2025年高考数学之数列求和的常见方法

数列求和的常见方法 一、目录 二、数列求和的常见方法 1 题型一、公式法求和 1 题型二、裂项相消法求和 3 题型三、错位相减法求和 6 题型四、分组（并项）法求和 9 题型五、倒序相加法求和 11 题型六、含绝对值的等差数列的前项和 13 三、巩固提升 16 二、数列求和的常见方法 题型一、公式法求和 例1.已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A.5 B.9 C. D. 【答案】A 【分析】设等比数列的公比为，根据所给条件及等比数列通项公式求出，再由求和公式计算可得. 【详解】设等比数列的公比为，显然， 由，即， 则，解得， 所以. 故选：A 例2.已知数列的前n项和为，满足，则=（ ） A.11 B.31 C.61 D.121 【答案】D 【分析】首先利用公式，判断数列是等比数列，再代入公式，即可求解. 【详解】令，得，得， 由， 当时，，两式相减得， ，即，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 故选：D. 变式训练1.已知数列满足（，），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据条件，利用等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】因为， 则， 故选：B. 变式训练2.已知数列为等比数列，，，则（ ） A.128 B.169 C.254 D.255 【答案】D 【分析】先求等比数列的首项和公比，再根据等比数列的求和公式求解. 【详解】设等比数列公比为，则. 由， 所以. 故选：D 变式训练3.设数列为等差数列，其前项和为，已知，则. 【答案】 【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 变式训练4.设等比数列的前项和为，若，且，则. 【答案】31 【分析】根据等比数列通项公式得，再求出，最后利用等比数列求和公式即可得到答案. 【详解】，即，显然，则，解得， ，解得， 则. 故答案为：31. 题型二、裂项相消法求和 例1.已知数列的前n项和，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】求出的通项公式，然后利用裂项法求前项和. 【详解】当时，；； 也满足：故的通项公式为. 所以， 则数列的前项和为， 故选：D. 例2.已知，设数列的前项和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由裂项相消求和法求和即可； 【详解】因为， 所以. 故选：B. 变式训练1.已知数列的通项公式为，则其前20项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由，利用裂项相消法计算可得. 【详解】因为， 故前20项和为. 故选：C. 变式训练2.数列满足：，若，则数列的前10项的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用数列的前项和与通项的关系求出通项，再化简的通项，利用裂项相消法即可求得其前10项的和. 【详解】由，当时，； 当时，， 两式相减可得，即（）， 经检验，当时，上式符合，故， 所以， 所以. 故选：C. 变式训练3.数列的通项公式为，若该数列的前项之和等于9，则. 【答案】99 【分析】利用裂项相消法可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】设数列的前项和为， 因为， 所以数列的前项之和为 ， 解得. 故答案为：99 变式训练4.记数列的前项和为，若，则. 【答案】 【分析】首先根据等差数列求出公式求出，即可得到，再利用裂项相消法计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故答案为： 题型三、错位相减法求和 例1.（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用错位相减法来求和即可. 【详解】令， 则 两式相减得 所以， 故选：D. 例2.已知数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据得到为等比数列，从而得到，再利用错位相减法求和即可. 【详解】由，，得，所以， 而，所以数列是首项为1、公比为的等比数列， 所以，， 所以，， 两式相减得， 所以， 所以. 故选：C 变式训练1.已知数列满足，则的前100项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据等比数列的定义和通项公式，结合错位相减法进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以数列是以8为首项，2为公比的等比数列，则，即. 设的前项和为，则 两式相减，得， 所以. 故选：D 变式训练2.已知数列的通项公式为，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】应用错位相减法及等比数列前n项和求. 【详解】由题设，则， 两式作差，有， 所以. 故选：B 变式训练3.若，则数列的前n项和. 【答案】 【分析】利用错位相减法求和即可得解. 【详解】因为， 所以， ， ， 得，所以. 故答案为：. 变式训练4.已知数列，，满足，，则的前项和=. 【答案】 【分析】先根据等差数列前项和公式求出数列的通项，再利用裂项相消法即可得解. 【详解】解：由得， 则， 所以. 故答案为：. 题型四、分组（并项）法求和 例1.数列的前100项和（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用分组求和法，结合等比、等差数列的求和公式计算即得. 【详解】的前100项和为： . 故选：B 例2.已知数列的通项公式为为数列的前项和，则（ ） A.1009 B. C.1011 D. 【答案】D 【分析】根据给定条件，分段求出数列通项，再利用并项求和即可. 【详解】当为奇数时，，当为偶数时，， 因此， 所以. 故选：D 变式训练1.已知数列的前项和，首项，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由题意可得当为偶数时，，利用并项求和法结合等比数列的求和公式可求得的值. 【详解】因为数列的前项和，首项，且满足， 当为偶数时，， 所以， . 故选：A. 变式训练2.若数列满足，（），则其前2023项和为（ ） A.1360 B.1358 C.1350 D.1348 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用并项求和法求和即得. 【详解】数列中，，，而， 所以. 故选：C 变式训练3.已知为虚数单位，复数，则的实部与虚部之和为. 【答案】 【分析】利用虚数单位的运算性质，结合条件，即可求解. 【详解】， 所以的实部与虚部之和为， 故答案为：. 变式训练4.已知数列中，，则数列的前项和. 【答案】 【分析】利用等差、等比数列的前项和公式求解. 【详解】数列的前项和 = =， 故答案为：. 题型五、倒序相加法求和 例1.已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用倒序相加法，可得答案. 【详解】，， 故选：B. 例2.已知数列中，，则（ ） A.96 B.97 C.98 D.99 【答案】A 【分析】由倒序相加法求和即可； 【详解】， 所以， 两式相加可得：， 所以， 故选：A 变式训练1.设是等差数列的前项和，若，则（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质和求和公式可求得答案. 【详解】由已知，，，相加得：； 根据等差数列的性质，若两项下标和相等则两项和相等，可得：， 可得； 由等差数列前项和的公式得：. 故选：A 变式训练2.等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A.12 B.10 C.5 D. 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质可得，即可结合对数的运算性质求解. 【详解】由是等比数列可得， 因为，所以可得， 所以 故， 故选：B 变式训练3.已知函数，等差数列满足，则. 【答案】/ 【分析】利用倒序相加法求得正确答案. 【详解】. 依题意是等差数列， 令， ， 结合等差数列的性质，两式相加得. 故答案为：. 变式训练4.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则. 【答案】4038 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质，结合倒序相加法求和作答. 【详解】正数数列是公比不等于1的等比数列，，则， 由，当时，， 于是，令， 则 因此， 所以. 故答案为：4038 题型六、含绝对值的等差数列的前项和 例1.已知等差数列中，，，设，则（ ） A.245 B.263 C.281 D.290 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差及通项公式，判断正数、负数项，再求出. 【详解】等差数列中，由，，得公差， 则，显然当时，，当时，， 所以 . 故选：C 例2.已知数列的前项和，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据前项和，得到；根据通项公式去绝对值，利用等差数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】因为，所以当时，， 当时，， 令，解得， 令 ， 故选：D. 变式训练1.已知等差数列的通项公式为，则（ ） A.24 B.25 C.26 D.27 【答案】B 【解析】根据题中条件，利用等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】因为，所以当时，，当时，； 因此 . 故选：B. 变式训练2.已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前20项之和为（ ） A.80 B.208 C.680 D.780 【答案】B 【分析】根据题意求出等差数列的首项，可得到通项公式以及前项和，再根据通项公式判断出前20项中，前8项为负数，后12项为正数，故所求数列的前20项之和为，代入计算即可得到答案. 【详解】因为，即，解得， 所以，前项和， 所以数列的前20项中，前8项为负数，后12项为正数， 所以 . 故选：B. 变式训练3.在等差数列中，，记，则数列的前30项和为. 【答案】755 【分析】根据分组求和，结合等差求和公式求解. 【详解】当时，，当时，， 故 . 故答案为：755 变式训练4.在数列中，已知，则. 【答案】 【分析】首先求等差数列的通项公式，再去绝对值，根据求和公式，即可求解. 【详解】由，得， 所以数列是公差为4的等差数列，且， 所以，， 当时，，时，， 所以 . 故答案为： 三、巩固提升 1.已知等比数列各项均为正数，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）求出公比，再根据等比数列的通项即可得解； （2）利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）设公比为， 由，得，所以（舍去）， 所以； （2）由（1）得， 所以. 2.已知数列的首项，的前项和为且满足 （1）证明：数列是等差数列； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）依题意可得，结合等差数列的定义证明即可； （2）由（1）可得，再由求出的通项公式，最后利用错位相减法计算可得. 【详解】（1）证明：因为，即， 所以，又，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列. （2）由（1）可得，所以， 当时， 所以， 当时也成立，所以， 所以， 所以①， ②， ①②得， 则， 所以. 3.已知是等差数列，是等比数列，且，，. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1），； （2） 【分析】（1）设出公差和公比，根据条件得到方程组，求出公差和公比，得到通项公式； （2），利用错位相减法求和得到答案. 