信息必刷卷02（湖北省卷专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（湖北专用） 考情速递 中考·新动向：1.基础与能力并重：试卷中基础题（如正负数表示方向、不等式组解集）与综合题（如二次函数与几何结合）比例均衡，体现 “基础为根，能力为核” 的命题导向。2.跨学科融合：第4题结合物理光线折射、第 22 题结合桥梁工程抛物线应用，强化数学与科学、工程的联系，呼应新课标 “学科交叉” 要求。3.图文结合常态化：全卷 17 道题中 13 道含图形或表格，如第 18 题测量数据表格、第 23 题动态旋转示意图，考查学生从非文字信息中提取关键数据的能力。4.情境化设问：第 6 题邮票概率、第 13 题机器狗速度、第 22 题石拱桥问题均以生活或科技为背景，突出数学实用性。 中考·新考法：1.第10题二次函数综合：在传统对称轴、开口方向等考点基础上，结合方程根的判别式（结论⑤）和不等式恒成立（结论④），要求学生综合代数与几何性质进行逻辑推理。2.第18题实践探究：将相似三角形与三角函数结合，通过方案对比（影子测量和仰角测量），考查数学建模与误差分析能力。3.第 23 题旋转几何：融合矩形性质、相似三角形和勾股定理，通过动态旋转构建分类讨论模型，突破传统静态几何框架。4.第 24 题函数与几何综合：以抛物线为载体，结合几何最值（面积最大）和动态点轨迹（点 N 在抛物线上），考查代数与几何的深度融合。 中考·新情境：1.第 15 题正方形对角线与角平分线：通过构造辅助线和相似三角形，将几何证明与代数计算结合，需学生灵活转化条件。2.第 21 题圆与切线：以渔船过桥为背景，将抛物线高度计算与实际通行条件结合，体现数学在生活中的决策作用。3.第 18 题实践评价：要求学生对两种测量方案进行优缺点分析，答案不唯一，培养批判性思维。4.第 24 题动态点轨迹：通过参数化点 M 的坐标，探索线段与抛物线交点的存在性，渗透函数与方程的动态思想。 命题·大预测：1.跨学科融合深化：如数学与物理、工程的结合（如光线折射、桥梁设计）将成为高频考点。2.动态几何与函数主导压轴题：类似第 23、24 题的旋转几何、轨迹分析题目将持续作为区分度题型。3.数据处理与情境分析比重增加：第 19 题统计图表、第 22 题测量数据题提示未来会更注重学生信息提取与应用能力。4.强化模型意识：针对生活情境（如概率、测量）和科技情境（如机器人、工程），加强数学建模训练。5.重视几何代数化：掌握通过坐标系、方程解决几何问题的方法（如第 23 题用勾股定理列方程）。6.提升分类讨论能力：关注动态问题中的多解情况（如第 23 题点 E 的位置分类、第 24 题点 M 的取值范围）。 本卷体现中考数学命题 “基础为基、应用为核、创新为翼” 的特点，未来将更注重知识迁移、跨学科整合和复杂情境下的问题解决能力。备考需紧扣课标，强化综合思维与实践应用。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，小球左端固定在弹簧上，若小球从静止位置向右，记作，则小球从静止位置向左，记作（   ） A． B． C． D． 2．中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的主视图为（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从空气射入水中要发生折射．物理课上，小军手持一激光笔射入水中，如图，水面与水杯下沿平行，光线从空气射入水中，发生折射，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 6．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给朋友小亮，小明将它们背面朝上放在案面上（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是（    ） A． B． C． D． 7．我国明代数学著作《算法统宗》里有：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．几多醇酒几多薄？”其大意是：醇酒一瓶能醉倒三位客人，薄酒三瓶才能醉倒一人，位客人共喝了瓶酒，最后都醉倒了，请问醇酒和薄酒各有多少瓶？设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线和交于点；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点：③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，和交于点，连接．若，，则的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 9．如图，半径为2的的弦，且于点，连接、，则的长为（   ） A． B．2 C． D．1 10．如图，二次函数 与轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为，对称轴为．下列结论：①；② ；③ ；④ 若m是不等于1的实数，则恒成立；⑤无论取何值，方程均有两个不相等的实数根．其中正确的有（     ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题：本题共5小题，每小3分，共15分。 11．写出一个大小在和之间的整数是 ． 12．一组数据5，2，5，7，6的方差为 ． 13．如图机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度v是 ． 14．计算： ． 15．如图，正方形的对角线与相交于点的角平分线分别交于两点．若，则 ．线段的长为 ． 三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（6分） 计算：． 17．（6分） 浙江的崧厦素有“中国伞城”之誉称．伞业公司所制作的纸伞，其工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，如果伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，就能保证伞圈能沿着伞柄滑动．已知，．求证：点必定在上． 18. （6分） 综合与实践 【问题情境】龙象塔位于南宁市青秀山风景区，取“水行龙力大，陆行象力大”之意．某校数学实践小组利用所学数学知识测量龙象塔的高度． 【实践探究】下面是两个方案及测量数据： 项目 测量龙象塔的高度 方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离，仰角α，仰角β． 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 1.61 m 1.59 m 1.6 m β 26.4° 26.6° 26.5° 1.18 m 1.22 m 1.2 m α 37.1° 36.9° 37° 38.9 m 39.1 m 39 m 34.8 m 35.2 m 35 m 【问题解决】 (1)根据“方案一”的测量数据，直接写出龙象塔的高度； (2)根据“方案二”的测量数据，求出龙象塔的高度；（参考数据：，，，，，） (3)请对本次实践活动进行评价（一条即可）． 19. （8分） 某校为了解八年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校八年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数， 分为四个等级：D： ， C：， B： ，A：）， 部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据(单位：分)如下：80，81，82，83，84，84，84，86，86， 86， 88， 89． 请根据以上信息，解答下列问题； (1)本次被抽取的学生人数为_______人： (2)补全频数直方图； (3)所抽取的学生成绩的中位数是______； (4)该校八年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 20. （8分） 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点C，连接． (1)求k，b，n的值；(2)求的面积． 21. （8分） 如图，在△ABC中，，以边为直径作交于点，过点作于点，，的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，且，求的半径与线段的长． 22. （10分） 图1所示是温州南塘河面上的一座石拱桥，已知其桥洞均可近似看作形状相同的抛物线．经测量，在正常水位时，主桥洞顶端离水面，水面宽度；右侧第一个小桥洞顶端离主桥洞顶端的水平长度为，铅直高度为．图2所示为主桥洞和右侧第一个小桥洞的截面图． (1)在图2中建立适当的平面直角坐标系，求出主桥洞的函数关系式 (2)在（1）坐标系前提下，直接写出第一个小桥洞的函数关系式 (3)水位正常时，一艘长，宽，高的渔船能否顺利通过右侧第一个小桥洞？请通过计算说明． 23. （11分） 如图1，在矩形中，，连接与重合，将绕点顺时针方向旋转，连接，． (1)旋转过程中一定是等腰三角形的三角形有______，的值为______． (2)如图2，当点落在对角线上时，求的长． (3)连接，试探究能否构成以为直角边的，若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由． 24. （12分） 在平面直角坐标系中，如图1，抛物线与轴交于两点，且． (1)若抛物线与轴交于两点，坐标分别为，且．直接写出的大小关系． (2)当时，抛物线与轴交于点，作直线． ①求抛物线的解析式． ②如图2，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． ③如图3，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷（湖北专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A B B B B D B A B 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案直接填写在横线上 11．（答案不唯一，5,6都可以） 12．2.8 13．9 14．1 15. 三、解答题:本大题有9个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（6分） 【详解】解：； ； 17．（6分） 【详解】解：证明，如下： 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角， ∴点必定在上． 18. （6分） 【详解】（1）由题意可知， ∴，即， 解得， ∴龙象塔的高度为52米； （2）在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，即． ∴米 ∴龙象塔的高度为52.5米； （3）答案不唯一，合理即可． 如：两种方案均可测量出龙象塔的高度；取平均值是减少误差的方式；方案一易受天气影响． 【点睛】本题考查了关于求塔高的实践与探究，熟练掌握相似三角形的性质和锐角三角函数并进行实际应用是解题的关键． 19. （8分） 【详解】（1）解：（人）； 故答案为30； （2）C等级的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （3）解：30个数据按大小顺序排列，最中间的两个是第15、16个， ， 中位数是应该在B等级从小到大排序的数据的第7和第8个的平均数， 即中位数是； 故答案为：85； （4）解：（人）， 即估计成绩为A等级的人数为120人． 20. （8分） 【详解】（1）解：把代入得， ， 把代入得， 点的坐标为， 把和代入得： ， 解得：， ， ． （2）解：令时，则， 解得， 点的坐标为， ． 21. （8分） 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ． ， ． ． ∴, ， ． 是的半径， 是的切线； （2）解：在中， ，， ， ． 即的半径为6． ， ， ． ，， ∴， ∴， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定和性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 22. （10分） 【详解】（1）解：如图，以所在的直线为轴，以线段垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 由题意知：B点坐标为，D点坐标为， 设主桥洞的关系式为， 将代入中，得， 解得：， ∴主桥洞的关系式为； （2）解：如图：过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形为矩形， 由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，船可以从桥洞正中间通过， 由（2）知，船中心的横坐标为， ∵船宽为， ∴船从正中间通过时最左侧的横坐标为， 当时，， ∵， ∴渔船能顺利通过右侧第一个小桥洞． 