精品解析：广东省东莞市众美中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷

众美中学2024-2025学年高一数学下学期月考 说明：本试卷共4页，19题，满分150分，考试用时120分. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号､试室号､座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 一单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在年小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若满足且与同向，则 C. 对于任意向量，必有 D. 平行向量不一定是共线向量 【答案】C 【解析】 【分析】根据相等向量的定义可判断A；由向量不能比较大小可判断B；由向量加法的几何意义可判断C；由共线向量的定义可判断D. 【详解】A，方向相同，模相等的向量为相等向量，单位向量的方向不一定相同，故A错误； B，向量模能比较大小，向量不能比较大小，故B错误； C，根据向量加法的几何意义可得，故C正确； D，平行向量也是共线向量，故D错误. 故选：C 2. 已知的边BC上有一点D，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，结合平面向量的线性运算法则，化简计算可得出的表达式. 【详解】由，得 ， 故选：C. 3. 若，则“”是复数“”为纯虚数的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念进行判断即可. 【详解】若，则为纯虚数； 若为纯虚数，，则有，解得. 所以，当时，“”是复数“”为纯虚数的充要条件. 故选：C 4. 已知菱形的边长为2，,点是上靠近的三等分点，则（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】取为基底，，再把转化成基底运算. 【详解】如图，作，，因为是上靠近的三等分点， 所以也都是三等分点， 所以， ， 故选A. 【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用，考查数形结合思想，求解过程中要注意基底选择的合理性，即一般是选择模和夹角已知的两个向量作为基底. 5. 已知向量，若间的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，展开利用数量积公式求解即可. 【详解】因为，间的夹角为， 所以， 又， 所以， 故选：A 6. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理得到，结合两角和的正弦公式即可得到答案. 详解】，则， 即， 因，所以，所以， 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 7. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 10 B. 13 C. 18 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可得与，再根据平面向量的运算可得出结论． 【详解】是边的中点，可得， 是的外接圆的圆心， ， 同理可得， ． 故选：B． 8. 已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（ ） A. 13 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点，建立直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算，以及二次函数的性质，即可求解. 【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P（x，y） 则，可得，， 所以，即，故，， 所以，当且仅当即时等号成立． 故选：B． 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.全对得6分，少选得部分分，多选､错选不得分） 9. 已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数为纯虚数，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的运算可得A,C,D的正误，根据复数虚部的概念可知B的正误. 【详解】因为，A正确； 复数的虚部为，B不正确； 若，则，，C不正确； 设，所以， ，D正确. 故选：AD. 10. 已知的内角、、所对的边分别为、、，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是钝角三角形 B. 若，则 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，，，则只有一解 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用正弦定理及大边对大角，结合余弦定理的推论即可求解； 对于B，利用正弦定理的角化边即可求解； 对于C，利用向量的数量积的定义即可求解； 对于D，利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解. 【详解】对于A，因为的三个角满足，所以由正弦定理化简得，设，为最大边，由余弦定理得，所以为钝角，所以是钝角三角形，故A正确； 对于B，由及正弦定理，得,解得，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，所以为锐角，但无法确定和是否为锐角，故C错误； 对于D，由正弦定理得，解得，因为,所以，所以只有一解，故D正确. 故选：ABD. 11. 在中，若，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的面积是 B. 若，则的外接圆半径是 C. 若，则 D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A、B、C选项由已知结合正弦定理和差角公式及同角的基本关系进行变形即可判断，D选项用角表示出结合三角恒等变换以及均值不等式即可判断. 【详解】因为，角的平分线交于，所以，，所以，， 由正弦定理得， 所以， 所以，故A正确； 因为，所以，设的外接圆半径是，由正弦定理，，所以，故B错误； 因为，由正弦定理，因为和互补，所以，所以，故C正确； 设，则， 因为， 所以 若，则， 若，则 ，令，， ，当且仅当，即或时，则或，故或（舍去）， 综上：当为等边三角形时，的最小值是，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，若，，，则________； 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，再由正弦定理计算可得. 【详解】因为，又，所以，则，解得（负值已舍去）， 由正弦定理，即，解得. 故答案为： 13. 已知是虚数单位，若复数对应的点在虚轴上，则的值是__________ 【答案】 【解析】 【分析】化简式子，然后根据概念得到结果. 【详解】因为对应点在虚轴上， 所以 故答案为：3 14. 已知点，且，若点在第一､三象限的角平分线上，则的值为__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，求出点的坐标，再由点的横纵坐标相等求解. 【详解】，则点坐标为， 由于点在第一､三象限的角平分线上，则，解得． 故答案为： 四､解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16-17题每小题15分，第18-19题每小题17分，共77分解答应写出必要的文字说明､正证明过程或演算步骤，） 15. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行得出，进而由模长公式的得出的值； （2）根据向量垂直坐标表示得出的值． 【小问1详解】 由得，∴，∴ 【小问2详解】 由已知， 又，∴，解得 16. 已知复数z=m＋2i是方程的根（i是虚数单位，m∈R） （1）求|z|： （2）设复数，（是z的共复数），且复数所对应的点在第三象限，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将复数根代入方程中，根据复数相等即可求解， （2）根据i的周期性以及复数的除法运算法则化简得，结合复数的结合意义即可列不等式求解. 【小问1详解】 由题知 ∴ 即 ， 【小问2详解】 ∴ 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求b，c的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合和差角的正弦公式化简求解即可； （2）由面积公式可得，再根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理及． 得， 即， 即， 因为，所以， 所以，所以． 【小问2详解】 由题意得的面积，所以①． 又，且，所以②． 由①②得． 18. 为了迎接亚运会， 滨江区决定改造一个公园，准备在道路AB的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道路AB长为4km，四边形的另外两个顶点C， D设计在以AB为直径的半圆上. 记. （1）为了观赏效果， 需要保证，若薰衣草种植面积不能少于 km2，则应设计在什么范围内? （2）若BC = AD， 求当为何值时，四边形的周长最大，并求出此最大值. 【答案】（1） （2），10km 【解析】 【分析】（1）由，利用三角形面积公式得到求解； （2） 由BC = AD得到，进而得到，利用二次函数的性质求解. 【小问1详解】 解：， ， 由题意， ， ， 因为，所以， 解得； 【小问2详解】 由BC = AD可知， ， 故， ， 从而四边形ABCD周长最大值是10km， 当且仅当， 即时取到. 19. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴与轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为 （1）在斜坐标系中的坐标，已知，求 （2）在斜坐标系中的坐标，已知，，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积的运算律求解； （2）利用平面向量的数量积的坐标表示以及两角差的正弦公式，结合正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 由题意可知： , , ∴. 【小问2详解】 由题意可知 ∴, 由（1）可得：, 令 , 又因为, 且，所以， ，∴， 又因为函数在单调递增， 即：时，函数取到最大值3， 即，则有， ∴当时，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 众美中学2024-2025学年高一数学下学期月考 说明：本试卷共4页，19题，满分150分，考试用时120分. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号､试室号､座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 一单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在年小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若满足且与同向，则 C. 对于任意向量，必有 D. 平行向量不一定共线向量 2. 已知的边BC上有一点D，且满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则“”是复数“”为纯虚数的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知菱形的边长为2，,点是上靠近的三等分点，则（　　） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知向量，若间的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 6. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A B. C. D. 7. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 10 B. 13 C. 18 D. 26 8. 已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则最大值为（ ） A. 13 B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.全对得6分，少选得部分分，多选､错选不得分） 9. 已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数为纯虚数，则 D. 10. 已知内角、、所对的边分别为、、，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是钝角三角形 B. 若，则 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，，，则只有一解 11. 在中，若，角平分线交于，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的面积是 B. 若，则的外接圆半径是 C. 若，则 D. 的最小值是 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，若，，，则________； 13. 已知是虚数单位，若复数对应的点在虚轴上，则的值是__________ 14. 已知点，且，若点在第一､三象限的角平分线上，则的值为__________． 四､解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16-17题每小题15分，第18-19题每小题17分，共77分解答应写出必要的文字说明､正证明过程或演算步骤，） 15. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 16. 已知复数z=m＋2i是方程的根（i是虚数单位，m∈R） （1）求|z|： （2）设复数，（是z的共复数），且复数所对应的点在第三象限，求实数a的取值范围． 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求b，c的值． 18. 为了迎接亚运会， 滨江区决定改造一个公园，准备在道路AB的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道路AB长为4km，四边形的另外两个顶点C， D设计在以AB为直径的半圆上. 记. （1）为了观赏效果， 需要保证，若薰衣草的种植面积不能少于 km2，则应设计在什么范围内? （2）若BC = AD， 求当为何值时，四边形的周长最大，并求出此最大值. 19. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴与轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为 （1）在斜坐标系中的坐标，已知，求 （2）在斜坐标系中的坐标，已知，，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $