为四边形ABCD是矩形，得AE//CF，所以∠EAO=∠FCO，根据EF垂直平分AC，得AO= CO，∠AOE=∠COF，通过ASA即可证明△AOE≌∆COF； [应用]连接CE， AC，根据翻折，同理可得四边形AFCE是菱形，设CF= AF= AE= x，则BF=4-x，由勾股定理可求出CF的长，再求出菱形的面积即可； [拓展]过点A作AN⊥CB，交CB延长线于点N，可求出AN= NB，设AF=CF=x，则BF=6-x，则NF=9- x，在Rt△ANF中，由勾股定理得32+(9-x)2=x2，求出CF，即可求出答案． 【详解】[问题解决]证明∵四边形ABCD是矩形， ∴AE//CF， ∴∠EAO=∠FCO ∵ EF垂直平分AC， ∴AO= CO，∠AOE=∠COF= 90°， 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF (ASA)， ∴OE= OF， 又∵AO= CO， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴平行四边形AFCE是菱形； [应用]如图2，连接CE，AC ∵AB=3， BC=4， ∴AC= 因为将矩形ABCD沿直线EF翻折，使点C的对称点与点A重合， ∴EF垂直平分AC， 由(1) 得四边形AFCE是菱形， ∴CF= AF= AE， 设CF= AF= AE=x，则BF=4- x 由勾股定理得:3 2 +(4-x)2=x2， 解得x=   ∴CF= ∴S菱形AFCE=AC∙EF= CF∙AB，   EF= 故答案为：； [拓展]如图3，过点A作AN⊥CB，交CB延长线于点N， ∵将平行四边形ABCD沿直线EF翻折，使点C的对称点与点A重合， 则由(1)可知：四边形AFCE是菱形， ∴AF= CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD//AB， ∴∠BCD=∠ABN = 45°， ∵AB=3 ， ∴ AN= NB=3， 设AF=CF=x，则BF=6- x， ∴NF=9-x，   在Rt△ANF中，由勾股定理得： AN2 + NF2= AF2， 32+(9-x)2=x2， 解得x =5 所以FC=5 则四边形AFCE的面积是：FC∙AN=5×3=15 故答案为：15 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识点，判断出四边形AFCE是菱形是解题的关键． 100．（23-24八年级下·吉林·期中）【操作】如图①，矩形纸片中，，点在上，点在上，，将纸片沿翻折，使顶点落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点，再将纸片的另一部分翻折，使顶点落在直线上，对应点为，折痕为．猜想之间的位置关系为________； 【探究】如图②，将矩形纸片任意翻折，折痕为(在上，在上)，使顶点落在矩形内，点的对应点为，的延长线交边于点，再将纸片的另一部分翻折，使点的对应点落在上，折痕为． ①若，求证：； ②当，，，时，直接写出的长． 【答案】操作：；探究：①证明见解析；② 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】操作：由矩形的性质可得，则，由折叠可知，，于是得到，进而得到，由内错角相等，两直线平行即可证明； 探究：①由矩形的性质可得，，则，由折叠可知，，于是得，可得，即可证明；②过点作于点，则，，，易得，于是可得，由即可求解； 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】操作：证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴, 根据折叠的性质可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 探究：①证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：过点作于点，如图，则， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八下期中真题百题大通关（提升版） （范围：二次根式、勾股定理、平行四边形） 一、单选题 1．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，矩形的对角线交于点O，，，则的长为（    ）    A．4 B．2 C． D．p 2．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，．顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，点D的坐标为（    ）    A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，此时对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（    ）    A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，直线经过的对角线交点，若四边形的面积为，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，点E为的边上的一点，连接，满足，，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 7．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，的平分线交于点E，交的延长线于点G，的平分线交于点F，交的延长线于点H，与相交于点O，连接，则下列结论：；；；；．正确的个数是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 8．（23-24八年级下·吉林松原·期中）若，则 ． 9．（22-23八年级下·吉林松原·期中）如果，，那么 ． 10．（22-23八年级下·吉林松原·期中）若与都是二次根式，那么 ． 11．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，中，，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为、、已知，， ． 12．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离）．踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，若设秋千绳索长为，则可列方程为 ．    13．