8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时）（教学课件）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

·选择性必修第三册· 第八章 成对数据的统计分析 8.2.2 一元线性回归模型参数的 最小二乘估计（第二课时） 学习目标 1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件.（重点） 2.了解非线性回归模型. （难点） 3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果.（重点） 情景导入 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第二课时） 01 复习回顾，引入新知 1. 经验回归方程： 我们将 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法. 2. 最小二乘估计： 经验回归方程中的参数 计算公式为： 一元线性回归模型应用 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第一课时） 02 应用新知 经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高，在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据（表8.2-3），试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程． 例 分析 应用新知 解析 以胸径为横坐标、树高为纵坐标作散点图，得到下图 在图8.2-9中，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，并且是正相关，因此可以用一元线性回归模型刻画树高与胸径之间的关系. 应用新知 解析 应用新知 解析 根据经验回归方程，由胸径的数据可以计算出树高的预测值（精确到0.1）以及相应的残差，如下表所示 应用新知 以胸径为横坐标，残差为纵坐标，作残差图，得到下图 观察残差表和残差图，可以看到，残差的绝对值最大是0.8，所有残差分布在以横轴为对称轴、宽度小于2的带状区域内．可见经验回归方程较好地刻画了树高与胸径的关系，我们可以根据经验回归方程由胸径预测树高． 应用新知 跟踪练习：某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表数据： (1)求经验回归方程，其中， ； (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润销售收入成本) 解：(1)据题意，得： 所以经验回归方程为. (2)工厂获得的利润，由二次函数知识可知当时，(元).故该产品的单价应定为元. 单价(元) 销量(件) 非线性回归模型应用 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第一课时） 03 探究新知 研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关系，此时不能直接利用经验回归方程来建立两个变量之间的关系． 当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间的非线性经验回归方程． 问题提出 探究新知 问题 画散点图： 在图中，散点看上去大致分布在一条直线附近，似乎可用一元线性回归模型建立经验回归方程. 人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”. 下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据. 试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 年份 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 记录/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95 探究新知 用表示男子短跑的世界纪录，表示纪录产生的年份，利用一元线性回归方程模型 来刻画世界纪录和世界纪录产生年份之间的关系.根据最小二乘法，由表中的数据得到经验回归方程为. ① 将经验回归直线叠加到散点图，得到下图. 探究新知 观察 由图形可知，第一点远离经验回归直线，并且前后两时间段中的散点都在经验回归直线的上方，中间时间段的散点都在经验回归直线的下方. 这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律，即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征. 从上图中可以看到，经验回归方程 ①能否较好地刻画了散点的变化趋势？请仔细观察图形，你能看出其中存在的问题吗？ 探究新知 思考 如何修改模型，以使其更好地反映散点的分布特征吗？ 仔细观察上图，可以发现散点更趋向于落在中间下凸且递减的某条曲线附近.回顾已有的函数知识，可以发现函数的图象具有类似的形状特征.注意到短跑的第一个世界纪录产生于年，因此可以认为散点是集中在曲线的周围，其中和为未知的参数，且. 用上述函数刻画数据变化的趋势，这是一个非线性经验回归函数，其中，是待定系数.现在问题转化为如何利用成对数据估计参数和. 探究新知 令x=ln(t-1895)，通过x=ln(t-1895) ，将年份变量数据进行变换，得到新的成对数据，如下表. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 年份/t 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 x 0.00 2.83 3.26 3.56 3.71 4.11 4.17 4.29 记录/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95 令x=ln(t-1895) , 则Y=c2 x+c1 . 因此，用一元线性回归模型 拟合上表中的成对数据，得到经验回归方程 (*)， 探究新知 将代入(*)式，得到由创纪录年份预报世界纪录的经验回归方程.② 在同一坐标系中画出成对数据散点图、非线性经验回归方程②的图象(蓝色)以及经验回归方程①的图象(红色)，如图所示.我们发现，散点图中各散点都非常靠近②的图象，表明非线性经验回归方程②对于原始数据的拟合效果远远好于经验回归方程①. 决定系数 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第一课时） 04 探究新知 残差的平方和 在下表中，用表示编号为的年份数据，用表示编号为的纪录数据，则经验回归方程①和②的残差计算公式分别为 ； . 