清单01 空间向量与立体几何（考点清单，知识导图+14个考点清单+题型解读）高二数学下学期苏教版

清单01 空间向量与立体几何 （14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】共线问题 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 【清单02】向量共面问题 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。 【清单03】空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 【清单04】利用数量积证明空间垂直关系 当a⊥b时，a·b＝0. 夹角问题 1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦。 2.利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 【清单05】空间向量的长度 1.定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 2.利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 【清单06】用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 【清单07】空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 【清单08】空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是；点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是；点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 【清单09】 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②，或. （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①;②;③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 【清单10】平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 【清单11】用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【清单12】用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【清单13】用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 【清单14】用向量方法求空间距离 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 3. 点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【考点题型一】利用空间向量的数量积求线段的长度及夹角问题 技巧：传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算， 但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解， 无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。 【例1】如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为 ．      【答案】 【分析】先把用、、表示出来.接着利用完全平方公式展开，得到.再根据已知条件，算出各向量模长及向量间夹角余弦值，代入式子求出的值.最后根据向量模长与向量平方的关系，对开方，得到的模长. 【详解】根据空间向量的线性表示可达，即可由模长公式求解. 故， 故， 故， 故答案为： 【变式1-1】如图，在的二面角中，且，垂足分别为，已知，则线段的长为 ．    【答案】10 【分析】通过向量的运算法则，将用已知向量、、表示出来，然后利用向量的模长公式及向量的数量积公式来计算. 【详解】因为，所以. 可得. 因为，，所以，，. 由于，则. 同理，. 已知二面角为，与的夹角等于二面角的补角，所以. 可得：. 可得. 故答案为：10. 【变式1-2】已知正三棱锥的三个侧面均为等腰直角三角形，过点作一平面使得三点在该平面的同一侧，且三点到该平面的距离分别为，则三棱锥的侧棱长为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，以为原点建立空间直角坐标系，结合空间向量基本定理用表示平面的单位法向量，再利用给定距离及空间向量的数量积求解. 【详解】设三棱锥的侧棱长为，题设所作平面为， 以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 设单位向量是平面的一个法向量，由空间向量基本定理知， 存在唯一的有序实数组，使得， 依题意，在上的投影向量的长度为1，则，即， 即，解得，同理得，，于是， 而，所以. 故选：C 【变式1-3】平行六面体的各棱长为1，且分别为，，，中点．若两两垂直，则（ ） A． B． C． D．四面体的体积为 【答案】ACD 【分析】设，，，用，，表示，，，由向量的线性运算及数量积的定义即可判断，，，由锥体的体积公式即可判断. 【详解】设，，，因为平行六面体的棱长为1， 所以，因为分别为，，，中点， 所以，， ， 因为两两垂直，所以，，， 因为，所以，所以，故正确； 因为， 所以， 所以，故错误； 因为， 所以， 所以，故正确； 因为，，， 平面，平面， 所以平面， ， ， 所以， 所以是直角三角形，面积为， 所以四面体的体积为，故正确. 故选：. 【变式1-4】在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算计算即可； （2）根据空间向量的数量积和模长公式计算即可. 【详解】（1）； （2）因为，，， 所以，， 所以 ， 所以. 【考点题型二】用空间向量基本定理解决相关的几何问题 技巧：应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等. 首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示. (1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0; (2)若证明线线平行,只需证明两向量共线; (3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角). 【例2】如图，若正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，则（   ） A．四面体的体积为 B．三个向量，，可以构成空间向量的一组基 C．异面直线，所成的角是60° D．平面截该正方体的内切球所得截面的面积为 【答案】ABD 【分析】根据三棱锥的体积公式即可判断A；以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，判断，，是否共面即可判断B；利用向量法即可判断C；利用向量法求出正方体内切球的球心平面的距离，再利用勾股定理求出截面圆的半径，即可判断D. 【详解】对于A，三棱锥的高为，底面积， 所以，故A正确； 对于B，如图以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 故， 假设向量，，可以构成空间向量的一组基， 则向量，，共面， 故存在唯一实数对，使得， 即， 所以，无解， 所以向量，，不共面， 所以三个向量，，可以构成空间向量的一组基，故B正确； 对于C，，， 则，所以， 所以，故C错误； 对于D，设正方体内切球的球心为，则，， 则， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以点到平面的距离， 又正方体内切球得半径， 所以平面截该正方体的内切球所得截面圆的半径， 所以平面截该正方体的内切球所得截面的面积为，故D正确. 故选：ABD. 【变式2-1】已知在棱长为的正四面体中，，则直线和夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】如图，设，易知，， 因为，所以，， 则， 又，得到， ，得到, 设和的夹角为，则, 故选：C. 【变式2-2】已知正方体的棱长为2，点P满足，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，则点P的轨迹长度为 C．若，则线段长度的最小值为 D．若，则与平面所成角的余弦的最小值为 【答案】ACD 【分析】由空间向量的基本定理结合面面平行可得A正确；由向量的数量积运算可得B错误；由空间向量的基本定理结合已知得到点的轨迹是线段，再由勾股定理可得C正确；由空间向量的基本定理得到点P的轨迹是线段，当为的中点时可得D正确. 【详解】对于A，若，则点P在线段上，易知平面平面，所以平面，故A正确； 对于B，若， 即， 则点P的轨迹是以为半径的四分之一圆弧，又， 所以点P的轨迹长度是，故B错误； 对于C，设和的中点分别为M，N， 若，则点P的轨迹是线段， 当P是的中点时，的长度最小， 因为是等腰三角形，，， 所以长度的最小值为.，故C正确； 对于D，若，则点P的轨迹是线段， 设与平面所成的角为， 在等边三角形中，边长为，当P为的中点时，取得最小值，为， 而点P到平面的距离恒为2，所以，从而，故D正确. 故选：ACD. 【变式2-3】若是空间向量的一组基，则下列各组中能构成空间向量的一组基的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据空间向量基本定理逐一分析即可. 【详解】对A，因为是空间向量的一组基，则可以构成空间向量的一组基，故A正确； 对B，设，其中， 则，无解，则能构成空间向量的一组基，故B正确； 对C，显然不存在实数使得成立， 则能构成空间向量的一组基，故C正确； 对D，因为，则不能构成空间向量的一组基，故D错误. 故选：ABC. 【变式2-4】正方体，点E是上底面的中心，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据空间向量对应线段的关系，结合加减、数乘的几何意义用表示求出参数，即可得答案. 【详解】由， 所以，故. 故选：D 【考点题型三】空间向量及其运算的坐标表示 技巧：空间线段中点坐标空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. 向量数量积的坐标运算若，则 空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式若，则 . 空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 【例3】已知为关于平面的对称点，为关于轴的对称点，则 . 【答案】 【分析】根据点关于平面及关于轴对称点的特征可得的坐标，从而可求  . 【详解】因为关于平面对称，故， 因为为关于轴对称，故， 故， 故答案为：. 【变式3-1】已知，，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出与的向量坐标，再根据投影向量的公式来计算. 【详解】已知，，，. ； . 计算和, . 根据投影向量公式，则投影向量为. 故选：A. 【变式3-2】已知向量，若共面，则 ． 【答案】3 【分析】根据题意，由空间向量共面列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 三个向量共面，所以存在唯一实数对，使得， 所以，所以，解得． 故答案为： 【变式3-3】在空间直角坐标系中，点，，，. (1)证明：，，不共面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据空间向量的基本定理建立，方程无解，即可证明； （2）利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】（1）由题意得，，. 假设，，共面，则存在a，，使得， 即，即， 所以，此方程组无解，所以假设不成立，故，，不共面. （2）由题意得，，. 设平面的法向量为，则，即 令，则，，故平面的一个法向量为. 设直线与平面所成的角为， 则. 【变式3-4】若向量，则称为在基底下的坐标．已知向量在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 ． 【答案】 【分析】结合题意，根据空间向量的线性运算可得，进而求得坐标. 【详解】由题意，， 设， 则，解得， 则， 所以在基底下的坐标为. 故答案为：. 【考点题型四】求平面的法向量 技巧：求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z）， 再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量）， 则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程， 再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个， 因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 【例4】棱长为1的正方体中，，，为平面上的一动点（包含边界），则周长的最小值为（   ）（附：平面的截距式方程为：，其中，，分别为平面在，，轴上的截距） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的方程，点关于平面的对称点坐标，结合对称求出最小值. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，平面的截距式方程方程为， ，设的法向量，则， 令，得，令点关于平面的对称点为， 则，解得，即， 连接交平面于点，则在内，且， 因此的周长， 当且仅当与重合时取等号，所以周长的最小值为. 故选：D 【变式4-1】在三棱锥中，，则（    ） A． B．向量与夹角的余弦值为 C．向量是平面的一个法向量 D．与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】由空间两点间的距离公式判断A ；利用数量积求夹角判断 B ；由数量积为0 判断 C ；求出平面的一个法向量，再由向量求夹角判断D． 【详解】 ， ，故 A 正确； ， ， ，故 B 错误； ，, ， 是平面的一个法向量，故 C 正确； 与平面 所成角的正弦值为： ，故 D 正确． 故选：ACD. 【变式4-2】在空间向量中，我们给出了定义向量的“外积”运算规则：对于空间向量和，.已知，，平面的法向量，直线的方向向量，则直线与平面的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交但不垂直 【答案】D 【分析】由求出平面的法向量，利用空间向量的垂直和共线的坐标性质判断平面的法向量与直线的方向向量之间的关系，判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为，， 所以平面的法向量为， 由题意可知，则，说明与不垂直. 由，说明与不平行，与既不垂直也不平行， 所以直线与平面相交但不垂直， 故选：D. 【变式4-3】如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱的中点.    (1)求异面直线AE和PD所成角的余弦值； (2)求点B到平面CDE的距离； 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标，利用异面直线所成角的空间向量计算方法即可解答. （2）先求出平面CDE的法向量和；再根据点到直线距离的空间向量计算方法即可求解. 【详解】（1）因为底面，， 所以以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    因为，，是棱的中点， ， 则，，，，，. 则，. 所以，，. 设异面直线AE和PD所成角为， 则. （2）因为，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则，取，可得，，则. 又因为， 所以点B到平面CDE的距离为. 【变式4-4】平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】求出，由，求解即可． 【详解】解：由 则 因为向量是平面的一个法向量， 所以，令，则 故答案为： 【考点题型五】利用向量研究平行问题 技巧：（1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与 已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量 能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【例5】如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明）    (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，证明，，原题即得证； （2）设平面BDE的法向量为，证明即得证. 【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， ，即，， 又因为，平面PBC． 所以平面PBC． （2）证明：由（1）可得，，． 设平面BDE的法向量为， 则，即令，得，， 则是平面BDE的一个法向量， 因为，所以， 因为平面BDE，所以平面BDE． 【变式5-1】如图，在长方体 中，，，. (1)证明: 平面 ； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的数量积为零证明，，再由线面垂直的判定定理得到即可； （2）求出平面的法向量，代入空间线面角公式求解即可； 【详解】（1）由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点， 向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 有，，，，，，． 因为，，， 所以，， 所以，， . 又因为，平面，所以平面； （2）设平面的法向量为， 由，，有， 取，可得，， 所以为平面的一个法向量，. 设直线与平面所成的角为， 因为，所以， ，， 所以， 因为，所以. 所以直线与平面所成角的余弦值为. 【变式5-2】如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点P到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行； （2）求出平面的一个法向量，再由向量法求解； （3）求出向量，再由向量法求解. 【详解】（1）因为底面，底面，所以， 又因为平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 如图以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 由为棱的中点，得， 向量，，故， 又平面，所以平面； （2）因为，设平面的法向量为， 则，取， 又平面的法向量， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）因为， 所以点P到平面的距离， 即点P到平面的距离为. 【变式5-3】如图多面体中，四边形为菱形，且，，，，M，N分别为棱，上的点且，. (1)用向量法证明：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，，得到，根据向量的运算法则，化简得到，得到向量，，共面，结合平面，即可证得平面. （2）在平面内，作交于，证得面，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，，得出平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：由，，可得，， 因四边形为菱形，可得， 则， 所以向量，，共面， 又因为平面，且平面内， 故平面. （2）解：在平面内，作， 因为四边形是边长为2的菱形，可得 所以，且. 因为平面平面，平面平面，且， 所以平面. 以C为坐标原点，，，所在直线，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角为，由，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式5-4】如图，在直四棱柱中，的中点分别为.    (1)证明：. (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，通过计算，得证； （2）求出平面和平面的法向量，由法向量所成角的余弦公式求解. 【详解】（1）在直四棱柱中，因为，所以两两垂直， 又因为，所以， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系. 因为，所以， 则， 从而， 所以； （2）根据题意，可知平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以 易知二面角的正弦值为.    【考点题型六】利用向量研究垂直问题 技巧：（1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【例6】如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且． (1)求证：平面； (2)设为棱上的点（不与重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由已知证得，，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示和线面垂直的判定定理可得证； （2）设，表示点Q，再利用线面角的空间向量求解方法，建立方程解得，可得答案. 