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，，，的顶点在的斜边上．若，，则的长为 ． 14．（22-23八年级下·吉林·期中）在中，，，，则的面积= ． 15．（21-22八年级下·重庆江津·期中）如图，分别以等腰的边AB，AC，BC为直径画半圆，若，则阴影部分的面积为 ． 16．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，正方形的边长为4，点Р为对角线上任意一点，E为上一点，且．则的最小值为 ． 17．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，在正方形中，按以下步骤作图：连接相交于点；分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点；连接，交于点，连接，若，则的长为 ． 18．（23-24八年级下·吉林长春·期中）在正方形中，，点是上一点，过点作于，于，连结，当的长度取得最小值时， ． 19．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，点、分别是边、上的动点，，若，，则的最小值是 ． 20．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，在菱形中，，点为中点，点在对角线上运动，若，则长的最大值为 ．    三、解答题 21．（23-24八年级下·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中． 22．（23-24八年级下·吉林·期中）计算：． 23．（23-24八年级下·吉林松原·期中）计算： 24．（23-24八年级下·吉林松原·期中）计算：． 25．（23-24八年级下·吉林四平·期中）计算：． 26．（23-24八年级下·吉林松原·期中）计算：． 27．（23-24八年级下·吉林四平·期中）计算：． 28．（22-23八年级下·吉林松原·期中）计算：． 29．（21-22八年级下·吉林·期中）先化简，再求值：，其中，． 30．（22-23八年级下·吉林松原·期中）观察下面的运算，完成下列各题的解答． (1)判断下列各式是否成立（成立的画√，不成立的画×）； （ ） （ ） （ ） （ ） (2)根据（1）判断的结果，你能发现什么规律？请用含有自然数n的式子将你发现的规律表示出来，并注明n的取值范围； (3)请说明你所发现式子的正确性． 31．（22-23八年级下·吉林松原·期中）下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务： 解：            …第1步               …第2步                            …第3步                               …第4步 任务： (1)上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为 （用字母表示）； (2)上述解答过程，从第 步开始出错，具体的错误是 ； (3)计算的正确结果为 ． 32．（22-23八年级下·吉林松原·期中）已知，，求下列各式的值． (1)______，______； (2)． 33．（22-23八年级下·吉林松原·期中）已知正方形纸片的面积是，如果用这个正方形围成一个底面最大的圆柱体，请问这个圆柱体底面圆的直径是多少？（，．保留3个有效数字） 34．（22-23八年级下·吉林松原·期中）如图，在中，，，于，，，求的面积．    35．（22-23八年级下·吉林白山·期中）在一块矩形的地面上铺设地砖，该矩形地面的长为、宽为． (1)求该矩形地面的周长； (2)现计划在该矩形地面上铺满地砖，请计算需要的地砖总面积（提示：结果保留整数，）． 36．（22-23八年级下·吉林·期中）阅读下面问题： ；   ；    ． (1)计算：①_______，②______； (2)计算：____________； (3)计算：． 37．（22-23八年级下·吉林·期中）如图，在中，，D是上的一点，，求的长．    38．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，以正方形的边为一边在正方形外作等边，连接，交正方形的对角线于点F，连接，求的度数． 39．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在菱形中，，且，试求的度数． 40．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 41．（22-23八年级下·吉林松原·期中）图①，图②，图③均是55的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上．在图①，图②，图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上．    (1)在图①中，画线段，使其长为（画出一个即可）； (2)在图②中，画等腰三角形，使其面积为3（画出一个即可）； (3)在图③中，画等腰直角三角形，使其面积为5（画出一个即可）． 42．（21-22八年级下·吉林·期中）图①、图②都是10×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．点E是边BC上任意一点，将沿AE翻折得到，使点落在的边上．按要求在图①、图②中各画一个（图①、图②中所画的三角形不全等），并写出BE的长． BE＝______ BE＝______ 43．（21-22八年级下·吉林松原·期中）如图，ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为单位1． (1)求证：ABC为直角三角形； (2)在图中画一条线段DE，使DE=AB，且D、E两点落在正方形网格的格点上； (3)求点B到AC的距离． 44．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，将矩形沿过点A的直线折叠，使点B恰好与其对角线的中点O重合，折痕与边交于点E．延长交于F，连接． (1)根据题意补全图形； (2)判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，则的长为____________． 45．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在每个边长为1的小正方形的网格中，点A，B，C均在格点上．仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)画出以为边的菱形； (2)直接写出点D到的距离____________； (3)在上画点E，使． 