精品解析：江苏省宿迁市泗阳县桃源路中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2024-2025学年第二学期三月学情调研 高二数学试卷 时间：150分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 若，，则（ ） A B. C. D. 2. （ ） A. 110 B. 65 C. 55 D. 100 3. 设向量，，不共面，则下列集合可以作为空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 4. 把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 5. 用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ） A. B. C. D. 6. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（ ） A. 900 B. 600 C. 450 D. 150 8. 如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 共面 10. 传承红色文化，宣扬爱国精神，湖洋中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等7名同学加入方阵参加训练，则下列说法正确的是（ ） A. 7名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为840 B. 7名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为720 C. 7名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480 D. 7名同学分成三组（每组至少有两人），进行三种不同的训练，则有630种不同的训练方法 11. 在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则（ ） A. 当时，最小值为 B. 当时，有且仅有一个点P满足 C. 当时，有且仅有一个点P满足到直线的距离与到平面的距离相等 D. 当时，线段AP扫过的图形面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，那么________. 13. 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是________. 14. 如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四个区域进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有__________种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有__________种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且. （1）求； （2）求向量与夹角的大小. 16. 2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部现看． （1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ （2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ （3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同选择方法？ 17. 四棱柱六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． （1）设向量，，，用、、表示向量、； （2）求证：、、 三点共线． 18. 达活泉月季园位于河北省邢台市达活泉公园东部，占地面积4700平方米，共收集6大类23个月季品种万株，是集观光、科普、研究、展示及繁育等多种功能于一体的花卉展园．某天，甲游客计划按照一定的先后顺序去该月季园观赏北京红、红从容、黄从容、醉红颜、白佳人、金凤凰这6种月季花，且甲第一个观赏的不是北京红． （1）求甲不同的观赏方案数； （2）若甲上午和下午均观赏3种月季花，且观赏红从容和黄从容的时间一个在上午，一个在下午，求甲不同的观赏方案数． 19. 如图，平面，，，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点E到平面的距离为，求三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期三月学情调研 高二数学试卷 时间：150分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】因为，， 所以则. 故选：A. 2. （ ） A. 110 B. 65 C. 55 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列数、组合数公式求值即可. 【详解】． 故选：B． 3. 设向量，，不共面，则下列集合可以作为空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的一组基底，要求三个向量不共面，结合选项依次判断即可． 【详解】选项A：，三个向量共面， 故不能作为空间的一个基底，故A不符合题意； 选项B：，三个向量共面， 故不能作为空间的一个基底，故B不符合题意； 选项C：，三个向量共面， 故不能作为空间的一个基底，故C不符合题意； 选项D：假设不能作为空间的一个基底，则共面， 存在，使得， 则向量共面，与题意矛盾，故不共面， 因此可以作为空间的一个基底，故D符合题意. 故选：D. 4. 把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，利用排列组合数进行计算. 【详解】根据题意可知一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，不同的分发数为种. 故选：D 【点睛】本题考查简单的排列组合问题，属于基础题. 5. 用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】组成有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是和不是进行分类; 个位不是时要注意选中的数有和不是情况求解. 【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0，2，4，有3种选择， 而由于这一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论: ①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况， 与百位数一样，只有一种选择， 与个位数一样，也只有一种选择; ②当个位数为2时， 如果百位数为2，则十位数有6种选择， 如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择: 当个位数为4时， 如果百位数为4，则十位数有6种选择， 如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择 综上所述，. 故选：B. 6. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 7. 2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（ ） A. 900 B. 600 C. 450 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】按1，2，3或2，2，2将6人分成三组，再把分成的三组分到3个村寨即可. 【详解】由题意可知6个人分成三组且每组最多3名学生， 所以可以分成1，2，3或2，2，2两类， 当6人分成1，2，3三组，有种分法， 当6人分成2，2，2三组，有种分法， 所以不同的安排方法种数为种， 故选：C 8. 如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（　　） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，将点P到直线CC1的距离的最小值转化为异面直线D1E与CC1的距离，利用空间向量可求得结果. 【详解】以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则E(1,2,0)，D1(0,0,2)，,, ，，, 设(x，y，z)，,， 则(x，y，z)·(0,0,2)＝0，∴z＝0， ＝(x，y，z)·(－1，－2,2)＝，∴y＝-x， 令x＝1，则y＝-，∴u＝(1,-,0)， ∴异面直线D1E与CC1的距离为d＝， ∵P在D1E上运动，∴P到直线CC1距离的最小值为d＝. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：将点P到直线CC1的距离的最小值转化为为异面直线D1E与CC1的距离求解是解题关键. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 共面 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量运算逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，， ，C正确； 对于D，由选项BC知，向量两两垂直，则不共面，D错误. 故选：BC 10. 传承红色文化，宣扬爱国精神，湖洋中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等7名同学加入方阵参加训练，则下列说法正确的是（ ） A. 7名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为840 B. 7名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为720 C. 7名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480 D. 7名同学分成三组（每组至少有两人），进行三种不同的训练，则有630种不同的训练方法 【答案】AD 【解析】 【分析】A先从7个位置中选3个排小明等3人，随后排列剩下4人，可得排法总数； B将小明，小红两人捆绑为1人，随后与剩下5人一起排列，可得排法总数； C先排剩下5人，随后将小明小红排进5人的空隙中，可得排法总数； D先将7人按2+2+3形式分为3组，再给每组安排训练，可得安排总数. 【详解】A选项，先从7个位置中选3个排小明等3人，有种方法， 随后排列剩下4人，有种方法，则共有种方法，故A正确； B选项，将小明，小红两人捆绑1人，有2种排列方法，随后与剩下5人一起排列， 有种方法，则共有种方法，故B错误； C选项，先排剩下5人，有种方法，再将小明小红排进5人产生的6个空隙中， 有种方法，则共有种方法，故C错误； D选项，由题分组情况为2人的2组，3人的一组，则有种方法， 随后安排训练，有种方法，则共有种方法，故D正确. 故选：AD 11. 在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则（ ） A. 当时，的最小值为 B. 当时，有且仅有一个点P满足 C. 当时，有且仅有一个点P满足到直线的距离与到平面的距离相等 D. 当时，线段AP扫过的图形面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量关系式确定动点位置或轨迹，然后逐项进行判断即可求解. 【详解】如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 则，，，， 则，∴. 选项A：当时，点为线段上的点， 将平面和平面沿展开为同一个平面，如图： 连接，则的最小值为，故A正确； 选项B：当时，，，， 则，即，即满足条件的P点有无数个，故B错误； 选项C：当时，，则，，，， 则在上的投影为， 则点P到直线的距离； 平面的一个法向量为，， 则点P到平面的距离为， 当点P到直线的距离与到平面的距离相等时， ，∵，∴方程有一个解， 则，即仅存在一个点P满足条件，故C正确； D选项：当时，，可知点在以和为半径的上，线段是以为旋转轴的圆锥的母线，所以线段扫过的图形面积为，故D错误． 故选：AC. 【点睛】关键点睛：本题的关键是建立合适的空间直角坐标系，然后得到点到直线和点到平面的距离的表达式，从而判断出C选项的正误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，那么________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知中，，且，根据向量平行（共线）的充要条件，我们可得存在，使，构造方程组求出，x，y后，即可求出答案. 【详解】解：，，又， 则存在，使，即， 解得，，，， 故答案为：. 13. 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是________. 【答案】96 【解析】 【详解】试题分析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种 考点：排列、组合及简单计数问题 14. 如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四个区域进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有__________种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有__________种. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】按同色区域用黄色和不用黄色分类，再结合分步乘法计数原理列式计算即得；按用色多少分成3类，再在每一类中采用先取后排的方法列式计算即得. 【详解】根据题意，要求四个区域中有且只有一组相邻区域同色，而同色的相邻区域共有4种，不妨假设为同色， ①若同时染黄色，则另外两个区域共有种染色方法，因此这种情况共有种染色方法； ②若同时染的不是黄色，则它们的染色有4种，另外两个区域一个必须染黄色， 所以这两个区域共有，因此这种情况共有种染色方法， 综上可知有且只有一组相邻区域同色的染色方法的种数为种； 根据题意，因为不用黄色，则只有四种颜色可选，分3种情况讨论： ①若一共使用了四种颜色，则共有种染色方法； ②若只使用了三种颜色，则必有一种颜色使用了两次，且染在相对的区域，所以一共有种染色方法； ③若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一组相对区域，所以共有种染色方法， 综上可知所有相邻区域都不同色的染色方法的种数为84种. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：染色问题，可以按用色多少分类，再在每一类中找同色方案，并结合排列组合综合问题求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且. （1）求； （2）求向量与夹角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据求出坐标，进而求出的坐标，则模可求； （2）求出坐标，然后求数量积，根据数量积可得夹角. 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 由（1）可得， ， 向量与垂直， 即向量与夹角的大小为. 16. 2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部现看． （1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ （2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ （3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 【答案】（1）24 （2）16 （3）144 【解析】 【分析】（1）根据题意直接全排列即可； （2）根据题意利用分步乘法计数原理即可求得答案； （3）根据题意先选2人观看同一部电影，然后安排另外2人观看其余的3部电影即可. 【小问1详解】 因为这4名同学选择观看的影片均不相同， 所以不同的选择方法共有种； 【小问2详解】 因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定， 所以其余2人观看影片的不同方法有种； 【小问3详解】 因为这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片， 所以不同的选择方法有种. 17. 四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． （1）设向量，，，用、、表示向量、； （2）求证：、、 三点共线． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得. 【小问1详解】 因为，则， 所以， 又因，则， 所以 ； 【小问2详解】 因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 18. 达活泉月季园位于河北省邢台市达活泉公园东部，占地面积4700平方米，共收集6大类23个月季品种万株，是集观光、科普、研究、展示及繁育等多种功能于一体的花卉展园．某天，甲游客计划按照一定的先后顺序去该月季园观赏北京红、红从容、黄从容、醉红颜、白佳人、金凤凰这6种月季花，且甲第一个观赏的不是北京红． （1）求甲不同的观赏方案数； （2）若甲上午和下午均观赏3种月季花，且观赏红从容和黄从容的时间一个在上午，一个在下午，求甲不同的观赏方案数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据甲第一个观赏的不是北京红，则甲第一个观赏的是剩余5个中的其中一个，再将剩余5种月季花全排列，根据分步乘法原理可求得结果； （2）根据题意分两种情况：当黄从容在上午观赏时，红从容只能在下午观赏，另一种是当红从容在上午观赏时，黄从容只能在下午观赏，然后根据分类加法原理求解. 【小问1详解】 甲第一个观赏的不是北京红，则甲第一个观赏的是剩余5个中的其中一个，有种， 剩下5种月季花甲依次的方案有种， 所以由分步乘法原理可知甲不同的观赏方案数为种． 【小问2详解】 当黄从容在上午第一个观赏时，红从容地下午观赏，其余4种月季花在上午和下午可以任意选择， 所以方案有种， 当黄从容在上午第二或第三个观赏时，则上午第一个需从醉红颜、白佳人和金凤凰选一个，红从容在下午观赏， 其余3种月季花在上午和下午可以任选择，所以方案有， 所以由分类加法原理可知，上午安排黄从容，下午安排红从容的方案数为种， 同理当红从容在上午观赏，黄从容在下午观赏时，也有180种， 所以甲不同的观赏方案数为种. 19. 如图，平面，，，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点E到平面的距离为，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先通过面面平行的判定定理证明平面平面，然后再证明平面； （2）建立合适空间直角坐标系，先求解出平面与平面的一个法向量，然后计算法向量夹角的余弦值，结合图形可求结果； （3）先通过向量法表示出点到平面的距离，然后求解出的坐标，结合三棱锥体积公式可求结果. 【小问1详解】 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面，， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面； 【小问2详解】 以为坐标原点，方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 过点作轴，交轴于点， 因为，， 所以为等腰直角三角形，且， 又因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以， 又因为，所以为等腰直角三角形， 所以， 由上可知：， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以，所以，令，则， 取平面的一个法向量为， 所以， 因为平面与平面的夹角为锐角或直角， 所以平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 设，所以， 设平面的一个法向量为， 所以，所以，令，则， 又因为， 所以到平面的距离， 所以，解得， 又因为平面，， 所以平面， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $