3 第1课时 已知图象上的两点确定二次函数的表达式（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学下册(北师大版)

3　确定二次函数的表达式 第1课时　已知图象上的两点确定二次函数的表达式 数学 九年级下册 北师版 练闯考 C 3 y＝x2－2x－1 －1 4 5 A 6 D 7 8 9 C 11 A 12 y＝2x2－4x＋3或y＝2x2－6x＋7 13 y＝x2－8x＋12 14 15 16 18 19 －5 1 < x＝1 (3，y1) 下 减小 > 下 x＝1 大 2 1 大 ＜ 20 y1＜y3＜y2 y2＜y3＜y1 a>－1 21 知识点一：已知一个点或两个点的坐标求二次函数的表达式 1．已知二次函数y＝x2＋bx－2的图象与x轴的一个交点为点(1，0)，则该二次函数的表达式为( ) A．y＝x2－2x B．y＝x2＋x－1 C．y＝x2＋x－2 D．y＝x2－x－2 2．二次函数y＝x2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示： (1)该函数的表达式为__________________； (2)m的值为________． 3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(1，－2)，(－2，13). (1)求a，b的值； (2)若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝12－y1，求m的值． 解：(1)把点(1，－2)，(－2，13)代入y＝ax2＋bx＋1，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2＝a＋b＋1，,13＝4a－2b＋1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－4)) (2)由(1)得函数表达式为y＝x2－4x＋1，把x＝5代入y＝x2－4x＋1，得y1＝6，∴y2＝12－y1＝6.∵y1＝y2，且对称轴为直线x＝2，∴m＝4－5＝－1 知识点二：已知顶点和图象上另一点坐标确定二次函数的表达式 4．已知抛物线的顶点坐标是(2，－1)，且与y轴交于点(0，3)，这个抛物线的表达式是( ) A．y＝x2－4x＋3 B．y＝x2＋4x＋3 C．y＝x2＋4x－1 D．y＝x2－4x－1 5．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为( ) A．y＝2(x＋1)2＋8 B．y＝18(x＋1)2－8 C．y＝ eq \f(2,9)) (x－1)2＋8 D．y＝2(x－1)2－8 6．某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1 m的喷水管喷水达到最大高度3 m时，喷水的水平距离为 eq \f(1,2) m，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数表达式是______________________. y＝－8(x－ eq \f(1,2) )2＋3 7．已知二次函数当x＝4时函数值y取得最小值－1，它的图象与y轴交点的纵坐标是3，求该二次函数的表达式． 解：由题意知该二次函数的顶点坐标为(4，－1)，与y轴的交点坐标为(0，3)，∴可设该二次函数的表达式为y＝a(x－4)2－1.将(0，3)代入，得a(0－4)2－1＝3，∴a＝ eq \f(1,4) ，∴该二次函数的表达式为y＝ eq \f(1,4) (x－4)2－1，即y＝ eq \f(1,4) x2－2x＋3 8．某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝ eq \f(1,2) x2－2x＋3相同，顶点为(－2，1)，则此抛物线的表达式为( ) A．y＝ eq \f(1,2) (x－2)2＋1 B．y＝ eq \f(1,2) (x＋2)2－1 C．y＝ eq \f(1,2) (x＋2)2＋1 D．y＝(x－2)2－1 9．如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点B(0，－2)，它与反比例函数y＝－ eq \f(8,x) 的图象交于点A(m，4)，则这个二次函数的表达式为( ) A．y＝x2－x－2 B．y＝x2－x＋2 C．y＝x2＋x＋2 D．y＝x2＋x－2 10．若二次函数y＝2x2＋bx＋c的图象经过点(2，3)，且顶点在直线y＝3x－2上，则该二次函数的表达式为____________________________________． 11．如图，在▱ABCD中，AB＝4，顶点D(0，－4)，以顶点C为顶点的抛物线经过x轴上的顶点A，B，则该抛物线的函数表达式是____________________． 12．已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C，P为第二象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的表达式，并写出顶点坐标； (2)如图，连接PB，PO，PC，BC，OP交BC于点D，当S△CPD∶S△BPD＝1∶2时，求出点D的坐标． 解：(1)将点A(1，0)和点B(－3，0)代入函数表达式，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋3＝0，,9a－3b＋3＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，)) ∴y＝－x2－2x＋3.又∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(－1，4) (2)如图，过点D作DM⊥y轴，由y＝－x2－2x＋3，当x＝0时，y＝3，∴C点坐标为(0，3)，设直线BC的表达式为y＝kx＋b，将B(－3，0)，C(0，3)代入，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3k＋b＝0，,b＝3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝3，)) ∴直线BC的表达式为y＝x＋3.∵S△CPD∶S△BPD＝1∶2，∴ eq \f(CD,BD) ＝ eq \f(1,2) ， eq \f(BD,BC) ＝ eq \f(2,3) .又∵DM⊥y轴，∴DM∥OB，∴ eq \f(OM,OC) ＝ eq \f(BD,BC) ＝ eq \f(2,3) ，∴ eq \f(OM,3) ＝ eq \f(2,3) ，解得OM＝2，在y＝x＋3中，当y＝2时，x＝－1，∴D点坐标为(－1，2) 13．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，顶点M关于x轴的对称点是M′. (1)求抛物线的表达式； (2)若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，连接BC，求△CAB的面积； (3)是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的表达式；若不存在，请说明理由． 解：(1)y＝x2－2x－3 (2)顶点M(1，－4)，∴M′(1，4)，直线AM′为y＝2x＋2，依题意可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋2，,y＝x2－2x－3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－1，,y1＝0，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝5，,y2＝12，)) ∴C(5，12)，∴S△CAB＝ eq \f(1,2) ×4×12＝24 (3)存在，点P(1，2)或(1，－2)，此抛物线的表达式为y＝－ eq \f(1,2) (x－1)2＋2或y＝ eq \f(1,2) (x－1)2－2 【例】已知点A(－1，y1)，B(2，y2)均在抛物线y＝－2(x－1)2＋3上，试比较y1，y2的大小． 1．直接代入比较法：将点A(－1，y1)，B(2，y2)分别代入y＝－2(x－1)2＋3中，得y1＝_______，y2＝______ ，∴y1______y2； 2．对称增减性比较法：∵抛物线的对称轴为直线_________，∴点A关于对称轴对称的点为__________．又∵抛物线的开口向______，∴在对称轴的右侧y随x的增大而________．又∵2<3，∴y2______y1； 3．距离比较法：∵抛物线的开口向______，∴其上的点到其对称轴直线_________的距离越近，对应的函数值就越______．而点A(－1，y1)到对称轴的距离______比点B(2，y2)到对称轴的距离______更______，∴y1______y2. 【变式训练】 1．若点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在抛物线y＝－2x2＋8x＋c上，则y1，y2，y3的大小关系是________________(用“＜”连接). 2．已知点(－1，y1)，( eq \r(2) ，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝ax2－2ax＋a－2(a＞0)的图象上，那么y1，y2，y3按由小到大的顺序排列是_________________. 3．已知点A(a，y1)，B(a＋4，y2)都在二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象上，若y1＞y2，则a的取值范围为______________． $$