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 t 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 0.591 -0.284 -0.301 -0.218 -0.196 0.111 0.092 0.205 -0.001 0.007 -0.012 0.015 -0.018 0.052 -0.021 -0.022 残差的平方和：，，可知小于. 因此经验回归方程②的拟合效果更好。 探究新知 决定系数R2 决定系数也可以用来比较两个模型的拟合效果，的计算公式为 . 在表达式中，与经验回归方程无关，残差平方和与经验回归方程有关. 因此越大，表示残差平方和越小，即模型拟合效果越好；越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差. 探究新知 在使用经验回归方程进行预测时,需注意以下问题 回归方程只适用于我们所研究的样本的总体； 我们所建立的回归方程一般都有时间性； 样本采集的范围会影响回归方程的适用范围； 不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值. 事实上, 它是预报变量的可能取值的平均值. 能力提升 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第一课时） 05 能力提升 题型一 利用决定系数R2刻画回归效果 例题1 解析 能力提升 “R2、残差图”在回归分析中的作用 总结 (2)残差图也是用来刻画回归模型拟合效果的，判断依据是残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高． 能力提升 题型二 非线性回归分析 例题2 能力提升 题型二 非线性回归分析 例题2 解析 能力提升 题型二 非线性回归分析 总结 解决非线性经验回归问题的方法及步骤 课堂小结+限时小练 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第一课时） 06 课堂小结 随堂限时小结 解 D 随堂限时小结 D 随堂限时小结 解 随堂限时小结 解 随堂限时小结 解 随堂限时小结 解 随堂限时小结 随堂限时小结 解 作业布置与课后练习答案 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第一课时） 07 巩固作业 作业布置 作业1：完成教材： 第121页 习题8.2第4题. 作业2：配套辅导资料对应的《一元线性回归模型参数的最小二乘估计》.  课后作业答案 1．在回归分析中，分析残差能够帮助我们解决哪些问题？ 分析残差可以帮助我们解决以下几个问题： （1）寻找残差明显比其他残差大很多的异常点，如果有，检查相应的样本数据是否有错． （2）分析残差图可以诊断选择的模型是否合适，如果不合适，可以参考残差图提出修改模型的思路． 课后作业答案 2．1997-2006年我国的国内生产总值（GDP）的数据如下： 年份 GDP/亿元 年份 GDP/亿元 1997 79 715. 0 2002 121 717.4 1998 85 195.5 2003. 137 422. 0 1999 90 564.4 2004 161 840. 2 2000 100 280.1 2005 187 318. 9 2001 110 863.1 2006 219 438.5 （1）作GDP和年份的散点图，根据该图猜想它们之间的关系可以用什么模型描述； 课后作业答案 画GDP与年份的散点图，如图所示，可以观察到随着年份的增加GDP也随之增加，GDP值与年份呈现近似线性关系，可以用一元线性回归模型刻画． 年份 GDP/亿元 课后作业答案 (2)建立年份为解释变量，GDP为响应变量的一元线性回归模型，并计算残差； 课后作业答案 残差的计算结果见下表． 年份 1997 1998 1999 2000 2001 残差 17126 7752 -1734 -6873 -11145 年份 2002 2003 2004 2005 2006 残差 -15145 -14296 -4732 5892 23157 课后作业答案 (3)根据你得到的一元线性回归模型，预测2017年的GDP，看看你的预测值与实际的GDP的误差是多少； 2017年的GDP预报值为359684亿元，2017年的实际的GDP为820754亿元，预测值比实际值少461070亿元． 课后作业答案 (4)你认为这个模型能较好地刻画GDP和年份的关系吗？请说明理由 上面建立的回归方程的R2=0.9213，说明在1997-2006年内，该模型年份能够解释92.13%的GDP值变化，因此所建立的模型较好地刻画了GDP和年份的关系．但因为残差呈现一定的规律性，中间是负数，两边是正数，所以可以考虑用非线性回归模型拟合数据. t y (5)随着时间的发展，又收集到2007—2016年的GDP数据如下： 建立年份（1997-2016）为解释变量，GDP为响应变量的经验回归方程，并预测2017年的GDP，与实际的GDP误差是多少？你能发现什么？ 年份 1997 1998 1999 2000 2001 残差 17126 7752 -1734 -6873 -11145 年份 2002 2003 2004 2005 2006 残差 -15145 -14296 -4732 5 892 23157 利用上述模型，预测2017年的GDP值为704025亿元，而2017年GDP的实际值820754亿元，预测值比实际值少116729亿元． 通过两个模型预测2017年的GDP值，发现第2个模型预测的更准确，说明建立的模型自变量的取值范围决定了模型的适用范围，通常不能超出太多，否则会出现较大的误差． 课后作业答案 3.如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0的直线上，请回答下列问题： (1)解释变量和响应变量的关系是什么？ (2)R2是多少？ (1)解释变量和响应变量是线性函数关系． 课后作业答案 4.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如表所示 零件数/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间/min 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 （1）画出散点图； （2）建立加工时间关于零件数的一元线性回归模型； （3）关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？ 课后作业答案 课后作业答案 5．根据8.1.2节例2中某城市居民年收入与A商品销售额的数据： (1)建立A商品销售额关于居民年收入的一元线性回归模型； (2)如果这座城市居民的年收入达到40亿元，估计A商品的销售额是多少． 第n年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 居民年收入/亿元 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0 A商品销售额/万元 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0 课后作业答案 A商品销售额/万元 6.人口问题是关乎国计民生的大问题.