23. （11分） 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵与重合， ∴， ∴将绕点顺时针方向旋转时，， ∴是等腰三角形， ∵旋转， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：第一种情况，如图所示，点在上时， ∴，，， ∴， 在中，， 由（1）可得，， ∴； 第二种情况，如图所示，点在延长线时， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：能，或，理由如下， 第一种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形， 由（1）可得，，， ∴设， ∵旋转， ∴， ∴是等腰三角形， 过点作于点，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，点是中点， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，（负值舍去）， ∴； 第二种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形， ∵与重合， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴， 过点作与点， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 综上所述，能构成以为直角边的，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，中位线的判定和性质等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 24. （12分） 【详解】（1）解：根据题意得，抛物线是由抛物线向下平移1个单位得到的，如图， 故可得，； （2）解：①∵， ∴抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②存在最大面积； 过点P作于点N，交于点M．如图， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴时，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的值最大时，的值最大，的面积最大， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，的最大值， ∴的最大值， ∴的面积最大值为：，此时； ③设，则， 当点N在抛物线上时，， ∴， 解得，， ∵线段与抛物线有交点， ∴满足条件的点M的横坐标的取值范围为：或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（湖北专用） 考情速递 中考·新动向：1.基础与能力并重：试卷中基础题（如正负数表示方向、不等式组解集）与综合题（如二次函数与几何结合）比例均衡，体现 “基础为根，能力为核” 的命题导向。2.跨学科融合：第4题结合物理光线折射、第 22 题结合桥梁工程抛物线应用，强化数学与科学、工程的联系，呼应新课标 “学科交叉” 要求。3.图文结合常态化：全卷 17 道题中 13 道含图形或表格，如第 18 题测量数据表格、第 23 题动态旋转示意图，考查学生从非文字信息中提取关键数据的能力。4.情境化设问：第 6 题邮票概率、第 13 题机器狗速度、第 22 题石拱桥问题均以生活或科技为背景，突出数学实用性。 中考·新考法：1.第10题二次函数综合：在传统对称轴、开口方向等考点基础上，结合方程根的判别式（结论⑤）和不等式恒成立（结论④），要求学生综合代数与几何性质进行逻辑推理。2.第18题实践探究：将相似三角形与三角函数结合，通过方案对比（影子测量和仰角测量），考查数学建模与误差分析能力。3.第 23 题旋转几何：融合矩形性质、相似三角形和勾股定理，通过动态旋转构建分类讨论模型，突破传统静态几何框架。4.第 24 题函数与几何综合：以抛物线为载体，结合几何最值（面积最大）和动态点轨迹（点 N 在抛物线上），考查代数与几何的深度融合。 中考·新情境：1.第 15 题正方形对角线与角平分线：通过构造辅助线和相似三角形，将几何证明与代数计算结合，需学生灵活转化条件。2.第 21 题圆与切线：以渔船过桥为背景，将抛物线高度计算与实际通行条件结合，体现数学在生活中的决策作用。3.第 18 题实践评价：要求学生对两种测量方案进行优缺点分析，答案不唯一，培养批判性思维。4.第 24 题动态点轨迹：通过参数化点 M 的坐标，探索线段与抛物线交点的存在性，渗透函数与方程的动态思想。 命题·大预测：1.跨学科融合深化：如数学与物理、工程的结合（如光线折射、桥梁设计）将成为高频考点。2.动态几何与函数主导压轴题：类似第 23、24 题的旋转几何、轨迹分析题目将持续作为区分度题型。3.数据处理与情境分析比重增加：第 19 题统计图表、第 22 题测量数据题提示未来会更注重学生信息提取与应用能力。4.强化模型意识：针对生活情境（如概率、测量）和科技情境（如机器人、工程），加强数学建模训练。5.重视几何代数化：掌握通过坐标系、方程解决几何问题的方法（如第 23 题用勾股定理列方程）。6.提升分类讨论能力：关注动态问题中的多解情况（如第 23 题点 E 的位置分类、第 24 题点 M 的取值范围）。 本卷体现中考数学命题 “基础为基、应用为核、创新为翼” 的特点，未来将更注重知识迁移、跨学科整合和复杂情境下的问题解决能力。备考需紧扣课标，强化综合思维与实践应用。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，小球左端固定在弹簧上，若小球从静止位置向右，记作，则小球从静止位置向左，记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用正负数来表示具有相反意义的量，明确方向与符号的对应关系（右为，左为）是解题的关键．以静止位置为原点，向右为正方向（），向左为负方向（）． 【详解】解：小球从静止位置向右，记作， 小球从静止位置向左，记为， 故选：B． 2．中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的主视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的三视图．从正面观看立体图形即可得到． 【详解】 解：从正面观看立体图形可得主视图为：， 故选：A． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除，根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 4．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从空气射入水中要发生折射．物理课上，小军手持一激光笔射入水中，如图，水面与水杯下沿平行，光线从空气射入水中，发生折射，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，即可求出，进而求出答案，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质． 【详解】解：如下图，由题意得：， ， ， ， ， ， 故选：B． 5．不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解不等式组，把不等式组的解集表示在数轴上，掌握不等式的性质，不等式组的解集的取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质求出不等式的解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解集，并把解决表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解①得，， 解②得， ∴不等式的解集为， 表示在数轴上如图所示， 故选：B ． 6．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给朋友小亮，小明将它们背面朝上放在案面上（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了树状图法，概率公式，画树状图，共有12种等可能的结果，其中小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票分别记为A、B、C、D， 画树状图如下， 由树状图知，共有12种等可能的结果，其中小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的结果有2种， ∴小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是， 故选：B． 7．我国明代数学著作《算法统宗》里有：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．几多醇酒几多薄？”其大意是：醇酒一瓶能醉倒三位客人，薄酒三瓶才能醉倒一人，位客人共喝了瓶酒，最后都醉倒了，请问醇酒和薄酒各有多少瓶？设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设醇酒有瓶，薄酒有瓶， 由题意得，， 故选：． 8．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线和交于点；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点：③分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，和交于点，连接．若，，则的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据基本作图可知，，可证明，同时由作图可知，即可根据三角形中位线定理求得答案． 【详解】解：由作图步骤①可知，是边的垂直平分线， ， 由作图步骤②可知，，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线和角平分线的尺规作图，三角形中位线定理，等腰三角形的三线合一性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9．如图，半径为2的的弦，且于点，连接、，则的长为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，连接，，根据，可得，所以，由，可得，所以，即可求出． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10．如图，二次函数 与轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为，对称轴为．下列结论：①；② ；③ ；④ 若m是不等于1的实数，则恒成立；⑤无论取何值，方程均有两个不相等的实数根．其中正确的有（     ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，利用二次函数的性质，结合图象，逐一判断即可，根据图象并结合已知条件进行正确分析是解题的关键． 【详解】解：根据抛物线开口向下，可得，根据对称轴为，可得，根据抛物线与轴交于正半轴，可得， ，故①正确； A点坐标为，对称轴为， 点的横坐标为， ， 把代入抛物线解析式可得，故②正确； ， ， ， ， ，故③错误； 抛物线在时取最大值，为， m是不等于1的实数， ，即，故④错误； ， 整理可得， ， 无论取何值，方程均有两个不相等的实数根，故⑤正确； 故正确的为①②⑤， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小3分，共15分。 11．写出一个大小在和之间的整数是 ． 【答案】（答案不唯一，5,6都可以） 【分析】本题考查了立方根，无理数的估算，熟练掌握估算的基本方法是解题的关键．求出，估算，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴符合题意的整数是：或或， 故答案为：． 12．一组数据5，2，5，7，6的方差为 ． 【答案】2.8 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义与计算公式．先计算出这组数据的平均数，再根据方差的定义列式计算即可． 【详解】解：这组数据的平均数为， 这组数据的方差为， 故答案为：2.8． 13．如图机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度v是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故答案为：9． 14．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，据此计算即可． 【详解】解：． 故答案为：1． 15．如图，正方形的对角线与相交于点的角平分线分别交于两点．若，则 ．线段的长为 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，由正方形的性质得出，由角平分线定义得出，根据三角形内角和定理得出；过M点作，根据等腰直角三角形的性质求出长，再根据角平分线性质可得长，由此得到正方形的边长，求出和长，根据得到得出，从而可求长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ 又是对角线， ∴ ∵是的平分线， ∴ ∴； 过M点作，如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴正方形边长， ∴正方形对角线，． ∴． ∵， ∴． ∴，即， 解得, 故答案为：；． 三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（6分） 计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了负整数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先化简二次根式，绝对值，计算负整数幂，代入特殊角锐角三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可求解； 【详解】解：； ； 17．（6分） 浙江的崧厦素有“中国伞城”之誉称．伞业公司所制作的纸伞，其工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，如果伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，就能保证伞圈能沿着伞柄滑动．已知，．求证：点必定在上． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的应用，理解题意确定出全等三角形以及全等的条件是解题的关键，根据确定全等的条件进行判定，即可得解． 【详解】解：证明，如下： 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角， ∴点必定在上． 18. （6分） 综合与实践 【问题情境】龙象塔位于南宁市青秀山风景区，取“水行龙力大，陆行象力大”之意．某校数学实践小组利用所学数学知识测量龙象塔的高度． 【实践探究】下面是两个方案及测量数据： 项目 测量龙象塔的高度 方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离，仰角α，仰角β． 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 1.61 m 1.59 m 1.6 m β 26.4° 26.6° 26.5° 1.18 m 1.22 m 1.2 m α 37.1° 36.9° 37° 38.9 m 39.1 m 39 m 34.8 m 35.2 m 35 m 【问题解决】 (1)根据“方案一”的测量数据，直接写出龙象塔的高度； (2)根据“方案二”的测量数据，求出龙象塔的高度；（参考数据：，，，，，） (3)请对本次实践活动进行评价（一条即可）． 【答案】(1)52米 (2)52.5米 (3)见解析 【分析】（1）由题意可知，从而得出，代入测量的平均值进行求解即可； （2）根据锐角三角函数的正切值分别得出，，再根据进行求解即可； （3）根据实践的结果进行合理评价即可． 【详解】（1）由题意可知， ∴，即， 解得， ∴龙象塔的高度为52米； （2）在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，即． ∴米 ∴龙象塔的高度为52.5米； （3）答案不唯一，合理即可． 如：两种方案均可测量出龙象塔的高度；取平均值是减少误差的方式；方案一易受天气影响． 【点睛】本题考查了关于求塔高的实践与探究，熟练掌握相似三角形的性质和锐角三角函数并进行实际应用是解题的关键． 19. （8分） 某校为了解八年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校八年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数， 分为四个等级：D： ， C：， B： ，A：）， 部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据(单位：分)如下：80，81，82，83，84，84，84，86，86， 86， 88， 89． 请根据以上信息，解答下列问题； (1)本次被抽取的学生人数为_______人： (2)补全频数直方图； (3)所抽取的学生成绩的中位数是______； (4)该校八年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 【答案】(1)30 (2)见解析 (3)85 (4)120人 【分析】本题主要考查中位数以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据B组的人数和占比求出抽取学生总数， （2）求出C等级的人数，并补全频数分布直方图； （3）根据中位数定义求解即可； （4）先求出样本中A等级人数的占比，再乘以360即可得出结论． 【详解】（1）解：（人）； 故答案为30； （2）C等级的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （3）解：30个数据按大小顺序排列，最中间的两个是第15、16个， ， 中位数是应该在B等级从小到大排序的数据的第7和第8个的平均数， 即中位数是； 故答案为：85； （4）解：（人）， 即估计成绩为A等级的人数为120人． 20. （8分） 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点C，连接． (1)求k，b，n的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解答本题的关键． （1）把代入求出k，把代入求出，再把和代入求解即可； （2）根据直线解析式求出点C的坐标得到长，依据，进而计算即可得解． 【详解】（1）解：把代入得， ， 把代入得， 点的坐标为， 把和代入得： ， 解得：， ， ． （2）解：令时，则， 解得， 点的坐标为， ． 21. （8分） 如图，在△ABC中，，以边为直径作交于点，过点作于点，，的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，且，求的半径与线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为6， 【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用直角三角形的边角关系定理列出比例式即可求得圆的半径，利用相似三角形的判定和性质列出比例式即可求得的长． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ． ， ． ． ∴, ， ． 是的半径， 是的切线； （2）解：在中， ，， ， ． 即的半径为6． ， ， ． ，， ∴， ∴， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定和性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 22. （10分） 图1所示是温州南塘河面上的一座石拱桥，已知其桥洞均可近似看作形状相同的抛物线．经测量，在正常水位时，主桥洞顶端离水面，水面宽度；右侧第一个小桥洞顶端离主桥洞顶端的水平长度为，铅直高度为．图2所示为主桥洞和右侧第一个小桥洞的截面图． (1)在图2中建立适当的平面直角坐标系，求出主桥洞的函数关系式 (2)在（1）坐标系前提下，直接写出第一个小桥洞的函数关系式 (3)水位正常时，一艘长，宽，高的渔船能否顺利通过右侧第一个小桥洞？请通过计算说明． 【答案】(1)平面直角坐标系见解析，； (2)； (3)渔船能顺利通过右侧第一个小桥洞，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，矩形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）以所在的直线为轴，以线段垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求解函数解析式即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形为矩形，求出点，即可求解； （3）船宽为，船从正中间通过时最左侧的横坐标为，求出当时，，，即可得答案． 【详解】（1）解：如图，以所在的直线为轴，以线段垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 由题意知：B点坐标为，D点坐标为， 设主桥洞的关系式为， 将代入中，得， 解得：， ∴主桥洞的关系式为； （2）解：如图：过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形为矩形， 由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，船可以从桥洞正中间通过， 由（2）知，船中心的横坐标为， ∵船宽为， ∴船从正中间通过时最左侧的横坐标为， 当时，， ∵， ∴渔船能顺利通过右侧第一个小桥洞． 23. （11分） 如图1，在矩形中，，连接与重合，将绕点顺时针方向旋转，连接，． (1)旋转过程中一定是等腰三角形的三角形有______，的值为______． (2)如图2，当点落在对角线上时，求的长． (3)连接，试探究能否构成以为直角边的，若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的长为或 (3)能，或，理由见详解 【分析】（1）根据矩形，旋转的性质即可得到是等腰三角形，再证，得到，即可求解； （2）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，点在上时，；第二种情况，如图所示，点在延长线时，，，即；根据勾股定理，相似三角形的判定和性质即可求解； （3）分类讨论：第一种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形，由等腰三角形的判定和性质，勾股定理得到，，由此列式可解；第二种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形，根据等腰三角形的判定和性质得到四边形是矩形，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵与重合， ∴， ∴将绕点顺时针方向旋转时，， ∴是等腰三角形， ∵旋转， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：第一种情况，如图所示，点在上时， ∴，，， ∴， 在中，， 由（1）可得，， ∴； 第二种情况，如图所示，点在延长线时， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：能，或，理由如下， 第一种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形， 由（1）可得，，， ∴设， ∵旋转， ∴， ∴是等腰三角形， 过点作于点，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，点是中点， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，（负值舍去）， ∴； 第二种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形， ∵与重合， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴， 过点作与点， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 综上所述，能构成以为直角边的，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，中位线的判定和性质等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 24. （12分） 在平面直角坐标系中，如图1，抛物线与轴交于两点，且． (1)若抛物线与轴交于两点，坐标分别为，且．直接写出的大小关系． (2)当时，抛物线与轴交于点，作直线． ①求抛物线的解析式． ②如图2，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． ③如图3，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②存在最大值，的面积最大值为：，此时；③满足条件的点M的横坐标的取值范围为：或 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题． （1）运用图象法求解即可； （2）①利用待定系数法转化为方程组求解； ②过点P作于点N，交于点M．证明是等腰直角三角形，推出，求出的最大值，可得结论； （3）设，则，求出点N在抛物线上时a的值，可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得，抛物线是由抛物线向下平移1个单位得到的，如图， 故可得，； （2）解：①∵， ∴抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②存在最大面积； 过点P作于点N，交于点M．如图， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴时，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的值最大时，的值最大，的面积最大， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，的最大值， ∴的最大值， ∴的面积最大值为：，此时； ③设，则， 当点N在抛物线上时，， ∴， 解得，， ∵线段与抛物线有交点， ∴满足条件的点M的横坐标的取值范围为：或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$