【详解】（1）设公差为，公比为， ，故，， ，故， 联立，解得或（舍去）， 故，； （2），设数列的前项和为， 则，① ，② 两式①-②得， 所以. 4.已知是一个等差数列，且. （1）求的通项； （2）求的前n项和为，并求的最大值. 【答案】（1）； （2），最大值为4. 【分析】（1）根据给定条件求出数列的公差d即可得解； （2）根据等差数列前n项和公式求得，根据二次函数图象及性质求得的最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由已知得，解得，， 所以； （2）由（1）及等差数列前n项和公式得 ， 当时，前项和取得最大值，为4. 5.在数列中，，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和公式. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【分析】（1）根据递推关系式和等比数列定义直接证明即可； （2）根据等比数列通项公式可求得，进而得到； （3）采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果. 【详解】（1），又， 数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得：，. （3）由（2）得：. 6.在数列中，，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）将变形并求出，根据等比中项法即可得证； （2）根据（1）可求出的通项，再利用分组求和结合等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】（1）证明：因为， 所以， 即. 因为，所以， 所以， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，， 所以， 所以. 7.在等比数列中，，. （1）求的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求使得的最小值. 【答案】（1）或； （2）6. 【分析】（1）根据给定条件，求出等比数列公比，进而求出通项公式. （2）由（1）求出前项和为，再解不等式求出最小值. 【详解】（1）设等比数列的公比为，由，，得，解得或， 所以数列的通项公式为或. （2）由（1）知，或，而，则， 于是，由，得，解得，又，因此， 所以使得的最小值为6. 8.已知是数列的前项和，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用可得最后一项，再检验首项，即可得通项公式； （2）利用裂项相消法即可求和. 【详解】（1）由， 当时，， 当时，可得， 两式相减得：，所以有， 所以； （2）当时，有 当时，有， 所以有 . 9.已知等差数列为递增数列，且满足，. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和的最大值，最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【分析】（1）由等差数列下标的性质构成方程组解出，再结合等差数列的性质求出公差和首项，然后可得； （2）由裂项可得，求和后再根据单调性法可得最值. 【详解】（1）等差数列为递增数列，且满足，， 即，解得， 所以，， 所以通项公式为. （2）由（1）可得，， 设数列的前n项和为，则， 当n为奇数时，所以， 随着n的增大而减小，可得； 当n为偶数时，随着n的增大而增大，可得. 故的最大值为，最小值为. 10.已知数列满足. （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为. （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【分析】（1）等式两边同时除以可得； （2）（ii）由错位相减法求和即可； （ii）构造数列，由不等式组求数列的最值大即可. 【详解】（1）因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. （2）（i）由（1）知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为， 所以， 令， 不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. 11.设数列的前项和为.已知. （1）求通项公式； （2）设数列，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由，先求，当时，由即可求解. （2）由，分和即可求. 【详解】（1）由，当时，，，解得， 当时，由有， 所以，即，所以数列是以首项为1，公比为的等比数列， 所以； （2）因为， 当时，，， 当时，， ， 所以. 12.已知等差数列满足，是关于的方程的两个根. （1）求和； （2）求和； （3）设，求数列的前项和. 【答案】（1），； （2），； （3） 【分析】（1）由韦达定理即可求解； （2）由（1）求得，再结合韦达定理即可求解； （3），通过分组、裂项相消求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为. 当时，是方程的两根， 由韦达定理得，① 当时，是方程的两根， 由韦达定理得，② 由①②，解得； 所以； （2）由（1）知，所以， 则，对于方程， 由韦达定理得，即， （3）， 所以 . 13.记数列的前项和为，已知. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，得到，即可求解； （2）由（1）可得，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 当时，， 两式相减得，① 则，② ②①得， 所以. 