下表是1949—2016年我国的人口总数(摘自中国统计年鉴—2017) 年份 总人口 /万人 年份 总人口 /万人 年份 总人口 /万人 年份 总人口 /万人 年份 总人口 /万人 1949 54167 1976 93717 1988 111026 2000 126743 2012 135404 1950 55196 1977 94974 1989 112704 2001 127627 2013 136072 1951 56300 1978 96259 1990 114333 2002 128453 2014 136782 1955 61465 1979 97542 1991 115823 2003 129227 2015 137462 1960 66207 1980 98705 1992 117171 2004 129988 2016 138271 1965 72538 1981 100072 1993 118517 2005 130756 1970 82992 1982 101654 1994 119850 2006 131448 1971 85229 1983 103008 1995 121121 2007 132129 1972 87177 1984 104357 1996 122389 2008 132802 1973 89211 1985 105851 1997 123626 2009 133450 1974 90859 1986 107507 1998 124761 2010 134091 1975 92420 1987 109300 1999 125786 2011 134735 （1）画出散点图； （2）建立总人口数关于年份的一元线性回归模型； （3）直接用上面建立的回归模型预测2020年的我国人口总数，得到的结果合理吗？为什么？ 课后作业答案 (1) 画人口总数与年份的散点图，如图所示． 课后作业答案 (3)利用经验回归方程得到2020年我国人口总数的预测值为149850万人．得到的这个预测结果不合理．将拟合直线画在散点图上，可以看到，2000年以后，我国人口总数的增长速度逐渐平稳且呈下降趋势，因此运用上述经验回归模型预测2020年我国的人口总数会出现高估．也可以通过观察残差图，看到残差具有中间为正，两边为负的特点．可以考虑用其他统计模型拟合数据． 课后作业答案 7. 在某地区的一段时间内观测到的不小于某震级x的地震数N的数据如下表： 震级x 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 地震数N 28381 20380 14795 10695 7641 5502 3842 震级x 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 地震数N 2698 1919 1356 973 746 604 435 震级x 5.8 6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0 地震数N 274 206 148 98 57 41 25 试建立经验回归方程表示二者之间的关系，该模型对预测地震有帮助吗？ 课后作业答案 先画地震数与震级的散点图，如图(1)所示． 课后作业答案 震级x 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.2 y 4.453 4.309 4.17 4.029 3.883 3.741 3.585 震级x 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 y 3.431 3.283 3.132 2.988 2.873 2.781 2.638 震级x 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 y 2.438 2.314 2.17 1.991 1.756 1.613 1.398 课后作业答案 x和y的散点图如图(2)所示．从这个散点图中可以看出x和y之间有很强的线性相关性，因此可以用一元线性回归模型拟合它们之间的关系． 该模型不能直接用于预报地震，因为它不能预报何时发生地震，震级是多少 课后作业答案 8.生活中有许多变量之间的关系是值得我们去研究的．例如，数学成绩、物理成绩和化学成绩两两之间是相关的吗？哪两个学科成绩之间相关性更大，你能解释其中的原因吗？语文成绩对数学成绩有影响吗？等等，请用你们班的某次考试成绩，研究它们之间的关系如果它们之间有关系，请建立统计模型进行分析． 课后作业答案 回归与相关 回归分析法和相关分析法是统计学中的两种重要方法，前者用于由一个变量的变化去推测另一个变量的变化，后者研究随机变量间的相关关系，它们是由英国科学家高尔顿创立的． 高尔顿的科研兴趣十分广泛，在地理学、气象学、统计学、心理学、人类学等众多领域都有建树他在遗传学的研究中发现了一个令人困惑的问题，通常，高个子的人会和高个子的人结婚，矮个子的人会和矮个子的人结婚，而人类的遗传是把上一代的优势性状传递给下一代这样，在人群中，高个子、矮个子的比例都应逐渐增多，而中等个子的比例应逐渐下降．但事实并非如此，为什么呢？ 这个问题一直萦绕在他的心头1875年，为了确定豌豆尺寸的遗传规律，他将自己精心挑选的490粒甜豌豆按照尺寸大小分成7组，在7个不同地区各种植70粒（每组10粒）．豌豆成熟后，他仔细测量了新豌豆（子代）的尺寸，并与豌豆种子（母代）的尺寸进行比较数据分析发现，母代尺寸大的子代尺寸较大，母代尺寸小的子代尺寸也较小但无论尺寸大小，都有子代向母代的平均值（7种尺寸豌豆的平均值）收缩的趋势． 这一结论在遗传学上是否具有普遍性呢？能否用它来解释人的个子高矮的遗传现象呢？为此，在1885年，高尔顿随机选取了205对夫妇及其928个成年子女的身高数据进行研究由于男女身高存在差异，他采用女子身高乘1.08的方法将女子身高换算成男子身高．他将父母的平均身高称为“中亲身高”，用 进行计算，其中a为母亲身高，b为父亲身高．记中亲身高为X（母代变量），子女身高为Y（子代变量），分析X和Y的数据，他惊奇地发现，X和Y的平均值均为173.4cm．在此基础上，他还发现当中亲身高大于平均值时，他们的子女相对较高，但与父母相比还是矮一些，例如，当中亲身高为181.6cm时，他们子女的平均身高仅为177.5cm；当中亲身高小于平均值时，他们的子女相对较矮，但比父母又要高一些，例如，当中亲身高为166.4cm时，他们子女的平均身高为169.4cm．这表明，子女身高有向平均值“回归”的倾向．1886年，高尔顿将这一研究成果写成了论文《遗传身高向平均身高的回归》，文中正式引入了“回归”这个概念，1888年，高尔顿发表了统计史上第一篇有关相关系数值的论文，文中用到了一种用图形估计相关系数值的方法． 高尔顿提出的回归和相关思想是开创性的，但他的工作做得还不够彻底．后来，埃奇沃思（F．Y．Edgeworth，1845—126）和皮尔逊（K．Pearson，1857—1936）等一批学者加入到研究中来，使回归和相关理论得到了完善与发展．埃奇沃思不仅给出了常见的样本相关系数的公式，还赋予“回归”以纯数学的意义，为这一方法的广泛应用奠定了基础．皮尔逊则系统整理和完善了当时的已有成果，用极大似然法对相关系数的估计问题做了改进，并把相关回归方法运用到生物测量数据，推动了这一方法在生物领域的应用． 