专题05 矩形（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编

专题05 矩形 题型概览 【经典基础题】 题型01利用矩形性质求解 题型02矩形的判定 题型03矩形的折叠问题 题型04 斜边的中线等于斜边的一半 题型05 与矩形有关的尺规作图 【优选提升题】 题型01 矩形与三角形综合 题型02 综合型最值问题 ( 题型01 )利用矩形性质求解 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，矩形的两条对角线相交于点O，，则的长是 ． 3．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，矩形的对角线交于点O，，，则矩形的面积是 ．    4．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在矩形中，连接，过点B作交的延长线于点E．过点D作于F，对角线相交于点G，连接． (1)求证：． (2)若，，求的长． ( 题型02 ) 矩形的判定 1．（23-24八年级下·福建宁德·期中）如图，平行四边形中，对角线，相交于点，，，；过点作射线，过点作于，连接． (1)求证：平行四边形是矩形； (2)求的长． 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，的对角线，相交于O，将平移到，若，，，求证：四边形是矩形． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在中，E，F为边上的两点，，．求证： (1)． (2)平行四边形是矩形． 4．（23-24八年级下·福建三明·期中）如图平分，点C在射线上，，点D在射线上． (1)求证：． (2)若，，求长的最小值． ( 题型03 )矩形的折叠问题 1．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，将一个矩形纸片按如图所示的方式折叠，则的度数是 ．    2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在矩形中，，，将沿折叠使点恰好落在对角线上处，则的长是（    ） A．3 B． C．5 D． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图， 矩形中， E是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点F， 若，，求的长    3．（23-24八年级下·福建厦门·期中） 如图，矩形纸片中，，点P是边上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F，要使折痕始终与边有交点，则的取值范围是 ． ( 题型04 ) 斜边的中线等于斜边的一半 1．（23-24八年级下·福建漳州·期中）如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点M为梯子的中点，当梯子底端向右水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（   ） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变小再变大 2．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在中，，为边上的高，点为的中点，连接．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在矩形中，点E，F分别在上，，若G是的中点，H是的中点，连接，则的长为（　　） A． B． C．2 D． ( 题型0 5 ) 与矩形有关的尺规作图 1．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，已知矩形． (1)若点E为边上一点，且，请在图中用尺规作图确定点E的位置，并将图形补充完整；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知，，求的长． 2．（23-24八年级下·福建三明·期中）已知，矩形． (1)若点E为边上一点，且，请在图1中用尺规作图确定点E的位置，并将图形补充完整；（不写作法，保留作图痕迹，并将痕迹描粗加黑） (2)在（1）的条件下，已知线段，线段，求的长．（请用图2进行探究） ( 题型01 )矩形与三角形综合 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，矩形中，，P，E分别是线段上的点，且四边形为矩形． (1)若是等腰三角形时，求的长； (2)求证：． 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上． 若满足； (1)求点A的坐标； (2)取中点，连接，与关于所在直线对称，连接并延长， 交x轴于点P． ①求的长； ②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足， 连．请你求出线段长度的最大值． ( 题型02 ) 综合型最值问题 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的最小值（其中，点在线段上），进而得的最小值为线段的长度． 先仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解答下面问题： (1)直接写出代数式的最小值； (2)若，均为正数，且，求的最小值； (3)若，求的值． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，点E从B点出发沿运动，点F从B点出发沿运动，点G从O点出发沿运动． (1)如图1，将沿折叠，点A恰好落在点E处，求E，F两点的坐标； (2)如图2，若E，F两点以相同的速度同时出发运动，使，设点E的横坐标为m，求的值； (3)如图3，已知点，若F，G两点以相同的速度同时出发运动，连接，作于H，直接写出的最大值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 矩形 题型概览 【经典基础题】 题型01利用矩形性质求解 题型02矩形的判定 题型03矩形的折叠问题 题型04 斜边的中线等于斜边的一半 题型05 与矩形有关的尺规作图 【优选提升题】 题型01 矩形与三角形综合 题型02 综合型最值问题 ( 题型01 )利用矩形性质求解 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解． 【详解】解：连接AC， ∵点，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴点的横坐标为， 故选：C． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，矩形的两条对角线相交于点O，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．根据矩形的性质以及，可得是等边三角形，从而得到，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，矩形的对角线交于点O，，，则矩形的面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识．根据矩形的性质得到对角线、相等且互相平分，进而判断出是等边三角形，从而求出，，根据勾股定理求出，即可求出矩形的面积是． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴对角线、相等且互相平分，， ∴, ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∴矩形的面积是． 故答案为： 4．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在矩形中，连接，过点B作交的延长线于点E．过点D作于F，对角线相交于点G，连接． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）因为是矩形，所以，结合，证明四边形是平行四边形，即可作答． （2）根据勾股定理得出，结合直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，即，进行作答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵，G为矩形对角线的交点，即G为中点， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． ( 题型02 ) 矩形的判定 1．（23-24八年级下·福建宁德·期中）如图，平行四边形中，对角线，相交于点，，，；过点作射线，过点作于，连接． (1)求证：平行四边形是矩形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、矩形的判定与性质、直角三角形的性质． （1）由勾股定理逆定理判断出，即可得证； （2）由矩形的性质可得，，再由直角三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ． 四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． （2）解：平行四边形是矩形，， ∴，． ， ∴． 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，的对角线，相交于O，将平移到，若，，，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质可得出， ，由勾股定理逆定理可得出，由对顶角相等可得出，由平行的性质可得出四边形是平行四边形， 进而可得出是矩形． 【详解】证明：∵是平行四边形 ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 由平移知：，， ∴四边形是平行四边形 ∴是矩形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，矩形的判定，勾股定理逆定理的应用，以及平移的性质，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在中，E，F为边上的两点，，．求证： (1)． (2)平行四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，即可得出； （2）由全等三角形的性质和平行四边形的性质证出，即可得出平行四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ∵，， ∴； （2）证明：∵， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， 平行四边形是矩形． 4．（23-24八年级下·福建三明·期中）如图平分，点C在射线上，，点D在射线上． (1)求证：． (2)若，，求长的最小值． 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、矩形的判定、垂线段最短，掌握相关性质，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）根据平分，，可得，，因此，即可得出答案； （2）过点C作交于点E，由（1）知，在中， ，可得，当时，长的最小，此时四边形为矩形，因此． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ； （2）过点C作交于点E， ， 由（1）知， 在中，， ， 当时，长的最小， 又， 此时四边形为矩形， ． ( 题型03 )矩形的折叠问题 1．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，将一个矩形纸片按如图所示的方式折叠，则的度数是 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，根据平行线的性质可得，根据折叠可得，即可求解． 【详解】解：∵矩形纸片的两边平行， ∴    ∵ ∴ 故答案为：． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在矩形中，，，将沿折叠使点恰好落在对角线上处，则的长是（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键． 由为矩形，得到为直角，由折叠得到，，，利用勾股定理求出的长，由求出的长，在中，设，表示出，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可确定出的长． 【详解】解：矩形， ， 由折叠可得，，，， 在中，，， 根据勾股定理得：，即， 设，则有， 根据勾股定理得：， 解得：， 则， 故选：C． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图， 矩形中， E是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点F， 若，，求的长    【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质、全等三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质及勾股定理是解题的关键；连接，由题意易得，，，然后可得证，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示：   四边形是矩形， ，， 由折叠的性质可知：，， 是的中点， ∴， ∵， ∴， ， ∵，， ∴， 由折叠的性质得：， ， ． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中） 如图，矩形纸片中，，点P是边上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F，要使折痕始终与边有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的矩形与折叠，勾股定理；当F与D重合时，最小，由折叠性质及勾股定理求得最小值；当E与B重合时，最大，由折叠性质求得最大值，由此求得的取值范围；求出的最大值与最小值是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，； 当F与D重合时，最小，如图， 由折叠知，， 在中，由勾股定理得， ∴； 当E与B重合时，最大，如图， 由折叠性质得； 综上，的取值范围为： ． 故答案为：． ( 题型04 ) 斜边的中线等于斜边的一半 1．（23-24八年级下·福建漳州·期中）如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点M为梯子的中点，当梯子底端向右水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（   ） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变小再变大 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线的特征是解决问题的关键．根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵，点M为梯子的中点， ∴， 当梯子底端向左水平滑动到位置时， ∵，， ∴， ∴滑动过程中不变， 故选：A． 2．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在中，，为边上的高，点为的中点，连接．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一得到，根据直角三角形的性质得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵，为边上的高， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 在中，点为的中点， ∴， ∴的周长为：． 故选：B． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在矩形中，点E，F分别在上，，若G是的中点，H是的中点，连接，则的长为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、中位线的性质定理，掌握相关结论是解题关键．连接，并延长交于N，连接，证可得；结合H是的中点，，可得，即可求解； 【详解】解：如图，连接，并延长交于N，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵H是的中点，， ∴． 故选：D． ( 题型0 5 ) 与矩形有关的尺规作图 1．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，已知矩形． (1)若点E为边上一点，且，请在图中用尺规作图确定点E的位置，并将图形补充完整；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本考查了作线段，矩形的性质，勾股定理； （1）以点为圆心，长为半径画弧交于点即可； （2）根据矩形的性质可得，由（1）可得，根据勾股定理可得结论． 【详解】（1）解：如图，点即为求作的点；         理由如下， 根据作图可得， ∴， 四边形是矩形， ， ∴， ∴， （2）解：∵四边形是矩形， ，，，， ，， ，     在中，根据勾股定理得：， ， ． 2．（23-24八年级下·福建三明·期中）已知，矩形． (1)若点E为边上一点，且，请在图1中用尺规作图确定点E的位置，并将图形补充完整；（不写作法，保留作图痕迹，并将痕迹描粗加黑） (2)在（1）的条件下，已知线段，线段，求的长．（请用图2进行探究） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图-复杂作图，矩形的性质，勾股定理： （1）以点B为圆心，长为半径画弧交于点即可； （2）根据矩形的性质可得，由（1）可得，根据勾股定理可得结论． 【详解】（1）解：如图，以点B为圆心，长为半径画弧交于点E， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； ∴点E即为所求； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知：， 在中，根据勾股定理得： ∴ ∴． ( 题型01 )矩形与三角形综合 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，矩形中，，P，E分别是线段上的点，且四边形为矩形． (1)若是等腰三角形时，求的长； (2)求证：． 【答案】(1)4或5或. (2)见解析 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题关键是分三种情况讨论计算． （1）先求出，再分三种情况讨论计算即可得出结论； （2）连接，记与的交点为O，连接，根据矩形的性质解答即可． 【详解】（1）在矩形中，，， ∴，； 要使是等腰三角形，有如下三种情况： ①当时， ， ∴； ②当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 即； ③当时，过D作于Q，则， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ , ∴ . 综上所述，若是等腰三角形，的长为4或5或. （2）连接，记与的交点为O，连接， 四边形是矩形， 在矩形中, ， ∵, ∴,　 ∴ 又， , ∴． 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上． 若满足； (1)求点A的坐标； (2)取中点，连接，与关于所在直线对称，连接并延长， 交x轴于点P． ①求的长； ②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足， 连．请你求出线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由可得，，即可求解； （2）①证明，得到，可得，即可求解； ②取的中点，连接，．当点、、三点共线时，的长度最大，进而求解． 【详解】（1）解：． ∴，， 解得，， 点的坐标为； （2）解：①与关于所在直线对称， ，，， 如图，连接，   ， ，， 设，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 点为的中点， ； ②取的中点，连接，．   ，点是的中点，． ， ， ， 由中点坐标公式可知：点的坐标为， ， ， 当点、、三点共线时，的长度最大， 则的最大值为， 的最大值为． 【点睛】本题主要考查算术平方根和绝对值的非负性、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质及勾股定理、坐标与图形等知识，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键； ( 题型02 ) 综合型最值问题 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的最小值（其中，点在线段上），进而得的最小值为线段的长度． 先仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解答下面问题： (1)直接写出代数式的最小值； (2)若，均为正数，且，求的最小值； (3)若，求的值． 【答案】(1)5 (2)10 (3) 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、矩形的判定与性质，熟练掌握数形结合思想，正确构造直角三角形是解题关键． （1）过点作，交延长线于点，先求出的长，再利用勾股定理求出的长，由此即可得； （2）先构造出图形（见解析），则的最小值为线段的长度，再过点作，交延长线于点，然后求出的长，最后利用勾股定理求出的长，由此即可得； （3）先构造出图形（见解析），其中，，，，于点，根据勾股定理的逆定理求出，再利用三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作，交延长线于点， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 所以代数式的最小值为5． （2）解：由题意，构造如下图形：（其中，点在线段上）， 则，， ∴可将问题转化为求线段的最小值， ∴的最小值为线段的长度， 过点作，交延长线于点， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 所以代数式的最小值为10． （3）解：由题意，构造如下图形： 其中，，，，于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 所以的值为． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，点E从B点出发沿运动，点F从B点出发沿运动，点G从O点出发沿运动． (1)如图1，将沿折叠，点A恰好落在点E处，求E，F两点的坐标； (2)如图2，若E，F两点以相同的速度同时出发运动，使，设点E的横坐标为m，求的值； (3)如图3，已知点，若F，G两点以相同的速度同时出发运动，连接，作于H，直接写出的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)的最大值为 【分析】（1）可得，，，由题意得：，．在中，，，，即可得，，即，设，则，利用勾股定理得，即可得，问题得解； （2）设直线交y轴于H点，交x轴于G点；作，使，连接；根据运动的特点可知：，易证明，，，都为等腰直角三角形，，，，，，证明．再证明，即有，则有，便可得，根据，则，，根据勾股定理可得，问题得解； （3）连接交于N点，，可证N为的中点，，取的中点M，则，取的中点L，点D为的中点，则，在中，，，即，问题得解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，， ∴，，， 由题意得：，． 在中，，，， ∴， ∴，即， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 即，； （2）解：设直线交y轴于H点，交x轴于G点；作，使，连接； ∵四边形为矩形， ∴． ∴， ∵根据运动的特点可知：， ∴， ∴，， ∴，，，都为等腰直角三角形， ∴，， ，，， ∵， ∴， 在和中， ∴． ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴． ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， ∵，则，， ∴， ∴； （3）解：连接交于N点，取的中点M，取的中点L，连接，如图， 根据运动的特点可知：， 在矩形中，有：， 利用勾股定理可得：， 又∵， ∴， ∴， 即N为的中点，， ∵的中点为M， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即点D为的中点， 又∵的中点为L， ∴， ∵在中，， 又∵，当且仅当L、D、H三点共线时取等号， ∴， 即的最大值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，构造合理的辅助线，掌握矩形的性质，是解答本题的关键． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$