【详解】（1）因为平面，平面，平面， 所以，，又因为， 则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知可得，，，，，， 所以，，， 因为，，所以，， 又，平面，平面， 所以平面. （2）设，即，， 所以，即， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 即，解得，即. 【变式6-1】如图所示，在直三棱柱中，，为中点，且，，. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2). 【分析】（1）证明，从而建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出的坐标，计算，即可证明结论； （2）求出平面与平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）由题意，为中点，且， 所以， 所以，解得， 所以，所以，即， 取中点，则， 又面， 所以面， 又面，所以， 所以两两互相垂直， 故以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 由题意，，，. 所以， 所以， 所以，所以，即. （2）由（1）可知， 所以， 不妨设平面与平面的法向量分别为， 所以，不妨取，解得， 即可取平面的一个法向量为， 同理有，不妨取，解得， 即可取平面的一个法向量为， 不妨设平面与平面夹角为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 【变式6-2】如图，在三棱台中，平面，，，，，为棱的中点． (1)求该三棱台的体积． (2)证明：平面． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据台体的体积公式计算即可； （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量平行即可； （3）利用向量法求解即可. 【详解】（1）， 所以； （2）如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以，所以， 所以平面； （3），则， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 故， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【变式6-3】如图，在多面体中，底面是边长为的正方形，，平面，且三棱锥的体积为． (1)若平面，求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行得出和到平面的距离相等，结合体积公式得出，再建立空间直角坐标系得出，进而得出，进而证明； （2）先求出平面和平面的法向量，再计算二面角的余弦值结合同角三角函数关系计算求解. 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面．所以和到平面的距离相等． 因为三棱锥的体积为， 所以三棱锥的体积也为． 因为平面， 所以，即． 因为平面， 所以，，且． 所以以为正交基底建立如图2所示的空间直角坐标系． 所以，，，． 所以，，． 设平面的一个法向量，所以即 令，则，，所以． 设，所以，． 因为，所以，①． 因为平面，所以，即②． 由①②，得，所以． 所以，即．所以平面． （2）由（1）知，平面的一个法向量为． 因为平面，所以平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为． 所以． 所以，即平面与平面的夹角的正弦值为． 【变式6-4】如图，四边形为正方形，四边形为直角梯形，，，，，平面平面. (1)证明：. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据面面垂直证明线面垂直，结合已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量法证明线线垂直； （2）根据（1）的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）由四边形为正方形，即， 面面，面面，面， 所以面，又四边形为直角梯形，，， 所以可以构建如下图示的空间直角坐标系，则， 故，所以，故. （2）显然面的一个法向量为， 若是面的一个法向量，则， 取，则，故， 所以平面与平面夹角的余弦值. 【考点题型七】异面直线所成的角 技巧：已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 【例7】如图所示的在长方体中，若，、分别是、的中点，则下列结论中成立的是（    ） A．与垂直 B．与所成的角大小为 C．与平面所成角大小为 D．直线与平面平行 【答案】ACD 【分析】对于ABC：建立空间直角坐标系，利用向量法对各个选项逐一分析判断，即可求出结果；对于D：根据线面平行的判定定理分析判断. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设， 则， 又、分别是、的中点，所以， 对于选项A，因为，，又， 所以，故与垂直，所以选项A正确， 对于选项B，因为，， 设与所成的角为， 则， 可知与所成的角大小不为，所以选项B错误， 对于选项C，因为，所以为正方形，连接，则， 又易知，，平面，所以平面， 又，，所以， 故平面，所以选项C正确， 对于选项D，由选项C知，且平面，平面， 所以平面，则平面，故选项D正确， 故选：ACD. 【变式7-1】在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. (1)用，，表示，，； (2)求的长； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）利用空间向量基本定理即可； （2）利用模长公式求解即可； （3）利用向量夹角公式求解即可 【详解】（1）， ， ， （2），，， ，，， 因为 ， 所以，即的长为； （3）因为，， 同理可求得，， 又因为 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【变式7-2】如图，菱形的边长为2，，E为边的中点，将沿折起，折叠后点A的对应点为，使得平面平面，连接，则下列说法正确的是（   ） A．点B到平面的距离为 B．与所成角的余弦值为 C．三棱锥的外接球的体积为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】AD 【分析】由题意，根据面面垂直性质定理，可建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的法向量，利用点面距、线线角与线面角的向量公式，再利用数形结合思想，结合球的性质，可得答案. 【详解】由题意易知， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 则， 取， 设平面的法向量，则， 令，则，所以平面的一个法平面， 点到平面的距离，故A正确； 取，设直线与所成角大小为， ，故B错误； 设直线与平面所成角的大小为， 则，故D正确； 连接，取线段的中点为，过作平面，连接，如下图： 易知点为的外心，可设点为三棱锥的外接球的球心， 由图易得，则球的半径， 所以球的体积，故C错误. 故选：AD. 【变式7-3】如图，已知在四面体中，为等边三角形，的面积为，点在平面上的投影为点，点分别为的中点，则（    ）    A．与相交 B．与异面 C． D． 【答案】C 【分析】AB选项，作出辅助线，得到，由于与相交，故与异面；CD选项，建立空间直角坐标系，利用三角形面积求出等边三角形边长，写出点的坐标，利用向量夹角公式得到C正确，D错误. 【详解】AB选项，连接，则，平面，平面， 由于与相交，故与异面，故AB错误； C选项，的面积为，为等边三角形， 设的边长为，则，解得， 因为分别为的中点，所以⊥， 又在平面上的投影为点，故⊥平面， 以为坐标原点，所在直线为轴，平行的直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 又，故， 则， ， 所以，C正确；    D选项，，， ， 故 故所成角的余弦值为，故D错误. 故选：C. 【变式7-4】如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则直线和夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，根据空间向量的线性运算可得和数量积的运算律和定义计算即可求解. 【详解】，因为分别为的中点， 所以，，且， 则 ， 所以， 即直线和夹角的余弦值为，所以正弦值为. 故选：C 【考点题型八】利用空间向量解决线面角 技巧：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为， 与的角为，则有． 【例8】如图，在四棱锥中，三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点. (1)证明：平面PAB； (2)若，求直线CE与平面PBC的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取PA中点为F，连接EF，FB，通过证明可完成证明； （2）通过证明，可建立如图所示空间直角坐标系，求出平面平面PBC法向量，然后由空间向量知识可得答案. 【详解】（1）取PA中点为F，连接EF，FB，则， 且，从而四边形为平行四边形. 则，又平面PAB，平面PAB，则平面PAB； （2）如图取AD中点为O，连接OP，OB. 因三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，， 则.因，， 则四边形为平行四边形，则，，结合， 则，，结合，则为等边三角形， 得.又，，则，故. 又，平面ADCB，则. 故如图建立以O为坐标原点的空间直角坐标系. 则， 因E为PD的中点，则. 从而，，. 设平面PBC法向量为，则， 取，设直线CE与平面PBC的夹角为， 则，从而. 【变式8-1】如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合.    (1)证明：平面平面； (2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）根据直径所对的角为直角得到⊥，由线面垂直得到⊥，从而得到线面垂直，面面垂直； （2）先得到为二面角的平面角，为等边三角形，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量公式求出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为是底面圆上的一条直径， 所以⊥， 因为⊥底面圆，， 所以⊥底面圆， 因为底面圆，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面； （2）因为⊥底面圆，圆， 所以⊥，⊥， 所以为二面角的平面角， 故，又，所以为等边三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，设，故，， ， ，， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，得，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则，    直线与平面所成角的正弦值为. 【变式8-2】如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，为线段的中点，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与直线的方向向量，即可得证； （2）求出平面的法向量，再由空间向量法计算可得； （3）首先证明平面，则直线到平面的距离即为点到平面的距离，再由空间向量法计算可得. 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，， 又为线段的中点，所以， 所以，又平面的法向量可以为， 所以，即，又平面，所以平面. （2）由（1）可得，所以，， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）因为，平面，平面， 所以平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 又， 所以点到平面的距离， 即直线到平面的距离为. 【变式8-3】在三棱锥中，，，，，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量求线面角即可. 【详解】，，，， 故， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 故， 设与平面所成角为， 则. 故选：C 【变式8-4】已知平面的一个法向量为，则轴与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由线面的夹角公式求解即可； 【详解】依题意轴的方向向量可以为，设轴与平面所成角为，则，因为，所以， 故选：A 【考点题型九】利用空间向量解决二面角 技巧：如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角， . 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 【例9】如图，四边形为正方形，平面， (1)证明： (2)若二面角的正切值为，求平面和平面夹角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直得到，结合得到平面，证明出结论； （2）先证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，求出即为二面角的平面角．利用正切值求出正方形边长，写出点的坐标，求出两平面的法向量，求出面面角的余弦值，进而求出正弦值. 【详解】（1）由正方形ABCD知：⊥， 又由于平面且平面，故， 又由于且平面， 故平面， 因为平面，所以 （2）由于平面且平面， 故，显然两两垂直， 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立直角坐标系： 令AC与BD的交点为O，连接OQ， 由于平面，， 所以平面， 又平面，所以， 又⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 故即为二面角的平面角． ， ∵， ，故，故， ， 设平面的法向量为， 由，， 令得， ， 设平面的法向量为， 由，， 令，则， ， 设平面和平面夹角为， 则， . 