八年级数学下学期期中模拟卷01（范围：二次根式、勾股定理、平行四边形）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编（人教版，吉林专用）

2024-2025学年八年级数学下学期期中模拟卷01 （ 试卷满分：120分 测试范围：二次根式、勾股定理、平行四边形） 一、单选题（共6小题，每题2分、满分12分） 1．若式子有意义，则x应满足的条件为（  　） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．，1， B．40，50，60 C．，2， D．13，14，15 4．勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6，10，则正方形B的边长是（   ） A．8 B．4 C．2 D．34 5．如图，是正方形对角线上一点，连接、，并延长交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD上任意一点，过点E作，，点F，G为垂足，若，，则FG的最小值为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题（共8小题，每题3分，满分24分） 7．比较大小： ．（填“>”，“<”或“=”号） 8．如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则 ． 9．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，则电脑屏幕的宽 ． 10．如图，矩形中，对角线，相交于点，若，则 ． 11．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F，则的长为 ． 12．如图，四边形是平行四边形，分别延长至点F、E，使，连接，请再添加一个条件： ，使四边形是菱形． 13．如图，直角中，，，则内部四个小直角三角形的周长为 ． 14．如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，交于点M，连接．若，则下列结论：①；②四边形是菱形；③垂直平分线段；④．其中正确结论的个数是 个． 三、解答题（共12小题，15-18题每题5分，19-22题每题7分，23-24题每题8分，25-26题每题10分，满分84分） 15．计算： (1)． (2)． 16．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 17．笔直的河流一侧有一旅游地C可直接到达河边两个漂流点A，B，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，千米．试问：能否求出原路线的长？说明理由． 18．如图，在平行四边形中，，，平分交于点E，求的长． 19．已知：中，，，，于D． (1)求的长． (2)直接写出的长． 20．如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求的长． 21．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位． (1)在图①中画出一个以为一边，面积为12的三角形； (2)在图②中画出一个以为腰的等腰三角形． 22．阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简， 即：． 例如： ， ． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简； (2)化简； (3)当时，化简： 23．【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 24．如图，中，，，，动点从点开始，运动，速度为每秒，设运动时间为秒． (1)_____． (2)当点在线段上运动时，用含的代数式表示_____． (3)动点与点同时出发，从点出发，向点运动，速度为每秒，当点在边上运动时，用含的代数式表示的面积． (4)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 25．【操作】如图①，矩形纸片中，，点在上，点在上，，将纸片沿翻折，使顶点落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点，再将纸片的另一部分翻折，使顶点落在直线上，对应点为，折痕为．猜想之间的位置关系为________； 【探究】如图②，将矩形纸片任意翻折，折痕为(在上，在上)，使顶点落在矩形内，点的对应点为，的延长线交边于点，再将纸片的另一部分翻折，使点的对应点落在上，折痕为． ①若，求证：； ②当，，，时，直接写出的长． 26．如图1，矩形中，，对角线的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为O，连接，． (1)求的长； (2)如图2，动点M，N分别从B，D两点同时出发，分别沿和匀速运动，其中一点到达终点时另一点也随之停止运动． ①若点M的运动速度为每秒5个单位长度，点N的运动速度为每秒4个单位长度，运动时间为t秒，则当t为何值时，以B，M，D，N四点为顶点的四边形是平行四边形？ ②若点M，N两点的运动路程分别为m，n（m，），当B，M，D，N四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出m，n所满足的数量关系． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期期中模拟卷01 （ 试卷满分：120分 测试范围：二次根式、勾股定理、平行四边形） 一、单选题（共6小题，每题2分、满分12分） 1．若式子有意义，则x应满足的条件为（  　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得，求出答案即可． 【详解】因为有意义， 所以， 解得． 故选：C． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法、除法、减法运算．熟练掌握二次根式的乘法、除法、减法运算是解题的关键． 根据二次根式的乘法、除法、减法运算对各选项进行判断即可． 【详解】解：A中，故不符合要求； B中，故不符合要求； C中，故符合要求； D中，故不符合要求； 故选：C． 3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．，1， B．40，50，60 C．，2， D．13，14，15 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c（较长边）满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为，1，的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意； B、∵， ∴长为40，50，60的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴长为，2，的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为13，14，15的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6，10，则正方形B的边长是（   ） A．8 B．4 C．2 D．34 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的背景图，解题关键是掌握它们的面积与正方形边长的关系，以及各边长之间的关系，据此即可求解． 【详解】解：如图，令直角三角形的三边长分别为， ∴， ∴正方形A的面积正方形B的面积正方形C的面积， ∴正方形B的面积是， ∴正方形B的边长是2， 故选：C ． 5．如图，是正方形对角线上一点，连接、，并延长交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，根据正方形的性质得，，证明，得，再根据三角形的内角和定理可得结论．掌握正方形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：C． 6．