清单03 二元一次方程组（考点清单，知识导图+13个考点清单&题型解读）七年级数学下学期新教材青岛版

清单03二元一次方程组（12个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 二元一次方程（组） 1.二元一次方程 （1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． （2）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.二元一次方程组 （1）概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解． 清单02 解二元一次方程组 解二元一次方程组的方法： （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 清单03 二元一次方程组的应用 二元一次方程组的应用的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 【考点题型一】二元一次方程(组)的定义（） 【例1】（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）下列方程中①；②；③；④；⑤，二元一次方程的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例1-2】（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·甘肃天水·阶段练习）下列方程中，属于二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）下列方程组为二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）已知是关于，的二元一次方程，则的值是 ． 【考点题型二】二元一次方程的解（） 【例3】（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）已知是方程的解，则m的值是（   ） A．4 B． C．2 D． 【变式3-1】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程有一组解为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）由方程可以得到用x表示y的式子为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）下面二元一次方程的解为的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（24-25七年级下·全国·课后作业）若某个二元一次方程的解为，则这个方程是 ． 【考点题型三】解二元一次方程组（） 【例3】（2025七年级下·福建·专题练习）解方程组： (1) (2) 【变式3-1】（22-23七年级下·浙江宁波·期中）解下列方程组． (1)； (2)． 【变式3-2】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）解方程组： (1) (2) 【变式3-3】（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）解方程组： (1) (2) 【考点题型四】二元一次方程组的特殊解法（） 【例4】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知方程组的解是，则方程组的解为 ． 【变式4-1】（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，二元一次方程组的解为 ． 【考点题型五】解二元一次方程组的应用（） 【例5】（2023七年级上·全国·专题练习）数学思想·整体思想  综合与实践 【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 【观察发现】 （1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____； 【探索猜想】 （2）运用上述方法解下列方程 组：． 【变式5-1】（22-23七年级下·四川内江·阶段练习）阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法： 解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为． 请你解决以下问题 (1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 【考点题型六】已知二元一次方程组的解的情况求参数（） 【例6-1】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知：，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 【例6-2】（24-25七年级下·山东淄博·阶段练习）在关于的二元一次方程组中，若，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D．4 【变式6-1】（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）已知关于x、y的方程组的解满足，则 ． 【变式6-2】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）已知方程组的解满足，则 ． 【变式6-3】（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”. (1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____． (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 【考点题型七】方案问题（） 【例7】（22-23七年级下·浙江宁波·期中）某校在2023年组织七年级学生参加研学活动，租用两种不同型号的客车，每辆座位如下表： 客车型号 A B 人数/辆 30 45 若租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆，则需要租金2800元． (1)求租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？ (2)现有七年级10个班级的学生450人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，为节约成本，则租用A型客车和B型客车各多少辆，需要花费多少钱？ 【变式7-1】（2025·山西·模拟预测）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 【变式7-2】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知：用1辆A型车和2辆型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆型车装满物资一次可运11吨.该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满. (1)1辆A型车和1辆型车都装满资物，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆A型车的租金为120元，1辆型车的租金为150元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费. 【变式7-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）某运动品牌生产厂开发了一款新式的运动器材，计划15天生产安装360台.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式运动器材的安装，工厂决定招聘一些新工人.他们经过培训后上岗，也能独立进行新式运动器材的安装，生产开始后，调研部门发现，2名熟练工和1名新工人每天可安装10台新式运动器材，3名熟练工和2名新工人每天可安装16台新式运动器材. (1)每名熟练工和新工人每天分别可以安装多少台新式运动器材？ (2)如果工厂抽调名熟练工，使得招聘的新工人（至少招聘一人）和抽调的熟练工刚好能完成原计划15天的生产任务，那么工厂有几种新工人的招聘方案？ 【考点题八】分配问题（） 【例8】（23-24七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面． (1)求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子． (2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子． ①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用． ②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼42个．已知一张A、B卡纸可分别做灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接在表格中写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼）． 