回归与相关的发现，为统计方法增添了重要的工具，推动了统计学的应用和发展，标志着统计学描述时代的结束和推断时代的开始，随着时代的发展，“回归”一词的内涵得到了极大扩展，它可以泛指在任何情况下自变量与因变量之间的统计关系；回归分析、相关分析也在科学研究的各个方面得到广泛应用，成为探索变量之间关系的重要方法． 请你进一步查阅资料，了解回归与相关的发展和应用． THANKS 感谢您的聆听 已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据： x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3 求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏. (若R2>0.9，则认为回归模型拟合效果很好) (14＋16＋18＋20＋22)＝18， (12＋10＋7＋5＋3)＝7.4， ＝142＋162＋182＋202＋222＝1660， ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620， 所以 EMBED Equation.DSMT4 ， ＝7.4＋1.15×18＝28.1， 所以所求回归直线方程是 ＝－1.15x＋28.1. 列出残差表： yi－ 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2 yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4 所以， ， ＝53.2，R2＝1－ EMBED Equation.DSMT4 ≈0.994>0.9， 所以回归模型的拟合效果很好. (1)R2是用来刻画回归模型拟合效果的，由R2＝1－可知R2越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果就越好． 红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数 （个）和温度 的8组观测数据，制成图l所示的散点图，现用两种模型① ，② 分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值：表中 ； ； ； 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)求出 关于 的回归方程．附：对于一组数据 ， ，… ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为， ， （1）模型①更合适． 模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适． （2）令 与温度x可以用线性回归方程来拟合，则 ． 于是 ， ， 因此 关于 的线性回归方程为 ，即 ， 所以产卵数y关于温度x的回归方程为 (1)确定变量：确定解释变量为x，响应变量为y； (2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数、反比例函数等)作比较，选取拟合效果好的函数模型； (3)变量置换：通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题； (4)分析拟合效果：通过计算决定系数来判断拟合效果； (5)写出非线性经验回归方程． 1．下列说法中正确的是（   ） ①相关系数 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， 越接近于 ，相关性越弱； ②回归直线 一定经过样本点的中心 ； ③随机误差 满足 ，其方差 的大小用来衡量预报的精确度； ④相关指数 用来刻画回归的效果， 越小，说明模型的拟合效果越好. A．①② B．③④ C．①④ D．②③ ①相关系数 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， 越接近于 ，相关性越强，故错误 ②回归直线 一定经过样本点的中心 ，故正确 ③随机误差 满足 ，其方差 的大小用来衡量预报的精确度，故正确 ④相关指数 用来刻画回归的效果， 越大，说明模型的拟合效果越好，故错误 综上，说法正确的是②③. 故选：D. 2．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和 如下表： 甲 乙 丙 丁 散点图 残差平方和 115 106 124 103 哪位同学的实验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高？（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 根据散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小，其线性回归模型的拟合效果就越好；（对于已经获取的样本数据， 表达式中 为确定的数，则残差平方和越小， 越大），由此知丁同学的线性回归模型的拟合效果最好． 故选：D． 在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线 的周围．令 ，求得线性回归方程为 ，则该模型的非线性回归方程为 ． 由回归直线方程 , 得： ， 整理得： ，所以该模型的回归方程为 . 故答案为: . 假定小麦基本苗数 与成熟期有效穗 之间存在相关关系，今测得5组数据如下： x 15.0 25.58 30.0 36.6 44.4 y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2 (1)以 为解释变量， 为预报变量，作出散点图； (2)求 与 之间的回归直线方程，对于基本苗数56.7预报其有效穗； (3)计算各组残差，并计算残差平方和； (4)求 ，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几． （1）建立坐标系 轴为小麦基本苗数， 轴为成熟期有效穗. 根据各组值点出每个点，如图所示： 由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系， 因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系． 设回归方程为 ， 由图表得 ， ， ， ， ， ， 则 ， ，故所求的线性回归方程为 . 当 时， . 所以预报成熟期有效穗为51.151. （3）由（2）得 ，因为， 可以算得 解得 ， ， ， ， . 残差平方和：. （4）总偏差平方和： ，回归平方和： ，所以 . 所以解释变量小麦基本苗数对总效应贡献了约 . 残差变量贡献了约 . 5．