28.2解直角三角形及其应用复习讲义-2024-2025学年人教版数学九年级下册

28.2解直角三角形及其应用复习讲义-2024-2025学年数学九年级下册人教版 知识小总结 解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 跟踪小练习 一、单选题 1．如图，已知一坡面的坡度，则坡角的度数为（   ）． A． B． C． D． 2．如图，一枚运载火箭从地面L 处发射，雷达站R 与发射点L 水平距离为，当火箭到达A 点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度约为（　　）．    A．6.4 B．4.8 C．6.2 D．10.4 3．某学校的校门是伸缩门，伸缩门中的每一行菱形有25个，每个菱形的边长为．校门关闭时，每个菱形的钝角度数为．校门部分打开时，每个菱形原的角缩小为．则校门打开了（　　）． A． B． C． D． 4．如图，点是优弧上一点，且，以弦的长为直径在的下方作半圆．若，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，在和上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，于点，，，则的长为（    ） A．5 B． C．8 D． 7．如图，，，分别是半径为r的的切线，切点分别A为点A，B，C．已知的周长为，则的正切值为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，且，则顶点的坐标是 ． 9．在四边形中，，，，为其对角线，且．若四边形满足有一组对边平行，则的长为 ． 10．如图，一个滑雪爱好者乘滑雪板沿斜坡上的滑雪道笔直滑下208米，若斜坡滑雪道的坡度（指斜坡的铅直高度与水平宽度的比）为，则他在这次滑雪时下降的高度是 米． 11．铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则阴影部分面积为 ． 12．如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点P射入，经过地板上的C、D两点反射到天花板上形成光斑A、B．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为α，β．由光的反射原理可知，，．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为，当，时，光斑移动的距离为 米． 13．如图，四边形是边长为1的正方形，是等边三角形：连接交于点E．给出下列结论：①；②；③；④的面积为．上述结论中正确的序号是 ． 三、解答题 14．如图，为的直径，弦，垂足为点，直线与延长线交于点，且． (1)求直线与的位置关系：并说明理由． (2)若，求线段的长． 15．图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小东站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是． (1)求图中B到一楼地面的高度．（结果保留根号） (2)求日光灯到一楼地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 16．某校学习小组进一步计划去郊外进行测绘实践活动“测量山坡两侧点与点的高度差”，因山坡的遮挡，两点无法用眼睛直接观测到，于是他们先画出如图2所示的测绘图纸，在点，处分别竖直安置经纬仪和，且米，用无人机辅助测得PG与水平线的夹角与水平线的夹角，无人机距离水平地面的高度米，无人机距离经纬仪顶端Q的距离米．请你根据以上数据求： (1)无人机距离经纬仪顶端P的距离； (2)点与点的高度差．(参考数据：) 17．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为中国的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，央视86版《西游记》中《扫塔辩奇冤》唐僧扫塔的取景就在此处． 实践小组借助无人机测量飞虹塔的高度，如图，在地面上距离底座14米的D处（即米），将无人机竖直向上升高到E处，对塔顶B的仰角为，对塔身C处的俯角为，已知高约为4.6米，且A、B、C、D、E在同一平面内，求飞虹塔的的高度．（结果精确到米；参考数据：，，，，） 18．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为（，，，结果保留一位小数）． (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且丄于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 19．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为线段上一动点，以点为圆心，为半径作圆，与轴另一交点为．过点作的切线与轴相交于点，切点为，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若，点重合时，求的值； (3)如图2，若，点是抛物线上的点，满足，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《28.2解直角三角形及其应用复习讲义-2024-2025学年数学九年级下册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C D C A C D A 1．C 【分析】本题主要考查坡度坡角，根据坡度即为坡角的正切值求解即可． 【详解】解：∵， ∴坡角． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据正切的定义即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴． 故选：D． 3．C 【分析】本题主要考查菱形的性质，解直角三角形的应用，连接，相交于O，首先求出，得到校门关闭时，伸缩门的宽度为，同理求出校门部分打开时，伸缩门的宽度为，进而求解即可． 【详解】解：连接，相交于O， 所以 所以 所以， 所以校门关闭时，伸缩门的宽度为． 因为校门部分打开时，每个菱形中的原的角缩小为， 所以， 所以校门部分打开时，伸缩门的宽度为， 所以校门打开了． 故选C． 4．A 【分析】连接，，过O作于A，根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形得到，再由勾股定理得，，分别计算出，，，再根据即可解答． 本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，三角形面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】连接，，过O作于A， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故选：A． 5．C 【分析】如图，连接，过点作交的延长线于点，设，在中，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于点，设， 四边形是平行四边形， ，，，， ， 由作图可知平分， ， 是等边三角形， ，， 垂直平分线段， ， ， ， 在中，，， ， ， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查作图—垂直平分线、角平分线，线段垂直平分线、角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 6．D 【分析】本题考查了菱形的性质、解直角三角形，由菱形的性质可得，，再解直角三角形即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 7．A 【分析】本题主要考查切线的性质，切线长定理，勾股定理以及解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键．连接并且延长交的延长线于点，连接，根据题意证明，得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：连接并且延长交的延长线于点，连接， ，，分别是半径为r的的切线，切点分别A为点A，B，C， ， ， 的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（舍去）， ． 故选A． 8． 【分析】本题主要考查了菱形的性质，坐标和图形的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是构造辅助线，利用解直角三角形求线段长度． 作出辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形分别求出线段和的长度，即可求出点的坐标． 【详解】解： 如图所示，过点作轴，交轴于点， ∵四边形是菱形，且， ， ∵顶点， ∴菱形的长为4， 在中， ， ， ， 则． 故答案为：． 9．或1 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，解直角三角形的应用等知识，分和两种情况讨论即可． 【详解】解∶当时，如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， 综上，的长为或1， 故答案为：或1． 10．80 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 根据坡度的概念、勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：如图， 设他下降的高度米， ∵斜坡的坡度为， ∴米，米， 由勾股定理得：， 即， 解得：（负值舍去）， ∴他下降的高度为米， 故答案为：80． 11． 【分析】本题考查正多边形与圆，解三角形，不规则图形的面积，过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，求出，，再求弓形的面积为，即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 【详解】解：如图所示：过点C作， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴弓形的面积为：， ∴阴影部分面积为：， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为E，过点作，垂足为F，根据题意可得：，和都是等腰三角形，，从而可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为E，过点作，垂足为F， 由题意得：，和都是等腰三角形，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴光斑移动的距离为， 故答案为：． 13．①②④ 【分析】可得，由是等边三角形可得，则，那么，故①正确；证明，则，故②正确；过点作于点，则为等腰直角三角形，设，则，，则，由得，解得：，则，故③错误；过点P作，垂足为点，，那么，在中，，则，最后由即可求解判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故①正确； 同理， 而， ∴， ∴，故②正确； 过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，设 由勾股定理得，， ∵， ∴在中， 由得：， 解得：， ∴，故③错误； 过点P作，垂足为点， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点． 14．(1)直线是的切线，理由见解析 (2)． 【分析】（1）由圆周角定理可得，进而得到，即；根据平行线的性质可得，再根据垂径定理可得，即直径，即可证明结论； （2）连接，由垂径定理可得，设，解直角三角形求得，在中，利用勾股定理求出，由可得即可解答． 【详解】（1）证明：直线是的切线，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直径， ∴直线是的切线； （2）解：连接，    ∵， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、切线的判定和性质、三角函数解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 15．(1)一楼扶梯顶端B到一楼地面的高度为； (2)日光灯C到一楼地面的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理． （1）过点B作于点E，设，根据勾股定理列方程并求解，即可得到答案； （2）过点C作于点F，交于点G，过点D作于点J，交于点H，根据矩形性质得四边形，是矩形，结合（1）的结论，根据三角函数的性质，得，从而完成求解． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点E． 设， ∵的坡度为， ∴， 在中，由勾股定理，得， 解得：（舍去）或， ∴一楼扶梯顶端B到一楼地面的高度为； （2）解：如图，过点C作于点F，交于点G，过点D作于点J，交于点H， ∴四边形，是矩形， 根据题意，得：，， ∴，，， 由（1）可知，， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴日光灯C到一楼地面的高度约为． 16．(1)70米 (2)点与点的高度差为11米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角，矩形的判定与性质，掌握解直角三角形的应用是解题的关键． （1）过点作于点，求出米，然后根据即可求解； （2）过点作于点，根据求出的长，然后用即可求出高度差． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， ∴， ∴米 在中，， 米 （2）解：过点作于点， 在中，， （米）， （米）． 答：点与点的高度差为11米． 17．飞虹塔的的高度米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作，则四边形是矩形，得米，在，中，求得，即可求解． 【详解】解：过点作，则四边形是矩形， ∴米， 在中，， 在中，， ∴米， 则， 即：飞虹塔的的高度米． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，理解题意是解题的关键； （1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）由正弦函数求得；延长，交于点，则得四边形是矩形，求得，再由条件得，最后由即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， （2）解：， ， 延长，交于点， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ； 答：线段的长度为． 19．(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数与圆的综合，解题关键是由圆的切线性质和角度转化得出．再根据三角函数解三角形． （1）利用待定系数法把，，代入代入解析式求解即可，   （2）当D与B重合时， 根据是等腰直角三角形，，是的切线，求得，，进而求出，，构造等腰直角三角形，求出，，，由即可求解； （3）连接，，交于点，根据切线长定理和直径所对圆周角等于，证明，，再根据解三角形得出，，结合，求出，进而求出点坐标． 【详解】（1）解：把，，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）连接，过点F作，垂足为H， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，是的切线，， ∴，，， ∴，， ∴，即， ∴ ∴， ∴， ， ∴， ∴， 即 （3）如图：连接，，交于点， ∵是直径， ∴，， 又∵， ∴是的切线， 又∵是的切线， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 整理得： ∴， 同时平方去根号，整理得：，即， ∴， ∵， ∴， 即点， ∴直线解析式为， ①当点在直线上时，， 联立解析式得：，解得：， 故点为， ②∵点是点关于轴的轴对称， 连接 ∴， 即点与点重合时，， 故点坐标为， 综上所述：点坐标为或时，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$