【变式9-1】底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到⊥，⊥，故平面； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，根据线面角的正弦值得到方程，求出，求出两个平面的法向量，根据面面角夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）因为四边形为菱形，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面； （2）由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，，则，， 设平面的一个法向量为， ， 令得，故， 直线与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，负值舍去，则， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角余弦值为. 【变式9-2】已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上一点，． (1)若F是PE中点，证明：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【详解】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为. 【变式9-3】如图，在正方体中，为中点，与平面交于点. (1)求证：为的中点； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据正方体性质以及线面平行判定定理可证明平面，再由线面平行性质定理以及中位线性质可得结论； （2）建立空间直角坐标系求得两平面的法向量即可求得它们夹角的余弦值. 【详解】（1）依题意连接，如下图所示： 由正方体性质可得，又平面，平面， 可得平面， 因为与平面交于点，即平面平面， 可得， 因此，又为中点， 可得为的中点； （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 不妨设正方体的棱长为2， 可得，即； 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 即； 显然平面的一个法向量可以为， 因此平面与平面夹角的余弦值为； 可得平面与平面夹角的余弦值. 【变式9-4】如图，在四棱锥中，底面为矩形，，是棱的中点，在棱上，且平面，平面平面． (1)求证：是棱的中点； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，线面平行的性质有，结合得到为平行四边形，即可证结论； （2）建立空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）取的中点，连接，又是的中点，则且， 由在棱上，底面为矩形，则，故， 由平面，平面且平面平面，则， 所以为平行四边形，故， 所以是的中点； （2）平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又底面为矩形，建立如下图示的空间直角坐标系， 则， 所以，设平面的一个法向量为， 则，令，则， 显然平面的一个法向量可以为， 故， 所以平面与平面夹角的余弦值； 【考点题型十】利用空间向量距离问题 技巧：1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【例10】已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用点到直线距离的向量法，即可求解. 【详解】因为，，，则，， 所以点到直线的距离为：. 故选：D 【变式10-1】正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，由是异面直线与的公垂线段列出方程求解得，即可求得的长． 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点M在上，点N在上，所以设， 因为是异面直线与的公垂线段， 所以，即，解得， 所以异面直线与间的距离为， 故选：C． 【变式10-2】如图，在四棱锥中，平面，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】建系，求出在上的投影向量的长度，再利用勾股定理求解即可. 【详解】因为平面，平面，平面， 所以，，又, 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ，即，， 所以在上的投影向量的长度为， 故点到直线的距离为. 【变式10-3】如图，在长方体中，，，为底面的中心，则点到直线的距离为 .    【答案】/ 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到直线的距离. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、，，， 所以，点到直线的距离为. 故答案为：. 【变式10-4】在直三棱柱中，，，D是棱的中点，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间点到面的距离公式求解. 【详解】因为，，两两垂直，故可以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则故可取， 又，故点到平面的距离. 故答案为：. 1 / 1 份有限公 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 空间向量与立体几何 （14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】共线问题 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 【清单02】向量共面问题 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。 【清单03】空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 【清单04】利用数量积证明空间垂直关系 当a⊥b时，a·b＝0. 夹角问题 1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦。 2.利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 【清单05】空间向量的长度 1.定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 2.