10.3实际问题与二元一次方程组第2课时图表问题和工程问题必刷基础题和提高题同步训练（解析版+原卷版）-2024-2025学年七年级数学下必刷题训练（新人教版）

10.3实际问题与二元一次方程组第2课时图表问题和工程问题（解析版） 知识点一　图表问题 1．（2023春•岱岳区期中）一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，且∠2比∠1小50°．若设∠1＝x°，∠2＝y°，则可得到的方程组为（　　） A． B． C． D． 【思路引领】根据“∠2比∠1小50°，及平角等于180°”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【完整解答】解：∵∠2比∠1小50°， ∴x＝y+50； ∵∠1+90°+∠2＝180°，即x°+90°+y°＝180°， ∴x+y＝90． ∴可得到的方程组为． 故选：D． 【总结提升】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2023春•玉环市期末）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值可能是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【思路引领】设可以做成x个竖式的无盖纸盒，y个横式的无盖纸盒，根据恰好将纸板用完，即可得出关于x，y的二元一次方程组，两方程相加后可得出m+n＝5（x+y），结合x，y均为整数可得出（m+n）为5的倍数，再对照四个选项即可得出结论． 【完整解答】解：设可以做成x个竖式的无盖纸盒，y个横式的无盖纸盒， 依题意得：， ①+②得：m+n＝5（x+y）． 又∵x，y均为整数， ∴（m+n）为5的倍数， ∴（m+n）的值可能为2025． 故选：D． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（2024春•巴林左旗期末）如图所示的两台天平均能保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则每块巧克力和每个果冻的质量分别为 　20g，30g　 ． 【思路引领】设设每块巧克力的质量为x g，每个果冻的质量为y g，根据题图，可得3块巧克力的质量＝2个果冻的质量；1块巧克力的质量+1个果冻的质量＝50 g，列出方程组进行求解即可． 【完整解答】解：设每块巧克力的质量为x g，每个果冻的质量为y g，则， 解得； ∴每块巧克力的质量为20 g，每个果冻的质量为30g； 故答案为：20g，30g． 【总结提升】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意得出关于x，y的方程组是解题的关键． 4．（2024•乌当区一模）如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．已知AB＝5，CD＝3，则此图形的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【思路引领】设小长方形的长为x，宽为y，根据各边之间的关系，列出二元一次方程组，解之得出x、y的值，即可解决问题． 【完整解答】解：设小长方形的长为x，宽为y， 由题意得：， 解得：， ∴2xy＝2×4×1＝8， 即此图形的面积为8， 故选：B． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5．（2024秋•浦东新区期末）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小明把50个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　56　 cm． 【思路引领】根据题意可知，单独一个纸杯的高度加三个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于9，单独一个纸杯的高度加8个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于14，根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解． 【完整解答】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高x cm，单独一个纸杯的高度为y cm， 由题意得， 解得， 则n个纸杯叠放在一起时的高度为：（n﹣1）x+y＝n﹣1+7＝（n+6）cm， 当n＝50时，其高度为：50+6＝56（cm）． 故答案为：56． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系列出方程组是解题的关键． 6．（2024•九台区一模）如图，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，若这个拼成的长方形的长为35，宽为15，则图中Ⅱ部分的面积是（　　） A．100 B．125 C．150 D．175 【思路引领】根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，以及长方形的长为35，宽为15，得出a+b＝35，a﹣b＝15，进而得出图中Ⅱ部分的长和宽，即可得出答案． 【完整解答】解：根据题意得出：， 解得：， 故图（2）中Ⅱ部分的面积是：b（a﹣b）＝10×（25﹣10）＝150， 故选：C． 