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分 合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分 【变式8-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉12个或螺母20个，一个螺钉要配两个螺母，为使每天的产品刚好配套，应如何安排？ 【变式8-2】（23-24七年级·全国·课后作业）某服装厂生产一批运动服，6米长的布料可做上衣4件或裤子6条，计划用300米长的布料生产该批次运动服， (1)分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？ (2)在（1）的条件下，若该布料的价格是25元/米，运动服售价80元/套，则生产该批次运动服能盈利多少元？ 【变式8-3】（22-23七年级下·浙江杭州·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．    (1)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？ (2)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【变式8-4】（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若只单独调配36座新能源客车若干辆，则有16人没有座位；若只单独调配22座新能源客车，则用车数量将增加5辆，并空出10个座位． (1)计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？（用二元一次方程组解答） (2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则36座客车需要多少辆？22座客车需要多少辆？ 【变式8-5】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）【问题情境】 如图所示，张奶奶准备在长的围墙边放花盆种花，现有两种型号的花盆，长分别是和，宽和高均相等． 【探究学习】 （1）已知购买2个型花盆，3个型花盆共需68元，购买3个型花盆比购买5个型花盆少花31元．则两种型号的花盆的单价是多少元？ （2）如果将这两种型号的花盆按长边顺次相接，个型花盆，个型花盆正好摆满围墙墙边，求正整数的值． 【灵活应用】 （3）在（1）和（2）的条件下，某商店提供了两种优惠方案： 方案一：购买6个型花盆，赠送一把铲子； 方案二：购买6个型花盆，总费用打九折． 张奶奶想要购买一些花盆（花盆正好摆满围墙墙边）和一把铲子（铲子的单价是15元），请你帮张奶奶选择一种更划算的购买方案，并说明理由． 【考点题型九】销售经济问题（） 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）A，B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A，B两种型号的吉祥物，有关信息见下表： 成本/（元/个） 销售价格/（元/个） A型号 35 a B型号 42 b 若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，一共需要410元．求a，b的值． 【变式9-1】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）2024年12月4日，“春节”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，中国的春节文化将更好地走向世界．2025年春节临近，某商家购进了一批春联和灯笼进行销售，已知2副春联和1个灯笼的总售价为24元；1副春联和3个灯笼的总售价为42元． (1)请你分别求出1副春联的售价和1个灯笼的售价； (2)已知商家实际销售期间每副春联盈利3元，每个灯笼盈利5元，某个时段内该商家通过销售这批春联和灯笼共盈利40元，且春联和灯笼都有销售，请你求出该商家在这个时段内所有可能的销售方案（即销售了多少副春联和多少个灯笼）． 【变式9-2】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）某公司准备去超市采购牛奶和面包若干箱，采购员设计了两种不同的购买方案，如表所示． 牛奶/箱 面包/箱 金额/元 方案一 方案二 (1)采购员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，请你计算被污渍盖住的地方对应的金额是多少元； (2)若公司购买牛奶箱，面包箱，需支付费用元． ①求牛奶和面包每箱分别为多少元； ②若超市中该款面包和牛奶有部分因包装破损进行打六折的促销活动，采购员根据需要选择原价或打折的面包和牛奶，此次采购共花费了元，其中购买打折的牛奶箱数是购买的牛奶与面包总箱数的，则此次按原价购买的面包有多少箱？ 【变式9-3】（24-25七年级上·全国·期末）某电器商场销售进价分别为120元、190元的A，B两种型号的电风扇，如下表所示是近两周的销售情况(进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本)： 销售时段 销售数量 销售收入 A 种型号 B 种型号 第一周 5 6 2310 第二周 8 9 3540 (1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价． (2)若商场再购进这两种型号的电风扇共120台，并且全部销售完，该商场能否实现这批电风扇的总利润恰好为8040元的目标？ 若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【变式9-4】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）美丽服装店购进A，B两种新式服装共25件，合计花费1900元，已知这两种服装的进价，标价如表所示． 类型价格 A型 B型 进价（元/件） 60 100 标价（元/件） 100 160 (1)请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数； (2)如果A种服装按标价出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，美丽服装店一共可获利多少元？ 【考点题型十】几何问题（） 【例10】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示． (1)求小长方形的长和宽． (2)求图中阴影部分的面积． 【变式10-1】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）“争创文明城市，建设美丽台儿庄”．台儿庄某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将块周长为米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价元． (1)小长方形的长和宽各是多少米？ (2)请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？ 【变式10-2】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是______cm； (3)拓展学习：如图4，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，求这个长方形的面积． 【变式10-3】（2024·广东潮州·一模）【综合实践】 主题：制作一个有盖长方体盒子． 操作：如图所示，矩形纸片中，，，剪掉阴影部分后，剩下的纸片可折成一个底面是正方形的有盖长方体盒子． 计算：求这个有盖长方体盒子的高和底面正方形的边长．    【考点题型十一】古代问题（） 【例11】（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）我国古代数学著作《算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子去量竿，却比竿子短一托．”其大意：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25八年级上·重庆·期末）《孙子算经》中有一道题，大意为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，辆车，可列方程组（　　） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24七年级下·河南南阳·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银质量相同），两袋质量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【考点题型十二】其他问题（） 【例12】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）根据以下素材，探索解决任务． 确定10元纸币、1元硬币和5角硬币的质量 素材1 小明与小聪为了测量10元纸币、1元硬币和5角硬币的质量，准备了足够多的10元纸币、1元硬币和5角硬币（设同种类每张纸币的质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同），实验器材有：一架天平和一个10克的砝码． 素材2 小明：天平左边放5枚1元硬币和1个10克的砝码，天平右边放10枚5角硬币，天平正好平衡． 