46．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，中，，点D，E分别是边的中点，连接并延长，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当____________时，四边形是菱形． 47．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在和中，，交于点O，，，沿直线翻折得到． 求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 48．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，地块的周长为，四边形为种植花卉区域，于点E，点F、G分别在边、上，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若E是的中点，，，求种植花卉区域四边形的面积． 49．（23-24八年级下·吉林·期中）图①所示是某小区倾斜式停车位，图②是车位示意图，工人在绘制时保证，，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若为6米，为米，求停车位的面积． 50．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，有两个全等矩形纸条，长与宽分别是18和12，按如图所示的方式交叉叠放在一起，重合部分构成四边形． (1)求证：四边形是菱形； (2)求四边形的面积． 51．（23-24八年级下·吉林·期中）小惠自编一题：“如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，求证：四边形是菱形．”之后她将自己的证明过程与同学小洁交流． 小惠：证明：，， 垂直平分， ，， 四边形是菱形． 小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明． 你赞同谁的证法？若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 52．（23-24八年级下·吉林·期中）【问题解决】把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，点A的对应点为，折痕为，连接BE，求证：四边形是菱形； 【拓展研究】在【问题解决】的条件下：若，，求线段的长． 53．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，中，点是的中点，过的直线，，的平分线分别交于，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形，请说明理由． 54．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 55．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图．已知点P、Q是对角线上的两点，且，连接、、、．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若Q为的中点，的面积为2，则的面积为__________． 56．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在平行四边形中，分别平分交于点E、G． (1)求证：． (2)过点E作于点F，若，平行四边形的周长为28，则平行四边形的面积为 ． 57．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，的对角线和相交于点O，过点且与边、分别相交于点和点． (1)求证：． (2)若，则的最小值为__________． 58．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作线段，连接，已知． (1)求证：； (2)连接，若，请给添加一个条件，使四边形为正方形（不需说明理由）． 59．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在中，经过对角线交点O，交于E，交于F． (1)求证：． (2)若，，，那么四边形的周长为　　． 60．（23-24八年级下·吉林·期中）如图①，在四边形中，，．点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接，设运动时间为t秒． (1)当四边形为平行四边形时，求t的值； (2)如图②，将沿翻折，得． ①当四边形为平行四边形时，求t的值； ②当四边形为正方形时，直接写出的长． 61．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图， 为正方形的对角线，．动点P、Q分别从点A、C同时出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿、向终点B、D运动．连接交于点O，过点O作交边于点E．设点P运动的时间为t秒． (1)当点P运动到边的中点时，四边形的面积为__________； (2)连接、，求证：四边形是平行四边形； (3)求四边形的面积； (4)当将四边形分成面积比为两部分时，直接写出t的值． 62．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在中，O是对角线的中点，，，，动点P从点A出发，以2的速度沿折线向终点C运动，连接并延长交折线于点Q，设点P的运动时间为（s）． (1)当点P在边上时，求证：； (2)当与的边垂直时，求的长； (3)当以B、D、P、Q为顶点的四边形是矩形时，直接写出t的值． 63．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在中，，，于点E，且．点P从点B出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点C运动；点Q从点D出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点A运动，P、Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止，连接．设点P运动的时间为t秒． (1)的长是_______； (2)用含t的代数式表示的长； (3)设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (4)当以E、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值． 64．（23-24八年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】如图是华师版数学教材八年级下册第117页的部分内容． (1)【问题解决】请根据教材分析，结合图1，写出完整的证明过程： (2)【结论应用】如图2，直线分别交矩形的边于点E、F，将矩形沿翻折，使点C与点A重合，点D落到点处·若，则矩形的面积为 (3)【拓展探究】如图3，直线分别交平行四边形的边于点E、F，将平行四边形沿翻折，使点A与点C重合，点D与点重合，连结，若，，则四边形的面积是 65．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在矩形中，，，延长到点，使，连接．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点运动的时间为秒．．    (1)____________； (2)连接，当四边形是菱形时，求的值； (3)连接、，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (4)直接写出点到四边形相邻两边距离相等时的值． 66．（23-24八年级下·吉林·期中）综合与实践 数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图①，已知矩形纸片，其中，． (1)操作判断 将矩形纸片按图①折叠，使点B落在边上的点处，请判断四边形的形状，并说明理由； (2)探究发现 将图①的纸片展平，把四边形剪下来，如图②，取边的中点，将沿折叠得到，延长交CD于点N． ①求的长； ②直接写出的周长． 67．（23-24八年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点和点，均在格点上，点E为边上任一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中作射线，在其上找到一点，使． (2)在图②中画以为对角线的平行四边形． (3)在图③中作射线，在其上找到一点，使． 68．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在四边形中，，，，，高，点从点出发，沿运动，点从点出发，沿方向运动，速度均为每秒个单位长度． 、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，连结、．设点运动时间为（秒）（）． (1)_______； (2)用含t的代数式表示的长； (3)当点P从D向A运动时，四边形始终是平行四边形．请说明理由； (4)当经过四边形其中一条对角线的中点时，直接写出t的取值范围． 69．（23-24八年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容． 猜想：如图，在中，点D、E分别是与的中点． 根据画出的图形，可以猜想： ，且． 对此，我们可以用演绎推理给出证明． (1)【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程． (2)【定理应用】如图②，已知矩形中，，，点P在上从B向C移动，R、E、F分别是的中点，则________ 70．（23-24八年级下·吉林长春·期中）【感知】如图，在平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边于点，易证：（不需要证明）； 【探究】如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边的延长线于，求证：； 【应用】连接图中的，其它条件不变，如图，若，的面积为，则四边形的面积为__________．    71．（23-24八年级下·吉林松原·期中）把一张矩形纸片如图1那样折一下，再翻过来压平，可判断四边形是______形； 【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边上，点B的对应点为F，折痕为，点E在边上． （1）求证：四边形是菱形． （2）连接，若，，，则的面积为______． 72．（23-24八年级下·吉林松原·期中）在一次数学研究性学习中，小亮将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合，如图①，其中，，，并进行如下探究活动．将图①中的三角形纸片沿射线方向平移，连接，如图②． 【思考发现】 （1）图②中的四边形是平行四边形吗？请说明理由； （2）当三角形纸片平移到某一位置时，小亮发现四边形是矩形，如图③，求此时的长； 【问题探究】 （3）在三角形纸片平移的过程中，能否是等腰三角形？若能，直接写出的长；若不能，请说明理由． 73．（23-24八年级下·吉林·期中）图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形： (1)在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形． (2)在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是平行四边形． 74．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中按要求作图． (1)在图①中画出线段，使其长度为（画一条即可）； (2)在图②中画出一个直角，使其三边长均是有理数（画一个即可）； (3)在图③中画出一个菱形，使其对角线的长均是无理数（画一个即可）． 75．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，，，延长到点E，使，连接．若动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点E运动，连接．设点P运动的时间为t秒． (1)直接写出的长； (2)求当为何值时，和全等？ (3)是否存在，使为等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由． 76．（23-24八年级下·吉林松原·期中）定义：在等腰三角形的外部，以一条腰为斜边作直角三角形，那么等腰三角形和直角三角形组成一个四边形，我们就称这个四边形是“等对邻直角四边形”． (1)如图①，在四边形中，若，，则四边形________“等对邻直角四边形”；（填“是”或“不是”） (2)如图②，在“等对邻直角四边形”中，，，E是的中点，F是的中点．试说明：； (3)如图③，在（2）的条件下，平分，，四边形为何种特殊四边形，并说明理由； (4)在（3）的条件下，当，直接写出四边形的面积． 77．（23-24八年级下·吉林松原·期中）【教材呈现】下列材料是人教版八年级下册数学教材第65页数学活动的部分内容． 在一张矩形纸片的一端，利用如图所示的方法折出一个正方形。 【问题解决】如图①，在矩形中，E为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上．求证：四边形是正方形． 【教材延伸】如图②，将图①中的矩形纸片沿过点D的直线折叠，使得点C恰好落在上的点处，为折痕．若，，求的长． 78．（23-24八年级下·吉林长春·期中）设的面积为，点是平面内一点，如图，连结、、、，和的面积分别记为、． 【感知】（1）如图①，点在边上，若，，则__________； 【探究】（2）如图②，点在内部，求证：； 【应用】（3）如图③，连结图②中的，其它条件不变．若，的面积为7，则的面积为__________； （4）如图④，点在边上方，且在直线、之间，连结，若，，且，则五边形的面积为__________． 79．（23-24八年级下·吉林四平·期中）问题提出：如图1，是菱形的边上的一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与的数量关系． 问题探究： (1)先将问题特殊化，如图2，当时，在上截取，使得．连接． ①请说明； ②求出的度数． (2)再探究一般情形，如图1，求与的数量关系． 80．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，，点O为对角线的中点，动点P从点D出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度从点D向点B运动，当点P不与点D、B重合时，连接并延长，交矩形的边于点Q，连接，点P运动的时间为t（秒），解答下列问题． (1)①___________； ②用含t的式子表示的长度； (2)连接，当直线将矩形的面积分成两部分时，求t的值； (3)求四边形的面积S（用含t的代数式表示）； (4)当四边形是轴对称图形时，直接写出t的值． 81．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在中，是对角线，于，于． (1)求证：． (2)四边形的形状是_______． (3)若是菱形，且，，则菱形的面积为______． 82．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图1，在中，，．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点运动，过点作交于点．以为一边向右作正方形．设点的运动时间为秒．正方形与重叠部分图形的面积为． (1)当时，________； (2)当点落在上时，________； (3)当时，在图2中画出图形，并求出的值； (4)连接，当是等腰三角形时，直接写出的值． 83．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，在平行四边形中，，，平行四边形的面积为，动点从点出发以 1个单位长度的速度在上相D运动，同时动点从点出发以个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点和同时停止运动，连结设运动时间为秒． (1)直线与之间的距离是 _____． (2)当点从点向点运动时（点不与点、重合），设四边形的面积为，求与之间的函数关系式 (3)当时，求的值． (4)当平分平行四边形的面积时，直接写出的值． 84．（22-23八年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第页的练习中的第题． 点是矩形边上的一个动点，矩形的两条边长、分别为和．求点到矩形的两条对角线和的距离之和．（提示：记对角线和的交点为点，连结）． (1)【问题解决】小明发现：如图①，连结，过点作，垂足分别为点、，利用矩形对角线的性质，便可求出的值，请你运用小明发现的方法，求出点到矩形的两条对角线和的距离之和 (2)【规律应用】如图②，当点是矩形边上任意一点时，_______． (3)【规律探究】如图③，当点是延长线上任意一点时，则和之间的数量关系是 ______． 85．（22-23八年级下·吉林·期中）如图，在中，，点D在边上且，连接，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由； (3)当时，直接判断四边形的形状． 86．（23-24八年级上·吉林长春·期中）【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件． 【感知探索】补全下面两个问题的解答过程： （）已知，化简． 解：原式， ∵（显性条件）， 请进一步完成的化简． （）三角形的三边长分别为，化简． 解：∵三角形的三边长分别为， ∴的取值范围是______．（隐含条件） 化简． 【拓展应用】解方程：． 87．（21-22八年级下·吉林·期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE绕点B旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF______（填“是”或“不是”）“直等补”四边形； (2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AE＝6，AB＝BC＝10，AD>AB，过点B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥BE于点F． ①试求EF的长； ②连结BD，若点M是线段DB上的动点，请直接写出△MEF周长的最小值． 88．（23-24八年级下·吉林长春·期中）【例题呈现】 例：如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点且与边、分别相交于点和点．求证：． 分析：要证明，只要证明它们所在的两个三角形全等即可． 证明：四边形是平行四边形， （平行四边形的对角线互相平分）， 又∵， ， 又， ， ． 【方法运用】（1）如图①，平行四边形的对角线和相交于点，过点且与、分别相交于点、，，的周长为14，求的值； 【拓展提升】（2）如图②，若四边形是平行四边形，过点作直线分别交边、于点、，过点作直线分别交边、于点、，且，若，，，则______． 89．（23-24八年级下·吉林四平·期中）【操作】如图①．矩形纸片中，．点P在上，点Q在上，，将纸片沿翻折，使顶点C落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点M，再将纸片的另一部分翻折，使顶点A落在直线上，对应点为，折痕为．