专题01 空间向量与立体几何（考点串讲）(考点聚焦+题型突破+易错剖析+猜题押题）高二数学下学期苏教版

高二苏教版（24-25学年）数学选择性必修2期中考点大串讲 串讲01 空间向量与立体几何（5考点&10题型 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点、明确复习目标 十大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 精选期中真题对应考点练 01考点透视 题型剖析 题型一　利用空间向量的数量积求线段的长度及夹角问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型二　用空间向量基本定理解决相关的几何问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型三　空间向量及其运算的坐标表示 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型四　求平面的法向量 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型五　利用向量研究平行问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型六　利用向量研究垂直问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型七　异面直线所成的角 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型八　利用空间向量解决线面角 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型九　利用空间向量解决二面角 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型十　利用空间向量距离问题 技巧点拨 举一反三 03易错易混 易错点1　忽略异面直线所成角与向量夹角的关系致错 03易错易混 易错点2　忽视异面直线所成角的范围致错 03易错易混 易错点3　忽略两平面法向量的夹角与二面角平面角的关系致错 针对训练 04押题预测 A C B A D 谢谢观看！ 例1、如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的菱形， ，. (1)求线段的长；(2)求异面直线与所成角的大小. 【解析】(1)设，，，则，，，， ，∵， ∴∴线段的长为. (2)∵，，∴， ∴，故异面直线与所成的角为90°. 传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算， 但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解， 无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。 【变式】空间四边形的各边及对角线长为，是的中点，在上，且，设， ，，(1)用，，表示；(2)求向量与向量所成角的余弦值. 【解析】(1)因为，，，所以. (2)因为空间四边形的各边及对角线长为，所以四面体是正四面体，， 且，，间的夹角为，所以， ， ， 所以，所以，所以余弦值为. 例2、已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点， G是MN的中点，求证：OG⊥BC． 【解析】在空间四边形OABC中，令，则， 令，G是MN的中点， 则，， 于是得 ，因此，，所以OG⊥BC. 应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等. 首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示. (1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0; (2)若证明线线平行,只需证明两向量共线; (3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角). 【变式】已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，. （1）证明：；（2）求异面直线与夹角的余弦值. 【解析】设，，由题可知：两两之间的夹角均为，且， （1）由所以即证. （2）由，又所以， 又则 又异面直线夹角范围为所以异面直线夹角的余弦值为. 例3、平行六面体中，，则点的坐标为（       ） A． B． C． D． 【解析】设， ∵，又， ∴， 解得，即. 故选：B. 空间线段中点坐标空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. 向量数量积的坐标运算若，则 空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式若，则 . 空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 【变式】四棱锥的底面是正方形，平面，且，若， 则点的空间直角坐标为（       ）A． B． C． D． 【解析】由题意得，，所以， 所以，所以的坐标为． 故选：B． 例4、已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 【解析】因为，，所以， 因为平面的一个法向量为，所以， 则，解得， 故选：C. 求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z）， 再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量）， 则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程， 再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个， 因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 【变式】如图，已知平面内有，，三点，求平面的法向量． 【解析】不妨设平面的法向量，又， 故可得，即，不妨取，故可得， 故平面的一个法向量为. 又平面的法向量不唯一，只要与向量平行且非零的向量均可. 故答案为：. 例5、已知正方体中，棱长为2a，M是棱的中点.求证：平面. 【解析】以点D为原点，分别以､与的方向为x､y与z轴的正方向， 建立空间直角坐标系.则､､､､､､､ ，M是棱的中点得，.设面的一个法向量为， ，，则令，则. 又，因为平面，所以平面. （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与 已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量 能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【变式】在正方体中，点E，F分别是正方形和正方形的中心． 求证：平面； 【解析】设平面的法向量为， 则，故可设. ， ，平面，所以平面. 例6、如图所示，在棱长为1的正方体，中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且， 其中，以O为原点建立空间直角坐标系．求证：； 【解析】由已知得，，，， 则，， ∴， ∴， 即． （1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【变式】已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点． 若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置． 【解析】设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)． ∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e) ∴， ， ，.∴,　 取x1＝x2＝1，得＝(1，－1，－1)，＝(1，－1，)．由平面A1BD⊥平面EBD 得⊥.∴2－＝0，即e＝.∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD. 例7、如图所示，在四棱维中，面，且PA=AB=BC==2. 