11.3.2 直线与平面平行-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册作业与测评word（人教B版2019）

11．3.2　直线与平面平行 知识点一　直线与平面平行的判定 1.平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且＝，如图所示，则BC与平面α的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．BC⊂α 答案：A 解析：因为＝，所以ED∥BC，又DE⊂α，BC⊄α，所以BC∥α.故选A. 2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列直线与平面BC1D1平行的是(　　) A．直线AC B．直线AB1 C．直线CD D．直线AA1 答案：C 解析：因为A∈平面BC1D1，所以直线AC，AB1，AA1与平面BC1D1不平行，故A，B，D不符合题意；因为CD∥C1D1，CD⊄平面BC1D1，C1D1⊂平面BC1D1，所以CD∥平面BC1D1，故C符合题意． 3．已知直线l和平面α，则下列结论正确的是________(填序号)． ①若直线l与平面α内的无数条直线平行，则l∥α或l⊂α；②若直线l与平面α内的任意一条直线都不平行，则直线l与平面α相交；③若l∥α，则直线l与平面α内的所有直线都平行；④若l∩α＝A，则存在平面α内的直线b，使b∥l. 答案：①② 解析：易知①②正确；③中，直线l与平面α内的直线可能平行，也可能异面；④中，如果直线l与平面α相交，那么在α内没有直线与其平行． 4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，D是AB的中点．求证：BC1∥平面CA1D. 证明：如图，连接AC1，交A1C于点O，连接OD，则O是AC1的中点． ∵D是AB的中点， ∴OD∥BC1. 又OD⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D， ∴BC1∥平面CA1D. 知识点二　直线与平面平行的性质 5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过A1，C1，B三点的平面与底面ABCD的交线为l，则直线l与A1C1的位置关系为(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．以上三者都有可能 答案：A 解析：根据正方体的性质可知A1C1∥AC，由于A1C1⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，由于平面A1C1B∩平面ABCD＝l，A1C1⊂平面A1C1B，所以l∥A1C1. 6．已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，则直线a与直线b(　　) A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定 答案：B 解析：因为直线a∥平面α，直线a∥平面β，所以在α，β中均可找到一条直线与直线a平行．设m在平面α内，n在平面β内，且m∥a，n∥a，所以m∥n.又因为m不在平面β内，n在平面β内，所以m∥β.又因为α∩β＝b，所以m∥b.又因为m∥a，所以a∥b.故选B. 7.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，E是A1C1上一点，且A1B∥平面B1DE，则的值为________． 答案： 解析：连接BC1交B1D于点F，连接EF.因为平面A1BC1∩平面B1DE＝EF，A1B∥平面B1DE，所以A1B∥EF，所以＝.因为BC∥B1C1，所以△BDF∽△C1B1F，所以＝.因为D是BC的中点，所以＝，所以＝. 8.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH，点H在线段BD上．求证：AP∥GH. 证明：如图，连接AC，设AC交BD于点O，连接MO. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点， 又M是PC的中点， ∴MO∥PA. 又MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM， ∴PA∥平面BDM. 又PA⊂平面PAHG，平面PAHG ∩平面BDM＝GH， ∴AP∥GH. 一、单选题 1．若直线a，b都和平面α平行，则直线a，b的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．异面 D．以上三者都有可能 答案：D 解析：可以画出直线a，b的三种位置关系的图形． 2．棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不相交 答案：A 解析：因为棱柱的侧棱是互相平行的，所以由直线与平面平行的判定定理可知，侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面平行． 3．空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC与平面DEF的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．在平面内 D．不能确定 答案：A 解析：如图所示，在平面ABC内，因为AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，所以AC∥EF.又因为AC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，所以AC∥平面DEF.故选A. 4.如图，四棱锥S－ABCD中所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为(　　) A．2＋ B．3＋ C．3＋2 D．2＋2 答案：C 解析：∵AB＝BC＝CD＝AD＝2，∴四边形ABCD为菱形，∴CD∥AB.又CD⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，∴CD∥平面SAB.又CD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面SAB＝EF，∴CD∥EF.∴EF∥AB.又E为SA的中点，∴EF＝AB＝1.又△SAD和△SBC都是等边三角形，∴DE＝CF＝2×sin60°＝，∴四边形DEFC的周长为CD＋DE＋EF＋FC＝2＋＋1＋＝3＋2.故选C. 5．(2024·四川绵阳高一期末)在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别是BC，CD的中点，则(　　) A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是矩形 B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 答案：B 解析：如图所示，在平面ABD内，∵AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，∴EF∥BD，又BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，∴EF∥平面BCD.