【总结提升】此题主要考查了正方形的性质以及二元一次方程组的应用，根据已知得出a+b＝35，a﹣b＝15是解题关键． 8．小甘到文具超市去买文具请你根据图中的对话信息，求出中性笔和笔记本的单价分别是多少元．设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意列出方程组：　　 ． 【思路引领】根据“12支中性笔和20本笔记本的总价是114元，12本笔记本和20支中性笔的总价是112元”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【完整解答】解：∵12支中性笔和20本笔记本的总价是114元， ∴12x+20y＝114； ∵12本笔记本和20支中性笔的总价是112元， ∴20x+12y＝112． ∴根据题意可列方程组． 故答案为：． 【总结提升】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 知识点二　工程问题 7．（2023春•华安县期中）某地需要将一段长为140米的河道进行整修，整修任务由A、B两个工程队先后接力完成．已知A工程队每天整修12米，B工程队每天整修8米，共用时15天．求A、B两个工程队整修河道分别工作了多少天？ 【思路引领】设A工程队整修河道工作了x天，B工程队整修河道工作了y天，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【完整解答】解：设A工程队整修河道工作了x天，B工程队整修河道工作了y天， 根据题意可得：， 解得：， 答：A工程队整修河道工作了5天，B工程队整修河道工作了10天． 【总结提升】本题主要考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8．小甘到文具超市去买文具请你根据图中的对话信息，求出中性笔和笔记本的单价分别是多少元．设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意列出方程组：　　 ． 【思路引领】根据“12支中性笔和20本笔记本的总价是114元，12本笔记本和20支中性笔的总价是112元”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【完整解答】解：∵12支中性笔和20本笔记本的总价是114元， ∴12x+20y＝114； ∵12本笔记本和20支中性笔的总价是112元， ∴20x+12y＝112． ∴根据题意可列方程组． 故答案为：． 【总结提升】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9．（2024春•官渡区期末）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（　　） A．84cm B．85cm C．86cm D．87cm 【思路引领】设长方体长xcm，宽ycm，高acm，由图象建立方程组求出其解就可以得出结论． 【完整解答】解：设长方体长xcm，宽ycm，高acm，由题意，得 ， 解得：2a＝170， ∴a＝85． 故选：B． 【总结提升】本题考查了运用列三元一次方程组解决实际问题的运用及方程组的解法的运用，在解答时设参数建立方程是关键． 10．（2024•芜湖二模）某校九年级举行“书香润心灵，阅读促成长”活动．学校要求各班班长根据学生阅读需求，统计需购的书籍类型和数量，如表所示． 文学类（本/人） 科普类（本/人） 九（1）班 3 2 九（2）班 4 1 共计（本） 265 110 请你根据以上信息，求九（1）班和九（2）班各有多少人． 【思路引领】设九（1）班有x人，九（2）班有y人，根据题意列出方程组病求解即可． 【完整解答】解：设九（1）班有x人，九（2）班有y人， 由题意得：， 解得：， 答：九（1）班有35人，九（2）班有40人． 【总结提升】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程组． 11．（2022•安徽二模）我国古代的优秀数学著作《九章算术》有一道“竹九节”问题，大意是说：现有一根上细下粗共九节的竹子，自上而下从第2节开始，每一节与前一节的容积之差都相等，且最上面三节的容积共9升，最下面三节的容积共45升，求第五节的容积，及每一节与前一节的容积之差． 请解答上述问题． 【思路引领】从题目中可知，第2节开始相邻两节的容积差相等设为y，第5节的容积直接设为x，然后根据第5节和容积差建立等量关系：第1节容积+第2节容积+第3节容积＝9，第7节容积+第8节容积+第9节容积＝45构建二元一次方程组求解． 【完整解答】解：设第五节的容积为x升，每一节与前一节的容积之差为y升，依题意得： ， 解得：， 答：第五节的容积9升，每一节与前一节的容积之差2升． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组在古典数学中的应用，突出了我国古人在数学方面的成就．难点是用第5节容积和相邻容积来表示竹子各节的容积． 12．（2021春•武昌区期末）如图，三个一样大小的小长方形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个长为10，宽为8的大长方形中，求图中一个小长方形的面积． 【思路引领】设小长方形的长为x，宽为y，根据大长方形的长和宽，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用长方形的面积计算公式即可求出结论． 【完整解答】解：设小长方形的长为x，宽为y， 依题意得：， 解得：， ∴xy＝4×2＝8． 答：图中一个小长方形的面积为8． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用以及生活中的平移现象，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 13．（2024秋•龙华区期中）如图，长方形ABCD中有6个形状、大小相同的小长方形，且EF＝3cm，CD＝12cm，则图中阴影部分的面积是　48　 cm2． 【思路引领】设每小长方形的宽为xcm，则每小长方形的长为（x+3）cm，根据一个小长方形的宽+2个小长方形的长＝CD，列出方程，求出x的值，再根据长方形的面积公式用最大的长方形减去6个最小的小长方形的面积，得出阴影部分的面积． 【完整解答】解：设每小长方形的宽为xcm，则每小长方形的长为（x+3）cm，根据题意得： 2（x+3）+x＝12， 解得：x＝2， 则每小长方形的长为2+3＝5（cm）， 则AD＝2+2+5＝9（cm）， 阴影部分的面积为9×12﹣2×5×6＝48（cm2）． 故答案为：48． 【总结提升】此题考查了一元一次方程的应用，关键是根据所给出的图形，找出相等关系，列出方程，求出小长方形的宽和长． 14．利用两个外形一致的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是 　85cm　 ． 【思路引领】设桌子的高度为x cm，长方体木块的长比宽长y cm，观察图①、图②，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【完整解答】解：设桌子的高度为x cm，长方体木块的长比宽长y cm， 根据题意得：， 解得：． 故答案为：85cm． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 15．（2024春•晋城期末）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6． （1）图中格点多边形DEFGHI所对应的S＝　7　 ，N＝　3　 ，L＝　10　 ． （2）经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN+bL﹣1，其中a，b为常数 ①试求a，b的值．（提示：列方程组） ②求当N＝5，L＝14时，S的值． 【思路引领】（1）观察图形，即可求得第一个结论； （2）①根据格点多边形的面积S＝aN+bL﹣1，结合图中的格点三角形ABC及多边形DEFGHI中的S，N，L数值，代入建立方程组，求出a，b； ②将N，L代入等式可求解． 【完整解答】解：（1）观察图形，可得S＝7，N＝3，L＝10； 故答案为：7，3，10 （2）①根据题意得： 解得： ②∵S＝NL﹣1， ∴将N＝5，L＝14代入可得S＝5+141＝11． 【总结提升】此题考查格点图形的面积变化与多边形内部格点数和边界格点数的关系，从简单情况分析，找出规律解决问题． 16．（2024春•宁晋县期末）据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长100m、宽80m的长方形土地分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是2：1？请你设计两种不同的种植方案． 【思路引领】先设计出两种方案图，然后根据甲、乙两种作物的总产量的比是2：1列出方程组，求出方程的解即可． 【完整解答】解：方案1：如图①，将长方形ABCD分割为两个长方形ABEF和长方形EFDC， 设AF＝x米，DF＝y米，由题意得，， 解得． 所以，过长方形土地长边上离一端80米处画一条垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大的一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物． 方案2：如图②，将长方形ABCD分割为两个长方形AMND和长方形MBCN， 设AM＝a米，BM＝b米，由题意得，， 解得． 所以，过长方形土地短边上离一端64米处画一条垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大的一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是先设计出两种方案图，再根据题意，找出之间的数量关系列出二元一次方程组，此题难度一般． 17．（2022秋•揭东区月考）某超市的地面需要铺设地砖，经询问得知：若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两工程队费用共8000元．若先请甲工程队单独做6天，再请乙工程队单独做，则乙工程队12天可以完成，需付两工程队费用共7920元，问： （1）甲、乙两工程队单独工作一天，超市应各付多少元？ （2）单独请哪个工程队，超市所付费用较少？ 【思路引领】（1）根据等量关系：甲做8天需要的费用+乙作8天需要的费用＝8000元，甲组6天需付的费用+乙做12天需付的费用＝7920元，建立方程组求解即可； （2）根据等量关系：甲8天的工作量+乙8天的工作量＝1，甲6天的工作量+乙12天的工作量＝1，建立方程组求解，可得出即可甲乙两人各自的工作效率，进而可求出各自的费用，比较即可． 【完整解答】解：（1）设甲每天费用为x元，乙每天费用为y元． 由题意得， 解得， ∴甲、乙两队每天的费用分别为680元，320元． （2）设甲每天完成x，乙每天完成y． 由题意得， 解得， ∴甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成， 甲单独做需要的费用为12×680＝8160元， 乙单独做需要的费用为24×320＝7680元， 8160＞7680， ∴单独请乙队施工费用较少． 