小聪：天平左边放15枚1元硬币，天平右边放20枚5角硬币和1个10克的砝码，天平正好平衡． 素材3 小明与小聪共同探究发现：天平左边放80张10元纸币和1个10克的砝码，天平右边放7枚1元硬币和10枚5角硬币，天平正好平衡． 提出问题：天平左边放入60张10元纸币，天平右边只放入若干枚1元和5角的两种硬币，天平也能正好平衡． 问题解决 任务1 确定硬币的质量 每枚1元硬币和每枚5角硬币的质量是多少克？ 任务2 确定纸币的质量 每张10元纸币的质量是多少克？ 任务3 问题解决的策略 天平左边放入60张10元纸币，天平右边只放入若干枚1元和5角的两种硬币，求天平右边有几种放法使天平正好平衡？直接写出天平右边硬币总数最少时面值总和是多少元？ 【变式12-1】（22-23九年级下·湖南常德·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，例如图（）就是一个幻方，图（）是一个未完成的幻方，则与的积是 ． 【变式12-2】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）中国学生营养促进会确定了每年5月20日为中国学生营养日，其目的在于广泛、深入宣传学生时期营养的重要性，大力普及营养知识．在某400克早餐套餐中，蛋白质总含量为，包括一个谷物面包，一盒牛奶和一个去壳鸡蛋，其中一个去壳鸡蛋的质量为56克，这个鸡蛋的蛋白质含量为11.2克；谷物面包和牛奶的部分营养成分如表所示．求400克早餐套餐中谷物面包和牛奶的质量． 谷物面包（每100克） 牛奶（每100克） 蛋白质10克 脂肪33.6克 碳水化合物52.8克 钠290毫克 蛋白质3.2克 脂肪3.6克 碳水化合物4.5克 钠100毫克 【变式12-3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，调水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水，则再接温水的时间为______s； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； 【变式12-4】（2024·广东·模拟预测）（综合与实践）如图，某综合实践小组在课后利用小球和水做实验，根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)放入一个小球水面升高 ，放入一个大球水面升高 ； (2)如果放入10个球且使水面恰好上升到，应放入大球、小球各多少个？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03二元一次方程组（12个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 二元一次方程（组） 1.二元一次方程 （1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． （2）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.二元一次方程组 （1）概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解． 清单02 解二元一次方程组 解二元一次方程组的方法： （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 清单03 二元一次方程组的应用 二元一次方程组的应用的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 【考点题型一】二元一次方程(组)的定义（） 【例1】（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）下列方程中①；②；③；④；⑤，二元一次方程的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义进行判断即可．本题主要考查了二元一次方程的判断，解题关键是熟练掌握二元一次方程的概念，只含有二个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做二元一次方程． 【详解】解：①不是二元一次方程，不符合题意； 不是二元一次方程，不符合题意； ③由得，是二元一次方程，符合题意； 不是二元一次方程，不符合题意． ⑤，是二元一次方程，符合题意， 则共有2个二元一次方程， 故选：C． 【例1-2】（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的概念．二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程．两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组．利用二元一次方程组的定义逐一选项判断即可． 【详解】解：A、方程组中方程不是整式方程， ∴该方程组不是二元一次方程组，不符合题意． B、∵方程组中方程是二次方程， ∴该方程组不是二元一次方程组，不符合题意； C、∵方程组含有三个未知数， ∴该方程组不是二元一次方程组，不符合题意； D、方程组是二元一次方程组，符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（24-25七年级下·甘肃天水·阶段练习）下列方程中，属于二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：①方程中只含有2个未知数；②含未知数项的最高次数为1；③方程是整式方程．根据二元一次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，含未知数项的最高次数为2，不符合题意，选项错误； B、，方程中含有3个未知数，不符合题意，选项错误； C、，不是整式方程，不符合题意，选项错误； D、，是二元一次方程，符合题意，选项正确； 故选：D 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，能熟记二元一次方程组的定义的内容是解此题的关键．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：A. 是二元一次方程组，故A符合题意； B. 中含有三个未知数，不是二元一次方程组，故B不符合题意； C. 中未知数的最高次数是次，不是二元一次方程组，故C不符合题意； D. 中未知数的最高次数是次，不是二元一次方程组，故D不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）下列方程组为二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的识别．含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程，两个结合在一起的共含有两个未知数的一次整式方程叫二元一次方程组．由此逐项判断即可． 【详解】解：A、中的次数是2，不是二元一次方程组； B、中第一个方程中的y在分母，不是二元一次方程组； C、中含有3个未知数，不是二元一次方程组； D、是二元一次方程组； 故选D． 【变式1-4】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）已知是关于，的二元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的定义得到，，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 解得：， 故答案为：． 【考点题型二】二元一次方程的解（） 【例3】（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）已知是方程的解，则m的值是（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．把代入方程即可得到一个关于m的方程，解方程即可求得m的值． 【详解】解：把代入方程 得：， 解得：． 故选：D． 【变式3-1】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程有一组解为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，解题的关键是将方程解代入方程，即可求出k的值．已知二元一次方程的解，代入等式必成立，由此求出k的值． 【详解】解：将代入得：， 解得：， 故选：C． 【变式3-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）由方程可以得到用x表示y的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，把x看做已知，求出y即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3-3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）下面二元一次方程的解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解，掌握该知识点是解决本题的关键．将解逐一代入方程，能够使方程成立的，即为该方程的解． 【详解】解：将代入A，，不成立，故A不符合题意； 将代入B，，不成立，故B不符合题意； 将代入C，，不成立，故C不符合题意； 将代入D，，成立，故D符合题意； 故选：D． 【变式3-4】（24-25七年级下·全国·课后作业）若某个二元一次方程的解为，则这个方程是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值．根据x与y的值列出方程即可． 【详解】解：若一个二元一次方程的解为， 则这个方程可以是， 故答案为：(答案不唯一)． 【考点题型三】解二元一次方程组（） 【例3】（2025七年级下·福建·专题练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：原方程组为 由，得，解得， 把代入①，得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解：原方程组为 由①得：③ ， 把③代入②得：，解得：， 把代入③得：， 则方程组的解为． 【变式3-1】（22-23七年级下·浙江宁波·期中）解下列方程组． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法是解题关键． （1）利用代入消元法解方程即可； （2）利用加减消元法解方程即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得 ：， 方程组的解集为； （2）解：， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解集为． 【变式3-2】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组的知识，掌握代入消元法和加减消元法是解答本题的关键． （1）利用代入消元法即可求解； （2）利用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解： ， 把②代入①得：， 解得， 把代入②得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， ①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得， ∴原方程组的解为． 【变式3-3】（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可． （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： 由①得．③．     把③代入②，得．     解得．     把代入③，得．     所以，方程组的解是  ． （2）原方程组整理得     方程①＋②，得．     解得．     把代入①，得． 解得．     所以，方程组的解为． 【考点题型四】二元一次方程组的特殊解法（） 【例4】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知方程组的解是，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解是解题的关键．根据题意可知方程组的解满足，解出的值即可解答． 【详解】解：方程组的解是， 方程组的解满足， 解得：． 故答案为：． 【变式4-1】（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握换元思想成为解题的关键． 设，则关于，二元一次方程组可化为，即，然后代入确定m、n的值即可解答． 【详解】解：设，则关于，二元一次方程组可化为， ∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 【考点题型五】解二元一次方程组的应用（） 【例5】（2023七年级上·全国·专题练习）数学思想·整体思想  综合与实践 【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 【观察发现】 （1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____； 【探索猜想】 （2）运用上述方法解下列方程 组：． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； 【详解】解：（1）设， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得， 故答案为：，； （2）设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得． 【变式5-1】（22-23七年级下·四川内江·阶段练习）阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法： 解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为． 请你解决以下问题 (1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）利用整体代换的方法进行求解即可； （2）结合题目所给的解答方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 将②变形为：，即， 将①代入③得：， 解得：， 把代入①得， 故原方程组的解是：； （2）解：原方程组可化为：， 将①代入②得：， 解得：． 【考点题型六】已知二元一次方程组的解的情况求参数（） 【例6-1】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知：，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了定义新运算、解二元一次方程组，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据新定义运算，结合，列出方程组即可求解； （2）先根据新运算法则列出关于x，y的方程组，用含的式子表示出，再根据即可求出m的值． 【详解】（1）解：，， ， 解得：． （2）解：由题意得，， 解得：， ， ， 解得：， 的值为0． 【例6-2】（24-25七年级下·山东淄博·阶段练习）在关于的二元一次方程组中，若，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数的值，将两个方程相减后，利用整体代入法，得到关于的一元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， ∵， ∴， ∴； 故选C． 【变式6-1】（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）已知关于x、y的方程组的解满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解求参数，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将两个方程相加，结合方程组的解满足的条件，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：， 由得：， 关于x、y的方程组的解满足， 则， 解得：， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）已知方程组的解满足，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及解一元一次方程，根据题意可得出，解方程组得出，然后代入即可求解出k的值． 【详解】解：根据题意可知：， 解得：， 把代入， 可得出： ， 解得：， 故答案为：6． 【变式6-3】（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”. (1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____． (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可，解方程组即可； （2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出“共轭系数”． 本题主要考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得方程的“共轭二元一次方程”为， 由题意，得， 解得， 故答案为：，． （2）解：由二元一次方程组为“共轭方程组”， 得， 解得， 故， 故此“共轭方程组”的共轭系数为． 【考点题型七】方案问题（） 【例7】（22-23七年级下·浙江宁波·期中）某校在2023年组织七年级学生参加研学活动，租用两种不同型号的客车，每辆座位如下表： 客车型号 A B 人数/辆 30 45 若租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆，则需要租金2800元． (1)求租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？ (2)现有七年级10个班级的学生450人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，为节约成本，则租用A型客车和B型客车各多少辆，需要花费多少钱？ 【答案】(1)租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元； (2)租用A型客车辆，租用B型客车辆，需要花费钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系． （1）设租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元，根据“租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆，则需要租金2800元”列方程求解即可； （2）设租用A型客车辆，租用B型客车辆，，得到关于、的二元一次方程，求出正整数解，可得方案． 【详解】（1）解：设租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元， 由题意得：，解得：， 答：租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元； （2）解：设租用A型客车辆，租用B型客车辆， 则， 则， 、都是正整数， 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 则为了节约成本，则租用A型客车辆，租用B型客车辆，需要花费钱． 【变式7-1】（2025·山西·模拟预测）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元 (2)共有2种购买方案，最大利润是220元 【分析】设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元． （2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元； ， 最大利润是220元． 【变式7-2】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知：用1辆A型车和2辆型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆型车装满物资一次可运11吨.该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满. (1)1辆A型车和1辆型车都装满资物，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆A型车的租金为120元，1辆型车的租金为150元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费. 【答案】(1)1辆A型车装满资物一次可运4吨，1辆型车装满资物一次可运3吨． (2)该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆型车；方案2：租用4辆A型车，5辆型车；方案3：租用7辆A型车，1辆型车． (3)最省钱的租车方案为租用7辆A型车，1辆型车，最少租车费为990元． 【分析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据租用的两种车一次可运31吨物资且每辆车都装满，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可求出选择各租车方案所需租车费用，比较后，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满资物一次可运吨，1辆型车装满资物一次可运吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆A型车装满资物一次可运4吨，1辆型车装满资物一次可运3吨． （2）依题意，得：， ∴． ∵，均为正整数， ∴或或， 所以该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆型车；方案2：租用4辆A型车，5辆型车；方案3：租用7辆A型车，1辆型车． （3）方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）； 方案3所需租金为（元）． 所以最省钱的租车方案为租用7辆型车，1辆型车，最少租车费为990元． 【变式7-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）某运动品牌生产厂开发了一款新式的运动器材，计划15天生产安装360台.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式运动器材的安装，工厂决定招聘一些新工人.他们经过培训后上岗，也能独立进行新式运动器材的安装，生产开始后，调研部门发现，2名熟练工和1名新工人每天可安装10台新式运动器材，3名熟练工和2名新工人每天可安装16台新式运动器材. (1)每名熟练工和新工人每天分别可以安装多少台新式运动器材？ (2)如果工厂抽调名熟练工，使得招聘的新工人（至少招聘一人）和抽调的熟练工刚好能完成原计划15天的生产任务，那么工厂有几种新工人的招聘方案？ 【答案】(1)每名熟练工每天可以安装4台新式运动器材，每名新工人每天可以安装2台新式运动器材 (2)3种 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找准题中的等量关系是解题的关键． （1）设每名熟练工每天可以安装x台新式运动器材，每名新工人每天可以安装y台新式运动器材，根据题意列出等量关系式，进行计算即可得到答案； （2）设招聘m名新工人，根据题意列出二元一次方程，找出符合的所有解即可得到答案． 【详解】（1）解：设每名熟练工每天可以安装x台新式运动器材，每名新工人每天可以安装y台新式运动器材， 根据题意，得， 解得， 答：每名熟练工每天可以安装4台新式运动器材，每名新工人每天可以安装2台新式运动器材． （2）解：设招聘m名新工人， 根据题意，得， ， 又，n均为正整数，且， 或或 工厂有3种新工人的招聘方案． 【考点题八】分配问题（） 【例8】（23-24七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面． (1)求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子． (2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子． ①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用． ②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼42个．已知一张A、B卡纸可分别做灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接在表格中写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼）． 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分 合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分 【答案】(1)A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子． (2)①购买A卡纸6张，B卡纸4张，费用最低为元．②填表见解析 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子，根据1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面，再建立方程组解题即可； （2）①设购买A卡纸张，B卡纸张，则赠送了B卡纸张，可得，整理得，再利用方程的正整数解进一步可得答案；②由买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．可得尽可能多买A卡纸，当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张，此时费用为，设A卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，再建立方程组可得答案． 【详解】（1）解：设A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子，则 ， 解得：， ∴A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子． （2）①设购买A卡纸张，B卡纸张，则赠送了B卡纸张，则 ， ∴， ∴， ∵，为正整数， ∴或， ∵A卡纸每张4元，B卡纸每张3元， 当时，则费用为（元）， 当时，则费用为（元）， ∴购买A卡纸6张，B卡纸4张，费用最低为元． ②∵买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸． ∴尽可能多买A卡纸， 当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张， 此时费用为， 设A卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼， ∴， 解得：， ∴A卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼， 制作分配方案如下： 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分 合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分 【变式8-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉12个或螺母20个，一个螺钉要配两个螺母，为使每天的产品刚好配套，应如何安排？ 【答案】安排10人生产螺钉，12人生产螺母 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意得出，再求解即可得出答案． 【详解】解：设安排人生产螺钉，人生产螺母， 根据题意列方程组得， 解得； 答：安排10人生产螺钉，12人生产螺母． 