10.3.1 建立方程组模型解决实际问题 课堂练习 2024-2025学年人教版数学七年级下册

10.3.1 建立方程组模型解决实际问题 1.某市在创建全国卫生文明城市建设中,对城内的部分河道进行整治.现有一段长360 m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成.甲工程队每天整治16 m,乙工程队每天整治24 m,共用时20天.求甲、乙两工程队分别整治河道多少米? (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下: ①小明同学:设整治任务完成后甲工程队整治河道x m,乙工程队整治河道y m. 根据题意,得 ②小华同学:设整治任务完成后,m表示　 ,n表示　 . 则可列方程组为 请你补全小明、小华两位同学的解题思路; (2)请从①②中任选一个解题思路,写出完整的解答过程. 2.某工程队承包了某段过江隧道施工任务,甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进.已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6 m,经过5天施工,两组共掘进了45 m.求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米; 3.在400 m的环形跑道上,甲、乙两人从同一起点同时出发做匀速运动.若反向而行,40 s后两人第一次相遇;若同向而行,200 s后甲第一次追上乙. (1)求甲、乙两人的速度; (2)若甲、乙同向而行时,丙也在跑道上匀速前行,且与甲、乙的方向一致.出发后20 s甲追上丙,出发后100 s乙追上丙,请问出发时,丙在甲、乙前方多少米?丙的速度是多少? 4.《九章算术》中有这样一道题:“今有善行者一百步,不善行者六十步.今不善行者先行一百步,善行者追之,问几何步及之?”意思是:走路快的人走100步时,走路慢的人只走60步,走路慢的人先走100步,走路快的人要走多少步才能追上?设走路快的人走m步才能追上走路慢的人,此时走路慢的人走了n步,则可列方程组为( ) A. B. C. D. 5.今年“五一黄金周”,长江三峡沿途旅游再一次风靡全国,其中忠县石宝寨风景区更是人山人海.“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270 km的重庆与石宝寨两地之间匀速航行.从重庆到石宝寨顺流航行需9 h,石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5 h. (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度; (2)若在重庆港口、石宝寨两地之间需建新码头便于游客休息观光,使该客轮从重庆港口到新码头和从石宝寨到新码头所用的航行时间相同,求重庆港口与新码头两地相距多少千米. 6.某校七年级为了表彰“数学素养水平测试”中表现优秀的同学,准备用480元钱购进笔记本作为奖品.若A种笔记本买20本,B种笔记本买30本,则钱还缺40元;若A种笔记本买30本,B种笔记本买20本,则钱恰好用完. (1)求A,B两种笔记本的单价; (2)由于实际情况,需要增加购买单价为6元的C种笔记本若干本.若购买A,B,C三种笔记本共75本,钱恰好全部用完,则C种笔记本购买了多少本? 7.《九章算术》中有“盈不足术”的问题:今有共买牛,人出三十,不足三百五;人出六十,不足五十,问人数、牛价各几何?大意为:若干人共同出资买牛,每人出30元,则差350元;每人出60元,则差50元.那么人数为　 　人,牛价为　 　元. 8.某商场为庆祝“三八”妇女节,对顾客的购物实行优惠,规定:(1)一次购物不超过100元不优惠;(2)一次购物超过100元,但不超过300元,按标价的九折优惠;(3)超过300元,300元内(含300元)的部分按(2)优惠,超过300元的部分按八折优惠.李老师去购物享受了九折优惠,与李老师一起去购物的张老师享受了部分八折优惠.如果两位老师把要购买的东西由一人前去柜台交款,则还可少花19元;如果不打折,两位老师所购商品共比现在多花67元.