∵H，G分别是BC，CD的中点，∴HG∥BD，∴HG∥EF，又＝＝，＝＝，∴EF≠HG，∴四边形EFGH为梯形．故选B. 二、多选题 6．如图，下列正三棱柱ABC－A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则能得出AB∥平面MNP的是(　　) 答案：ABD 解析：对于A，B，∵M，N分别为A1C1，B1C1的中点，∴MN∥A1B1，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∴MN∥AB，∵MN⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB∥平面MNP；对于C，如图所示，取AB的中点Q，连接MQ，PQ，∵M，N分别为A1B1，B1C1的中点，∴MN∥A1C1，同理可得PQ∥AC，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC，∴MN∥PQ，又MQ∥BB1∥PN，则四边形MNPQ为平行四边形，∴AB与平面MNPQ相交；对于D，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥BB1且AA1＝BB1，且N，P分别为AA1，BB1的中点，∴AN∥PB且AN＝PB，则四边形ABPN为平行四边形，∴AB∥PN，∵AB⊄平面MNP，PN⊂平面MNP，∴AB∥平面MNP. 7.(2024·甘肃武威高一开学考试)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱BB1，B1C1，C1D1的中点，则(　　) A．FG∥平面AED1 B．BC1∥平面AED1 C．BC1与GF异面 D．点F在平面AED1内 答案：BCD 解析：对于B，D，连接EF，B1D1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥C1D1且AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，则AD1∥BC1，且AD1⊂平面AED1，BC1⊄平面AED1，所以BC1∥平面AED1，又因为EF∥BC1，则EF∥AD1，可知E，F，D1，A四点共面，即点F在平面AED1内，故B，D正确；对于A，因为F在平面AED1内，所以FG与平面AED1不平行，故A错误；对于C，BC1与GF为异面直线，故C正确．故选BCD. 三、填空题 8.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长为________． 答案： 解析：因为直线EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EF＝AC.又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2，所以EF＝. 9.若直线a∥平面α，A∉α，且直线a与点A位于α的两侧，B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF的长为________． 答案： 解析：∵BC∥α，BC⊂平面ABC，平面ABC∩α＝EF，∴EF∥BC，∴＝，即＝，∴EF＝. 10.已知三棱柱ABC－A1B1C1中，E是BC的中点，D是AA1上的动点，且＝m，若AE∥平面DB1C，则m的值为________． 答案：1 解析：如图，取B1C的中点F，连接DF，EF，则EF∥AD，所以A，D，E，F四点共面，又AE∥平面DB1C，平面ADFE∩平面DB1C＝DF，所以AE∥DF，所以四边形ADFE是平行四边形，所以AD＝EF＝AA1，所以＝1，即m＝1. 四、解答题 11.如图，在四面体A－BCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.求证：PQ∥平面BCD. 证明：取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OP，OF，FQ(如图)． ∵AQ＝3QC， ∴＝＝3， ∴QF∥AD，且QF＝AD. ∵O，P分别为BD，BM的中点， ∴OP∥AD，且OP＝DM. ∵M为AD的中点， ∴OP＝AD. ∴OP∥QF，且OP＝QF， ∴四边形OPQF是平行四边形， ∴PQ∥OF. 又PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD， ∴PQ∥平面BCD. 12.如图所示，已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，CD＝2AB，M为线段PC上一点． (1)设平面PAB∩平面PDC＝l，证明：AB∥l； (2)在棱PC上是否存在点M，使得PA∥平面MBD？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：因为AB∥CD，AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC. 又因为平面PAB∩平面PDC＝l，且AB⊂平面PAB，所以AB∥l. (2)存在点M，使得PA∥平面MBD， 此时＝. 理由如下： 连接AC，交BD于点O，连接MO. 因为AB∥CD， 所以△AOB∽△COD. 又CD＝2AB， 所以＝＝. 又因为＝，PC∩AC＝C， 所以PA∥MO. 又因为PA⊄平面MBD，MO⊂平面MBD， 所以PA∥平面MBD. 13.(2024·山西晋中高一下期中)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，P为DD1的中点，过PB的平面α分别与棱AA1，CC1交于点E，F，且AC∥α，则截面四边形PEBF的面积为________． 答案：2 解析：如图，过点B作AC的平行线，分别与DA，DC的延长线交于点G，H，连接PG，PH，并分别与AA1，CC1交于点E，F，因为AC∥GH，且AC⊄平面PGH，GH⊂平面PGH，所以AC∥平面PGH，所以平面PGH即为平面α，因为AB＝AD＝2，AA1＝4，P为DD1的中点，所以AE＝CF＝1，所以四边形PEBF为菱形，且EF＝2，PB＝2，所以S四边形PEBF＝×EF×PB＝×2×2＝2. 14.(2024·浙江高一下期中)如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，F为PA的中点，E为PB的中点． (1)求证：PC∥平面BFD； (2)已知点M在PD上，且满足EC∥平面BFM，求的值． 解：(1)证明：连接AC，交BD于点O，连接FO， 在△PAC中，F为PA的中点，O为AC的中点，则PC∥FO. 又PC⊄平面BFD，FO⊂平面BFD， 故PC∥平面BFD. (2)如图，连接FM，并延长交AD延长线于点G，连接BG，交CD于点N，连接EF，FN，PG，EN. 因为EF∥CN，所以E，F，N，C四点共面． 又EC∥平面BFM，平面BFM∩平面EFNC＝FN， 则EC∥FN，四边形EFNC为平行四边形，可得EF＝CN＝CD， 所以N为CD的中点． 则△BCN≌△GDN，N为BG的中点． 即EN为△PBG的中位线， 则EN∥PG，EN＝PG. 又EF＝DN，EF∥DN，则四边形EFDN为平行四边形，EN∥FD. 从而FD∥PG，△FMD∽△GMP， 所以＝＝＝2. 11 学科网（北京）股份有限公司 $$