猜想，之间的位置关系为__________； 【探究】如图②，将矩形纸片纸片任意翻折，折痕（P在上，Q在上），使顶点C落在矩形内，对应点为， 的延长线交直线于点M，再将纸片的另一部分翻折，使顶点A的对应点落在直线上，折痕为． ①若，求证：； ②当，，，时，直接写出的长． 90．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，点E为的中点，连结．动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点B运动，当点P不与的顶点重合时，作，交边于点Q，以、为邻边作．设点P的运动时间为t秒．    (1)______． (2)若是轴对称图形，求t的值． (3)直接写出将梯形的面积分成两部分时t的值． (4)连结，作点A关于的对称点，当直线与线段的所成的锐角为时，直接写出线段的长． 91．（23-24八年级下·吉林长春·期中）实践与探究操作一：如图①，已知矩形纸片，点E和点F分别是和上的点，将矩形沿折叠，使点B和点D重合，点C的对应点为点G．求证：． 操作二：在操作一的基础上，将矩形纸片沿继续折叠，点A的对应点为点H． 我们发现，当矩形的邻边长度的比值不同时，点H的位置也不同．如图②，当点H恰好落在折痕上时，则______． 应用：如图③，在操作二中点H恰好落在折痕上时，点M、N分别为、上任意一点，连结、．若，则的最小值是______． 92．（22-23八年级下·吉林长春·期中）定义：角内部的一点到角两边的距离分别为，，将与的比值叫做点关于这个角的“距离比”，记作，其中：若“距离比”，则称点P为这个角的“平衡点”．    (1)下列四边形对角线的交点一定是这个四边形内角的“平衡点”的是________（填序号） ①平行四边形    ②矩形    ③菱形 (2)在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，对角线、相交于点，，，垂足分别为、． ①如图，点在第一象限，且坐标为，求点关于的“距离比”的值； ②若点为的“平衡点”，且点的纵坐标为，直接写出点的坐标． 93．（22-23八年级下·吉林长春·期中）在等腰直角中，，，点D为边的中点．动点P从点A出发向终点D运动（不与点A、D重合），速度为每秒1个单位长度．过点P作交边于点Q，以为边向右侧作矩形，使得．设点P运动时间为t秒．    (1)用含的代数式表示线段的长为______； (2)当点落在边上时，求的值； (3)设矩形与重叠部分的面积为，当重叠部分为四边形时，求S与之间的函数关系式； (4)连接，当所在的直线垂直于的一边时，直接写出的值． 94．（22-23八年级下·吉林·期中）如图①，在Rt中，，，的外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，点、为垂足．      (1)___________； (2)①判断四边形的形状，并加以证明； ②若，则的长为___________； (3)如图②，在中，，于点，且，，则的长度为___________． 95．（22-23八年级下·吉林·期中）如图，将矩形纸片置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在上，将矩形沿折叠压平，使点落在坐标平面内，设点的对应点为点．      (1)当时，点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)随着的变化，点的位置不断改变，试探索当点恰好落在轴上时，请求出的值． 96．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，在菱形中，，菱形面积为15，于点，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着折线向终点运动，连接，以、为边作平行四边形，设点运动时间为秒．    (1)______； (2)当时，求平行四边形的面积； (3)当四边形的面积为5时，求的值； (4)当点不与点重合时，作点关于直线的对称点，连接、、，设线段、、、组成的图形与菱形重叠部分图形为，请直接写出为轴对称图形时，的取值范围． （提示：当点在边上运动时，连接并延长，交延长线于点，则．） 97．（22-23八年级下·吉林白山·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，动点从点出发，以2个单位长度的速度沿边向终点匀速运动，以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上． 设点的运动时间为．    (1)当点在边上，直接写出的长并标出取值范围（用含的代数式表示）； (2)当点落在边上时， ①求的值； ②直接写出此时点、点的坐标； ③点在轴上，点在直线上，当以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 98．（22-23八年级下·吉林·期中）如图，在中，中线，相交于，点，分别是，的中点．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当四边形是矩形时，为__________三角形； (3)连接，当时，四边形的形状为__________． 99．（21-22八年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】如下是华师版八年级下册数学教材117页的部分内容． 已知：如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形． 分析：要证四边形AFCE是菱形，由已知条件可知，所以只需证明四边形AFCE是平行四边形，又知EF垂直平分AC，所以只需证明． 【问题解决】请结合图①写出证明过程； 【应用】如图②，直线EF分别交矩形纸片ABCD的边AD、BC于点E、F，将矩形纸片ABCD沿着EF翻折，使点C与点A重合，点D与点重合，连结CE，若，，则_______； 【拓展】如图③，直线EF分别交的边AD、BC于点E、F，将沿着EF翻折，使点A与点C重合，点D与点重合，连结CE，若，，，则四边形AFCE的面积是______． 100．（23-24八年级下·吉林·期中）【操作】如图①，矩形纸片中，，点在上，点在上，，将纸片沿翻折，使顶点落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点，再将纸片的另一部分翻折，使顶点落在直线上，对应点为，折痕为．猜想之间的位置关系为________； 【探究】如图②，将矩形纸片任意翻折，折痕为(在上，在上)，使顶点落在矩形内，点的对应点为，的延长线交边于点，再将纸片的另一部分翻折，使点的对应点落在上，折痕为． ①若，求证：； ②当，，，时，直接写出的长． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$