【总结提升】本题考查二元一次方程组的实际应用，分析题目找到等量关系是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3 实际问题与二元一次方程组 第3课时 行程问题及其他问题必刷基础题和提高题（解析版） 知识点一　行程问题 1．（2022春•芜湖期末）小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程．两人的平均速度各是多少？若设小方的平均速度是x km/h，小程的平均速度是y km/h，则下列方程组不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．一艘船顺水航行45km需要3h，逆水航行65km需要5h，若设船在静水中速度为xkm/h，水流的速度是ykm/h，则x，y值分别是（　　） A．x＝13，y＝2 B．x＝14，y＝1 C．x＝15，y＝1 D．x＝14，y＝2 3．（2024春•南关区月考）甲、乙两人开车，同时从相距105千米的两城市相向而行，2小时后相遇．已知甲每小时比乙多行驶2.5千米，则甲的速度 　 　 千米/小时，乙的速度 　 　 千米/小时． 4．（2023秋•花溪区月考）甲、乙两人在相距18km的两地．若同时出发相向而行，经2h相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1h，则在乙出发后经4h甲追上乙，求甲、乙两人的速度． 知识点二　其他问题 5．（2023秋•宁国市期末）某工厂现有95个工人，一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套，现在要求工人每天做的螺杆和螺母完整配套而没有剩余，若设安排x个工人做螺杆，y个工人做螺母，则列出正确的二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 6．（2024•重庆开学）甲乙两仓库共存粮食260吨，如果甲仓库运25%到乙仓库，则乙仓库比甲仓库多20吨，原来甲仓库存粮食 　 吨． 7．（2024•沭阳县开学）小红和爸爸现在年龄之和是49岁，16年后，爸爸的年龄是小红年龄的两倍，小红和爸爸今年年龄各是多少岁？ 8．（2022春•朔州期末）一道来自课本的习题： 从甲地到乙地先有一段上坡路后有一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54分钟，从乙地到甲地需42分钟，甲地到乙地全程是多少？ 小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，采用间接设法： 设坡路有xkm，平路有ykm，则全程为（x+y）km．已经列出一个方程，则另一个方程正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（2023秋•全椒县期末）某市出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费．明明乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（2024•天山区一模）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．求该轮船在静水中的速度和水流速度． 11．（1）两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数． 分析：设较大的两位数为x，较小的两位数为y． ①在较大数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为 　 ； ②在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为 　 　 ． （2）一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1．这个两位数是多少？ 12．（2021•南通一模）打折前，买20件A商品和30件B商品要用2200元，买50件A商品和10件B商品要用2900元．若打折后，买40件A商品和40件B商品用了3240元，比不打折少花多少钱？ 13．（2020春•崇川区期末）某商场购进一种商品，然后在进价基础上加价出售，平均每天卖出15件，30天共获利22500元．为了尽快回收资金，商场决定每件打八折销售，结果平均每天比打折前多卖出10件，这样30天仍获利22500元，求这种商品的进价和打折前的售价． 14．（2024秋•渠县期末）某电器商场销售进价分别为120元、190元的A、B两种型号的电风扇，如下表所示是近二周的销售情况（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 5 6 2310 第二周 8 9 3540 （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若商场再购进这两种型号的电风扇共120台，并且全部销售完，该商场能否实现这两批电风扇的总利润为8240元的目标？若能，请给出相应的采购方案：若不能，请说明理由． 15．（2022春•澧县期末）下表是某超市两次按原价销售牛奶和咖啡的记录单： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 销售金额（元） 第一次 30 10 1400 第二次 10 20 1300 （1）求牛奶与咖啡每箱原价分别为多少元？ （2）某公司后勤部去采购，发现该超市有一部分商品因保质期临近，正在进行打六折的促销活动，于是后勤部决定采购原价或打折的咖啡和牛奶若干箱，其中采购的打折牛奶箱数是采购总箱数的，最后一共花费1860元，请问此次按原价采购的咖啡有多少箱？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3 实际问题与二元一次方程组 第3课时 行程问题及其他问题必刷基础题和提高题（解析版） 知识点一　行程问题 1．（2022春•芜湖期末）小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程．两人的平均速度各是多少？若设小方的平均速度是x km/h，小程的平均速度是y km/h，则下列方程组不正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路引领】根据“小方、小程两人相距6km，两人同时出发相向而行，1h相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，对比四个选项后即可得出结论． 【完整解答】解：依题意，得：， 即或． 故选：C． 【总结提升】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．一艘船顺水航行45km需要3h，逆水航行65km需要5h，若设船在静水中速度为xkm/h，水流的速度是ykm/h，则x，y值分别是（　　） A．x＝13，y＝2 B．x＝14，y＝1 C．x＝15，y＝1 D．x＝14，y＝2 【思路引领】设船在静水中速度为xkm/h，水流的速度是ykm/h，根据“顺水航行45km需要3h，逆水航行65km需要5h”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【完整解答】解：设船在静水中速度为xkm/h，水流的速度是ykm/h， 根据题意得：， 解得：． 故选：B． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（2024春•南关区月考）甲、乙两人开车，同时从相距105千米的两城市相向而行，2小时后相遇．已知甲每小时比乙多行驶2.5千米，则甲的速度 　27.5　 千米/小时，乙的速度 　25　 千米/小时． 【思路引领】设甲的速度x千米/小时，乙的速度y千米/小时，由甲每小时比乙多行驶2.5千米可以得到方程x＝y+2.5，又同时从相距105千米的两城市相向而行，2小时后相遇，由此可以列出方程2x+2y＝105，联立两个方程组成方程组即可解决问题． 【完整解答】解：设甲的速度x千米/小时，乙的速度y千米/小时， 依题意得， ∴， 答：甲的速度27.5千米/小时，乙的速度25千米/小时． 故填空答案：27.5，25． 【总结提升】此题是一个传统的行程问题，在根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 4．（2023秋•花溪区月考）甲、乙两人在相距18km的两地．若同时出发相向而行，经2h相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1h，则在乙出发后经4h甲追上乙，求甲、乙两人的速度． 【思路引领】设甲的速度是x千米/时，乙的速度是y千米/时，根据题意列出方程组，求出解来即可． 【完整解答】解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时， 依题意得：， 解得：， 答：甲的速度为6千米/时，乙的速度为3千米/时． 【总结提升】本题考查了列二元一次方程组解应用题的问题，是基础题目． 知识点二　其他问题 5．（2023秋•宁国市期末）某工厂现有95个工人，一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套，现在要求工人每天做的螺杆和螺母完整配套而没有剩余，若设安排x个工人做螺杆，y个工人做螺母，则列出正确的二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【思路引领】设安排x个工人做螺杆，y个工人做螺母，根据“工厂现有95个工人”和“一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套”列出方程组即可． 【完整解答】解：设安排x个工人做螺杆，y个工人做螺母，由题意得： 故选：C． 【总结提升】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组． 6．（2024•重庆开学）甲乙两仓库共存粮食260吨，如果甲仓库运25%到乙仓库，则乙仓库比甲仓库多20吨，原来甲仓库存粮食 　160　 吨． 【思路引领】设原来甲仓库存粮食x吨，乙仓库存粮食y吨，根据甲乙两仓库共存粮食260吨，如果甲仓库运25%到乙仓库，则乙仓库比甲仓库多20吨，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【完整解答】解：设原来甲仓库存粮食x吨，乙仓库存粮食y吨， 由题意得：， 解得：， 即原来甲仓库存粮食160吨， 故答案为：160． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7．（2024•沭阳县开学）小红和爸爸现在年龄之和是49岁，16年后，爸爸的年龄是小红年龄的两倍，小红和爸爸今年年龄各是多少岁？ 