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD上任意一点，过点E作，，点F，G为垂足，若，，则FG的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质得出，，，根据勾股定理得出，证出四边形是矩形，继而得到 ，要使最小，即最小 ，当时，最小利用等面积法即可求出。 【详解】解：如图，连接OE， 四边形是菱形， ，，， 在中, , ，，， ， 四边形为矩形， ， 要使最小，即最小，当时，最小， ， ， ， 的最小值为． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等面积法，解题的关键是理解题意灵活运用定理与性质． 二、填空题（共8小题，每题3分，满分24分） 7．比较大小： ．（填“>”，“<”或“=”号） 【答案】＜ 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质比较得出答案． 【详解】解：， 又， ， ， 故答案为： 8．如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则 ． 【答案】 【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同类二次根式，正确理解同类二次根式的定义是解题关键． 9．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，则电脑屏幕的宽 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 在中由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，，，， 在中，由勾股定理得： ， 故答案为：． 10．如图，矩形中，对角线，相交于点，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质得到，由等边对等角得 ，再根据三角形外角的性质可得结论．掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，利用菱形的性质结合勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 12．如图，四边形是平行四边形，分别延长至点F、E，使，连接，请再添加一个条件： ，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，由平行四边形性质得，再证，然后由平行四边形的判定即可得出四边形是平行四边形，根据菱形的判定可得出结论． 【详解】解：． 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 13．如图，直角中，，，则内部四个小直角三角形的周长为 ． 【答案】56 【分析】本题考查了平移的性质、勾股定理，根据图形得到内部四个小直角三角形的周长等于直角的周长是解题的关键．由图形可知，内部小直角三角形直角边是由直角直角边平移得到的，故内部四个小直角三角形的周长等于直角的周长，利用勾股定理得到的长度，然后计算周长即可． 【详解】解：由图形可知，内部小直角三角形直角边是由直角直角边平移得到的， 内部四个小直角三角形的周长等于直角的周长， 根据勾股定理得，， 内部四个小直角三角形的周长为：． 故答案为：56． 14．如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，交于点M，连接．若，则下列结论：①；②四边形是菱形；③垂直平分线段；④．其中正确结论的个数是 个． 【答案】3/三 【分析】根据，则，根据点是的中点，证明，判断①；根据矩形的性质，得，，根据，证明四边形是平行四边形，根据，，得；根据，得，等量代换，得，垂直平分线段，，即可判断②；利用线段垂直平分线的性质的逆定理，可判断③；根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，则，根据，得，，，等量代换，即可判断④． 【详解】解：在矩形中，， ∴， ∵点是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴， 故①正确； 在矩形中，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴平行四边形是菱形． 故②正确； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴垂直平分线段． 故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故④不正确． 综上所述，正确的有①②③，共三个． 故答案为：3． 【点睛】本题考查矩形，菱形，垂直平分线的性质，等边三角形和全等三角形等知识，解题的关键是掌握矩形的性质，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，全等三角形判定和性质． 三、解答题（共12小题，15-18题每题5分，19-22题每题7分，23-24题每题8分，25-26题每题10分，满分84分） 15．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减法计算，二次根式的混合计算： （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先化简二次根式，再计算二次根式加法，最后计算二次根式除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键．由勾股定理求出，由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，四边形的面积的面积的面积，即可得出结果． 【详解】解：如图所示： ， ， ∵， ， ， 四边形的面积的面积的面积． 17．笔直的河流一侧有一旅游地C可直接到达河边两个漂流点A，B，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，千米．试问：能否求出原路线的长？说明理由． 【答案】能，原路线长为千米，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理及其逆定理．由已知可得，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据勾股定理，即可得到答案． 【详解】解：能； ，， ． 是直角三角形，且， ． 在中， ， （千米）． 答：原路线长为千米． 18．如图，在平行四边形中，，，平分交于点E，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，根据四边形为平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，继而可得，然后根据已知可求得的长度． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 19．已知：中，，，，于D． (1)求的长． (2)直接写出的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理、等角对等边等知识点，掌握直角三角形所对的直角边是斜边的一半成为解题的关键． (1)根据直角三角形所对的直角边是斜边的一半可得，再根据等角对等边可得，再运用勾股定理即可解答； (2)先运用勾股定理求得，然后再结合(1)的相关结论运用线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：在，根据勾股定理得：， ∴． 20．如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，再根据菱形的性质得出，根据对边分别平行证明是平行四边形即可． （2）过点作，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：点，分别是，的中点， 是的中位线， ，则， 四边形是菱形， ，则， 四边形是平行四边形； （2）解：取的中点，连接， ， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ． 四边形是平行四边形， ， ， 在中，根据勾股定理得，． 【点睛】本题考查了菱形性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定以及直角三角形的性质解题． 21．