专题01 平面向量及其应用（六大题型）（陕西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编

专题01 平面向量及其应用 题型概览 题型01平面向量的概念 题型02数量积的性质及其运算 题型03线性运算 题型04向量共线 题型05数量积的坐标表示 题型06正弦定理、余弦定理 ( 题型 01 01 ) 平面向量的概念 1．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知四边形中，，并且，则四边形是（    ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 【答案】A 【分析】由，得到四边形为平行四边形，再由，得到，得出四边形为菱形. 【详解】由题意，四边形中， 因为，可得且，所以四边形为平行四边形， 又因为，可得， 所以四边形为菱形. 故选：A. 2．（23-24高一下·陕西西安·期中）在等腰中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，结合平面向量的概念即可求解. 【详解】因为为等腰直角三角形，，所以， 故向量与的夹角为． 故选：D 3．（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）下列说法正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C．模为1的向量都是相等向量 D．向量的模可以比较大小 【答案】D 【分析】由向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故A错； 由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故B错； 长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模长为1的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故C错； 向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故D正确. 故选：D. ( 题型02 ) 数量积的性质及其运算 4．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知平面向量满足，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用向量数量积的运算律求解即得.. 【详解】. 故选：C. 5．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知是外接圆的圆心，，，则（    ） A．10 B．12 C．20 D．5 【答案】A 【分析】根据给定条件，可得，再利用数量积的运算律及数量积的定义求解即得. 【详解】依题意，，则， 作，垂足为，则为的中点，， 同理，所以． 故选：A    6．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知，是两个单位向量，且与的夹角为 (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数量积的定义直接求解即可； （2）结合数量积的运算律，利用向量模的性质求解即可. 【详解】（1）因为，是两个单位向量，且与的夹角为， 所以； （2）. ( 题型03 ) 线性运算 7．（23-24高一下·陕西礼泉县·期中）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标表示列式计算. 【详解】根据向量线性运算的坐标表示，得. 故选：A 8．（23-24高一下·陕西西安第八十五中学·期中）已知，，． (1)若，求，； (2)若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示可得，即可求解； （2）设，根据平面向量线性运算的坐标表示和建立关于x、y的方程组即可求解. 【详解】（1）依题意得，， 则，所以， 所以，． （2）由（1）知，，所以． 设点的坐标为，则， 因为，所以，， 所以，，故点的坐标为． ( 题型04 ) 向量共线 9．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由列方程求解即可 【详解】因为，，且， 所以，即． 故选：B 10．（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知向量，，若，则实数 . 【答案】/ 【分析】结合向量共线的性质，即可求解. 【详解】因为向量，，且，则，解得：； 故答案为： 11．（23-24高一下·陕西西安·期中）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据共线向量的坐标表示和基底的概念，结合选项依次判断即可. 【详解】对于A，因为，所以与不是共线向量，可以作为基底，故A正确； 对于B，因为，所以，不可以作为基底，故B错误； 对于C，因为，所以与不是共线向量，可以作为基底，故C正确； 对于D，因为，所以与不是共线向量，可以作为基底，故D正确． 故选：ACD 12．（23-24高一下·陕西西安奥林匹克花园学校·期中）已知向量，，，若B，C，D三点共线，则 ． 【答案】 【分析】根据题意求，结合向量共线的坐标运算求解. 【详解】由题意可得：， 若B，C，D三点共线，可知， 则，解得. 故答案为：. ( 题型0 5 )数量积的坐标表示 13．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知向量，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用数量积和横的坐标表示求出，再利用垂直关系的向量表示求解即得. 【详解】由向量，，得， 由，得， 所以. 故选：D 14．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）设，已知平面向量，且，则 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标公式计算即可。 【详解】因为，，所以，解得（正根舍去）。 故答案为： 15．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知向量，．若，则 ． 【答案】 【分析】首先求出，再根据及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，，所以， 又因为，所以，解得． 故答案为： 16．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，点分别是的中点．设． (1)用表示； (2)如果，请判断的位置关系？用向量方法证明你的结论． 【答案】(1)（1）； (2)，证明见解析 【分析】（1）根据向量的三角形法则以及中位线定理即可表示出， （2）设，则，．计算即可. 【详解】（1）由，可得， 又点分别是的中点， 则． （2），证明如下：设，则，． ． ∴，∴． ( 题型0 6 )正弦定理、余弦定理 17．（23-24高一下·陕西西安·期中）在中，角，，的对边分别是，，．若，，，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】借助余弦定理计算即可得. 【详解】根据余弦定理可得． 故选：A. 18．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）在中，角的对边分别为，且，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由余弦定理求出，再由数量积的定义计算可得. 【详解】因为， 由余弦定理得，又 所以. 故选：C 19．（23-24高一下·陕西西安·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，则由下列条件解三角形，其中只有一解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AB 【分析】根据三角形全等的判定方法即可判断A和B，根据余弦定理及一元二次方程的根的情况即可判断C和D． 【详解】对于A，因为，，， 则根据三角形全等（角边角）可知存在且唯一的，故A正确； 对于B，因为，，， 则根据三角形全等（边角边）可知存在且唯一的，故B正确； 对于C，由余弦定理有，即， 整理得，解得或， 所以满足条件的三角形有两个，故C错误； 对于D，由余弦定理有，即， 整理得，且，即无解， 所以此时三角形不存在，故D错误； 故选：AB． 20．（23-24高一下·陕西西安·期中）设的内角，，的对边分别为，，，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用余弦定理计算可得； （2）由（1）知，从而得到，再由三角恒等变换公式化简得到，结合的取值范围，计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理得， 又，所以，即； （2）由（1）知， 因为，所以， 所， 所以， 所以， 即，所以， ∵，所以，∴或， 即或，∴或． 21．（23-24高一下·陕西安康·期中）在中，，，，则的面积 . 【答案】 【分析】利用余弦定理及同角公式求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】在中，由余弦定理得， 则， 所以的面积. 故答案为： 22．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且，． (1)若，求，的值； (2)若的面积为，求的大小及的周长． 【答案】(1)， (2)或，周长为或 【分析】（1）由正弦定理计算得，根据，再次利用正弦定理计算得； （2）由三角形面积公式计算得，再由余弦定理计算得后，即可计算三角形周长. 【详解】（1）因为，所以，即， 又，所以， 因为，由正弦定理得，所以． （2）的面积，则， 因为，所以或． 当时，，得， 的周长为； 当时，，得， 的周长为． 综上，的周长为或． 23．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，求外接圆的面积. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用诱导公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得. （2）由（1）求出，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圆半径即得. 【详解】（1）依题意，， 所以函数的最小正周期； 由，得， 所以函数的单调递增区间是. （2）由（1）知，，而，则， 由，得，解得， 由余弦定理得， 则外接圆的半径， 所以外接圆的面积为. 24．（23-24高一下·陕西西安永寿县·期中）如图，城气象台测得台风中心从城正西方向600千米的处以每小时千米的速度向北偏东的方向移动，距台风中心千米的范围内为受台风影响的区域，若城受到这次台风的影响，那么城遭受这次台风影响的时长为（    ） A．10小时 B．20小时 C．小时 D．小时 【答案】B 【分析】利用余弦定理可得台风中心移动小时时离城的距离，然后列不等式求解即可. 【详解】台风中心从处开始移动小时，移动的距离为千米， 则台风中心移动小时时离城的距离为， 若城受到这次台风的影响，则， 得，解得， 所以城遭受这次影响的时长为小时. 故选：B. 25．（23-24高一下·陕西西安第八十五中学·期中）新疆国际大巴扎丝绸之路观光塔，是乌鲁木齐的地标性建筑．如图，某同学为测量观光塔的高度，在观光塔的正西方向找到一座高为40米的建筑物，在地面上点处（，，三点共线且在同一水平面上）测得建筑物的顶部的仰角为，测得观光塔的顶部的仰角为，在建筑物的顶部处测得观光塔的顶部的仰角为，则观光塔的高为（    ）    A．米 B．80米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】由题意可得，结合正弦定理计算即可求解. 【详解】由题意可得，米，， 则． 在中，由正弦定理可得， 即，解得米． 故选：B 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知向量，满足，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 故选：B 2．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知点为平面内不同的四点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算和坐标表示，即可求解. 【详解】由，可知， 即，即， . 故选：A 3．（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由静止得到，由向量的加法得到，进而得到. 【详解】因为该物体静止，所以，所以， 又因为，所以， 故选：B. 4．（23-24高一下·陕西西安·期中）记锐角的内角的对边分别为已知，设甲：；乙：的取值范围为，以下说法正确的是（    ） A．甲为真命题，乙为真命题 B．甲为真命题，乙为假命题 C．甲为假命题，乙为假命题 D．甲为假命题，乙为真命题 【答案】D 【分析】首先根据边角互化，结合三角函数恒等变换，化简求解，即可判断甲命题的真假，根据，再根据甲命题的结论，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由正弦定理可知，， 即, 即， 由，则，， 所以，即，故甲为假命题， , 因为是锐角三角形，所以，， 所以，则，所以的取值范围为，故乙正确. 故选：D 二、多选题 5．（23-24高一下·陕西西安·期中）关于平面向量，，下列命题中正确的有（    ） A．若，则存在，使得 B．若非零向量，满足，则 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据平面向量的知识逐一判断即可. 【详解】对于，由平面共线向量定理可知, 正确; 设 ，则 , 对于, 因为非零向量 满足 , 即，所以四边形为矩形， ，故 B正确; 对于 ， 因为在三角形中, 两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边, 故 , 故 正确， 错误. 故选: . 6．（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）若向量，则（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．与的夹角为 【答案】BC 【分析】用坐标表示出向量，用模长公式求出模长即可判断A选项；用向量坐标求向量的数量积判断B选项；由向量的投影向量的公式判断C选项；由坐标求出模长和向量的数量积，求出向量的夹角判断D选项. 【详解】由题， 所以，故A错； 又，故B正确； ，所以在上的投影向量为：，故C正确； 因为，又，所以，故D错误. 故选：BC. 7．（23-24高一下·陕西西安·期中）在中，，，，是的内切圆圆心，内切圆的半径为，则（    ） A． B． C．的外接圆半径为 D． 【答案】BCD 【分析】根据内心的定义即可求出，即可判断AD；利用余弦定理求出，再利用等面积法即可求出内切圆半径，即可判断B；利用正弦定理即可判断C. 【详解】因为内心是三角形内角平分线的交点， 所以在中，，A错误，D正确； 由余弦定理可得， 因为的面积， 所以，B正确； 设的外接圆半径为，则，故，C正确．    故选：BCD. 【点睛】方法点睛：已知三角形的两边及一角解三角形的方法： 先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解思路有两种： （1）利用余弦定理求出其它角； （2）利用正弦定理（已知两边和其中一边的对角）求解. 若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这个问题（在上，余弦值所对的角是唯一的），故用余弦定理较好. 8．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在长方形中，，点满足，其中，则的取值可以是（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】ABC 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到，，从而求出，求出值域。 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，则，，，， 设，因为，所以，即，，故，， 则， ，因为，所以. 故选：ABC    9．（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知非零向量，，，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．与向量共线的单位向量是 C．若，则或 D．若，是平面的一组基底，则，也能作为该平面的一组基底 【答案】ABD 【分析】利用向量共线定理判断A；求出与向量共线的单位向量判断B；利用向量相等的条件判断C；利用平面的一个基底的意义判断D. 【详解】对于A，非零向量，，，由，，则存在非零实数和，使得，，即，所以，故A正确； 对于B，与向量共线的单位向量是，故B正确； 对于C，若，只有与共线时，才有或，故C错误； 对于D，，是平面的一组基底，则，不共线， 假设向量，共线，则存在实数，使得， 即，显然，不同时为0，于是，共线，与，不共线矛盾，即假设不成立， 因此向量，不共线，即，也能作为该平面的一组基底，故D正确； 故选：ABD 三、解答题 10．（23-24高一下·陕西西安·期中）中，角所对的边分别为，设，，. (1)求函数的最大值及对应的值； (2)若，求的面积 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由平面向量的数量积与三角恒等变换知识计算可得，再结合三角函数的值域计算即可求得； （2）由题中条件计算可得，再由正弦定理得，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式计算即可求得． 【详解】（1）依题意 ， 因为，所以， 所以当，即时，有最大值； （2）因为，所以，所以， 即，因为，所以， 由正弦定理得， 所以，， 又因为，所以， 所以， 由余弦定理有， 即，所以， 所以． 11．（23-24高一下·陕西渭南·期中）如图所示，中，点为的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，，相交于点，设，. (1)用，表示，； (2)若，，求，的值. 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）由向量的线性运算及平面向量的基本定理，即可求解；（2）直接利用向量的线性运算和相等向量的充要条件，求出和即可. 【详解】（1）因为在中，点为的中点， 所以； 所以， 则 （2）因为， 又， 所以， 即，解得： 12．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知，. (1)求在上的投影向量的坐标. (2)若，，求证：、、三点共线. (3)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，直接求出在上的投影向量的坐标. （2）利用向量共线证明三点共线. （3）利用向量夹角公式，结合向量共线列式计算即得. 【详解】（1）依题意，在上的投影向量为. （2）依题意，不共线，由，，得， 即向量共线，且与有公共点， 所以、、三点共线. （3）依题意，，， 由与的夹角为钝角，得，且与不共线， 则且，解得，且， 所以实数的取值范围是. 13．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知，，分别为内角，，的对边. (1)若，，，为边上的点. ①当平分边时，求的长度. ②当平分时，求的长度. (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1)①；②； (2). 【分析】（1）①利用余弦定理求出，再利用余弦定理求出；②利用三角形面积公式列式计算即得. （2）利用正弦定理边化角，再利用差角的正弦公式及正切函数的性质求解即得. 【详解】（1）①在中，由余弦定理得， 则，，    在中，，解得； ②由得：， 即，所以. （2）在锐角中，，且，则， 由正弦定理得， 显然，即有，因此， 所以的取值范围. 14．（23-24高一下·陕西西安·期中）（1）利用向量的方法证明： （2）探索是否可以用向量法证明：在中，若，则，若可以，请给出详细证明过程. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）利用单位圆及平面向量的数量积公式证明即可； （2）利用三角形面积公式及平面向量数量积公式证明即可. 【详解】 （1） 如图所示，设分别是以横轴非负半轴为始边，终边与单位圆交于的角， 则， 所以，， 故 ，证毕. （2）可以利用向量法证明，如下： 由三角形面积公式可知：， 因为，所以， 所以， 所以 ， 所以，证毕. 【点睛】思路点睛：余弦的差角公式可利用平面向量数量积来求，根据其夹角的坐标表示计算即可；三角形面积公式的坐标形式也可利用平面向量数量积的坐标表示及同角三角函数的平方关系计算即可. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量及其应用 题型概览 题型01平面向量的概念 题型02数量积的性质及其运算 题型03线性运算 题型04向量共线 题型05数量积的坐标表示 题型06正弦定理、余弦定理 ( 题型 01 01 ) 平面向量的概念 1．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知四边形中，，并且，则四边形是（    ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 2．（23-24高一下·陕西西安·期中）在等腰中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）下列说法正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C．模为1的向量都是相等向量 D．向量的模可以比较大小 ( 题型02 ) 数量积的性质及其运算 4．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知平面向量满足，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 5．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知是外接圆的圆心，，，则（    ） A．10 B．12 C．20 D．5 6．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知，是两个单位向量，且与的夹角为 (1)求； (2)求. ( 题型03 ) 线性运算 7．（23-24高一下·陕西礼泉县·期中）设，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·陕西西安第八十五中学·期中）已知，，． (1)若，求，； (2)若，求点的坐标． ( 题型04 ) 向量共线 9．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知向量，，若，则实数 . 11．（23-24高一下·陕西西安·期中）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 12．（23-24高一下·陕西西安奥林匹克花园学校·期中）已知向量，，，若B，C，D三点共线，则 ． ( 题型0 5 )数量积的坐标表示 13．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知向量，.