2025年中考数学一轮复习基础知识精讲精练---二元一次方程的应用

二元一次方程的应用知识点总结 二元一次方程在初中数学中有着广泛的应用，它可以帮助我们解决许多实际问题。以下是一些常见的应用领域： 实际问题中的数量关系：二元一次方程可以用来描述和解决涉及两个变量的实际问题。例如，如果已知两种商品的单价和总花费，可以设两种商品的数量为未知数，建立二元一次方程来求解。 几何问题中的坐标关系：在平面直角坐标系中，二元一次方程可以表示一条直线。通过解二元一次方程，可以找到直线上特定点的坐标，或者确定两条直线的交点。 经济问题中的成本与收益关系：在经济问题中，二元一次方程可以用来描述成本与收益之间的关系。例如，设生产数量和销售价格为未知数，建立二元一次方程来求解最大利润。 物理问题中的运动关系：在物理问题中，二元一次方程可以用来描述物体的运动。例如，设时间和速度为未知数，建立二元一次方程来求解物体的位移。 化学问题中的混合物关系：在化学问题中，二元一次方程可以用来描述混合物中不同成分的比例。例如，设两种溶液的浓度和体积为未知数，建立二元一次方程来求解混合后的浓度。 工程问题中的工作量关系：在工程问题中，二元一次方程可以用来描述工作量与工作效率之间的关系。例如，设工作时间和工人数为未知数，建立二元一次方程来求解完成工作的总时间。 年龄问题：在年龄问题中，二元一次方程可以用来描述不同人之间的年龄关系。例如，设两个人的年龄为未知数，建立二元一次方程来求解特定条件下的年龄。 数字问题：在数字问题中，二元一次方程可以用来描述数字之间的关系。例如，设一个两位数的十位数字和个位数字为未知数，建立二元一次方程来求解满足特定条件的数字。 鸡兔同笼问题：在鸡兔同笼问题中，二元一次方程可以用来描述鸡和兔的数量关系。例如，设鸡和兔的数量为未知数，建立二元一次方程来求解总头数和总脚数。 行程问题：在行程问题中，二元一次方程可以用来描述距离、速度和时间之间的关系。例如，设两个物体的速度和时间为未知数，建立二元一次方程来求解相遇或追及问题。 通过以上应用，我们可以看到二元一次方程在解决实际问题中的重要性。它提供了一种数学工具，帮助我们建立问题的数学模型，从而找到问题的解决方案。在学习二元一次方程时，我们应该注重理解其在实际问题中的应用，提高解决实际问题的能力 二元一次方程的应用练习题 一．选择题（共10小题） 1．小明在文具店购买笔记本和水性笔（两种物品都买），其中笔记本每本5元，水性笔每支3元，小明一共花费了35元，则小明共有几种购买方案？下列答案正确的是（　　） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 2．淇淇的妈妈买了15支牙刷和12盒牙膏共花了336元，一段时间后淇淇以同样的价格（牙刷和牙膏的单价保持不变）又买了20支牙刷和16盒牙膏共花了418元，淇淇的妈妈看到淇淇的购物小票时，说：“记录单的总全额应该算错了”．下列判断正确的是（　　） A．淇淇妈妈说的不对，总金额就是418元 B．淇淇妈妈说的对，淇淇多付了30元 C．淇淇妈妈说的对，淇淇少付了30元 D．淇淇妈妈说的对，淇淇多付了40元 3．为落实“双减”政策，刘老师把班级里50名学生分成若干小组进行小组互助学习，每小组只能是4人或6人，则分组方案有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 4．为了奖励课堂上表现进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（　　） A．11支 B．9支 C．7支 D．5支 5．某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．某社区活动中心计划出资600元全部花完购进跳棋、象棋、围棋，其进货情况如表，则在每一种棋类都要购买的条件下，x的值为（　　） 单价/元 套数 跳棋 30 5 象棋 25 x 围棋 80 y A．2 B．3 C．4 D．5 7．学校计划用200元钱购买A、B两种奖品（两种都要买），A种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 8．如图，射线OM在∠AOB的内部，射线ON在平面内，射线OP平分∠AOM，射线OQ平分∠BON．若∠MON＝30°，∠AOB＝120°，则∠POQ的度数是（　　） A．45° B．45°或75° C．60°或75° D．45°或60°或75° 9．小明带30元钱去买笔，钢笔5元一支和圆珠笔2元一支，买了两种笔，刚好用完这些钱，请问小明共有几种购买方法（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 10．某一商场经销的A、B两种商品，A商品每件进价40元，利润率为50%；B商品每件售价80元．在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品开展如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B两种商品（两种商品每种商品不少于1件），实际共付款522元．则以下说法正确的个数是（　　） ①可能购买A商品3件，B商品5件； ②购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ③如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元． A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共10小题） 11．小南帮同学小开点了一份外卖（售价小于100元），小开给小南转账还钱时，不小心将支付金额的整数部分与小数部分数字看倒置了（例如：把27.96元看成96.27元），并按看错的数字将钱转给了小南，小南收到后加上原有余额13.7元后，恰为外卖售价的5倍，于是将多收的金额退还给了小开．若售价的整数部分是一位数，小数部分数字为两位数，那么小南退还给小开的金额是 　 　． 12．元宵节将至，各种口味的汤圆纷纷上市，某商家从汤圆生产商处采购了花生、芝麻、奥巧三种口味的汤圆进行销售，其每袋进价分别是20元，25元，30元，其中花生与奥巧味汤圆每袋的销售利润率相同，每袋芝麻味汤圆的利润比每袋奥巧味汤圆的利润少，经统计，在今年元宵当天，该商家花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量是3：4：2，其中销售花生与芝麻味汤圆的总利润率是43.75%，且芝麻味汤圆销售额比奥巧味汤圆销售额多2000元，则今年元宵当天该商家销售这三种口味的汤圆的总利润是　 　元． 13．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则x﹣y的值是 　 　，m﹣n的值是 　 　． 14．某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有 　 　种购买方案． 15．一张方桌由一个桌面和4条桌腿组成，已知1立方米木料有三种切割方式，甲切割方式：可切成50个桌面；乙切割方式：可切成300条桌腿：丙切割方式：可切成20个桌面和180条桌腿．现有m个立方米木料，恰好做成若干张桌子（三种切割方案都有，且没有余料），当整数m取最小值时，可做成方桌 　 　张． 16．魔术师请李明默想一个一位数，然后把这个数乘2，再加5，再乘50，再加1774，最后再减去自己的出生年份，把运算的结果告诉他，他就能知道李明默想的那个一位数和李明2024年的年龄．若李明运算的结果是612，则李明2024年的年龄是　 　岁．（注：年龄只考虑出生年份，不考虑月份，如2000年1月﹣12月出生的人，2024年都是24岁） 17．如图是2025年1月的月历，其中“T”型，“L”型两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内只能平移，可重叠．设“T”型阴影覆盖的最小数字为a，四个数字之和为M；“L”型阴影覆盖的最小数字为b，四个数字之和为N．若M+N＝59，则a的值是 　 　． 18．根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为180cm； ②1班学生的最低身高小于150cm； ③2班学生的最高身高大于或等于170cm． 上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　． 19．请阅读关于“快乐数”的知识卡片，并回答问题： 快乐数：我们将同时满足下列条件的分数称为“快乐数”， a．分子和分母均为正整数； b．分子小于分母； c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同； d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等． 例如：去掉相同的数字6之后，得到的分数恰好与原来的分数相等，则是一个“快乐数”，请写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“快乐数”　 　． 20．我们规定：如果一个四位自然数A，满足千位数字与个位数字之和为6，百位数字与十位数字之和也为6，则称A为“六六数”，则最大的“六六数”为 　 　.若A、B均为“六六数”，其中，，（1≤a，b，y≤6，0≤c，d，x≤5，且a，b，c，d，x，y均为）整数），将A的前三位数字组成的三位数记为m，A的后三位数字组成的三位数记为n．若m+n除以17余9，将A的前两位数字组成的两位数记为s，将B的后两位数字组成的两位数记为t，若3s+t＝4k2（k为整数），则满足条件的B的最大值为 　 　． 三．解答题（共10小题） 21．北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： （1）求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ （2）若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 22．刘老师装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，某装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每箱50块，小包装每箱30块，若大、小包装均不拆开零售，可以只购买一种．刘老师共有哪几种购买方案． 23．某班元旦迎新年活动，购买活动奖品，计划购买笔记本20本，盲盒30个，共需1380元，其中盲盒比笔记本贵6元． （1）求盲盒和笔记本的单价各为多少？ （2）后来调整方案，需要购买上面的两种奖品共70件（奖品单价不变）．班长做完预算后，对家委主任说：“我这次买这两种奖品需要费用1922元．”家委主任算了一下，说：“如果你用这些钱买这两种奖品，那么费用肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释家委主任为什么说班长算错了． （3）班长突然想起，所做的预算中还包括班主任老师让他买的一支记号笔．如果记号笔的单价不超过10元，且金额数为整数，请通过计算，直接写出记号笔的单价可能为 　 　元． 24．简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在一定的数量关系．给出四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如下表： 名称 图形 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 三棱锥 4 4 6 长方体 8 6 12 五棱柱 10 7 15 正八面体 6 8 12 （1）猜想：顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的代数关系式是　 　． （2）若一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，求这个多面体的面数． （3）某个简单的多面体，是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，共有22个顶点， 每个顶点处都有3条棱． ①求它共有多少条棱； ②若该多面体三角形的个数比八边形的个数的2倍少2，求该多面体三角形的个数． 25．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店到汽车城计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需80万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元． （1）问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请设计出符合要求的所有购买方案． （3）在问题（2）的条件下，销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元．假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案所获利润最大？请求出最大利润． 26．小亮给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘以6，再加上5，再乘以2，再减去这张牌点数的2倍，再减去10，然后加上抽出纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是1，红桃的代号是2，梅花的代号是3，方块的代号是4，最后这位同学说出运算结果是72．小亮迅速准确说出这位同学抽出的纸牌是红桃7．你能解释其中的原因吗？ 27．某商场在年底为了促进消费，推出赠送优惠券活动，其中优惠券分为三种类型，如表： A型 B型 C型 满368减100 满168减68 满50减20 在此次活动中，小西领到了三种不同类型的优惠券若干张，准备给家人们买礼物． （1）若小西同时使用了A，B型优惠券共5张，共优惠了404元，那么他使用了A，B型优惠券各几张？ （2）若小西共领到三种不同类型的优惠券各16张（部分未使用），他同时使用A，B，C型中的两种不同类型的优惠券消费，共优惠了各708元，请问有哪几种优惠券使用方案？ 28．赤峰市正在打造生态文化旅游，某公司向旅游景点捐资购买了一批物资120吨，计划运往景区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示；（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 （1）全部物资可用乙型车5辆，丙型车4辆，还需甲型车多少辆来运送？ （2）若全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、丙两种车型各几辆？ （3）若公司决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？ 29．为了满足学生的物质需求，小卖部准备购进甲、乙两种绿色袋装食品，若购买400袋甲和300袋乙共需要6400元，其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如表： （1）甲的进价 　 　元，乙的进价 　 　元； （2）小卖部第一次购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋，全部售完后总利润（利润＝售价一进价）为5750元，求小卖部甲、乙两种食品分别购进多少袋？ （3）小卖部第二次购进了与第一次一样多的甲、乙两种食品，由于两种食品进价都比第一次优惠10%，小卖部准备对甲种袋装食品进行打折出售，让利于学生，乙种袋装食品价格不变，全部售完后总利润比上次还多赚10元，求甲商品打了几折？ 甲 乙 进价（元/袋） m m﹣2 售价（元/袋） 20 13 30．为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈端午节前在超市购买粽子的数量（单位：个）和付款金额（单位：元）． 豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额 小欢妈妈 20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 （1）求豆沙粽和肉粽的单价； （2）为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为（80﹣4m）包，（4m+8）包，A，B两种包装的销售总额为17280元，求m的值． 二元一次方程的应用 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A D C A A B C D 一．选择题（共10小题） 1．小明在文具店购买笔记本和水性笔（两种物品都买），其中笔记本每本5元，水性笔每支3元，小明一共花费了35元，则小明共有几种购买方案？下列答案正确的是（　　） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【分析】设购买x本笔记本，y支水性笔，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出共2种购买方案． 【解答】解：设购买x本笔记本，y支水性笔， 根据题意得：5x+3y＝35， ∴x＝7y， 又∵x，y均为正整数， ∴或， ∴共有2种购买方案． 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 2．淇淇的妈妈买了15支牙刷和12盒牙膏共花了336元，一段时间后淇淇以同样的价格（牙刷和牙膏的单价保持不变）又买了20支牙刷和16盒牙膏共花了418元，淇淇的妈妈看到淇淇的购物小票时，说：“记录单的总全额应该算错了”．下列判断正确的是（　　） A．淇淇妈妈说的不对，总金额就是418元 B．淇淇妈妈说的对，淇淇多付了30元 C．淇淇妈妈说的对，淇淇少付了30元 D．淇淇妈妈说的对，淇淇多付了40元 【分析】设牙刷和牙膏的单价分别为x、y元，可得15x+12y＝336，然后给方程左右两边同除以3即可解答． 【解答】解：设每支牙刷x元，每盒牙膏y元． 根据淇淇妈妈的购买情况可列方程：15x+12y＝336， 两边同时除以3得到5x+4y＝112， 淇淇购买时可列花费表达式为20x+16y，将其变形为4×（5x+4y）， 把5x+4y＝112代入4×（5x+4y），可得4×112＝448（元） 淇淇实际花费418元，448﹣418＝30（元），所以淇淇少付了30元，淇淇妈妈说的对，符合题意； 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 【点评】本题主要考查了二元一次方程的应用、等式的性质，正确列出方程是解答本题的关键． 3．为落实“双减”政策，刘老师把班级里50名学生分成若干小组进行小组互助学习，每小组只能是4人或6人，则分组方案有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【分析】设可分成每小组4人的小组x组，每小组6人的小组y组，利用各组人数之和为50人，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为自然数，即可得出共有4种分组方案． 【解答】解：设可分成每小组4人的小组x组，每小组6人的小组y组， 依题意得：4x+6y＝50， ∴x． 又∵x，y均为自然数， ∴或或或， ∴共有4种分组方案． 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 4．为了奖励课堂上表现进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（　　） A．11支 B．9支 C．7支 D．5支 【分析】设购买x支甲种钢笔，y支乙种钢笔，则购买z支丙种钢笔，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y，（12﹣x﹣y）均为正整数，可得出x≤5，再结合四个选项，即可得出结论． 【解答】解：设购买x支甲种钢笔，y支乙种钢笔，z支丙种钢笔， 根据题意得：4x+5y+6z＝60，3x+4y+5z＝48， ∴x+y+z＝12， ∴z＝12﹣x﹣y， ∴4x+5y+6（12﹣x﹣y）＝60， ∴y＝12﹣2x， 又∵x，y，（12﹣x﹣y）均为正整数， ∴x≤5， ∴x的最大值为5． 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 5．某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据题意，设购买了n个篮球，购买了m个足球，根据题意，列出方程，分类讨论即可． 【解答】解：根据题意，设购买了n个篮球，购买了m个足球， ∴120n+150m＝2400， 整理得：4n+5m＝80且n，m为正整数， 当n＝5时，； 当n＝10时，； 当n＝15时，； 综上所述，该社团共有3种购买方案． 故选：C． 【点评】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系式． 6．某社区活动中心计划出资600元全部花完购进跳棋、象棋、围棋，其进货情况如表，则在每一种棋类都要购买的条件下，x的值为（　　） 单价/元 套数 跳棋 30 5 象棋 25 x 围棋 80 y A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：30×5+25x+80y＝600， ∴x＝18y， 又∵x，y均为正整数， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 7．学校计划用200元钱购买A、B两种奖品（两种都要买），A种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【分析】设购买x个A种奖品，y个B种奖品，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出共有2种购买方案． 【解答】解：设购买x个A种奖品，y个B种奖品， 根据题意得：15x+25y＝200， ∴y＝8x， 又∵x，y均为正整数， ∴或， ∴共有2种购买方案． 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 8．如图，射线OM在∠AOB的内部，射线ON在平面内，射线OP平分∠AOM，射线OQ平分∠BON．若∠MON＝30°，∠AOB＝120°，则∠POQ的度数是（　　） A．45° B．45°或75° C．60°或75° D．45°或60°或75° 【分析】分三种情况进行画图，再根据角的和差得出关于α、β的方程式，进而得出答案． 【解答】解：若ON在∠AOB内部且在OM的右方， ∵射线OP平分∠AOM，射线OQ平分∠BON， ∴∠POMAOM，∠NOQBON， ∵∠MON＝30°，∠AOB＝120°， ∴∠AOM+∠BON＝120°﹣30°＝90°， ∴∠POM+∠NOQAOMBON（∠AOM+∠BON）＝45°， ∴POQ＝∠POM+∠NOQ+∠MON＝45°+30°＝75°． 若ON在∠AOB内部且在OM的左方， 令∠AOM＝2α，∠BON＝2β， ∵射线OP平分∠AOM，射线OQ平分∠BON， ∴∠AOP＝∠POMAOM＝α，∠BOQ＝∠NOQBON＝β， ∵∠MON＝30°， ∴∠AON＝α﹣30°，∠MOQ＝β﹣30°， ∵∠AOB＝120°， ∴∠AOM+∠MOQ+∠BOQ＝120°， ∴2α+β﹣30°+β＝120°， ∴α+β＝75°， ∴POQ＝∠POM+∠MOQ＝α+β﹣30°＝75°﹣30°＝45°． 若ON在∠AOB外部， 令∠AOM＝2α，∠BON＝2β， ∵射线OP平分∠AOM，射线OQ平分∠BON， ∴∠AOP＝∠POMAOM＝α，∠BOQ＝∠NOQBON＝β， ∵∠MON＝30°，∠MOQ＝β﹣30°， ∴∠AON＝30°﹣2α， ∵∠AOB＝120°，∠BON＝∠AON+∠AOB， ∴2β＝30°﹣2α+120°， ∴α+β＝75°， ∴∠POQ＝∠POM+∠MOQ＝α+β﹣30°＝75°﹣30°＝45°． 综上所述：∠POQ的度数是75°或45°． 故选：B． 【点评】本题主要考查二元一次方程的应用、角平分线的定义及角的计算，分情况画图是解题的关键． 9．小明带30元钱去买笔，钢笔5元一支和圆珠笔2元一支，买了两种笔，刚好用完这些钱，请问小明共有几种购买方法（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【分析】根据题意列出二元一次方程求得正整数解即可． 【解答】解：设买了x支钢笔，y支圆珠笔， 根据题意得：5x+2y＝30， ∵x、y是正整数， ∴或， ∴小明共有2种购买方法， 故选：C． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解题定关键是根据题意列出不定方程，难度不大． 10．某一商场经销的A、B两种商品，A商品每件进价40元，利润率为50%；B商品每件售价80元．在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品开展如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B两种商品（两种商品每种商品不少于1件），实际共付款522元．则以下说法正确的个数是（　　） ①可能购买A商品3件，B商品5件； ②购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ③如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】先求出A商品每件售价，再设购买A商品x件，购买B商品y件，然后分打折前购买的总金额不超过600元和打折前购买的总金额超过600元两种情况，根据打折后的金额推出打折前的金额，进而建立方程求出x、y的值，再逐一判断即可得到答案． 【解答】解：∵A商品每件进价40元，利润率为50%， ∴A商品每件售价为40×（1+50%）＝60元， 设购买A商品x件，购买B商品y件， 当打折前购买的总金额不超过600元时，则60x+80y＝522÷0.9， ∴3x+4y＝29， ∴， ∵x、y都为正整数， ∴当y＝5时，x＝3， 当y＝2时，x＝7； ∴当购买A商品3件，B商品5件时，打折前的购物总金额为3×60+5×80＝580元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付580﹣522＝58元； 当购买A商品7件，B商品2件时，打折前的购物总金额为7×60+2×80＝580元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付580﹣522＝58元； 当打折前购买的总金额超过600元时，则60x+80y＝（522﹣600×0.8）÷0.7+600， ∴3x+4y＝33， ∴， ∵x、y都为正整数， ∴当y＝3时，x＝7， 当y＝6时，x＝3； ∴当购买A商品3件，B商品6件时，打折前的购物总金额为3×60+6×80＝660元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付660﹣522＝138元； 当购买A商品7件，B商品3件时，打折前的购物总金额为7×60+3×80＝660元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付660﹣522＝138元； ∴如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元， ∵3+5＝8，3+6＝9，3+7＝10， ∴购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ∴①②③的说法都正确， 故选：D． 【点评】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，解题的关键的读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系． 二．填空题（共10小题） 11．小南帮同学小开点了一份外卖（售价小于100元），小开给小南转账还钱时，不小心将支付金额的整数部分与小数部分数字看倒置了（例如：把27.96元看成96.27元），并按看错的数字将钱转给了小南，小南收到后加上原有余额13.7元后，恰为外卖售价的5倍，于是将多收的金额退还给了小开．若售价的整数部分是一位数，小数部分数字为两位数，那么小南退还给小开的金额是 　23.58元　． 【分析】设外卖价格整数部分为a，小数部分为b，则外卖价格为（100a+b）分，被看错成（100b+10a）分，根据“小南收到后加上原有余额13.7元后，恰为外卖售价的5倍”，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a为一位整数，b为两位整数，即可求出a，b的值，再将其代入100b+10a﹣（100a+b）中，即可求出结论． 【解答】解：设外卖价格整数部分为a，小数部分为b，则外卖价格为（100a+b）分，被看错成（100b+10a）分， 根据题意得：100b+10a+1370＝5×（100a+b）， ∴b， 又∵a为一位整数，b为两位整数， ∴， ∴100b+10a﹣（100a+b）＝100×32+10×9﹣（100×9+32）＝2358， ∵2358分＝23.58元， ∴退还金额为23.58元． 故答案为：23.58元． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 12．元宵节将至，各种口味的汤圆纷纷上市，某商家从汤圆生产商处采购了花生、芝麻、奥巧三种口味的汤圆进行销售，其每袋进价分别是20元，25元，30元，其中花生与奥巧味汤圆每袋的销售利润率相同，每袋芝麻味汤圆的利润比每袋奥巧味汤圆的利润少，经统计，在今年元宵当天，该商家花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量是3：4：2，其中销售花生与芝麻味汤圆的总利润率是43.75%，且芝麻味汤圆销售额比奥巧味汤圆销售额多2000元，则今年元宵当天该商家销售这三种口味的汤圆的总利润是　4000　元． 【分析】设奥巧味的利润为y，则花生味的利润为，芝麻味的利润为，再设花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量分别是3a，4a，2a，根据销售花生与芝麻味汤圆的总利润率是43.75%，列出方程，求得y＝15，得到单包各种口味的汤圆的利润，再根据芝麻味汤圆销售额比奥巧味汤圆销售额多2000元，列出方程，求解即可． 【解答】解：设奥巧味的利润为y，则花生味的利润为，芝麻味的利润为， 再设花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量分别是3a，4a，2a， 依题意得， 解得y＝15， 则单包花生味的利润为10元，芝麻味的利润为10元，奥巧味的利润为15元， 由题意得（25+10）×4a﹣（30+15）×2a＝2000， 解得a＝40， 所以总利润：3×40×10+4×40×10+2×40×15＝4000（元）， 即今年元宵当天该商家销售这三种口味的汤圆的总利润为4000元， 故答案为：4000． 【点评】本题主要考查了二元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 13．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则x﹣y的值是 　﹣3　，m﹣n的值是 　3　． 【分析】根据每个三角形的三个顶点上的数字之和相等，得x+1＝y+（﹣2），m+（﹣2）＝n+1，即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：x+1＝y+（﹣2），m+（﹣2）＝n+1， ∴x﹣y＝﹣3，m﹣n＝3， 故答案为：﹣3，3． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 14．某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有 　4　种购买方案． 【分析】设购买x支笔记本，y个碳素笔，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，再结合x，y均为正整数，即可得出购买方案的个数． 【解答】解：笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，设购买x支笔记本，y个碳素笔， 依题意得：3x+2y＝28， ∴． 又∵x，y均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种不同的购买方案． 故答案为：4． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 15．一张方桌由一个桌面和4条桌腿组成，已知1立方米木料有三种切割方式，甲切割方式：可切成50个桌面；乙切割方式：可切成300条桌腿：丙切割方式：可切成20个桌面和180条桌腿．现有m个立方米木料，恰好做成若干张桌子（三种切割方案都有，且没有余料），当整数m取最小值时，可做成方桌 　120　张． 【分析】根据“一张方桌由一个桌面和4条桌腿组成”列方程求解． 【解答】解：设有x立方米的木料用甲切割，y立方米的木料用乙切割，z立方米的木料用丙切割， 则：4（50x+20z）＝300y+180z， 方程可化为：2x﹣3y﹣z＝0， ∴方程的最小正整数解为：x＝2，y＝z＝1， ∴m的最小值为x+y+z＝4， 此时可以做成方桌：50x+20z＝120， 故答案为：120． 【点评】本题考查了三元一次方程的应用，理解正整数解是解题的关键． 16．魔术师请李明默想一个一位数，然后把这个数乘2，再加5，再乘50，再加1774，最后再减去自己的出生年份，把运算的结果告诉他，他就能知道李明默想的那个一位数和李明2024年的年龄．若李明运算的结果是612，则李明2024年的年龄是　12　岁．（注：年龄只考虑出生年份，不考虑月份，如2000年1月﹣12月出生的人，2024年都是24岁） 【分析】设李明默想的一位数为m，出生年份为n，由题意列式并整理后得到m，n的关系式，再由题意确定符合题意的m，n的值后即可求得答案． 【解答】解：设李明默想的一位数为m，出生年份为n， 则（2m+5）×50+1774﹣n＝612， 整理得：n＝100m+1412， ∵m是一位整数，n是整数， ∴符合题意的值为m＝6，n＝2012， 则2024﹣2012＝12， 即李明2024年的年龄是12岁， 故答案为：12． 【点评】本题考查二元一次方程的应用，结合已知条件列得正确的二元一次方程是解题的关键． 17．如图是2025年1月的月历，其中“T”型，“L”型两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内只能平移，可重叠．设“T”型阴影覆盖的最小数字为a，四个数字之和为M；“L”型阴影覆盖的最小数字为b，四个数字之和为N．若M+N＝59，则a的值是 　1或5　． 【分析】根据各数之间的关系，可得出M＝4a+11，N＝4b+24，结合M+N＝59，可列出关于a，b的二元一次方程，结合月历表，即可得出结论． 【解答】解：∵“T”型阴影覆盖的四个数分别为a，a+1，a+2，a+8，“L”型阴影覆盖的四个数分别为b，b+7，b+8，b+9， ∴M＝a+a+1+a+2+a+8＝4a+11，N＝b+b+7+b+8+b+9＝4b+24， ∵M+N＝59， ∴4a+11+4b+24＝59， ∴a+b＝6， ∴或， ∴a的值为1或5． 故答案为：1或5． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 18．根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为180cm； ②1班学生的最低身高小于150cm； ③2班学生的最高身高大于或等于170cm． 上述结论中，所有正确结论的序号是 　②③　． 【分析】设1班同学的最高身高为x cm，最低身高为y cm，2班同学的最高身高为a cm，最低身高为b cm，根据1班班长的对话，得x≤180，x+a＝350，然后利用不等式性质可求出a≥170，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得b＞140，y+b＝290，然后利用不等式性质可求出y＜150，即可判断②． 【解答】解：设1班同学的最高身高为x cm，最低身高为y cm，2班同学的最高身高为a cm，最低身高为b cm， ∴x≤180，x+a＝350， ∴x＝350﹣a， ∴350﹣a≤180， 解得a≥170，故③正确； 1班学生的身高不超过180cm，最高未必是180cm，故无法判断①； 由题意可得：b＞140，y+b＝290， ∴b＝290﹣y， ∴290﹣y＞140， ∴y＜150， 故②正确， 故答案为：②③． 【点评】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，正确进行计算是解题关键． 19．请阅读关于“快乐数”的知识卡片，并回答问题： 快乐数：我们将同时满足下列条件的分数称为“快乐数”， a．分子和分母均为正整数； b．分子小于分母； c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同； d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等． 例如：去掉相同的数字6之后，得到的分数恰好与原来的分数相等，则是一个“快乐数”，请写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“快乐数”　或（答案不唯一）　． 【分析】设快乐数的分子为10m+9，分母为90+n，即，根据题意可得，根据分子和分母均为正整数可得，m+1＝2或5或10，则m＝1或4或9，所以有n＝5或8或9，由此即可求解． 【解答】解：根据题意，分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同，均为9， ∴设快乐数的分子为10m+9，分母为90+n，即此时快乐数为， ∵分子小于分母， ∴10m+9＜90+n， 解得10m﹣n＜81， ∵去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等， ∴， ∴mn＝10m﹣n， ∴， ∵分子和分母为正整数， ∴当m+1＝2时，m＝1， 当m+1＝5时，m＝4， 当m+1＝10时，m＝9， ∴n＝5或8或9， 所以分情况讨论： 当时，这个快乐数为， 当时，这个快乐数为， 当时，这个快乐数为（不符合题意，舍去）， 故答案为：或（答案不唯一）． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，列代数式，规律型：数字的变化类，掌握代数式的运用正确表示快乐数并计算是解题的关键． 20．我们规定：如果一个四位自然数A，满足千位数字与个位数字之和为6，百位数字与十位数字之和也为6，则称A为“六六数”，则最大的“六六数”为 　6600　.若A、B均为“六六数”，其中，，（1≤a，b，y≤6，0≤c，d，x≤5，且a，b，c，d，x，y均为）整数），将A的前三位数字组成的三位数记为m，A的后三位数字组成的三位数记为n．若m+n除以17余9，将A的前两位数字组成的两位数记为s，将B的后两位数字组成的两位数记为t，若3s+t＝4k2（k为整数），则满足条件的B的最大值为 　5151　． 【分析】对于第一空，要找到最大的“六六数”根据“六六数”的定义，千位数字尽量大，个位数字相应确定，百位数字也尽量大，十位数字相应确定，对于第二空，根据“六六数”的定义确定A、B中各数字的关系，再根据所给的余数条件和等式条件逐步分析求解即可． 【解答】∵根据“六六数”定义，要使这个数最大，千位数字要尽可能大，千位数字与个位数字之和为6， ∴千位数字最大为6，此时个位数字为0， ∵百位数字与十位数字之和为6，百位数字最大为6，此时十位数字为0， ∴最大的“六六数”为6600， ∵A是“六六数”，设a+d＝6，b+c＝6， ∵， ∴， 又∵a+d＝6，b+c＝6， ∴m+n＝100a+110b+11（6﹣b）+6﹣a＝99a+99b+72， ∵m+n除以17余9，设m+n＝17q+9（q为整数）， ∴99a+99b+72＝17q+9， ∴99（a+b）+63＝17q， ∴51（a+b+1）+48（a+b）+12＝17q， ∴48（a+b）+12需要能被17整除， ∵1≤a，b≤6， ∴96≤48（a+b）≤576， ∴108≤48（a+b）+12≤588， ∴48（a+b）+12可取119，136，153，170，187，204，221，238，255，272，289，306，323，340，357，374，391，408，425，42，459，476，493，510，527，544，561，578， ∴48（a+b）可取107，124，141，158，175，192，209，226，243，260，277，294，311，328，345，362，379，396，413，430，447，464，481，498，515，532，549，566， ∵这些数能被48整除的数只有192， ∴a+b＝4， ∴b＝4﹣a， ∵B是“六六数”， ∴5+1＝6，x+y＝6，1≤y≤6，0≤x≤5， ∴y＝6﹣x， ∵s＝ab，t， ∴3s+t＝3（10a+b）+10y+1＝30a+3（4﹣a）+10y+1＝27a+10y+13， ∵3s+t＝4k2（k为整数）， ∴（2k）2＝3s+t＝27a+10y+13， ∵1≤a，b≤6，1≤y≤6， ∴50≤27a+10y+13≤235， 即50≤（2k）2≤235， ∴（2k）2可取64，81，100，121，144，169，225， 当（2k）2＝64时，则 27a+10y＝51，此时无符合题意的整数解， 当（2k）2＝81＝92时，不是偶数的平方，不符合题意， 当（2k）2＝100时，则27a+10y＝87，则符合题意， 当（2k）2＝121时，不是偶数的平方，不符合题意， 当（2k）2＝144时，则27a+10y＝131，则符合题意， 当（2k）2＝169时，不是偶数的平方，不符合题意， 当（2k）2＝225时，不是偶数的平方，不符合题意， 在满足所有条件的情况下，要使B最大，则x尽量大，y尽量小， ∴当y＝5时，x＝1，符合题意， ∴B的最大值为5151， 故答案为：①6600；②5151． 【点评】本题主要考查整式的加减的应用，二元一次方程等知识点，注意需要分类讨论． 三．解答题（共10小题） 21．北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： （1）求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ （2）若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【分析】（1）设甲种飞船模型每件进价x元，乙种飞船模型每件进价y元，根据1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型的售价共计40元，2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型的售价共计95元，建立二元一次方程组，解之即可； （2）设购进a件甲种飞船模型和b件乙种飞船模型，根据总价＝单价×数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案． 【解答】解：（1）设甲种飞船模型每件的售价为x元，乙种飞船模型每件的售价为y元， 根据题意得， 解得， 所以甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元， 答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元； （2）设购买a件甲种飞船模型和b件乙种飞船模型， 根据题意得25a+15b＝200， ∴， ∵a，b均为正整数， ∴当b＝5时，a＝85＝5； 当b＝10时，a＝810＝2， ∴有2种购买方案如下： ①购买5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型； ②购买2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用及二元一次方程的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． 22．刘老师装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，某装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每箱50块，小包装每箱30块，若大、小包装均不拆开零售，可以只购买一种．刘老师共有哪几种购买方案． 【分析】设购买大包装x箱，小包装y箱，根据题意列出方程，然后利用x、y为非负整数得到方程的解即可． 【解答】解：设购买大包装x箱，小包装y箱， 50x+30y＝480． 5x+3y＝48， 由题意可得：，或，或，或． 共有四种购买方案， 方案一：购买大包装0箱瓷砖，购买小包装16箱瓷砖 方案二：购买大包装3箱瓷砖；购买小包装； 方案三：购买大小包装各6箱瓷砖； 方案四：购买大包装9箱瓷砖，购买小包装1箱瓷砖． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意找到等量关系式是解题的关键． 23．某班元旦迎新年活动，购买活动奖品，计划购买笔记本20本，盲盒30个，共需1380元，其中盲盒比笔记本贵6元． （1）求盲盒和笔记本的单价各为多少？ （2）后来调整方案，需要购买上面的两种奖品共70件（奖品单价不变）．班长做完预算后，对家委主任说：“我这次买这两种奖品需要费用1922元．”家委主任算了一下，说：“如果你用这些钱买这两种奖品，那么费用肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释家委主任为什么说班长算错了． （3）班长突然想起，所做的预算中还包括班主任老师让他买的一支记号笔．如果记号笔的单价不超过10元，且金额数为整数，请通过计算，直接写出记号笔的单价可能为 　2或8　元． 【分析】（1）设盲盒的单价为x元，则笔记本的单价为（x﹣6）元，根据购买笔记本20本，盲盒30个，共需1380元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设购买y个盲盒，则购买（70﹣y）本笔记本，根据这次买这两种奖品需要费用1922元，结合（1）的结论，列出一元一次方程，解方程判定即可； （3）设记号笔的单价为m元，根据这次买这两种奖品需要费用1922元，结合（1）的结论，列出二元一次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设盲盒的单价为x元，则笔记本的单价为（x﹣6）元， 由题意得：30x+20（x﹣6）＝1380， 解得：x＝30， ∴x﹣6＝24， 答：盲盒的单价为30元，笔记本的单价为24元； （2）班长算错了，理由如下： 设购买y个盲盒，则购买（70﹣y）本笔记本， 由题意得：30y+24（70﹣y）＝1922， 解方程得：y＝40， 又∵y需为正整数， ∴y＝40不符合题意，舍去， ∴班长算错了； （3）设记号笔的单价为m元， 由题意得：30y+24（70﹣y）＝1922﹣m， 解方程得：y＝40， 又∵y为正整数，m为不大于10元的整数， ∴m＝2或8， 故答案为：2或8． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程的应用、整数的认识，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 24．简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在一定的数量关系．给出四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如下表： 名称 图形 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 三棱锥 4 4 6 长方体 8 6 12 五棱柱 10 7 15 正八面体 6 8 12 （1）猜想：顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的代数关系式是　V+F﹣E＝2　． （2）若一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，求这个多面体的面数． （3）某个简单的多面体，是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，共有22个顶点， 每个顶点处都有3条棱． ①求它共有多少条棱； ②若该多面体三角形的个数比八边形的个数的2倍少2，求该多面体三角形的个数． 【分析】（1）根据观察表格数据可得，顶点数和面数的和减去棱数刚好等于2，即可； （2）根据（1）得到的规律，进行解答即可； （3）①根据顶点数和棱数的关系，进行求解，即可；②方法一：设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，列出方程，即可；方法二：根据（1）得到的规律，求出面数，再设该多面体外表八边形的个数为x个，三角形的个数为2x﹣2个，列出方程即可． 【解答】解：（1）三棱锥中，4+4﹣6＝2； 长方体中，8+6﹣12＝2； 五棱柱中，10+7﹣15＝2； 正八面体中，6+8﹣12＝2 ∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的代数关系式为：V+F﹣E＝2． 故答案为：V+F﹣E＝2； （2）由（1）得V+F﹣E＝2， ∴一个多面体的面数比顶点数大8， ∴F＝V+8， ∵有30条棱， ∴V+V+8﹣30＝2， 解得：V＝12， ∴面数为：F＝V+8＝12+8＝20． 答：这个多面体的面数为20； （3）①∵有22个顶点，每个顶点处都有3条棱，而两点确定一条直线， ∴棱数为：22×3÷2＝33条； ②方法一：设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个， ∴由题意得，列方程组为：， 解得：； ∴该多面体三角形的个数为8； 方法二：∵V+F﹣E＝2， ∴22+F﹣33＝2， 解得：F＝13； 设该多面体外表八边形的个数为x个，三角形的个数为2x﹣2个， ∴x+（2x﹣2）＝13， 解得：x＝5， ∴2x﹣2＝2×5﹣2＝8， ∴该多面体三角形的个数为8． 【点评】本题考查立体几何中，点，面，棱的关系，整式，二元一次方程，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握整式的加减运算，二元一次方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系进行解答即可． 25．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店到汽车城计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需80万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元． （1）问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请设计出符合要求的所有购买方案． （3）在问题（2）的条件下，销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元．假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案所获利润最大？请求出最大利润． 【分析】（1）设每辆A型车的进价为x万元，每辆B型车的进价为y万元，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买A型车a辆，购买B型车b辆，由此列式，代值计算即可求解； （3）根据利润的计算，进行比价即可求解． 【解答】解：（1）设每辆A型车的进价为x万元，每辆B型车的进价为y万元， ∴． 解得． ∴每辆A型车的进价为25万元，每辆B型车的进价为10万元； （2）设购买A型车a辆，购买B型车b辆， ∴25a+10b＝180， ∴， ∴（36﹣2b）是5的倍数，且a，b是正整数， 当36﹣2b＝5时，，不符合题意； 当36﹣2b＝10时，b＝13，a＝2，符合题意； 当36﹣2b＝15时，，不符合题意； 当36﹣2b＝20时，b＝8，a＝4，符合题意； 当36﹣2b＝25时，，符合题意； 当36﹣2b＝30时，b＝3，a＝6，符合题意； 当36﹣2b＝35时，，符合题意； ∴共有3中方案，方案一：购买A型车2辆，购买B型车13辆；方案二：购买A型车4辆，购买B型车8辆；方案三：购买A型车6辆，购买B型车3辆； （3）方案一：购买A型车2辆，购买B型车13辆，利润为2×1.2+13×0.8＝12.8（万元）； 方案二：购买A型车4辆，购买B型车8辆，利润为4×1.2+8×0.8＝11.2（万元）； 方案三：购买A型车6辆，购买B型车3辆，利润为6×1.2+3×0.8＝9.6（万元）； ∵12.8＞11.2＞9.6， ∴方案一获得利润最大，最大利润为12.8万元． 【点评】本题主要考查二元一次方程组的运用，二元一次方程根的计算，理解数量关系，正确列式计算是解题的关键． 26．小亮给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘以6，再加上5，再乘以2，再减去这张牌点数的2倍，再减去10，然后加上抽出纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是1，红桃的代号是2，梅花的代号是3，方块的代号是4，最后这位同学说出运算结果是72．小亮迅速准确说出这位同学抽出的纸牌是红桃7．你能解释其中的原因吗？ 【分析】设同学抽到的牌的点数为m，花色为n，由题意得（6m+5）×2﹣2m﹣10+n＝72，将其整理后求得符合题意的m，n的值即可． 【解答】解：设同学抽到的牌的点数为m，花色为n， 由题意得（6m+5）×2﹣2m﹣10+n＝72， 整理得：10m+n＝72， ∵m是1～13中的整数，n是1～4的整数， ∴m＝7，n＝2， 即这位同学抽出的纸牌是红桃7． 【点评】本题考查二元一次方程的应用，理解题意并列得正确的方程是解题的关键． 27．某商场在年底为了促进消费，推出赠送优惠券活动，其中优惠券分为三种类型，如表： A型 B型 C型 满368减100 满168减68 满50减20 在此次活动中，小西领到了三种不同类型的优惠券若干张，准备给家人们买礼物． （1）若小西同时使用了A，B型优惠券共5张，共优惠了404元，那么他使用了A，B型优惠券各几张？ （2）若小西共领到三种不同类型的优惠券各16张（部分未使用），他同时使用A，B，C型中的两种不同类型的优惠券消费，共优惠了各708元，请问有哪几种优惠券使用方案？ 【分析】（1）根据“同时使用了A，B型优惠券共5张，共优惠了404元”列方程求解； （2）根据“同时使用A，B，C型中的两种不同类型的优惠券消费，共优惠了各708元”列方程组求解． 【解答】解：（1）设小西使用A型优惠券x张， 则：100x+68（5﹣x）＝404， 解得：x＝2， ∴5﹣x＝3， 答：他使用了A优惠券2张，B型优惠券3张； （2）设使用A优惠券x张，B优惠券y张，C优惠券z张， 则：100x+68y＝708，或100x+20z＝708，或68y+20z＝708， x、y、z的正整数解为：或， 综上，有两种优惠券使用方案： ①A型“优惠券”3张，B型“优惠券”6张； ②B型“优惠券”6张，C型“优惠券”15张． 【点评】本题考查了一元一次方程和二元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 28．赤峰市正在打造生态文化旅游，某公司向旅游景点捐资购买了一批物资120吨，计划运往景区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示；（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 （1）全部物资可用乙型车5辆，丙型车4辆，还需甲型车多少辆来运送？ （2）若全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、丙两种车型各几辆？ （3）若公司决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？ 【分析】（1）利用使用丙型车的数量＝（物资的总质量﹣每辆乙型车的运载量×使用乙型车的数量﹣每辆丙型车的运载量×使用丙型车的数量）÷每辆甲型车的运载量，即可求出结论； （2）设需要x辆甲型车，y辆乙型车，根据“全部物资都用甲、丙两种车型来运送，且需运费8200元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设使用m辆甲型车，n辆乙型车，则用（16﹣m﹣n）辆丙型车，根据学生使用的16辆车的总运载量为120吨，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，（16﹣m﹣n）均为正整数，即可得出各运输方案，再求出各方案所需运费，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：（120﹣8×5﹣10×4）÷5 ＝（120﹣40﹣40）÷5 ＝40÷5 ＝8（辆）， ∴还需要8辆丙型车来运送． （2）设需要x辆甲型车，y辆丙型车， 根据题意得：， 解得：． 答：需要10辆甲型车，7辆丙型车； （3）设使用m辆甲型车，n辆乙型车，则用（16﹣m﹣n）辆丙型车， 根据题意得：5m+8n+10（16﹣m﹣n）＝120， ∴m＝8n， 又∵m，n，（16﹣m﹣n）均为正整数， ∴或， ∴共有2种运输方案， 方案1：使用6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车，所需运费为400×6+500×5+600×5＝7900（元）； 方案2：使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车，所需运费为400×4+500×10+600×2＝7800（元）． ∵7900＞7800， ∴使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车时，运费最省． 答：共有2种运输方案，使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车时，运费最省． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、有理数的混合运算以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． 29．为了满足学生的物质需求，小卖部准备购进甲、乙两种绿色袋装食品，若购买400袋甲和300袋乙共需要6400元，其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如表： （1）甲的进价 　10　元，乙的进价 　8　元； （2）小卖部第一次购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋，全部售完后总利润（利润＝售价一进价）为5750元，求小卖部甲、乙两种食品分别购进多少袋？ （3）小卖部第二次购进了与第一次一样多的甲、乙两种食品，由于两种食品进价都比第一次优惠10%，小卖部准备对甲种袋装食品进行打折出售，让利于学生，乙种袋装食品价格不变，全部售完后总利润比上次还多赚10元，求甲商品打了几折？ 甲 乙 进价（元/袋） m m﹣2 售价（元/袋） 20 13 【分析】（1）根据“购买400袋甲和300袋乙共需要6400元”列方程，解方程即可求解； （2）设甲种绿色袋装食品购进x袋，则乙种绿色袋装食品购进（800﹣x）袋，由全部售完后总利润（利润＝售价﹣进价）为5750元可列方程，解方程结可求解； （3）设甲种绿色袋装食品打了a折，分别求解800袋的进价和售价，根据800袋的利润列方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）由题得：依题意得：400m+300（m﹣2）＝6400， 解得m＝10， ∴m﹣2＝10﹣2＝8（元）， 答：甲种食品的进价是10元/袋、乙种食品的进价是8元/袋． 故答案为：10，8； （2）设小卖部本次购进甲种食品x袋，乙种食品（800﹣x）袋， 由题意得：（20﹣10）x+（13﹣8）（800﹣x）＝5750， 解得x＝350， 则800﹣x＝800﹣350＝450． 答：小卖部本次购进甲种食品350袋，乙种食品450袋． （3）设甲商品打了a折，则由题意得： [2010×（1﹣10%）]×350+[13﹣8×（1﹣10%）]×450＝5750+10． 解得a＝9， 答：甲商品打了9折． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 30．为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈端午节前在超市购买粽子的数量（单位：个）和付款金额（单位：元）． 豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额 小欢妈妈 20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 （1）求豆沙粽和肉粽的单价； （2）为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为（80﹣4m）包，（4m+8）包，A，B两种包装的销售总额为17280元，求m的值． 【分析】（1）根据题意设豆沙棕的单价为a元，肉粽的单价为b元，列出方程组解答即可； （2）由题意可得，[3m+7（40﹣m）]×（80﹣4m）+[3（40﹣m）+7m]×（4m+8）＝17280，解得 m＝19 或 m＝10，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．确定m值即可． 【解答】解：（1）设豆沙棕的单价为a元，肉粽的单价为b元， 由题意可得，， 解得： 答：豆沙粽的单价为3元，肉粽的单价为7元； （2）由题意可得，[3m+7（40﹣m）]×（80﹣4m）+[3（40﹣m）+7m]×（4m+8）＝17280， 解得 m＝19 或 m＝10， ， ∴， ∴m＝10． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，理顺销售总额包含的各项收入是关键 学科网（北京）股份有限公司 $$