第10讲 分式的加减、乘除（4个知识清单+10类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（苏科版）

第10讲 分式的加减、乘除 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01同分母分式加减法.............................................................................................................................................................3 题型02异分母分式加减法.............................................................................................................................................................6 题型03整式与分式相加减.............................................................................................................................................................8 题型04分式加减混合运算...........................................................................................................................................................10 题型05分式加减的实际应用.......................................................................................................................................................14 题型06分式乘法...........................................................................................................................................................................17 题型07分式除法...........................................................................................................................................................................20 题型08分式乘除混合运算...........................................................................................................................................................22 题型09分式加减乘除混合运算...................................................................................................................................................24 题型10分式化简求值...................................................................................................................................................................26 分层练习.........................................................................................................................................................................................29 夯实基础.........................................................................................................................................................................................29 能力提升.........................................................................................................................................................................................41 知识点1．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 知识点2．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 知识点3．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 知识点4．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 题型01同分母分式加减法 1．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如果a，b，c是正数，且满足，，那么求的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）对于正数x，规定则的值为 ． 3．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）化简： (1)； (2) 题型02异分母分式加减法 4．（2024八年级下·江苏·专题练习）化简的结果是（　　） A． B． C． D．1 5．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）若，则 ． 6．（23-24八年级下·江苏南京·期末）已知，试说明． 题型03整式与分式相加减 7．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·江苏南京·期中）若，则 ． 9．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 题型04分式加减混合运算 10．（21-22八年级下·江苏扬州·期中）某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行一次，在没有风时，飞行器的速度为v，所需时间为t1；如果风速度为p时（0＜p＜v），飞行器顺风飞行速度为（v＋p），逆风飞行速度为（v﹣p），所需时间为t2．则t1、t2的大小关系为（    ） A．t1＜t2 B．t1≤t2 C．t1≥t2 D．t1＞t2 11．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 12．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料： 若，试求、的值．（其中、为常数） 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． (1)已知（其中、为常数）求、的值； (2)若对任意自然数都成立，则______，______． (3)计算：______． 题型05分式加减的实际应用 13．（八年级下·江苏无锡·期中）小丽无风时从家骑自行车到学校需要时间t分钟，若她逆风骑车，则需要提前a分钟出发，才能按时到达学校，则风速为(   ) A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·江苏南京·期中）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前 天完成任务． 15．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）课堂上，老师提出下面的问题： 已知，，，试比较M与N的大小．小聪：整式的大小比较可采用“作差法” 老师：比较与的大小． 小聪：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … (1)请用“作差法”完成老师提出的问题； (2)比较大小： ；（填“＜”“＝”或“＞”） (3)解决上述问题后，小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？” 我们不妨设原有糖水a克，其中含糖b克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖（），糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释其中的奥秘． 题型06分式乘法 16．（21-22八年级下·江苏常州·期末）下列计算中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）化简： ． 18．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）计算： （1）； （2）； （3）先化简，再从，1，0三个数中，选一个恰当的数作为的值代入求值． 题型07分式除法 19．（八年级下·江苏连云港·阶段练习）化简÷ 的结果是（  ） A．m B．﹣m C． D．﹣ 20．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）化简： ． 21．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）计算并化简： (1)． (2) 题型08分式乘除混合运算 22．（2023八年级下·江苏·专题练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 23．（21-22八年级下·江苏泰州·期中）化简： ． 24．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) (2) 题型09分式加减乘除混合运算 25．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知x为整数，且为整数，则所有符合条件的x的值有（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 26．（23-24八年级上·江苏南通·期末）一项工作由甲单独做，需天完成；若由甲、乙两人合作，则可提前1天完成，则乙单独完成该项工作需要的天数为 ． 27．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 题型10分式化简求值 28．（2024七年级下·江苏·专题练习）已知，则的值是（　　） A．27 B．25 C．23 D．7 29．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，则 ． 30．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）已知（其中a，b，c为常数），求m；（用含有a，b，c的代数式表示） （2）由“”到“”，可以看作是对分式进行“裂式分解”．若分式的值为整数，求整数x的值． 夯实基础 一、单选题 1．计算（）3÷的结果是（　　） A．   B．y2 C．y4 D．x2y2 2．下列各分式运算结果正确的是（    ） ①；②；③；④ A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 3．从甲地到乙地依次需经过的上坡路和的下坡路．已知小明骑车在上坡路上的速度为，在下坡路上的速度为，则他骑车从甲地到乙地需多长时间？（      ） A． B． C． D． 4．下列各式中，运算结果等于的是（    ）. A． B． C． D． 5．化简（a﹣1）÷（﹣1）•a的结果是（　　） A．﹣a2 B．1 C．a2 D．﹣1 6．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．若分式“”可以进行约分化简，则“○”不可以是（    ） A．1 B．x C． D．4 8．已知，用a表示c的代数式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知，则的值是 ． 10．计算： ． 11．= ． 12．化简x2÷（）2的结果为 . 13．计算:= . 14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分别为AC、BC边上的点，且△CDE的面积为1，设CD=x，则△ADE的面积为 ．（用含x的代数式表示） 三、解答题 15．化简式子，并在，0，1，2中选一个合适的数字代入求值． 16．计算：. 17．计算：- 18．通分： (1)，，； (2)，． 19．先化简，再求值：，其中x满足． 20．先化简，再求值：，其中x的值从不等式组的整数解中选取一个． 一、单选题 21．下列计算正确的是(  ) A． B． C． D． 22．化简的结果是(   ) A．1 B． C． D．－1 二、填空题 23．计算:= . 24．已知，其中A、B是常数，则 ． 三、解答题 25．先化简，再求值：（）∙，其中x=2． 26．先化简，再求值，其中 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 分式的加减、乘除 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01同分母分式加减法.............................................................................................................................................................3 题型02异分母分式加减法.............................................................................................................................................................6 题型03整式与分式相加减.............................................................................................................................................................8 题型04分式加减混合运算...........................................................................................................................................................10 题型05分式加减的实际应用.......................................................................................................................................................14 题型06分式乘法...........................................................................................................................................................................17 题型07分式除法...........................................................................................................................................................................20 题型08分式乘除混合运算...........................................................................................................................................................22 题型09分式加减乘除混合运算...................................................................................................................................................24 题型10分式化简求值...................................................................................................................................................................26 分层练习.........................................................................................................................................................................................29 夯实基础.........................................................................................................................................................................................29 能力提升.........................................................................................................................................................................................41 知识点1．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 知识点2．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 知识点3．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 知识点4．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 题型01同分母分式加减法 1．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如果a，b，c是正数，且满足，，那么求的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【知识点】分式的求值、同分母分式加减法 【分析】本题考查的是分式的求值，熟知分式变形的法则是解答此题的关键．先根据题意得出，，，再代入原式进行计算即可． 【详解】解：∵a，b，c是正数，且满足，， ∴，，， ∴ ， 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）对于正数x，规定则的值为 ． 【答案】2023.5 【知识点】数字类规律探索、同分母分式加减法 【分析】本题主要考查了求代数式的值，数字规律问题， 先求出，进而得出，再结合题意，，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原式． 故答案为：2023.5． 3．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）化简： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【知识点】约分、同分母分式加减法 【分析】（）根据分式约分即可求解； （）根据分式异分母加法运算法则即可求解； 本题考查了分式约分，异分母加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型02异分母分式加减法 4．（2024八年级下·江苏·专题练习）化简的结果是（　　） A． B． C． D．1 【答案】D 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查异分母的分式的减法，掌握分式加减法的法则是解题的关键． 先分解因式并约分，再加减即可． 【详解】 故选：D． 5．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【知识点】分式的求值、异分母分式加减法 【分析】本题考查分式的运算． 由得到，从而，代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 6．（23-24八年级下·江苏南京·期末）已知，试说明． 【答案】见解析 【知识点】异分母分式加减法、不等式的性质 【分析】本题考查了分式的加减，不等式的性质，由得，进而可得出． 【详解】解： ∵，∴ ∴ ∴ ∴ 题型03整式与分式相加减 7．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】整式与分式相加减、同分母分式加减法、将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】根据分式的性质、分式的加减运算进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的性质，分式的运算法则，熟练掌握分式的性质与运算法则是解题的关键． 8．（23-24八年级下·江苏南京·期中）若，则 ． 【答案】2 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式与分式相加减 【分析】本题考查了分式的加减与化简求值，熟练掌握分式的加减法是解题的关键．根据已知条件可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【知识点】同分母分式加减法、整式与分式相加减 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果； （2）将分式变形后利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型04分式加减混合运算 10．（21-22八年级下·江苏扬州·期中）某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行一次，在没有风时，飞行器的速度为v，所需时间为t1；如果风速度为p时（0＜p＜v），飞行器顺风飞行速度为（v＋p），逆风飞行速度为（v﹣p），所需时间为t2．则t1、t2的大小关系为（    ） A．t1＜t2 B．t1≤t2 C．t1≥t2 D．t1＞t2 【答案】A 【知识点】分式加减混合运算、列代数式 【分析】直接根据题意表示出t1、t2的值，进而利用分式的性质计算得出答案． 【详解】解∶∵， ， ∵， ∴ 故选∶A． 【点睛】此题主要考查了列代数式，正确进行分式的加减运算法则是解题关键． 11．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 【答案】6 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式加减混合运算 【分析】本题考查的是分式的加减法和求值，根据分式的加减法运算法则计算并代入求值即可． 【详解】解：∵非零实数x，y满足， ∴ ， 故答案为：6． 12．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料： 若，试求、的值．（其中、为常数） 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． (1)已知（其中、为常数）求、的值； (2)若对任意自然数都成立，则______，______． (3)计算：______． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】分式加减混合运算 【分析】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法计算即可求解； （2）根据阅读材料中的方法计算即可求解； （3）将所求式子转化为，即可求解． 【详解】（1）解： 等式右边通分得： ， ， 解得：； （2） 等式右边通分得： ， ， 解得：， 故答案为：，； （3） ， 故答案为：． 题型05分式加减的实际应用 13．（八年级下·江苏无锡·期中）小丽无风时从家骑自行车到学校需要时间t分钟，若她逆风骑车，则需要提前a分钟出发，才能按时到达学校，则风速为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】小丽无风时从家骑自行车到学校需要时间t分钟，则每分钟的速度为 若她逆风骑车，则需要提前a分钟出发，则每分钟的速度为即可求出风速. 【详解】小丽无风时从家骑自行车到学校需要时间t分钟，则每分钟的速度为 若她逆风骑车，则需要提前a分钟出发，则每分钟的速度为 则风速为： 故选:C. 【点睛】题考查列代数式，掌握风速=无风时的速度-逆风速度即可. 14．（23-24八年级下·江苏南京·期中）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前 天完成任务． 【答案】 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题主要考查了分式减法的应用．根据题意列出代数式，再计算，即可． 【详解】解：根据题意得： ， 即结果提前天完成任务． 故答案为： 15．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）课堂上，老师提出下面的问题： 已知，，，试比较M与N的大小．小聪：整式的大小比较可采用“作差法” 老师：比较与的大小． 小聪：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … (1)请用“作差法”完成老师提出的问题； (2)比较大小： ；（填“＜”“＝”或“＞”） (3)解决上述问题后，小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？” 我们不妨设原有糖水a克，其中含糖b克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖（），糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释其中的奥秘． 【答案】(1) (2)< (3)加糖后糖水会变甜，理由见解析 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题主要考查了分式的加减的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意得，，又，则，进而可以判断得解； （2）依据题意，结合（1）当时，从而可得，从而可以得解； （3）依据题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为，进而可得，再结合，可得0，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 又， ， ， ， ∴； （2）由题意，结合（1）当时， ， 故答案为：． （3）由题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为． ， 又， ， ， ， ∴在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜． 题型06分式乘法 16．（21-22八年级下·江苏常州·期末）下列计算中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式乘法、判断分式变形是否正确 【分析】利用分式的性质、乘法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不能约分，所以，则此项错误，不符题意； B、，则此项正确，符合题意； C、，则此项错误，不符题意； D、，则此项错误，不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的性质是解题关键． 17．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）化简： ． 【答案】 【知识点】分式乘法、约分 【分析】根据分式的性质约分计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的约分，解题的关键是掌握约分法则． 18．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）计算： （1）； （2）； （3）先化简，再从，1，0三个数中，选一个恰当的数作为的值代入求值． 【答案】（1）；（2）；（3），当时，原式 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值、分式乘法 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，分式的化简求值： （1）根据分式乘法计算法则求解即可； （2）先计算小括号内的同分母分式减法，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案； （3）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可． 【详解】解：（1）； （2） ； （3） ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式． 题型07分式除法 19．（八年级下·江苏连云港·阶段练习）化简÷ 的结果是（  ） A．m B．﹣m C． D．﹣ 【答案】B 【知识点】分式除法 【详解】分析：将除法改成乘法，然后进行约分化简得出答案． 详解：原式=，故选B． 点睛：本题主要考查的是分式的化简法则，属于基础题型．在分式化简的时候我们一定要首先学会因式分解． 20．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）化简： ． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】本题主要考查了分式的化简，熟练掌握分式的分子分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变是解决此题的关键．根据分式的基本性质进行化简即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 21．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）计算并化简： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】分式除法、异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的化简，正确掌握分式的除法运算法则，以及分式的加减运算法则是解题的关键． （1）先通分，再利用同分母分式的减法法则计算，即可解题． （2）利用分式除法法则计算，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型08分式乘除混合运算 22．（2023八年级下·江苏·专题练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】先计算乘方，再计算除法，然后化简即可． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的乘除运算，熟记运算法则是解题关键． 23．（21-22八年级下·江苏泰州·期中）化简： ． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】先用完全平方公式变形分子，再约分来求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式乘除法运算，理解完全平方公式和运算法则是解答关键． 24．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘除混合运算、分式除法 【分析】（1）根据分式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据分式除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式乘除运算，解题的关键是熟练掌握分式乘除混合运算法则，准确计算． 题型09分式加减乘除混合运算 25．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知x为整数，且为整数，则所有符合条件的x的值有（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查分式的化简，首先对所求的式子进行化简，然后根据分子一定是分母的整数倍即可求得x的值，从而求解． 【详解】解：∵， ∵为整数， ∴整数的值为，，， 即整数为（舍），共个， 故选C． 26．（23-24八年级上·江苏南通·期末）一项工作由甲单独做，需天完成；若由甲、乙两人合作，则可提前1天完成，则乙单独完成该项工作需要的天数为 ． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了列分式以及分式的混合运算，掌握分式混合运算的计算法则及工程问题中“工作效率×工作时间=工作总量”的等量关系是解题的关键． 设总工作量为单位“1”，由“工作效率=工作总量÷工作时间”可求得甲乙两人的合作效率，然后求得乙的工作效率，从而完成解答． 【详解】解：∵一项工作由甲单独做，需a天完成， ∴甲的工作效率为， 又∵由甲、乙两人合作，则可提前2天完成， ∴甲、乙的合作效率为， ∴乙的工作效率为， ∴乙单独完成该项工作需要的天数为， 故答案为： ． 27．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，即时， 原式 ． 题型10分式化简求值 28．（2024七年级下·江苏·专题练习）已知，则的值是（　　） A．27 B．25 C．23 D．7 【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式化简求值 【分析】本题考查分式求值、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．将两边平方得，利用完全平方公式转化成，即可求解． 【详解】解：将两边平方得：， 即， 则． 故选：A． 29．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】/ 【知识点】分式化简求值、等式的性质 【分析】本题考查了等式的性质，，分式的化简，将、用同一未知数表示是解题关键．设，得到，，，再代入化简求值即可． 【详解】解：设， ，， ， 故答案为： 30．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）已知（其中a，b，c为常数），求m；（用含有a，b，c的代数式表示） （2）由“”到“”，可以看作是对分式进行“裂式分解”．若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】（1）；（2）当或时，分式的值为整数 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的运算和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算， （1）把式子进行转化，即可得解； （2）根据分式的值为整数，然后将分式进行变形讨论，即可得的值． 【详解】（1） ； （2）， 结果为整数，x为整数， ， 当或时，分式的值为整数． 夯实基础 一、单选题 1．计算（）3÷的结果是（　　） A．   B．y2 C．y4 D．x2y2 【答案】B 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式＝ ＝ = ， 故选：B． 【点睛】此题考查分式的运算及幂的运算，难度一般． 2．下列各分式运算结果正确的是（    ） ①；②；③；④ A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】C 【分析】根据分式乘除法则逐一计算判断即可． 【详解】解：①，计算正确； ②，计算正确； ③，计算错误； ④，计算错误； 故选C． 【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．从甲地到乙地依次需经过的上坡路和的下坡路．已知小明骑车在上坡路上的速度为，在下坡路上的速度为，则他骑车从甲地到乙地需多长时间？（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式加减的计算，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系．分别求出小刚上坡路走的时间和下坡路走的时间，然后相加求解即可． 【详解】上坡路走的时间：， 下坡路走的时间：， 总时间为：． 故选：D． 4．下列各式中，运算结果等于的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的运算即可依次判断. 【详解】A. =，故错误； B. ，故正确； C. =，故错误； D. =，故错误； 故选B. 【点睛】此题主要考查分式乘除，解题的关键是熟知分式的乘除运算法则. 5．化简（a﹣1）÷（﹣1）•a的结果是（　　） A．﹣a2 B．1 C．a2 D．﹣1 【答案】A 【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】原式=（a﹣1）÷•a =（a﹣1）••a =﹣a2， 故选A． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 6．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式运算法则，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，选项A不符合题意； B、，选项B不符合题意； C、，选项C不符合题意； D、，选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查分式运算，涉及通分、分式加减运算法则等知识，熟练掌握分式相关运算法则是解决问题的关键． 