利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 【清单06】用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 【清单07】空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 【清单08】空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是；点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是；点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 【清单09】 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②，或. （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①;②;③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 【清单10】平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 【清单11】用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【清单12】用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【清单13】用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 【清单14】用向量方法求空间距离 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 3. 点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【考点题型一】利用空间向量的数量积求线段的长度及夹角问题 技巧：传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算， 但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解， 无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。 【例1】如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为 ．      【变式1-1】如图，在的二面角中，且，垂足分别为，已知，则线段的长为 ．    【变式1-2】已知正三棱锥的三个侧面均为等腰直角三角形，过点作一平面使得三点在该平面的同一侧，且三点到该平面的距离分别为，则三棱锥的侧棱长为（    ） A．3 B． C． D．4 【变式1-3】平行六面体的各棱长为1，且分别为，，，中点．若两两垂直，则（ ） A． B． C． D．四面体的体积为 【变式1-4】在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 【考点题型二】用空间向量基本定理解决相关的几何问题 技巧：应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等. 首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示. (1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0; (2)若证明线线平行,只需证明两向量共线; (3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角). 【例2】如图，若正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，则（   ） A．四面体的体积为 B．三个向量，，可以构成空间向量的一组基 C．异面直线，所成的角是60° D．平面截该正方体的内切球所得截面的面积为 【变式2-1】已知在棱长为的正四面体中，，则直线和夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知正方体的棱长为2，点P满足，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，则点P的轨迹长度为 C．若，则线段长度的最小值为 D．若，则与平面所成角的余弦的最小值为 【变式2-3】若是空间向量的一组基，则下列各组中能构成空间向量的一组基的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】正方体，点E是上底面的中心，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【考点题型三】空间向量及其运算的坐标表示 技巧：空间线段中点坐标空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. 向量数量积的坐标运算若，则 空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式若，则 . 空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 【例3】已知为关于平面的对称点，为关于轴的对称点，则 . 【变式3-1】已知，，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知向量，若共面，则 ． 【变式3-3】在空间直角坐标系中，点，，，. (1)证明：，，不共面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式3-4】若向量，则称为在基底下的坐标．已知向量在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 ． 【考点题型四】求平面的法向量 技巧：求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z）， 再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量）， 则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程， 再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个， 因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 【例4】棱长为1的正方体中，，，为平面上的一动点（包含边界），则周长的最小值为（   ）（附：平面的截距式方程为：，其中，，分别为平面在，，轴上的截距） A． B． C． D． 【变式4-1】在三棱锥中，，则（    ） A． B．向量与夹角的余弦值为 C．向量是平面的一个法向量 D．与平面所成角的正弦值为 【变式4-2】在空间向量中，我们给出了定义向量的“外积”运算规则：对于空间向量和，.已知，，平面的法向量，直线的方向向量，则直线与平面的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交但不垂直 【变式4-3】如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱的中点.    (1)求异面直线AE和PD所成角的余弦值； (2)求点B到平面CDE的距离； 【变式4-4】平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为 ． 