1.2.3充分条件、必要条件课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册

1.2.3充分条件、必要条件 高中数学人教B版(2019)必修一 主讲人： 1 1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 1．能从教材实例中抽象出充分条件、必要条件的意义．(数学抽象) 2．能进行有关充分条件、必要条件的判断．(逻辑推理) 3．能从教材实例中抽象出判定定理与充分条件的关系，以及性质定理与必要条件的关系．(数学抽象) 4．能用举反例的方法判断一个命题是假命题．(逻辑推理) 课标解读 素养目标 2 情境与问题 “充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗? (1)“不断出现的数据让禁放派理由更加充分” (《中国青年报》2014年1月 23日); (2)“做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密” (《人民日报》2014年8月4日); (3)“积极乐观的人，相信办法总比问题多，内心充满希望，当然，他们更懂得去寻求必要的帮助，给自己创造更多的机会” (《中国青年报》2015年6月22日); (4)“文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”(《人民日报》2015年7月28日). 3 我们已经接触过很多形如“如果p，那么q” 的命题，例如: (1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行; 真 (2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半; 真 (3)如果x>2，那么x>3; 假 (4)如果a>b且c>0，那么ac>bc. 真 例子： 4 1命题的结构：“如果p，那么q” 2.推出关系 知识点一　命题的结构与“推出” 例如，上述例子中， (1)是一个真命题，即“两条直线都与第三条直线平行”可以推出“这两条直线也互相平行”，这也可记作：两条直线都与第三条直线平行⇒这两条直线也互相平行; (3)是一个假命题，即x>2推不出x>3，这也可记作：x>2 x>3. 命题真假 “如果p，那么q”是真命题 “如果p，那么q”是假命题 推出关系 由p可以推出q 由p推不出q 记法 p⇒q p q 读法 p推出q p推不出q 5 尝试与发现 用类似的方法分析上述例子中的(2)(4)，并将它们用符号表示出来 (2)为真命题，即在直角三角形中”一个锐角等于30°”可推出“这个锐角所对的直角边等于斜边的一半” 这也可以记作：直角三角形中”一个锐角等于30°”⇒“这个锐角所对的直角边等于斜边的一半” (4)为真命题，即“a>b且c>0”可推出“ac>bc”. 这也可以记作： “a>b且c>0”⇒“ac>bc”. 6 1.概念 当p⇒q时，我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件 当p q时，我们称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 2.对“p⇒q”的理解 (1)“如果 p，那么q”是真命题， (2)p⇒q， (3)p是q的充分条件， (4)q是力的必要条件. 这四种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已 知识点二、充分条件、必要条件 7 即学即用 (1)“如果x=-y，则x2=y2”是真命题 x=-y⇒x2=y2 x=-y是x2=y2的充分条件 x2=y2是x=-y的必要条件 (2)命题“若A∩B≠∅，则A≠∅”是真命题， A∩B≠∅_⇒__A≠∅, A∩B≠∅是A≠∅的_充分_条件 A≠∅是A∩B≠∅的__必要_条件 有人说，充分条件就是“有之即可，无之也行”的条件，必要条件就是“有之未必即可，无之则必不行”的条件，你觉得有道理吗? 想一想 充分条件：有之必成立，无之未必不成立。 必要条件：有之未必成立，无知必不成立。 8 例 1(教材)判断下列各题中，p是否是q的充分条件，q是否是p的必要条件: (1)p:x∈Z,q:x∈R; (2)p:x是矩形，q:x是正方形 解：(1)⸪整数都是有理数，⸫一定也是实数，即p⇒q， ⸫p是q的充分条件，q是p的必要条件. (2⸪矩形不一定是正方形，即p q， ⸫p不是q的充分条件q不是p的必要条件. 定义法 9 设A={x|x≥0}，B={x|x>-1}，则不难看出，A是B的子集 (如图 1-2-1所示)，即 A⊆B. 另外，“如果x≥0，那么x>-1”是真命题，也就是说 x≥0⇒x>-1, x≥0是x>-1的充分条件， x>-1是x≥0的必要条件 从集合角度理解充分条件必要条件 你能得出什么结论？ 集合法 10 3.从不同角度理解充分条件、必要条件（1） 设A={x|p(x)}，B={x|q(x)} 命题真假 p、q的 推出关系 结论 集合关系(图示) 若p则q是真命题 p⇒q p是q的充分条件 q是p的必要条件 A⊆ B 若q则p是真命题 q⇒p q是p的充分条件 p是q的必要条件 B⊆ A A={x|p(x)} B={x|q(x)} B={x|q(x)} A={x|p(x)} 11 例2(教材)说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理，如果可以，写出其中涉及的充分条件或必要条件: (1)形如y=ax2(a是非零常数)的函数是二次函数; (2)菱形的对角线互相垂直. 解:(1)这可以看成一个判定定理， 因此“形如y=ax2(a是非零常数)的函数”是“这个函数是二次函数”的充分条件 (2)这可以看成菱形的一个性质定理， 因此“四边形对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件. 12 4.充分条件、必要条件还与数学中的判定定理、性质定理的关系. 例如: “如果一个函数是正比例函数，那么这个函数是一次函数”可以看成一个判定定理， 这指的是，只要函数是正比例函数，那么就可以判定这个函数是一次函数， 不难看出，判定定理实际上是给出了一个充分条件， 上例中，“函数是正比例函数”是“函数是一次函数”的充分条件； “矩形的对角线相等”可以看成一个性质定理. 这指的是，只要一个四边形是矩形，那么这个四边形的对角线一定相等. 不难看出，性质定理实际上给出了一个必要条件， 上例中，“四边形的对角线相等”是“四边形是矩形”的必要条件. 13 因为x>3 ⇒x>2，所以x>2是x>3的必要条件， 又因为x>2 x>3，所以x>2不是x>3的充分条件. 把这两方面综合起来， 可以说成x>2是x>3的必要不充分条件 尝试与发现 1.我们已经知道，因为x>3⇒x>2，所以x>3是x>2的充分条件， 又因为x>2 x>3，所以x>3不是x>2的必要条件， 把这两方面综合起来，可以说成x>3是x>2的充分不必要条件 2.仿照上述做法，给出p是q的必要不充分条件的定义，并给出具体实例加以说明. 14 知识点三、充要条件 1.如果p⇒q且q p，则称p是q的充分不必要条件. 2.如果 p q且 q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. 3.如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件) 记作：p⇔q， 读作:“p与q等价”“p当且仅当q” 4.如果 p q且 q p，则称p是q的既不充分也不必要条件. 15 例 3(教材)在△ABC中，判断∠B=∠C是否是AC=AB的充要条件 解：⸪“在三角形中，等角对等边”⸫∠B=∠C⇒AC=AB; 又⸪“在三角形中，等边对等角”，⸫AC=AB⇒∠B=∠C. ⸫∠B=∠C⇔AC=AB，⸫△ABC中，∠B=∠C是AC=AB的充要条件. 从集合的观点来看，如果A={x|p(x)}，B={x|q(x)}，且A=B,则p(x)⇔q(x)，因此也就有p(x)是q(x)的充要条件. 例如，当A={x|x≤0}，B={x||x|=-x}时，不难看出 A=B,条件， 因此x≤0⇔|x|=-x，也就是说x≤0是|x|=-x的充要条件， x≤0与|x|=-x等价，x≤0当且仅当|x|=-x. 充分性 必要性 16 知识点四、从不同角度理解充分条件、必要条件（2） 1、设A={x|p(x)}，B={x|q(x)} 命题真假 p、q的 推出关系 结论 集合关系(图示) 若p则q是真命题，且若q则p是假命题 p⇒q q p p是q的充分 不必要条件 A B 若p则q是假命题且 若q则p是真命题 p q q⇒ p p是q的必要不充分条件 B A A={x|p(x)} B={x|q(x)} B={x|q(x)} A={x|p(x)} 17 命题真假 p、q的 推出关系 结论 集合关系(图示) 若p则q是真命题，且若q则p是真命题 p⇒q q⇒ p (p⇔q) p是q的 充要条件 A = B 若p则q是假命题且 若q则p是假命题 p q q p p是q的既不充分也必要条件 或 B A A B A(B) 18 本节要点回顾 1.命题的结构与“推出” 2.充分条件、必要条件 3.充要条件 4.从不同角度理解充分条件、必要条件 19 例如， “三条边都相等的三角形称为等边三角形”是等边三角形的定义， 即：只要三角形的三条边都相等，那么这个三角形一定是等边三角形; 反之，如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边都相等. 不难看出，一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件， 上例中，“三角形的三条边都相等”是“三角形是等边三角形”的充要条件。 2.充要条件与数学中的定义有关. 20 注意到“三角形的三个角相等”也是“三角形是等边三角形”的一个充要条件， 故我们也可将等边三角形定义为:“三个角都相等的三角形称为等边三角形.” 结合结合这里的实例，说明为什么有些数学对象有多种定义 想一想 有些数学对象可能有多个充要条件， 如:等边三角形 ⇔三角形的三条边都相等 ⇔ 三角形的三个角都相等 ⇔底角为60°的等腰三角形 ⇔…,故有些数学对象有多种定义. 21 1．“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的(　C　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 巩固训练 2．“x＝－3”是“x2＋x－6＝0”的(　A　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：由x2＋x－6＝0得x＝－3或x＝2， 因此“x＝－3”是“x2＋x－6＝0”的充分不必要条件． 解：∵－2＜x＜1 x＞1或x＜－1，且x＞1或x＜－1 －2＜x＜1， ∴“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的既不充分也不必要条件． 22 3．命题p：n是3的倍数；q：n是6的倍数，p是q的(　B　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：若n是6的倍数，则n一定是3的倍数，反之，若n是3的倍数，则n不一定是6的倍数，如9是3的倍数，但不是6的倍数，所以p是q的必要不充分条件．4．“角A＝60°”是“三角形ABC是等边三角形”的(　C　)A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：角A＝60° 三角形ABC是等边三角形，但三角形ABC是等边三角形⇒角A＝60°，所以“角A＝60°”是“三角形ABC是等边三角形”的必要不充分条件．故选C． 23 5.　已知p：x＞1或x＜－3，q：x＞a．若q是p的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　A　) A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3] 解析：∵p：x＞1或x＜－3，q：x＞a，且q是p的充分不必要条件， ∴{x|x＞a}是{x|x＞1或x＜－3}的真子集，即a≥1．故选A． 6.(多选题)可以作为“－2＜m＜0”的一个必要不充分条件的可以是(　AC　) A．－2＜m＜2 B．－2＜m＜－1 C．m＜4 D．－2＜m＜0 解析：因为{m|－2＜m＜2} {m|－2＜m＜0}，{m|－2＜m＜－1} {m|－2＜m＜0}，{m|m＜4} {m|－2＜m＜0}，所以，可以作为“－2＜m＜0”的一个必要不充分条件的可以是－2＜m＜2或m＜4． 24 感谢观看！ 25 $$