【思路引领】设小红今年年龄是x岁，爸爸今年年龄是y岁，根据“小红和爸爸现在年龄之和是49岁，16年后，爸爸的年龄是小红年龄的两倍”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【完整解答】解：设小红今年年龄是x岁，爸爸今年年龄是y岁， 根据题意得：， 解得：． 答：小红今年年龄是11岁，爸爸今年年龄是38岁． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8．（2022春•朔州期末）一道来自课本的习题： 从甲地到乙地先有一段上坡路后有一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54分钟，从乙地到甲地需42分钟，甲地到乙地全程是多少？ 小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，采用间接设法： 设坡路有xkm，平路有ykm，则全程为（x+y）km．已经列出一个方程，则另一个方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路引领】根据时间＝路程÷速度结合从乙地到甲地需42分钟，即可得出关于x，y的二元一次方程组，即可得出结论． 【完整解答】解：依题意有：另一个方程正确的是． 故选：B． 【总结提升】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9．（2023秋•全椒县期末）某市出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费．明明乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路引领】设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，根据题意明明乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元列出二元一次方程组，即可求解． 【完整解答】解：设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，根据题意得，， 故选：C． 【总结提升】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系． 10．（2024•天山区一模）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．求该轮船在静水中的速度和水流速度． 【思路引领】根据顺水速度﹣水流速度＝船在静水中的速度＝逆水速度+水流速度，可以列出相应的方程． 【完整解答】解：设水流的速度为x千米/小时， 由题意可得：90÷6﹣x＝90÷（6+4）+x， 解得x＝3， ∴90÷6﹣x＝15﹣3＝12， 答：该轮船在静水中的速度为12千米/小时，水流速度为3千米/小时． 【总结提升】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 11．（1）两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数． 分析：设较大的两位数为x，较小的两位数为y． ①在较大数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为 　100x+y　 ； ②在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为 　100y+x　 ． （2）一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1．这个两位数是多少？ 【思路引领】（1）根据两个两位数的和是68，前一个四位数比后一个四位数大2178，列出二元一次方程组，解方程组即可； ①在较大数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为100x+y， ②在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为100y+x； （2）设这个两位数的十位数字为a，个位上的数字为b，根据一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【完整解答】解：（1）根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：这两个两位数是45和23． ①在较大数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为100x+y， ②在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为100y+x， 故答案为：100x+y，100y+x； （2）设这个两位数的十位数字为a，个位上的数字为b， 根据题意得：， 解得：， 答：这个两位数为56． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 12．（2021•南通一模）打折前，买20件A商品和30件B商品要用2200元，买50件A商品和10件B商品要用2900元．若打折后，买40件A商品和40件B商品用了3240元，比不打折少花多少钱？ 【思路引领】设A商品打折前的单价为x元/件，B商品打折前的单价为y元/件，根据“买20件A商品和30件B商品要用2200元，买50件A商品和10件B商品要用2900元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，根据总价＝打折前的单价×数量结合打折后的总价为3240元，即可求出节省的钱数． 