【考点题型五】利用向量研究平行问题 技巧：（1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与 已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量 能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【例5】如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明）    (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【变式5-1】如图，在长方体 中，，，. (1)证明: 平面 ； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 【变式5-2】如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点P到平面的距离． 【变式5-3】如图多面体中，四边形为菱形，且，，，，M，N分别为棱，上的点且，. (1)用向量法证明：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式5-4】如图，在直四棱柱中，的中点分别为.    (1)证明：. (2)求二面角的正弦值. 【考点题型六】利用向量研究垂直问题 技巧：（1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【例6】如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且． (1)求证：平面； (2)设为棱上的点（不与重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【变式6-1】如图所示，在直三棱柱中，，为中点，且，，. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【变式6-2】如图，在三棱台中，平面，，，，，为棱的中点． (1)求该三棱台的体积． (2)证明：平面． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【变式6-3】如图，在多面体中，底面是边长为的正方形，，平面，且三棱锥的体积为． (1)若平面，求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 【变式6-4】如图，四边形为正方形，四边形为直角梯形，，，，，平面平面. (1)证明：. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【考点题型七】异面直线所成的角 技巧：已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 【例7】如图所示的在长方体中，若，、分别是、的中点，则下列结论中成立的是（    ） A．与垂直 B．与所成的角大小为 C．与平面所成角大小为 D．直线与平面平行 【变式7-1】在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. (1)用，，表示，，； (2)求的长； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【变式7-2】如图，菱形的边长为2，，E为边的中点，将沿折起，折叠后点A的对应点为，使得平面平面，连接，则下列说法正确的是（   ） A．点B到平面的距离为 B．与所成角的余弦值为 C．三棱锥的外接球的体积为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【变式7-3】如图，已知在四面体中，为等边三角形，的面积为，点在平面上的投影为点，点分别为的中点，则（    ）    A．与相交 B．与异面 C． D． 【变式7-4】如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则直线和夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【考点题型八】利用空间向量解决线面角 技巧：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为， 与的角为，则有． 【例8】如图，在四棱锥中，三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点. (1)证明：平面PAB； (2)若，求直线CE与平面PBC的夹角的余弦值. 【变式8-1】如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合.    (1)证明：平面平面； (2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式8-2】如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，为线段的中点，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)求直线到平面的距离. 【变式8-3】在三棱锥中，，，，，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】已知平面的一个法向量为，则轴与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【考点题型九】利用空间向量解决二面角 技巧：如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角， . 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 【例9】如图，四边形为正方形，平面， (1)证明： (2)若二面角的正切值为，求平面和平面夹角的正弦值； 【变式9-1】底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【变式9-2】已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上一点，． (1)若F是PE中点，证明：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【变式9-3】如图，在正方体中，为中点，与平面交于点. (1)求证：为的中点； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【变式9-4】如图，在四棱锥中，底面为矩形，，是棱的中点，在棱上，且平面，平面平面． (1)求证：是棱的中点； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【考点题型十】利用空间向量距离问题 技巧：1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【例10】已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，在四棱锥中，平面，则点到直线的距离为 . 【变式10-3】如图，在长方体中，，，为底面的中心，则点到直线的距离为 .    【变式10-4】在直三棱柱中，，，D是棱的中点，则点到平面的距离为 . 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$