问两位老师此次购物各用了多少钱? 9.某地需要将一段长为180 m的河道进行整修,整修任务由A,B两个工程队先后接力完成.已知A工程队每天整修12 m,B工程队每天整修8 m,共用时20天.问A,B两个工程队整修河道分别工作了多少天? 10.甲、乙两地相距160 km,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,经过1 h 20 min相遇.相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1 h后调转车头原速返回,在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米? 11.近日,被市民们亲切地称为“背篓专线”的重庆轻轨4号线受到人们的关注.某天张大爷乘坐“背篓专线”将自己种植的新鲜水果樱桃和枇杷拿去市区售卖,已知2斤樱桃和3斤枇杷共可卖95元,3斤樱桃和2斤枇杷共可卖105元. (1)请问张大爷售卖的樱桃和枇杷每斤的售价各为多少元? (2)张大爷这天一共有20斤樱桃和30斤枇杷,经过一天的售卖,樱桃售出了樱桃总量的70%,枇杷售出了枇杷总量的,由于天气炎热,在剩下的樱桃中出现了m%的损坏不能售卖.张大爷决定对剩下未损坏的樱桃打8折销售,剩下的枇杷直接每斤降价m元,很快便将所有水果销售一空,张大爷这天卖水果一共收入了889元,求m的值. 12.母亲节期间,商场为了促进消费,推出赠送优惠券活动.其中优惠券分为如下三种类型: A型 B型 C型 满368减100 满168减68 满50减20 在此次活动中,小温领到了三种不同类型的优惠券若干张,准备给妈妈买礼物. (1)若小温同时使用三种不同类型的优惠券消费,共优惠了520元,已知她用了1张A型优惠券,4张C型优惠券,则她用了　 　张B型优惠券; (2)若小温同时使用了A,B型优惠券共5张,共优惠了404元,那么她使用了A,B型优惠券各几张? (3)若小温共领到三种不同类型的优惠券各16张(部分未使用),她同时使用A,B,C型中的两种不同类型的优惠券消费,共优惠了708元,请问有哪几种优惠券使用方案?(请写出具体解题过程) 答案： 10.3.1 建立方程组模型解决实际问题 1.某市在创建全国卫生文明城市建设中,对城内的部分河道进行整治.现有一段长360 m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成.甲工程队每天整治16 m,乙工程队每天整治24 m,共用时20天.求甲、乙两工程队分别整治河道多少米? (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下: ①小明同学:设整治任务完成后甲工程队整治河道x m,乙工程队整治河道y m. 根据题意,得 ②小华同学:设整治任务完成后,m表示　 ,n表示　 . 则可列方程组为 请你补全小明、小华两位同学的解题思路; (2)请从①②中任选一个解题思路,写出完整的解答过程. 解：（1） 甲工程队工作的天数　 乙工程队工作的天数　 解:(2)选择①. 解方程组解得 或选择②. 解方程组解得 ∴甲工程队整治的河道长度为15×16=240(m), 乙工程队整治的河道长度为5×24=120(m). 答:甲工程队整治河道240 m,乙工程队整治河道120 m. 2.某工程队承包了某段过江隧道施工任务,甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进.已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6 m,经过5天施工,两组共掘进了45 m.求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米; 解:设甲、乙两个班组平均每天各掘进x m,y m, 根据题意,得 解得 答:甲、乙两个班组平均每天各掘进4.8 m,4.2 m. 3.在400 m的环形跑道上,甲、乙两人从同一起点同时出发做匀速运动.若反向而行,40 s后两人第一次相遇;若同向而行,200 s后甲第一次追上乙. (1)求甲、乙两人的速度; (2)若甲、乙同向而行时,丙也在跑道上匀速前行,且与甲、乙的方向一致.