【变式8-2】（23-24七年级·全国·课后作业）某服装厂生产一批运动服，6米长的布料可做上衣4件或裤子6条，计划用300米长的布料生产该批次运动服， (1)分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？ (2)在（1）的条件下，若该布料的价格是25元/米，运动服售价80元/套，则生产该批次运动服能盈利多少元？ 【答案】(1)用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子 (2)2100元 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用以及有理数混合运算的实际应用． （1）设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． （2）先计算出总的运动服套数，再根据利润等于总盈利减去总成本计算即可． 【详解】（1）解：设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子， 由题意可得： ， 解得：， 答：用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子． （2）由（1）可得300米布料可生产上衣（件），生产裤子（件）， ∴可生产120套运动服， （元）． 答：生产该批次运动服能盈利2100元． 【变式8-3】（22-23七年级下·浙江杭州·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．    (1)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？ (2)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【答案】(1)横式纸盒做个，竖式纸盒做个 (2)是的整数倍，理由见解析 【分析】（1）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设横式纸盒做个，竖式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于，的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合，均为正整数，即可得出是的整数倍． 【详解】（1）解：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， 解得：． 答：横式纸盒做个，竖式纸盒做个； （2）解：是的整数倍，理由如下： 设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 是的整数倍． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式8-4】（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若只单独调配36座新能源客车若干辆，则有16人没有座位；若只单独调配22座新能源客车，则用车数量将增加5辆，并空出10个座位． (1)计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？（用二元一次方程组解答） (2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则36座客车需要多少辆？22座客车需要多少辆？ 【答案】(1)计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有232名志愿者； (2)36座客车需要4辆，22座客车需要4辆． 【分析】（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，根据题中等量关系列出方程组即可；　 （2）设需调配36座客车辆，22座客车辆，根据题意列出二元一次方程， 【详解】（1）解：设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车辆，依题意，得：， 解得：； 答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有232名志愿者． （2）解：设需调配36座客车辆，22座客车辆， 依题意，得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴； 答：36座客车需要4辆，22座客车需要4辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与二元一次方程的实际应用，根据题意列出方程组与方程是解题的关键． 【变式8-5】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）【问题情境】 如图所示，张奶奶准备在长的围墙边放花盆种花，现有两种型号的花盆，长分别是和，宽和高均相等． 【探究学习】 （1）已知购买2个型花盆，3个型花盆共需68元，购买3个型花盆比购买5个型花盆少花31元．则两种型号的花盆的单价是多少元？ （2）如果将这两种型号的花盆按长边顺次相接，个型花盆，个型花盆正好摆满围墙墙边，求正整数的值． 【灵活应用】 （3）在（1）和（2）的条件下，某商店提供了两种优惠方案： 方案一：购买6个型花盆，赠送一把铲子； 方案二：购买6个型花盆，总费用打九折． 张奶奶想要购买一些花盆（花盆正好摆满围墙墙边）和一把铲子（铲子的单价是15元），请你帮张奶奶选择一种更划算的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）两种型号的花盆的单价分别为元，元；（2）或；（3）张奶奶应选择购买2个型花盆，6个型花盆． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程，有理数的混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设两种型号的花盆的单价分别为元，元，再列方程组，进行计算，即可作答． （2）理解题意，列出，再结合，均为正整数，分别得出或．即可作答． （3）结合方案一和方案二，且或，分别算出每种情况的金额，再比较，即可作答． 【详解】解：（1）设两种型号的花盆的单价分别为元，元， 依题意，得 解得， ∴两种型号的花盆的单价分别为元，元， （2）依题意，围墙长为的边放花盆种花， 两种型号的花盆的长分别是和，且个型花盆，个型花盆正好摆满围墙墙边 ∴， ∴， ∵，均为正整数， 即为正整数，且为正整数， ∴或． （3）依题意，当购买个型花盆，6个型花盆, 则（元）， 当购买6个型花盆，3个型花盆, 则（元）， ∵ ∴张奶奶应选择购买2个型花盆，6个型花盆． 【考点题型九】销售经济问题（） 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）A，B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A，B两种型号的吉祥物，有关信息见下表： 成本/（元/个） 销售价格/（元/个） A型号 35 a B型号 42 b 若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，一共需要410元．求a，b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，一共需要410元，列出方程组，再解得，即可作答． 【详解】解：由题意知， 解得． 【变式9-1】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）2024年12月4日，“春节”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，中国的春节文化将更好地走向世界．2025年春节临近，某商家购进了一批春联和灯笼进行销售，已知2副春联和1个灯笼的总售价为24元；1副春联和3个灯笼的总售价为42元． (1)请你分别求出1副春联的售价和1个灯笼的售价； (2)已知商家实际销售期间每副春联盈利3元，每个灯笼盈利5元，某个时段内该商家通过销售这批春联和灯笼共盈利40元，且春联和灯笼都有销售，请你求出该商家在这个时段内所有可能的销售方案（即销售了多少副春联和多少个灯笼）． 【答案】(1)1副春联元，1个灯笼元 (2)该商家在这个时段内所有可能的销售方案有2种，分别是：春联5副，灯笼5个或者春联10副，灯笼2个 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，二元一次方程的解，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设1副春联元，1个灯笼元，由此列二元一次方程组求解即可； （2）该商家在这个时段内销售了春联副，销售了灯笼个，由此列式，并判定二元一次方程的解． 【详解】（1）解：已知2副春联和1个灯笼的总售价为24元；1副春联和3个灯笼的总售价为42元， ∴设1副春联元，1个灯笼元， ∴， 解得，， ∴1副春联元，1个灯笼元； （2）解：该商家在这个时段内销售了春联副，销售了灯笼个， ∴， ∵都是正整数， ∴，即是3的倍数， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，该商家在这个时段内所有可能的销售方案有2种，分别是：春联5副，灯笼5个或者春联10副，灯笼2个． 【变式9-2】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）某公司准备去超市采购牛奶和面包若干箱，采购员设计了两种不同的购买方案，如表所示． 