若，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）设，已知平面向量，且，则 15．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知向量，．若，则 ． 16．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，点分别是的中点．设． (1)用表示； (2)如果，请判断的位置关系？用向量方法证明你的结论． ( 题型0 6 )正弦定理、余弦定理 17．（23-24高一下·陕西西安·期中）在中，角，，的对边分别是，，．若，，，则（    ） A． B． C．3 D． 18．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）在中，角的对边分别为，且，，则（    ） A． B． C．2 D． 19．（23-24高一下·陕西西安·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，则由下列条件解三角形，其中只有一解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 20．（23-24高一下·陕西西安·期中）设的内角，，的对边分别为，，，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 21．（23-24高一下·陕西安康·期中）在中，，，，则的面积 . 22．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且，． (1)若，求，的值； (2)若的面积为，求的大小及的周长． 23．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，求外接圆的面积. 24．（23-24高一下·陕西西安永寿县·期中）如图，城气象台测得台风中心从城正西方向600千米的处以每小时千米的速度向北偏东的方向移动，距台风中心千米的范围内为受台风影响的区域，若城受到这次台风的影响，那么城遭受这次台风影响的时长为（    ） A．10小时 B．20小时 C．小时 D．小时 25．（23-24高一下·陕西西安第八十五中学·期中）新疆国际大巴扎丝绸之路观光塔，是乌鲁木齐的地标性建筑．如图，某同学为测量观光塔的高度，在观光塔的正西方向找到一座高为40米的建筑物，在地面上点处（，，三点共线且在同一水平面上）测得建筑物的顶部的仰角为，测得观光塔的顶部的仰角为，在建筑物的顶部处测得观光塔的顶部的仰角为，则观光塔的高为（    ）    A．米 B．80米 C．米 D．米 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知向量，满足，，则（    ） A． B． C．0 D．1 2．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知点为平面内不同的四点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·陕西西安·期中）记锐角的内角的对边分别为已知，设甲：；乙：的取值范围为，以下说法正确的是（    ） A．甲为真命题，乙为真命题 B．甲为真命题，乙为假命题 C．甲为假命题，乙为假命题 D．甲为假命题，乙为真命题 二、多选题 5．（23-24高一下·陕西西安·期中）关于平面向量，，下列命题中正确的有（    ） A．若，则存在，使得 B．若非零向量，满足，则 C． D． 6．（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）若向量，则（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．与的夹角为 7．（23-24高一下·陕西西安·期中）在中，，，，是的内切圆圆心，内切圆的半径为，则（    ） A． B． C．的外接圆半径为 D． 8．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在长方形中，，点满足，其中，则的取值可以是（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 9．（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知非零向量，，，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．与向量共线的单位向量是 C．若，则或 D．若，是平面的一组基底，则，也能作为该平面的一组基底 三、解答题 10．（23-24高一下·陕西西安·期中）中，角所对的边分别为，设，，. (1)求函数的最大值及对应的值； (2)若，求的面积 11．（23-24高一下·陕西渭南·期中）如图所示，中，点为的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，，相交于点，设，. (1)用，表示，； (2)若，，求，的值. 12．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知，. (1)求在上的投影向量的坐标. (2)若，，求证：、、三点共线. (3)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 13．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知，，分别为内角，，的对边. (1)若，，，为边上的点. ①当平分边时，求的长度. ②当平分时，求的长度. (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 14．（23-24高一下·陕西西安·期中）（1）利用向量的方法证明： （2）探索是否可以用向量法证明：在中，若，则，若可以，请给出详细证明过程. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$