出发后20 s甲追上丙,出发后100 s乙追上丙,请问出发时,丙在甲、乙前方多少米?丙的速度是多少? 解:(1)设甲、乙两人的速度分别为x m/s,y m/s, 根据题意,得解得 答:甲、乙两人的速度分别为6 m/s,4 m/s. (2)设出发时,丙在甲、乙前方a m,丙的速度是b m/s, 根据题意,得解得 答:出发时,丙在甲、乙前方50 m,丙的速度是3.5 m/s. 4.《九章算术》中有这样一道题:“今有善行者一百步,不善行者六十步.今不善行者先行一百步,善行者追之,问几何步及之?”意思是:走路快的人走100步时,走路慢的人只走60步,走路慢的人先走100步,走路快的人要走多少步才能追上?设走路快的人走m步才能追上走路慢的人,此时走路慢的人走了n步,则可列方程组为( A ) A. B. C. D. 5.今年“五一黄金周”,长江三峡沿途旅游再一次风靡全国,其中忠县石宝寨风景区更是人山人海.“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270 km的重庆与石宝寨两地之间匀速航行.从重庆到石宝寨顺流航行需9 h,石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5 h. (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度; (2)若在重庆港口、石宝寨两地之间需建新码头便于游客休息观光,使该客轮从重庆港口到新码头和从石宝寨到新码头所用的航行时间相同,求重庆港口与新码头两地相距多少千米. 解:(1)设该客轮在静水中的速度是x km/h,水流速度是y km/h,依题意,得 解得 答:该客轮在静水中的速度是25 km/h,水流速度是5 km/h. (2)设重庆港口与新码头两地相距a km,则石宝寨与新码头两地相距 km, 依题意,得=,解得a=162. 答:重庆港口与新码头两地相距162 km. 6.某校七年级为了表彰“数学素养水平测试”中表现优秀的同学,准备用480元钱购进笔记本作为奖品.若A种笔记本买20本,B种笔记本买30本,则钱还缺40元;若A种笔记本买30本,B种笔记本买20本,则钱恰好用完. (1)求A,B两种笔记本的单价; (2)由于实际情况,需要增加购买单价为6元的C种笔记本若干本.若购买A,B,C三种笔记本共75本,钱恰好全部用完,则C种笔记本购买了多少本? 解:(1)设A种笔记本的单价为x元,B种笔记本的单价为y元, 依题意,得解得 答:A种笔记本的单价为8元,B种笔记本的单价为12元. (2)设购买A种笔记本m本,B种笔记本n本,则购买C种笔记本(75-m-n)本, 依题意,得8m+12n+6(75-m-n)=480, ∴m+3n=15,则m=15-3n, ∴购买C种笔记本(60+2n)本. ∵m,n均为正整数, ∴m=12,n=1或m=9,n=2或m=6,n=3或m=3,n=4, ∴60+2n=62或64或66或68. 答:C种笔记本购买了62本或64本或66本或68本. 7.《九章算术》中有“盈不足术”的问题:今有共买牛,人出三十,不足三百五;人出六十,不足五十,问人数、牛价各几何?大意为:若干人共同出资买牛,每人出30元,则差350元;每人出60元,则差50元.那么人数为　 10 　人,牛价为　 650 　元. 8.某商场为庆祝“三八”妇女节,对顾客的购物实行优惠,规定:(1)一次购物不超过100元不优惠;(2)一次购物超过100元,但不超过300元,按标价的九折优惠;(3)超过300元,300元内(含300元)的部分按(2)优惠,超过300元的部分按八折优惠.李老师去购物享受了九折优惠,与李老师一起去购物的张老师享受了部分八折优惠.如果两位老师把要购买的东西由一人前去柜台交款,则还可少花19元;如果不打折,两位老师所购商品共比现在多花67元.问两位老师此次购物各用了多少钱? 解:设李老师按原标价购物共用x元,则实际支付0.9x元;张老师按原标价购物共用y元,实际支付了[300×0.9+0.8(y-300)]元,即(0.8y+30)元. 若两位老师一起支付,则所付费用为[300×0.9+0.8(x+y-300)]元,即(0.8x+0.8y+30)元. 根据题意, 得 解得 ∴李老师实际支付0.9×190=171(元), 张老师实际支付0.8×390+30=342(元). 答:李老师购物用了171元,张老师购物用了342元. 9.某地需要将一段长为180 m的河道进行整修,整修任务由A,B两个工程队先后接力完成.已知A工程队每天整修12 m,B工程队每天整修8 m,共用时20天.问A,B两个工程队整修河道分别工作了多少天? 解:设A工程队整修河道工作了x天,B工程队整修河道工作了y天. 由题意,得解得 答:A工程队整修河道工作了5天,B工程队整修河道工作了15天. 10.甲、乙两地相距160 km,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,经过1 h 20 min相遇.相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1 h后调转车头原速返回,在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米? 解:设汽车每小时行驶x km,拖拉机每小时行驶y km. 根据题意,得解得 汽车行驶路程:90×=165(km), 拖拉机行驶路程:30×=85(km). 答:汽车行驶了165 km,拖拉机行驶了85 km. 11.近日,被市民们亲切地称为“背篓专线”的重庆轻轨4号线受到人们的关注.某天张大爷乘坐“背篓专线”将自己种植的新鲜水果樱桃和枇杷拿去市区售卖,已知2斤樱桃和3斤枇杷共可卖95元,3斤樱桃和2斤枇杷共可卖105元. (1)请问张大爷售卖的樱桃和枇杷每斤的售价各为多少元? (2)张大爷这天一共有20斤樱桃和30斤枇杷,经过一天的售卖,樱桃售出了樱桃总量的70%,枇杷售出了枇杷总量的,由于天气炎热,在剩下的樱桃中出现了m%的损坏不能售卖.张大爷决定对剩下未损坏的樱桃打8折销售,剩下的枇杷直接每斤降价m元,很快便将所有水果销售一空,张大爷这天卖水果一共收入了889元,求m的值. 解:(1)设张大爷售卖的樱桃每斤的售价为x元,枇杷每斤的售价为y元, 根据题意,得解得 答:张大爷售卖的樱桃每斤的售价为25元,枇杷每斤的售价为15元. (2)根据题意,得25×20×70%+25×0.8×20×(1-70%)× (1-m%)+15×30×+(15-m)×30×=889, 解得m=5. 答:m的值为5. 12.母亲节期间,商场为了促进消费,推出赠送优惠券活动.其中优惠券分为如下三种类型: A型 B型 C型 满368减100 满168减68 满50减20 在此次活动中,小温领到了三种不同类型的优惠券若干张,准备给妈妈买礼物. (1)若小温同时使用三种不同类型的优惠券消费,共优惠了520元,已知她用了1张A型优惠券,4张C型优惠券,则她用了　5 　张B型优惠券; (2)若小温同时使用了A,B型优惠券共5张,共优惠了404元,那么她使用了A,B型优惠券各几张? (3)若小温共领到三种不同类型的优惠券各16张(部分未使用),她同时使用A,B,C型中的两种不同类型的优惠券消费,共优惠了708元,请问有哪几种优惠券使用方案?(请写出具体解题过程) 解:(2)设她使用了A型优惠券x张,B型优惠券y张.根据题意,得 解得 答:她使用了A型优惠券2张,B型优惠券3张. (3)设小温使用了A型优惠券a张,B型优惠券b张,C型优惠券c张. 根据题意,分三种情况: ①若使用了A,B两种类型的优惠券, 得100a+68b=708, 化简,得25a+17b=177. ∵a,b为正整数,且a≤16,b≤16, ∴可取a=3,b=6; ②若使用了B,C两种类型的优惠券, 得68b+20c=708, 化简,得17b+5c=177. ∵b,c为正整数,且b≤16,c≤16, ∴可取b=6,c=15; ③若使用了A,C两种类型的优惠券, 得100a+20c=708, 化简,得25a+5c=177. ∵a,c为正整数,且a≤16,c≤16, 此时a,c无解. 综上,有两种优惠券使用方案: ①使用A型优惠券3张,B型优惠券6张; ②使用B型优惠券6张,C型优惠券15张. 学科网（北京）股份有限公司 $$