因为， 又，所以当时，； 当时，，则， 所以，满足， 所以，故数列为等差数列. （2）由（1）可知数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，， 则， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列求和的常见方法 一、目录 二、数列求和的常见方法 1 题型一、公式法求和 1 题型二、裂项相消法求和 2 题型三、错位相减法求和 2 题型四、分组（并项）法求和 3 题型五、倒序相加法求和 3 题型六、含绝对值的等差数列的前项和 4 三、巩固提升 4 二、数列求和的常见方法 题型一、公式法求和 例1.已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A.5 B.9 C. D. 例2.已知数列的前n项和为，满足，则=（ ） A.11 B.31 C.61 D.121 变式训练1.已知数列满足（，），则（ ） A. B. C. D. 变式训练2.已知数列为等比数列，，，则（ ） A.128 B.169 C.254 D.255 变式训练3.设数列为等差数列，其前项和为，已知，则. 变式训练4.设等比数列的前项和为，若，且，则. 题型二、裂项相消法求和 例1.已知数列的前n项和，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 例2.已知，设数列的前项和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 变式训练1.已知数列的通项公式为，则其前20项和为（ ） A. B. C. D. 变式训练2.数列满足：，若，则数列的前10项的和为（ ） A. B. C. D. 变式训练3.数列的通项公式为，若该数列的前项之和等于9，则. 变式训练4.记数列的前项和为，若，则. 题型三、错位相减法求和 例1.（ ） A. B. C. D. 例2.已知数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 变式训练1.已知数列满足，则的前100项和为（ ） A. B. C. D. 变式训练2.已知数列的通项公式为，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 变式训练3.若，则数列的前n项和. 变式训练4.已知数列，，满足，，则的前项和=. 题型四、分组（并项）法求和 例1.数列的前100项和（ ） A. B. C. D. 例2.已知数列的通项公式为为数列的前项和，则（ ） A.1009 B. C.1011 D. 变式训练1.已知数列的前项和，首项，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 变式训练2.若数列满足，（），则其前2023项和为（ ） A.1360 B.1358 C.1350 D.1348 变式训练3.已知为虚数单位，复数，则的实部与虚部之和为. 变式训练4.已知数列中，，则数列的前项和. 题型五、倒序相加法求和 例1.已知函数，则（ ） A. B. C. D. 例2.已知数列中，，则（ ） A.96 B.97 C.98 D.99 变式训练1.设是等差数列的前项和，若，则（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 变式训练2.等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A.12 B.10 C.5 D. 变式训练3.已知函数，等差数列满足，则. 变式训练4.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则. 题型六、含绝对值的等差数列的前项和 例1.已知等差数列中，，，设，则（ ） A.245 B.263 C.281 D.290 例2.已知数列的前项和，（ ） A. B. C. D. 变式训练1.已知等差数列的通项公式为，则（ ） A.24 B.25 C.26 D.27 变式训练2.已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前20项之和为（ ） A.80 B.208 C.680 D.780 变式训练3.在等差数列中，，记，则数列的前30项和为. 变式训练4.在数列中，已知，则. 三、巩固提升 1.已知等比数列各项均为正数，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 2.已知数列的首项，的前项和为且满足 （1）证明：数列是等差数列； （2）若，求数列的前项和. 3.已知是等差数列，是等比数列，且，，. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和. 4.已知是一个等差数列，且. （1）求的通项； （2）求的前n项和为，并求的最大值. 5.在数列中，，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和公式. 6.在数列中，，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 7.在等比数列中，，. （1）求的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求使得的最小值. 8.已知是数列的前项和，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 9.已知等差数列为递增数列，且满足，. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和的最大值，最小值. 10.已知数列满足. （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为. （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围. 11.设数列的前项和为.已知. （1）求通项公式； （2）设数列，求的前项和. 12.已知等差数列满足，是关于的方程的两个根. （1）求和； （2）求和； （3）设，求数列的前项和. 13.记数列的前项和为，已知. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和. 学科网（北京）股份有限公司 $$