7．若分式“”可以进行约分化简，则“○”不可以是（    ） A．1 B．x C． D．4 【答案】C 【分析】将1，x，-x，4，逐一代替“○”，分解因式后可以约分化简的不合题意，不可以约分化简的符合题意． 【详解】A．，可以进行约分化简，“○”可以是1，不合题意； B．，可以进行约分化简，“○”可以是x，不合题意； C．，不可以进行约分化简，“○”不可以是-x，合题意； D．， 可以进行约分化简，“○”可以是4，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的乘法，解决问题的关键是熟练掌握分解因式，约分化简． 8．已知，用a表示c的代数式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入消去b，进行化简即可得到结果． 【详解】解：把代入，得 ， ， ， ， ， ． 故选D． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，列代数式．熟练掌握运算法则是解题的关键． 二、填空题 9．已知，则的值是 ． 【答案】2 【分析】根据分式的运算法则即可得． 【详解】解：可化为， 则， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了分式的减法，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．异分母分式相加减，先通分，化成同分母分式相加减；同分母分式相加减，分母不变，分子相加减． 10．计算： ． 【答案】-1 【分析】对于本题,其最简公分母为x-2,所得通分结果为 .先选取各项分式的最小公分母，可以得到最小公分母为：x-2.将各分式合并为一个分式,把分子合并即可得到通分结果. 【详解】通分,得 合并同类项,得 得： -1 故答案为-1. 【点睛】此题考查分式的加减，解题关键在于掌握分式中分母不为零. 11．= ． 【答案】-1 【分析】因为b-a=-（a-b），所以可以看成是同分母的分式相加减． 【详解】= 【点睛】本题考查了分式的加减法，解题的关键是构建出相同的分母进行计算． 12．化简x2÷（）2的结果为 . 【答案】. 【分析】先乘方，再算除法． 【详解】原式=x2÷ =x2× = 故答案为. 【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握运算顺序是解决本题的关键．先乘方，再乘除，最后算加减．有括号的先算括号里面的． 13．计算:= . 【答案】 【分析】先将分式通分，再合并计算. 【详解】===. 【点睛】此题主要考查分式的加减. 14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分别为AC、BC边上的点，且△CDE的面积为1，设CD=x，则△ADE的面积为 ．（用含x的代数式表示） 【答案】 【分析】根据△CDE的面积为1和CD=x，可以用含x的代数式表示出CE，再根据AC=3，可以得到AD=3-x，然后用含x的代数式表示△ADE的面积． 【详解】解：∵∠C=90°，△CDE的面积为1，CD为x， ∴， 解得CE=， ∵AC=3， ∴AD=AC-CD=3-x， ∴△ADE的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，用含x的代数式表示出CE和AD． 三、解答题 15．化简式子，并在，0，1，2中选一个合适的数字代入求值． 【答案】，． 【详解】原式 ， ，， ，1，， 故， 当时，原式． 16．计算：. 【答案】- 【分析】根据分式的除法法则可以解答本题． 【详解】原式==． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，解答本题的关键是明确分式乘除法的计算方法． 17．计算：- 【答案】x＋3 【详解】试题分析：根据分式加减的运算法则进行运算即可. 试题解析：原式 18．通分： (1)，，； (2)，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先找分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数，再找所有字母的最高次幂作为最简公分母的因式，然后把分式变成同分母即可； （2）先把分母进行因式分解，再找最简公分母即可． 【详解】（1）解：，，的最简公分母是 ， ， ； （2），的最简公分母是， ， ． 【点睛】本题主要考查了分式的通分，其中还涉及到因式分解，正确找出各分式的最简公分母是解本题的关键． 19．先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】，． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 20．先化简，再求值：，其中x的值从不等式组的整数解中选取一个． 【答案】化简得：，取x=0代入得原式=2．（也可以取x=2，代入得原式=0） 【分析】直接将括号里面通分化简，进而利用分式混合运算法则计算，然后解不等式组，得出符合题意的x的值，进而得出答案． 【详解】解：原式 ． 给不等式组标记为：， 由①得：， 由②得， ∴解不等式解集为． ∴x能取得整数解有：﹣1、0、1、2， 又∵ ∴， ∴取x= 0代入得：原式=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值和一元一次不等式组的整数解，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键． 能力提升 一、单选题 21．下列计算正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的除法法则、零指数幂、负整数指数幂的意义、分式的乘除运算法则逐项排查即可． 【详解】解：A、a5÷a=a4，原计算错误，故此选项不符合题意； B、-20=-1，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法法则、零指数幂、负整数指数幂的意义、分式的乘除运算法则等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 22．化简的结果是(   ) A．1 B． C． D．－1 【答案】B 【详解】试题分析： ＝ ＝ ＝． 故选B． 二、填空题 23．计算:= . 【答案】-2 【分析】将分子、分母能因式分解的因式分解，同时将除法转化为乘法，依据分式的基本性质整体约分可得答案． 【详解】解：原式==-2. 【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解题关键． 24．已知，其中A、B是常数，则 ． 【答案】/ 【分析】将分式方程转化为整式方程，再由等式的性质得到，，分别求出、即可． 【详解】解：分式的最简公分母是， 方程两边同时乘以最简公分母，得 ， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式加减法；熟练掌握分式加减法运算，同时能结合二元一次方程组求解与． 三、解答题 25．先化简，再求值：（）∙，其中x=2． 【答案】，8 【分析】先计算括号中的异分母分式减法，再计算乘法，最后代入字母的值计算即可． 【详解】解：原式= = = 当x=2时，原式=2×2+4=8． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 26．先化简，再求值，其中 【答案】， 【分析】先通过分式的通分运算括号内的式子，再转化为乘法运算分式的乘除法，最后代入m的值求出答案即可． 【详解】解：原式 当时，原式= 【点睛】本题考查分式的混合运算，能够熟练的运算分式的加减乘除是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$