【完整解答】解：设A商品打折前的单价为x元/件，B商品打折前的单价为y元/件， 根据题意得：， 解得：， 40x+40y﹣3240＝360． 答：打折后，买40件A商品和40件B商品用了3240元，比不打折少花360元． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组的应用． 13．（2020春•崇川区期末）某商场购进一种商品，然后在进价基础上加价出售，平均每天卖出15件，30天共获利22500元．为了尽快回收资金，商场决定每件打八折销售，结果平均每天比打折前多卖出10件，这样30天仍获利22500元，求这种商品的进价和打折前的售价． 【思路引领】等量关系：①规定以每件b元出售，平均每天卖出15件，30天共可获利22500元，即30×15（b﹣a）＝22500；②将每件服装降价20%出售，结果平均每天比减价前多卖出10件，这样30天仍可获利22500元，即30×25[b（1﹣20%）﹣a]＝22500． 【完整解答】解：设这种商品的进价为a元，打折前的售价为b元，则 得 ， 解得． 答：这种商品的进价是50元，打折前的售价是100元． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键． 14．（2024秋•渠县期末）某电器商场销售进价分别为120元、190元的A、B两种型号的电风扇，如下表所示是近二周的销售情况（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 5 6 2310 第二周 8 9 3540 （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若商场再购进这两种型号的电风扇共120台，并且全部销售完，该商场能否实现这两批电风扇的总利润为8240元的目标？若能，请给出相应的采购方案：若不能，请说明理由． 【思路引领】（1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元/台，B种型号的电风扇的销售单价为y元/台，根据总价＝单价×数量结合近二周的销售情况统计表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设再购进A种型号的电风扇m台，则购进B种型号的电风扇（120﹣m）台，根据利润＝销售收入﹣进货成本，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【完整解答】解：（1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元/台，B种型号的电风扇的销售单价为y元/台， 依题意，得：， 解得：． 答：A种型号的电风扇的销售单价为150元/台，B种型号的电风扇的销售单价为260元/台． （2）设再购进A种型号的电风扇m台，则购进B种型号的电风扇（120﹣m）台， 依题意，得：2310+3540+150m+260（120﹣m）﹣120（5+8+m）﹣190[6+9+（120﹣m）]＝8240， 解得：m＝40， ∴120﹣m＝80． 答：再购进A种型号的电风扇40台，B种型号的电风扇80台，就能实现这两批电风扇的总利润为8240元的目标． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 15．（2022春•澧县期末）下表是某超市两次按原价销售牛奶和咖啡的记录单： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 销售金额（元） 第一次 30 10 1400 第二次 10 20 1300 （1）求牛奶与咖啡每箱原价分别为多少元？ （2）某公司后勤部去采购，发现该超市有一部分商品因保质期临近，正在进行打六折的促销活动，于是后勤部决定采购原价或打折的咖啡和牛奶若干箱，其中采购的打折牛奶箱数是采购总箱数的，最后一共花费1860元，请问此次按原价采购的咖啡有多少箱？ 【思路引领】（1）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，由表中数据列出方程组，求解即可； （2）设牛奶与咖啡总箱数为a箱，则打折的牛奶箱数为a箱，设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有（a﹣b）箱，由题意列出方程，求出正整数解，进而求解即可． 【完整解答】解：（1）设每箱牛奶的原价为x元，每箱咖啡的原价为y元， 依题意得：， 解得：． 答：每箱牛奶的原价为30元，每箱咖啡的原价为50元． （2）设牛奶与咖啡总箱数为a箱，则打折的牛奶箱数为a箱， 打折牛奶价格为：30×0.6＝18（元），打折咖啡价格为：50×0.6＝30（元）， 即打折咖啡价格与牛奶原价相同， 设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有（a﹣b）箱， 由题意得：18a+30×（a﹣b）+50b＝1860， 整理得：27a+20b＝1800， ∵a、b均为正整数， ∴或或， 当b＝63时，50×63＝3150＞1800，不合题意舍去； 当b＝39时，50×39＝1950，不合题意舍去； 当b＝12时，50×12＝600＜1800，符合题意； 即此次按原价采购的咖啡有12箱． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，列出二元一次方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3实际问题与二元一次方程组第2课时图表问题和工程问题（原卷版） 知识点一　图表问题 1．