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位． (1)在图①中画出一个以为一边，面积为12的三角形； (2)在图②中画出一个以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要几何图形的变换，理解题意，根据图形的面积公式及等腰三角形的定义即可求解，解题的关键就是对图形性质的理解． （1）根据三角形的面积为，由，可先构造高为4的三角形，即可； （2）直接取格点，使或即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形；（答案不唯一） （2）解：如图，即为所求作的三角形．（答案不唯一） 22．阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简， 即：． 例如： ， ． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简； (2)化简； (3)当时，化简： 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键． （1）由于，即可得解； （2）由于，即可得解； （3）由于，，然后化简即可得解； 【详解】（1）解： （2）解：  ， （3）解： ， ， 23．【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 【答案】[问题原型]见解析；[问题应用]（1）；（2） 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、将军饮马问题，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． [问题原型]证明即可； [问题应用]（1）先证，得，求证，由，，求得，则可得，即可由得解； （2）连接，可证明，得，则，延长到点，使，连接、，则，则，当、、共线时最小，求解即可． 【详解】解：[问题原型]证明：如图，设与交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． [问题应用]（1）解：四边形是正方形，， ，， ，为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 为的中点， ， ， 故答案为：． （2）解：如图，连接， ，，， 在和中， ， ， ， ， 延长到点，使，则，垂直平分， 连接、，则， ，， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 24．如图，中，，，，动点从点开始，运动，速度为每秒，设运动时间为秒． (1)_____． (2)当点在线段上运动时，用含的代数式表示_____． (3)动点与点同时出发，从点出发，向点运动，速度为每秒，当点在边上运动时，用含的代数式表示的面积． (4)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或 【分析】（）利用勾股定理即可求解； （）根据题意列式即可； （）计算出点在边上运动的时间，得到点所处的位置，结合面积公式求解即可得到答案； （）分与两种情况画出图形，根据等腰三角形的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：； （2）解：当点在线段上运动时，， 故答案为：； （3）解：由题意可得，点在边上运动时，，点在运动，如图所示， ∵，， ∴； （4）解：当，在边上运动时，， 解得； 当，在边上运动时，作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，(不合题意，舍去)； 当时， 在边上运动， ， ∴， 解得； 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了勾股定理，列代数式，等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 25．【操作】如图①，矩形纸片中，，点在上，点在上，，将纸片沿翻折，使顶点落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点，再将纸片的另一部分翻折，使顶点落在直线上，对应点为，折痕为．猜想之间的位置关系为________； 【探究】如图②，将矩形纸片任意翻折，折痕为(在上，在上)，使顶点落在矩形内，点的对应点为，的延长线交边于点，再将纸片的另一部分翻折，使点的对应点落在上，折痕为． ①若，求证：； ②当，，，时，直接写出的长． 【答案】操作：；探究：①证明见解析；② 【分析】操作：由矩形的性质可得，则，由折叠可知，，于是得到，进而得到，由内错角相等，两直线平行即可证明； 探究：①由矩形的性质可得，，则，由折叠可知，，于是得，可得，即可证明；②过点作于点，则，，，易得，于是可得，由即可求解； 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】操作：证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴, 根据折叠的性质可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 探究：①证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：过点作于点，如图，则， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 26．如图1，矩形中，，对角线的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为O，连接，． (1)求的长； (2)如图2，动点M，N分别从B，D两点同时出发，分别沿和匀速运动，其中一点到达终点时另一点也随之停止运动． ①若点M的运动速度为每秒5个单位长度，点N的运动速度为每秒4个单位长度，运动时间为t秒，则当t为何值时，以B，M，D，N四点为顶点的四边形是平行四边形？ ②若点M，N两点的运动路程分别为m，n（m，），当B，M，D，N四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出m，n所满足的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）垂直平分，设=x，则，在中，用勾股定理可求； （2）①根据题意进行分类讨论：当点M在上与不平行，故不能构成；当点M在上，点N在上，与不平行，不能构成；点M在上，点N在上，，只要，用含t的式子表示与，解之即可，②若点M，N两点的运动路程分别为m，n（m，），，由于点M，N的速度没有限定，故在三段路程中都能构成平行四边形，分类考虑表示m、n再求和即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分于， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴． （2）解：①根据矩形性质可得：， Ⅰ、当点在上时，时，当点在上时， ∵与不平行， ∴此时，，，四点不可能构成平行四边形； Ⅱ、当点在上，点在上时，， ∴当时，以四点为顶点的四边形是平行四边形． 由题意，得，， ∴， 解得． ∴当秒时，以四点为顶点的四边形是平行四边形． Ⅲ、当点在上时，点在或上，此时，，，四点也不能构成平行四边形． ∴只有当点在上，点在上时，才可能构成平行四边形． 综上：． ②若以四点为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况： Ⅰ、当点在上，点在上时， ∵，以四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， 得； Ⅱ、当点在上，点在上时， ∵，以四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 此时，， ∴， ∴； Ⅲ、当点在上，点在上时， ∵，以四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 综上所述，与满足的数量关系式是． 【点睛】本题考查的是综合问题涉及的知识较多，掌握垂直平分线，线段的长的求法，勾股定理，平行四边形的判定和性质，图形行程问题中的平行四边形的性质与判定等知识是解题关键． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$