某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用 （单位：千万元）对年销售量 （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用 与年销售量 的数据，得到散点图如图所示. （1）利用散点图判断 和 （其中 均为大于0的常数）哪一个更适合作为年销售量 和年研发费用 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）； （2）对数据作出如下处理，令 ，得到相关统计量的值如表：根据第（1）问的判断结果及表中数据，求 关于 的回归方程； 15 15 28.25 56.5 （1）由散点图可知，选择回归类型 更合适； （2）对 两边取对数，得 ，即 . 由表中数据求得 ， . 令 ，则 ，即 . ∴年销售量 与年研发费用 的回归方程为 Chart2 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 GDP/亿元 79715 85195.5 90564.4 100280.1 110863.1 121717.4 137422 161840.2 187318.9 219438.5 Sheet1 年份 2007 270 232. 3 2008 319 515. 5 2009 349 081.4 2010 413 030. 3 2011 489 300. 6 2012 540 367. 4 2013 595 244.4 2014 643 974. 0 2015 689 052.1 2016 744 127. 2 Sheet2 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5. 6 5.8 6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0 28381 20380 14795 10695 7641 5502 3842 2698 1919 1356 973 746 604 435 274 206 148 98 57 41 25 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0 y 4.453 4.309 4.17 4.029 3.883 3.741 3.585 3.431 3.283 3.132 2.988 2.873 2.781 2.638 2.438 2.314 2.17 1.991 1.756 1.613 1.398 Sheet2 地震数N Sheet4 y Sheet5 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0 28381 20380 14795 10695 7641 5502 3842 2698 1919 1356 973 746 604 435 274 206 148 98 57 41 25 Sheet5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 地震数N 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Sheet3 年份 年份 2007 270232.3 1997 79715 2008 319515.5 1998 85195.5 2009 349081.4 1999 90564.4 2010 413030.3 2000 100280.1 2011 489300.6 2001 110863.1 2012 540367.4 2002 121717.4 2013 595244.4 2003 137422 2014 643974 2004 161840.2 2015 689052.1 2005 187318.9 2016 744127.2 2006 219438.5 Sheet3 GDP/亿元 年份 1949 1950 1951 1955 1960 1965 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 总人口 /万人 54167 55196 56300 61465 66207 72538 82992 85229 87177 89211 90859 92420 93717 94974 96259 97542 98705 100072 101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124761 125786 126743 127627 128453 129227 129988 130756 131448 132129 132802 133450 134091 134735 135404 136072 136782 137462 138271 Chart3 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 GDP/亿元 79715 85195.5 90564.4 100280.1 110863.1 121717.4 137422 161840.2 187318.9 219438.5 Sheet1 年份 2007 270 232. 3 2008 319 515. 5 2009 349 081.4 2010 413 030. 3 2011 489 300. 6 2012 540 367. 4 2013 595 244.4 2014 643 974. 0 2015 689 052.1 2016 744 127. 2 Sheet2 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5. 6 5.8 6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0 28381 20380 14795 10695 7641 5502 3842 2698 1919 1356 973 746 604 435 274 206 148 98 57 41 25 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0 y 4.453 4.309 4.17 4.029 3.883 3.741 3.585 3.431 3.283 3.132 2.988 2.873 2.781 2.638 2.438 2.314 2.17 1.991 1.756 1.613 1.398 Sheet2 地震数N Sheet4 y Sheet5 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0 28381 20380 14795 10695 7641 5502 3842 2698 1919 1356 973 746 604 435 274 206 148 98 57 41 25 Sheet5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 地震数N 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Sheet3 年份 年份 2007 270232.3 1997 79715 2008 319515.5 1998 85195.5 2009 349081.4 1999 90564.4 2010 413030.3 2000 100280.1 2011 489300.6 2001 110863.1 2012 540367.4 2002 121717.4 2013 595244.4 2003 137422 2014 643974 2004 161840.2 2015 689052.1 2005 187318.9 2016 744127.2 2006 219438.5 Sheet3 GDP/亿元 年份 1949 1950 1951 1955 1960 1965 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 总人口 /万人 54167 55196 56300 61465 66207 72538 82992 85229 87177 89211 90859 92420 93717 94974 96259 97542 98705 100072 101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124761 125786 126743 127627 128453 129227 129988 130756 131448 132129 132802 133450 134091 134735 135404 136072 136782 137462 138271 Chart3 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 GDP/亿元 79715 85195.5 90564.4 100280.1 110863.1 121717.4 137422 161840.2 187318.9 219438.5 Sheet1 年份 2007 270 232. 3 2008 319 515. 5 2009 349 081.4 2010 413 030. 3 2011 489 300. 6 2012 540 367. 4 2013 595 244.4 2014 643 974. 0 2015 689 052.1 2016 744 127. 2 Sheet2 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5. 6 5.8 6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0 28381 20380 14795 10695 7641 5502 3842 2698 1919 1356 973 746 604 435 274 206 148 98 57 41 25 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0 y 4.453 4.309 4.17 4.029 3.883 3.741 3.585 3.431 3.283 3.132 2.988 2.873 2.781 2.638 2.438 2.314 2.17 1.991 1.756 1.613 1.398 Sheet2 地震数N Sheet4 y Sheet5 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 7.0 28381 20380 14795 10695 7641 5502 3842 2698 1919 1356 973 746 604 435 274 206 148 98 57 41 25 Sheet5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 地震数N 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Sheet3 年份 年份 2007 270232.3 1997 79715 2008 319515.5 1998 85195.5 2009 349081.4 1999 90564.4 2010 413030.3 2000 100280.1 2011 489300.6 2001 110863.1 2012 540367.4 2002 121717.4 2013 595244.4 2003 137422 2014 643974 2004 161840.2 2015 689052.1 2005 187318.9 2016 744127.2 2006 219438.5 Sheet3 GDP/亿元 年份 1949 1950 1951 1955 1960 1965 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 总人口 /万人 54167 55196 56300 61465 66207 72538 82992 85229 87177 89211 90859 92420 93717 94974 96259 97542 98705 100072 101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124761 125786 126743 127627 128453 129227 129988 130756 131448 132129 132802 133450 134091 134735 135404 136072 136782 137462 138271 Chart1 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38 39 43 44.6 46 A商品销售额/万元 居民年收入/亿元 25 30 34 37 39 41 42 44 48 51 94 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 48.0714285714 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 27.2642857143 12.8117 15.1177 22.0357 23.1887 25.4947 27.8007 28.3772 30.1067 30.6832 31.8362 32.4127 32.9892 34.1422 34.7187 残差 -3.3117 2.6823 -0.8357 2.7113 2.0053 -1.5007 -0.1772 -0.5067 -0.4832 -0.4362 -1.6127 0.5108 1.0578 -0.1187 -25.0714285714 -21.0714285714 -9.0714285714 -7.0714285714 -3.0714285714 0.9285714286 1.9285714286 4.9285714286 5.9285714286 7.9285714286 8.9285714286 9.9285714286 11.9285714286 12.9285714286 -17.7642857143 -9.4642857143 -6.0642857143 -1.3642857143 0.2357142857 -0.9642857143 0.9357142857 2.3357142857 2.9357142857 4.1357142857 3.5357142857 6.2357142857 7.9357142857 7.3357142857 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 残差 -3.3117 2.6823 -0.8357 2.7113 2.0053 -1.5007 -0.1772 -0.5067 -0.4832 -0.4362 -1.6127 0.5108 1.0578 -0.1187 94 脂肪含量/% Sheet1 脂肪含量/% Sheet2 残差 Sheet3 n 9 p 0.3 概率 0 0.00 0 0.000470185 0.000470185 1 1 0.0047018498 0.0051720348 2 2 0.0219419659 0.0271140008 3 3 0.0633879016 0.0905019024 4 4 0.1267758032 0.2172777057 5 5 0.1859378448 0.4032155504 6 6 0.2065976053 0.6098131557 7 7 0.1770836617 0.7868968174 8 0.1180557745 0.9049525918 9 0.0612141053 0.9661666971 10 0.0244856421 0.9906523392 11 0.0074198915 0.9980722308 12 0.0016488648 0.9997210956 13 0.0002536715 0.9999747671 14 0.0000241592 0.9999989263 15 0.0000010737 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0.000470185 0.0047018498 0.0219419659 0.0633879016 0.1267758032 0.1859378448 0.2065976053 0.1770836617 0.1180557745 0.0612141053 0.0244856421 0.0074198915 0.0016488648 0.0002536715 0.0000241592 0.0000010737 Sheet3 101 1250 1158 1067 457 701 731 610 670 1493 762 549 36 30 37 11 11 13 17 13 29 4 15 101 鸟的种类/种 102 81.8 76.8 76.6 75.7 73.8 72.2 71.2 70.8 91.4 68.5 21 58 85 68 74 93 72 122 18 125 102 顾客投诉/次 103(1) 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38 39 43 44.6 46 25 30 34 37 39 41 42 44 48 51 103(1) A商品销售额/万元 居民年收入/亿元 103(2) 编号 身高/cm 体重/kg 身高/cm 臂展/cm 1 173 55 173 169 2 179 71 179 170 3 175 52 175 172 4 179 62 179 177 5 182 82 182 174 6 173 63 173 166 7 180 55 180 174 8 179 81 179 169 9 169 54 169 166 10 177 54 177 176 11 177 59 177 170 12 178 67 178 174 13 174 56 174 170 14 166 66 166 161 15 176 61 176 166 16 176 49 176 165 17 175 60 175 173 18 169 48 169 162 19 184 86 184 189 20 169 58 169 164 21 182 54 182 170 22 171 58 171 164 23 177 61 177 173 24 173 58 173 165 25 173 51 173 169 103(2) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 体重/kg 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 103(3) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 臂展/cm 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 103(4) 1 2 3 4 5 6 求和 -2 -1 0 1 2 3 3 -3 -1 1 3 5 7 12 6 1 0 3 10 21 41 4 1 0 1 4 9 19 9 1 1 9 25 49 94 103(4) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 103(5) 1 2 3 4 5 求和 0 1 2 3 4 10 0 1 4 9 16 30 0 1 8 27 64 100 0 1 4 9 16 30 0 1 16 81 256 354 103(5) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 航班正点率 1 2 3 4 5 6 求和 -2 -1 0 1 2 3 3 -8 -1 0 1 8 27 27 16 1 0 1 16 81 115 4 1 0 1 4 9 19 64 1 0 1 64 729 859 航班正点率 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Sheet4 1 2 3 4 5 求和 2 1 0 -1 -2 0 0 1.732 2 1.732 0 5.464 0 1.732 0 -1.732 0 0 4 1 0 1 4 10 0 2.999824 4 2.999824 0 9.999648 Sheet4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8.2 1 2 3 4 5 6 7 求和 1 2 4 6 10 14 20 57 19 32 44 40 52 53 54 294 19 64 176 240 520 742 1080 2841 1 4 16 36 100 196 400 753 361 1024 1936 1600 2704 2809 2916 13350 8.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 111 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 求和 81.8 76.8 76.6 75.7 73.8 72.2 71.2 70.8 91.4 68.5 758.8 F/N 21 58 85 68 74 93 72 122 18 125 736 1717.8 4454.4 6511 5147.6 5461.2 6714.6 5126.4 8637.6 1645.2 8562.5 53978.3 6691.24 5898.24 5867.56 5730.49 5446.44 5212.84 5069.44 5012.64 8353.96 4692.25 57975.1 441 3364 7225 4624 5476 8649 5184 14884 324 15625 65796 111 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F/N 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 113 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 求和 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.8 3 19.4 F/N 3.08 3.76 4.31 5.02 5.51 6.25 6.74 7.4 8.54 9.24 59.85 3.08 4.512 6.034 8.032 9.918 12.5 14.828 17.76 23.912 27.72 128.296 1 1.44 1.96 2.56 3.24 4 4.84 5.76 7.84 9 41.64 9.4864 14.1376 18.5761 25.2004 30.3601 39.0625 45.4276 54.76 72.9316 85.3776 395.3199 113 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F/N 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 114 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 114 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 儿子身高/cm 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 115 编号 残差 残差 1 174 176 174.943 1.057 174 1.057 2 170 176 171.587 4.413 170 4.413 3 173 170 174.104 -4.104 173 -4.104 4 169 170 170.748 -0.748 169 -0.748 5 182 185 181.655 3.345 182 3.345 6 172 176 173.265 2.735 172 2.735 7 180 178 179.977 -1.977 180 -1.977 8 172 174 173.265 0.735 172 0.735 9 168 170 169.909 0.091 168 0.091 10 166 168 168.231 -0.231 166 -0.231 11 182 178 181.655 -3.655 182 -3.655 12 173 172 174.104 -2.104 173 -2.104 13 164 165 166.553 -1.553 164 -1.553 14 180 182 179.977 2.023 180 2.023 115 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 残差 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 117 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 胸径/cm 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2 树高/m 18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7 117 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 树高/m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 编号 胸径/cm 树高观测值/m 树高预测值/m 残差/m 胸径/cm 残差/m 1 18.1 18.8 19.35 -0.6 18.1 -0.6 2 20.1 19.2 19.85 -0.7 20.1 -0.7 3 22.2 21.0 20.37 0.6 22.2 0.6 4 24.4 21.0 20.92 0.1 24.4 0.1 5 26.0 22.1 21.32 0.8 26 0.8 6 28.3 22.1 21.90 0.2 28.3 0.2 7 29.6 22.4 22.22 0.2 29.6 0.2 8 32.4 22.6 22.92 -0.3 32.4 -0.3 9 33.7 23.0 23.24 -0.2 33.7 -0.2 10 35.7 24.3 23.74 0.6 35.7 0.6 11 38.3 23.9 24.39 -0.5 38.3 -0.5 12 40.2 24.7 24.86 -0.2 40.2 -0.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 残差/m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 年份 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 记录/s 11.8 10.6 10.4 10.3 10.2 10.1 10 9.95 0 0 0 0 0 0 0 0 记录/s 0 0 0 0 0 0 0 0 x 0 2.83 3.26 3.56 3.71 4.11 4.17 4.29 11.8 10.6 10.4 10.3 10.2 10.1 10 9.95 0 0 0 0 0 0 0 0 Y/s 0 0 0 0 0 0 0 0 Chart2 1949 1950 1951 1955 1960 1965 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 54167 55196 56300 61465 66207 72538 82992 85229 87177 89211 90859 92420 93717 94974 96259 97542 98705 100072 101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124761 125786 126743 127627 128453 129227 129988 130756 131448 132129 132802 133450 134091 134735 135404 136072 136782 137462 138271 Sheet1 年份 2007 270 232. 3 2008 319 515. 5 2009 349 081.4 2010 413 030. 3 2011 489 300. 6 2012 540 367. 4 2013 595 244.4 2014 643 974. 0 2015 689 052.1 2016 744 127. 2 Sheet2 年份 总人口 /万人 年份 1949 1950 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