（2023春•岱岳区期中）一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，且∠2比∠1小50°．若设∠1＝x°，∠2＝y°，则可得到的方程组为（　　） A． B． C． D． 2．（2023春•玉环市期末）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值可能是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 3．（2024春•巴林左旗期末）如图所示的两台天平均能保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则每块巧克力和每个果冻的质量分别为 　 ． 4．（2024•乌当区一模）如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．已知AB＝5，CD＝3，则此图形的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 5．（2024秋•浦东新区期末）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小明把50个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　56　 cm． 6．（2024•九台区一模）如图，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，若这个拼成的长方形的长为35，宽为15，则图中Ⅱ部分的面积是（　　） A．100 B．125 C．150 D．175 8．小甘到文具超市去买文具请你根据图中的对话信息，求出中性笔和笔记本的单价分别是多少元．设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意列出方程组：　　 ． 知识点二　工程问题 7．（2023春•华安县期中）某地需要将一段长为140米的河道进行整修，整修任务由A、B两个工程队先后接力完成．已知A工程队每天整修12米，B工程队每天整修8米，共用时15天．求A、B两个工程队整修河道分别工作了多少天？ 8．小甘到文具超市去买文具请你根据图中的对话信息，求出中性笔和笔记本的单价分别是多少元．设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意列出方程组：　 ． 9．（2024春•官渡区期末）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（　　） A．84cm B．85cm C．86cm D．87cm 10．（2024•芜湖二模）某校九年级举行“书香润心灵，阅读促成长”活动．学校要求各班班长根据学生阅读需求，统计需购的书籍类型和数量，如表所示． 文学类（本/人） 科普类（本/人） 九（1）班 3 2 九（2）班 4 1 共计（本） 265 110 请你根据以上信息，求九（1）班和九（2）班各有多少人． 11．（2022•安徽二模）我国古代的优秀数学著作《九章算术》有一道“竹九节”问题，大意是说：现有一根上细下粗共九节的竹子，自上而下从第2节开始，每一节与前一节的容积之差都相等，且最上面三节的容积共9升，最下面三节的容积共45升，求第五节的容积，及每一节与前一节的容积之差． 请解答上述问题． 12．（2021春•武昌区期末）如图，三个一样大小的小长方形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个长为10，宽为8的大长方形中，求图中一个小长方形的面积． 13．（2024秋•龙华区期中）如图，长方形ABCD中有6个形状、大小相同的小长方形，且EF＝3cm，CD＝12cm，则图中阴影部分的面积是　 　 cm2． 14．利用两个外形一致的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是 　 　 ． 15．（2024春•晋城期末）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6． （1）图中格点多边形DEFGHI所对应的S＝　 ，N＝　 　 ，L＝　 ． （2）经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN+bL﹣1，其中a，b为常数 ①试求a，b的值．（提示：列方程组） ②求当N＝5，L＝14时，S的值． 16．（2024春•宁晋县期末）据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长100m、宽80m的长方形土地分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是2：1？请你设计两种不同的种植方案． 17．（2022秋•揭东区月考）某超市的地面需要铺设地砖，经询问得知：若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两工程队费用共8000元．若先请甲工程队单独做6天，再请乙工程队单独做，则乙工程队12天可以完成，需付两工程队费用共7920元，问： （1）甲、乙两工程队单独工作一天，超市应各付多少元？ （2）单独请哪个工程队，超市所付费用较少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$