求与所成的角； 【解析】因为面，所以两两垂直，故建立如图所示的 空间直角坐标系.A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，4，0)，C(2，2，0)则 , =，所以与所成的角为 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 【变式】已知正方体的棱长为1，O为中点． 求异面直线与OD所成角的大小． 【解析】直线与OD的一个方向向量为，， 得， 又设异面直线与OD所成角为 ，则，故 ， 所以异面直线与OD所成角的大小为． 例8、如图，三棱台中，，，． 求直线与平面所成的角． 【解析】由题，，则，又，，故，故. 分别以为轴建立如图空间直角坐标系， 易得，，，，，， 设平面法向量，则，令，则， 故，故直线与平面所成的角为.即直线与平面所成的角为. 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为， 与的角为，则有． 【变式】已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，， 是斜边为的等腰直角三角形．若时，求直线与平面所成的角的正弦值． 【解析】以B为原点，分别以射线为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系， 则，，， 设平面的法向量，则，令，得 而，设与平面所成的角为， 所以与平面所成的角的正弦值为. 例9、如图，在四棱锥中，，，，，， 平面平面.求二面角的余弦值. 【解析】，则， 若是面的法向量，则，令，则， 若是面的法向量，则，令，则， 所以，故二面角的余弦值为. 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角， . 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 【变式】在三棱柱中，已知底面，，，，D为的中点， 点F在棱上，且，E为线段上的动点. 若直线与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值. 【解析】，设，所以，， 因为直线与所成角的余弦值为，所以， 解得x=2，则，，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，易知是平面的一个法向量， 则二面角的余弦值是. 例10、已知正四棱柱，其中． 求点到平面的距离 【解析】以D为原点，建立空间直角坐标系． 则可知 设平面的法向量为则 不妨设，同时设点到平面的距离为d则 故点到平面的距离为 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【变式】在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2， E为PD的中点.求异面直线与间的距离； 【解析】由题意得AB⊥AD，PA⊥AD，PA⊥AB. 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则A(0，0，0)，C(，1，0)，P(0，0，2)，B(，0，0)， ∴=(，1，0)，=(，0，-2)，=(0，0，2)， 设异面直线AC、PB的公垂线的方向向量为，则，， ∴令x=1，则y=-，z=，即. 设异面直线AC、PB之间的距离为d，则d===. 1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝1，AA1＝2，则异面直线BD1和B1C所成角的余弦值为(　 ) A.eq \f(3\r(70),70) B．－eq \f(3\r(70),70) C．－eq \f(\r(70),70) D.eq \f(\r(70),70) ． 【错解】选B，以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(1,3,0)，D1(0,0,2)，B1(1,3,2)，C(0,3,0)，则eq \o(BD1,\s\up7(―→))＝(－1，－3,2)， eq \o(B1C,\s\up7(―→))＝(－1,0，－2)，从而cos〈eq \o(BD1,\s\up7(―→))，eq \o(B1C,\s\up7(―→))〉＝o(BD1,\s\up7(―→))eq \f(·eq \o(B1C,\s\up7(―→)),|eq \o(BD1,\s\up7(―→))||eq \o(B1C,\s\up7(―→))|) ＝eq \f(－3,\r(14)·\r(5))＝－eq \f(3\r(70),70). 【错因】两异面直线所成角的范围 ，而两向量夹角的范围为 ，错解中误认为两向量夹角就是两异面直线所成角。 【正解】选A　以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,3,0)，D1(0,0,2)，B1(1,3,2)，C(0,3,0)，则eq \o(BD1,\s\up7(―→))＝(－1，－3,2)，eq \o(B1C,\s\up7(―→))＝(－1,0，－2)，从而cos〈eq \o(BD1,\s\up7(―→))，eq \o(B1C,\s\up7(―→))〉＝o(BD1,\s\up7(―→))eq \f(·eq \o(B1C,\s\up7(―→)),|eq \o(BD1,\s\up7(―→))||eq \o(B1C,\s\up7(―→))|) ＝eq \f(－3,\r(14)·\r(5))＝－eq \f(3\r(70),70).又异面直线BD1和B1C所成的角不可能为钝角，其余弦值非负，所以，异面直线BD1和B1C所成角的余弦值为eq \f(3\r(70),70). 2．直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝120°，E为BB′的中点，异面直线CE与C′A所成角的余弦值是（       ） A． B． C． D． 【错解】A，如图所示，直三棱柱 向上方补形为直三棱柱 ，其中 ， ， 分别为各棱的中点，取 的中点 ，可知 ，异面直线 与 所成角即为 与 所成角.设 ，则 ， ， ， 【错因】忽略了异面直线所成角的范围 ，所以两条异面直线所成角的余弦值一定是正数. 【正解】B，如图所示，直三棱柱 向上方补形为直三棱柱 ，其中 ， ， 分别为各棱的中点，取 的中点 ，可知 ，异面直线 与 所成角即为 与 所成角.设 ，则 ， ， ， ，故异面直线CE与C′A所成角的余弦值为 . 3.几何体是由棱台ABC－A1B1C1和棱锥D－AA1C1C拼接而成的组合体,其底面四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠BAD=60°, BB1⊥平面ABCD,BB1=B1C1=1.求二面角A1-BD-C1的余弦值. 【错解】设 交于点 ,以 为坐标原点,以 为 轴,以 为 轴,建立空间直角坐标系, 轴显然平行于直 由四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠BAD=60°,得 , , , , , ,设平面 的一个法向量为 ,则 令 ,得 ,从而 同理 ,设平面 的一个法向量为 ,则 令 ,得 ,从而 ,则 .故二面角 的余弦值为 . 【错因】错误的认为两平面法向量的夹角就等于二面角平面角，实际上是二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 【正解】又由图可知 为锐角,故二面角 的余弦值为 . 1．如图，在正方体 中，E为 的中点．求直线 与平面 所成角的正弦值． 【正解】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ，设正方体 的棱长为 ，则 、 、 、 ， ， ， 设平面 的法向量为 ，由 ， 得 ，令 ，则 ， ，则 . 设直线 与平面 所成角为 ，则 . 因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 . 1．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）已知向量，若，则（   ） A． B．4 C． D．5 2．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（    ） A． B． C．1 D．4 4．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知向量，且，则x的值为（    ） A．0 B． C． D． $$