牛奶/箱 面包/箱 金额/元 方案一 方案二 (1)采购员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，请你计算被污渍盖住的地方对应的金额是多少元； (2)若公司购买牛奶箱，面包箱，需支付费用元． ①求牛奶和面包每箱分别为多少元； ②若超市中该款面包和牛奶有部分因包装破损进行打六折的促销活动，采购员根据需要选择原价或打折的面包和牛奶，此次采购共花费了元，其中购买打折的牛奶箱数是购买的牛奶与面包总箱数的，则此次按原价购买的面包有多少箱？ 【答案】(1) (2)①牛奶与面包每箱分别为30元、50元；②6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用： （1）设牛奶一箱元，面包一箱元，由题意得：，再由，即可求解； （2）①设牛奶一箱元，面包一箱元，由题意列出方程组，求解即可；②设牛奶与面包总箱数为箱，则打折的牛奶箱数为箱，设原价面包为箱，则打折面包与原价牛奶共有箱，由题意列出方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设牛奶一箱元，面包一箱元， 由题意得：， （元）， （2）解：①设牛奶一箱元，面包一箱元， 由题意得：， 解得：， 答：牛奶与面包每箱分别为30、元； ②设牛奶与面包总箱数为，则打折的牛奶箱数为箱， 打折牛奶价格为：（元），打折面包价格为：（元）， 即打折面包价格与牛奶原价相同， 设原价面包为箱，则打折面包与原价牛奶共有箱， 由题意得：， 整理得：， ∴ 、均为正整数， ∴是正整数， ∴a必须是20的倍数， ，或， ， ，， 答：此次按原价采购的面包有6箱， 【变式9-3】（24-25七年级上·全国·期末）某电器商场销售进价分别为120元、190元的A，B两种型号的电风扇，如下表所示是近两周的销售情况(进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本)： 销售时段 销售数量 销售收入 A 种型号 B 种型号 第一周 5 6 2310 第二周 8 9 3540 (1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价． (2)若商场再购进这两种型号的电风扇共120台，并且全部销售完，该商场能否实现这批电风扇的总利润恰好为8040元的目标？ 若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A，B两种型号的电风扇的销售单价分别为 150 元、260元 (2)该商场能实现这批电风扇的总利润恰好为8040 元的目标，采购方案为：购进9台A 种型号的电风扇，111 台 B种型号的电风扇 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元/台，B种型号的电风扇的销售单价为y元/台，根据总价单价数量结合近二周的销售情况统计表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设再购进A种型号的电风扇m台，则购进B种型号的电风扇n台，根据利润销售收入进货成本，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价 为y元， 依题 意， 得 ，解得 ， 答：A，B两种型号的电风扇的销售单价分别为 150 元、260元． （2）解：设再次购进A种型号的电风扇m台，B种型号的电风扇n台， 依题意，得 ， 解得 ， 答：该商场能实现这批电风扇的总利润恰好为8040元的目标，采购方案为：购进9台A 种型号的电风扇，111台B种型号的电风扇． 【变式9-4】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）美丽服装店购进A，B两种新式服装共25件，合计花费1900元，已知这两种服装的进价，标价如表所示． 类型价格 A型 B型 进价（元/件） 60 100 标价（元/件） 100 160 (1)请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数； (2)如果A种服装按标价出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，美丽服装店一共可获利多少元？ 【答案】(1)购进A型服装15件，购进B型服装10件 (2)美丽服装店一共可获利元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数混合运算的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设购进A型服装x件，B型服装y件，根据“某服装店用1900元购进A，B两种新式服装共25件，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据一共可获利每件A型服装挣的钱数销售数量每件B型服装挣的钱数销售数量，即可求出结论． 【详解】（1）设购进A种服装x件，购进B种服装y件， 根据题意得：， 解得：， 答：购进A型服装15件，购进B型服装10件； （2）解：根据题意： （元） 答：美丽服装店一共可获利元． 【考点题型十】几何问题（） 【例10】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示． (1)求小长方形的长和宽． (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长为，宽为 (2) 【分析】（）设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值， （）根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 答：小长方形的长为，宽为； （2）解：由（）得：小长方形的长为，宽为； ∴ ∴长方形的宽为， 则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ， ， 答：阴影部分的面积为． 【变式10-1】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）“争创文明城市，建设美丽台儿庄”．台儿庄某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将块周长为米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价元． (1)小长方形的长和宽各是多少米？ (2)请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？ 【答案】(1)小长方形的长为米，宽为米； (2)要完成这块绿化工程，预计花费元． 【分析】（）设小长方形的长为米，宽为米，根据题意可列方程组，然后求解即可； （）利用“平方米造价总面积”即可； 本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，根据图形，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解是解题的关键． 【详解】（1）解：设小长方形的长为米，宽为米， 根据题意可列方程组， 整理得： 解得：， 答：小长方形的长为米，宽为米； （2）解：（元）， 答：要完成这块绿化工程，预计花费元． 【变式10-2】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是______cm； (3)拓展学习：如图4，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，求这个长方形的面积． 【答案】(1)60 (2)20 (3)63 【分析】本题主要题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用等知识点，分析题意、找到合适的等量关系列出方程组和方程是解题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式求解即可； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，然后根据题意列代数式求值即可； （3）设1、2、3号正方形的边长为x，则4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号正方形的边长为；再用两种方式表示出长、宽，然后根据长列出一元一次方程求得x的值，进而求得长方形的长和宽，最后求面积即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：，解得：， ∴． ∴每个小长方形的面积为60． （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 则，解得， ∴． ∴小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是． 故答案为：20． （3）解：设1、2、3号正方形的边长为x，则4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号正方形的边长为， ∴该长方形的长为或，宽为 ∴，解得：， ∴该长方形的长为9，宽为7， ∴这个长方形的面积为． 【变式10-3】（2024·广东潮州·一模）【综合实践】 主题：制作一个有盖长方体盒子． 操作：如图所示，矩形纸片中，，，剪掉阴影部分后，剩下的纸片可折成一个底面是正方形的有盖长方体盒子． 计算：求这个有盖长方体盒子的高和底面正方形的边长．    【答案】这个有盖长方体的高为，底面正方形的边长为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，设有盖长方体的高为，底面正方形的边长为，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设有盖长方体的高为，底面正方形的边长为， 依题意得：， ，得：， 把代入②，得：， 解得：， ∴方程组的解为， 答：这个有盖长方体的高为，底面正方形的边长为． 【考点题型十一】古代问题（） 【例11】（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）我国古代数学著作《算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子去量竿，却比竿子短一托．”其大意：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组，因为绳索比竿长5尺，得，如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．则，即可作答． 【详解】解：依题意，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺， ∴， 故选：A 【变式11-1】（24-25八年级上·重庆·期末）《孙子算经》中有一道题，大意为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，辆车，可列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键； 设共有人，辆车，根据“每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”即可得到关于、二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设共有人，辆车， 根据每4人共乘一车，最终剩余1辆车，可列等式， 根据每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，可列等式， 故选：C； 【变式11-2】（23-24七年级下·河南南阳·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银质量相同），两袋质量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系：①枚黄金的重量11枚白银的重量；②枚白银的重量枚黄金的重量1枚白银的重量枚黄金的重量两． 【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组为 ， 故选：D． 【考点题型十二】其他问题（） 【例12】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）根据以下素材，探索解决任务． 确定10元纸币、1元硬币和5角硬币的质量 素材1 小明与小聪为了测量10元纸币、1元硬币和5角硬币的质量，准备了足够多的10元纸币、1元硬币和5角硬币（设同种类每张纸币的质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同），实验器材有：一架天平和一个10克的砝码． 素材2 小明：天平左边放5枚1元硬币和1个10克的砝码，天平右边放10枚5角硬币，天平正好平衡． 小聪：天平左边放15枚1元硬币，天平右边放20枚5角硬币和1个10克的砝码，天平正好平衡． 素材3 小明与小聪共同探究发现：天平左边放80张10元纸币和1个10克的砝码，天平右边放7枚1元硬币和10枚5角硬币，天平正好平衡． 提出问题：天平左边放入60张10元纸币，天平右边只放入若干枚1元和5角的两种硬币，天平也能正好平衡． 问题解决 任务1 确定硬币的质量 每枚1元硬币和每枚5角硬币的质量是多少克？ 任务2 确定纸币的质量 每张10元纸币的质量是多少克？ 任务3 问题解决的策略 天平左边放入60张10元纸币，天平右边只放入若干枚1元和5角的两种硬币，求天平右边有几种放法使天平正好平衡？直接写出天平右边硬币总数最少时面值总和是多少元？ 【答案】任务1：1枚1元硬币重克，1枚5角硬币重克． 任务2：每张10元纸币的质量是克． 任务3：天平右边有种放法使天平正好平衡，天平右边硬币总数最少时面值总和是元． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，列出方程组是本题的关键． 任务1：设1枚1元硬币重克，1枚5角硬币重克．根据素材2列二元一次方程组，求解即可． 任务2：设每张10元纸币的质量是克，根据素材3列一元一次方程，求解即可． 任务3：设袋子中有1元和硬币枚，5角硬币枚，根据题意可得：，根据和均为正整数，可得为的倍数，，即，分别列举使天平正好平衡种放法即可，即可得出当，时，天平右边硬币总数最少，此时面值总和是元． 【详解】解：任务1：设1枚1元硬币重克，1枚5角硬币重克． 根据素材2，得， 解得， ∴1枚1元硬币重克，1枚5角硬币重克． 任务2：设每张10元纸币的质量是克． 根据素材3，可得：， 解得：， ∴每张10元纸币的质量是克． 任务3：设袋子中有1元和硬币枚，5角硬币枚， 根据题意可得：， 即， ∵和均为正整数， ∴为的倍数，，即 ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴天平右边有种放法使天平正好平衡， ∴当，时，天平右边硬币总数最少， 此时面值总和是元， 故天平右边有种放法使天平正好平衡，天平右边硬币总数最少时面值总和是元． 【变式12-1】（22-23九年级下·湖南常德·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，例如图（）就是一个幻方，图（）是一个未完成的幻方，则与的积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等， ∴最左下角的数为：， 则最中间的数为： 或， 最右下角的数为：或， ∴， 解得：， ∴与的积为， 故答案为：． 【变式12-2】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）中国学生营养促进会确定了每年5月20日为中国学生营养日，其目的在于广泛、深入宣传学生时期营养的重要性，大力普及营养知识．在某400克早餐套餐中，蛋白质总含量为，包括一个谷物面包，一盒牛奶和一个去壳鸡蛋，其中一个去壳鸡蛋的质量为56克，这个鸡蛋的蛋白质含量为11.2克；谷物面包和牛奶的部分营养成分如表所示．求400克早餐套餐中谷物面包和牛奶的质量． 谷物面包（每100克） 牛奶（每100克） 蛋白质10克 脂肪33.6克 碳水化合物52.8克 钠290毫克 蛋白质3.2克 脂肪3.6克 碳水化合物4.5克 钠100毫克 【答案】该份早餐中谷物面包的质量为144克，牛奶的质量为200克 【分析】设该份早餐中谷物面包的质量为x克，牛奶的质量为y克，根据这份早餐的总质量及蛋白质的总含量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设该份早餐中谷物面包的质量为x克，牛奶的质量为y克， 根据题意得： 解得： 答：该份早餐中谷物面包的质量为144克，牛奶的质量为200克． 【变式12-3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，调水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水，则再接温水的时间为______s； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； 【答案】(1) (2)乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为 【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组； （1）设再接温水的时间为秒，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； 【详解】（1）解：设再接温水的时间为秒，依题意得， 解得： 答：再接温水的时间为秒 （2）解：依题意，设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意得， 解得： 答：乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为； 【变式12-4】（2024·广东·模拟预测）（综合与实践）如图，某综合实践小组在课后利用小球和水做实验，根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)放入一个小球水面升高 ，放入一个大球水面升高 ； (2)如果放入10个球且使水面恰好上升到，应放入大球、小球各多少个？ 【答案】(1)2，3 (2)应放入大球6 个，小球4 个 【分析】本题考查了二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法，解答时理解图的含义是解答本题的关键． （1）水面升高量除以球的个数即可求解； （2）可设应放入大球x个，小球y个，根据要使水面上升到，列出方程组，再求解即可． 【详解】（1）解：， ； 答：放入一个小球水面升高，放入一个大球水面升高； （2）解：设应放入大球x个，小球y个，依题意有 解得：， 答：应放入大球6个，小球4个． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$