专题7-2 7.4二项分布与超几何分布+7.5正态分布(8大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019选择性必修第三册）

第02讲 7.4二项分布与超几何分布+7.5正态分布 题型一：利用二项分布求分布列 典型例题 例题1．（2025·河南焦作·二模）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响． (1)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； (2)设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望． 例题2．（23-24高二下·北京延庆·期中）已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能正常工作的设备数为． (1)求的分布列； (2)求和； (3)求计算机网络不会断掉的概率． 精练核心考点 1．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）会员足够多的某知名咖啡店，男会员占，女会员占.现对会员进行服务质量满意度调查.根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为. (1)随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率； (2)从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为，求的分布列和数学期望. 2．（23-24高二下·天津·期末）一个袋子中有6个大小相同的球，其中有2个黄球，4个白球，从中随地摸出3个球作为样本.用表示样本中黄球的个数. (1)若不放回摸球，求的分布列； (2)若有放回摸球，求的分布列和均值. 3．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）某全国连锁咖啡店，男会员占60%，女会员占40%，现对会员进行服务质量满意度调查.根据调查结果得知，男会员对服务质量不满意的概率为，女会员对服务质量不满意的概率为. (1)随机选取一名会员，求其对服务质量不满意的概率; (2)从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量不满意的人数为X，求X的分布列和数学期望. 题型二：服从二项分布随机变量概率最大值 典型例题 例题1．（多选）（23-24高二下·云南昆明·期中）下列命题中，正确的命题是（   ） A．已知随机变量服从两点分布，且．设，那么 B．已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量的方差 0 20 40 C．已知，，，则 D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，当时概率最大 例题2．（22-23高二下·江苏南京·期中）某人投篮命中的概率为0.6，投篮14次，最有可能命中 次． 精练核心考点 1．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）某校在一次“二项分布的性质”为主题的探究活动中，该校数学第一小组的学生同学表现优异，探究数学的奥秘.设随机变量，记，在探究的最大值时，小组同学发现：当为正整数，则，，此时这两项概率均为最大值；当为非整数，取的整数部分，是唯一的最大值.以此为理论依据，有同学重复投掷一枚大小均匀的骰子实时记录点数6出现的次数.当投掷第20次时，记录到此时点数6出现5次，再进行80次投掷实验，当投掷到100次时，点数6总共出现的次数为 的概率最大. 2．（2024高三·全国·专题练习）在高三的一个班中，有的学生数学成绩合格，若从班中随机找出10名学生，那么数学成绩合格的学生人数，则取最大值时 . 题型三：二项分布的均值和方差 典型例题 例题1．（2025·北京门头沟·一模）不同AI大模型各有千秋，适配领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同AI大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对，两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率， (1)分别估计该校甲学院学生使用款大模型的概率、该校乙学院学生使用款大模型的概率； (2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，估计的数学期望； (3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小，（结论不要求证明）. 例题2．（2025·山东青岛·一模）为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占，女生中有的人日均运动时间大于小时，男生中有的人日均运动时间大于小时. (1)在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，求此人为男生的概率； (2)用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取人，求日均运动时间大于小时的人数的期望和方差. 精练核心考点 1．（24-25高三上·北京石景山·期末）某城市的甲、乙两个区，甲区有500个居民小区，乙区有300个居民小区. 为了解甲、乙两个区在绿化与垃圾分类两方面的达标情况，进行了调查统计，结果如下：（单位：个） 绿化达标 垃圾分类达标 绿化达标且垃圾分类达标 甲区 300 250 200 乙区 180 150 120 (1)从甲乙两区的所有居民小区中随机抽取一个居民小区，求抽到的是“甲区且绿化达标”的概率； (2)从甲区和乙区中各随机抽取一个居民小区，设表示这两个居民小区中“垃圾分类达标”的个数，求的分布列和数学期望； (3)城市管理部门计划按照分层抽样从甲、乙两区抽取40个居民小区进行评比，在抽取的40个居民小区中，设为“绿化达标”居民小区的数量，为“绿化达标且垃圾分类达标”居民小区的数量，试判断方差的大小.（结论不要求证明） 2．（23-24高三上·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求： (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． 3．（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）2021年底某购物网站为了解会员对售后服务（包括退货、换货、维修等）的满意度，从2021年下半年的会员中随机调查了25个会员，得到会员对售后服务的满意度评分如下： 95  88  75  82  90    94  98  65  92  100    85  90  95  77  87    70  89  93  90  84    82   83  97  73  91 根据会员满意度评分，将会员的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于75分 75分到94分 不低于95分 满意度等级 不满意 比较满意 非常满意 (1)根据这25个会员的评分，估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率； (2)以（1）中的频率作为概率，假设每个会员的评价结果相互独立. （i）若从下半年的所有会员中随机选取2个会员，求恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意的概率； （ⅱ）若从下半年的所有会员中随机选取3个会员，记评分非常满意的会员的个数为X，求X的分布列，数学期望及方差. 题型四：超几何分布的均值和方差 典型例题 例题1．（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 性别 中文 数学 英语 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求、的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 例题2．（2024·北京海淀·一模）网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下： A组：8，9，11，13，15，17，18，26，29，30 B组：5，12，14，21，24，27，28，33，35，39 假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响. (1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率； (2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为，估计的数学期望； (3)从组和组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小.（结论不要求证明） 精练核心考点 1．（23-24高二下·江苏盐城·期中）为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. (1)求甲老师答对2个问题的概率； (2)若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量表示甲的得分，求. 2．（23-24高二下·广东东莞·期中）某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 (1)求甲、乙共答对2道题目的概率； (2)设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； (3)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 3．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史､悟思想､办实事､开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.该校理综支部经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲，乙两名教师中间产生，支部书记设计了两种测试方案供两位教师选择. 方案一：从装有6个不同问题的纸盒中依次有放回抽取4个问题作答； 方案二：从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答. 已知这6个问题中，甲，乙两名教师都能正确回答其中的4个问题，且甲，乙两名教师对每个问题回答正确与否都是相互独立､互不影响的.假设甲教师选择了方案一，乙教师选择了方案二. (1)求甲，乙两名教师都只答对2个问题的概率； (2)若测试过程中每位教师答对1个问题得2分，答错得0分.你认为安排哪位教师参赛比较合适？请说明理由. 题型五：正态密度函数 典型例题 例题1．（23-24高二下·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 例题2．（23-24高二下·陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 精练核心考点 1．（23-24高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 2．（多选）（2022·江苏·模拟预测）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（    ） A． B．当时， C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变 D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大 3．（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 题型六：特殊区间的概率 典型例题 例题1．（24-25高三上·江西·期末）某地区积极响应国家政策，在全面推动经济发展后，居民收入有着明显的提升.已知该地区居民目前的人均收入(单位:元)服从正态分布，若，则（   ） 参考数据：，，. A．0.84 B．0.8186 C．0.9759 D．0.8286 例题2．（23-24高二下·安徽滁州·期末）若本市2024年高二某次数学测试的成绩（单位：分）近似服从正态分布.从本市中任选1名高二学生，则这名学生数学成绩在分之间的概率约为 . 参考数据：若随机变量，则，. 精练核心考点 1．（24-25高三下·山东聊城·开学考试）设随机变量，若，则（   ） （附：若随机变量，则，） A．0.1359 B．0.1456 C．0.2718 D．0.3174 2．（23-24高二下·安徽安庆·期末）安徽年均降雨量近似服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 题型七：求指定区间的概率 典型例题 例题1．（24-25高二下·天津·阶段练习）如果随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 例题2．（2025·江西·一模）已知随机变量，若，则 . 精练核心考点 1．（多选）（24-25高二上·江西九江·期末）已知随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高三上·河南周口·期末）设随机变量，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·全国·随堂练习）设随机变量，若. (1)求c的值； (2)若，求. 题型八：正态分布的实际应用 典型例题 例题1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）智利的车厘子在中国市场上非常受欢迎，尤其是在春节前后，成为果品市场的“销售冠军”.进口水果办会对智利车厘子进行了分级，标准主要依据果实直径进行划分，通常分为以下几个等级：0级；直径在24mm到26mm之间；J级：直径在26mm到28mm之间；JJ级：直径在28mm到30mm之间；JJJ级：直径在30mm到32mm之间；JJJJ级：直径在32mm以上.某商贸公司根据长期检测结果，发现每批次进口车厘子的直径服从正态分布并把直径不小于的车厘子称为一等品，其余称为二等品.现从某批次的车厘子中随机抽取100颗（直径位于24mm至34mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据长期检测结果，车厘子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数（按四舍五入取整数）作为的近似值.若从该批次中任取一颗，试估计该颗车厘子为一等品的概率（保留小数点后两位数字）；（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，） (2)若从样本中直径在和的车厘子中随机抽取3颗，记其中直径在的个数为，求的分布列和数学期望. 例题2．（24-25高三上·山东·阶段练习）为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求的概率及随机变量Y的数学期望． 附：参考数据： 参考公式：若有，． 精练核心考点 1．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）近期，流感在某小学肆意传播.流感病毒主要在学生之间传染，低年龄段（一、二年级）的学生感染情况相对较多.病毒进入人体后存在潜伏期，潜伏期指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间，潜伏期越长，传染给其他同学的可能性越高.学校对300个感染流感病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计得出潜伏期的平均数为2，方差，若把超过3天的潜伏期视为长潜伏期，按照年级统计样本，得到如下列联表： 年龄/人数 长潜伏期 非长潜伏期 低年龄段（一、二年级） 40 100 高年龄段（三~六年级） 30 130 (1)是否有95%的把握认为“长潜伏期”与年级有关？ (2)假设潜伏期服从正态分布，其中近似样本平均数，近似为样本方差 （i）学校现在对有流感症状学生的密切接触者一律要求隔离5天，请用概率知识解释其合理性. （ii）以题目中的样本估计概率，设800个病例中恰有个属于“长潜伏期”的概率是，当为何值时，取最大值. （附：，） 0.10 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 若，则，，. 参考数据：，，. 2．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 3．（2024高三·全国·专题练习）按照国际乒联的规定,标准的乒乓球在直径符合的条件下,重量为2.7克,其重量的误差在区间[－0.081,0.081]内就认为是合格产品,在正常情况下样本的重量误差x服从正态分布.现从某厂生产的一批产品中随机抽取10件样本,其重量如下： 2.72　2.68　2.7　2.75　2.66　2.7　2.6　2.69　2.7  2.8 (1)计算上述10件产品的误差的平均数及标准差s； (2)①利用（1）中求的平均数,标准差s,估计这批产品的合格率能否达到96%； ②如果产品的误差服从正态分布,那么从这批产品中随机抽取10件产品,则有不合格产品的概率为多少？（附：若随机变量x服从正态分布,则，，，用0.624，用0.9704分别代替计算） 题型九：3原则 典型例题 例题1．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照，，，的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为分，则他的等级是（    ） 附：，，. A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格 例题2．（多选）（24-25高三上·江西赣州·期末）小华是一位篮球爱好者，每天坚持投篮训练，每天至少训练10组，每组投篮50次，且每一组投篮命中的次数 X服从正态分布，则（    ）参考数据：，， A． B． C． D． 例题3．（2024·江西南昌·二模）一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值（单位:）服从正态分布. (1)生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间和内各一只的概率;（精确到） (2)根据统计学的知识，从服从正态分布的总体中抽取容量为的样本，则这个样本的平均数服从正态分布. 某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为：1000，1007，1012，1013，1013（单位：Ω）. 你认为这时生产线生产正常吗？说明理由．（参考数据：若，则，，.） 精练核心考点 1．（23-24高二下·广东江门·期末）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态分布，将考试成绩从高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分为A，B，C，D四个等级．若小明的数学成绩为105分，则属于等级（    ） （附：，，） A．A B．B C．C D．D 2．（2024·河南·三模）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（    ） A．286 B．293 C．252 D．246 3．（多选）（24-25高三上·全国·阶段练习）若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.随机变量服从正态分布，则.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.程女士在该珠宝店随机地挑选了16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条璀璨夺目的项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（    ） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 4．（23-24高二下·福建福州·期中）某企业生产一种零部件，其质量指标介于(49.4，50.6)的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为 ．(若，则，) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 7.4二项分布与超几何分布+7.5正态分布 题型一：利用二项分布求分布列 典型例题 例题1．（2025·河南焦作·二模）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响． (1)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； (2)设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题、独立事件的乘法公式、利用二项分布求分布列、二项分布的均值 【分析】（1）3次射击中甲恰好比乙多击中目标2次，分别为甲击中目标2次且乙击中目标0次与甲击中目标3次且乙击中目标1次，分别求出其概率，再相加即可； （2）甲的设计过程可看作独立重复试验，所以，根据二项分布即可求解. 【详解】（1）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件， 则， 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为． （2）由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，且 ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． 例题2．（23-24高二下·北京延庆·期中）已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能正常工作的设备数为． (1)求的分布列； (2)求和； (3)求计算机网络不会断掉的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2)， (3)0.992 【知识点】利用二项分布求分布列、二项分布的均值、利用对立事件的概率公式求概率、二项分布的方差 【分析】（1）的可能取值为0，1，2，3，结合二项分布的概率即可求解； （2）根据二项分布的期望和方差公式计算即可； （3）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，结合（1）及对立事件求解即可． 【详解】（1）由题意得的可能取值为0，1，2，3，且， ， ， ， ， 所以的分布列如下． 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 （2）因为，所以，． （3）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即， 因此所求概率为． 精练核心考点 1．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）会员足够多的某知名咖啡店，男会员占，女会员占.现对会员进行服务质量满意度调查.根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为. (1)随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率； (2)从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、利用全概率公式求概率、利用二项分布求分布列 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）根据二项分布的概率公式求解概率，即可由期望公式求解. 【详解】（1）记事件：会员为男会员，：会员为女会员，事件：对服务质量满意，由题可知，， 所以. （2）可能的取值为， 则， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 2．（23-24高二下·天津·期末）一个袋子中有6个大小相同的球，其中有2个黄球，4个白球，从中随地摸出3个球作为样本.用表示样本中黄球的个数. (1)若不放回摸球，求的分布列； (2)若有放回摸球，求的分布列和均值. 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析，均值为1 【知识点】利用二项分布求分布列、超几何分布的分布列、二项分布的均值 【分析】（1）先由条件判断服从超几何分布，由概率计算公式计算即得分布列 ； （2）由条件判断服从二项分布，运用概率计算公式计算即得分布列与均值. 【详解】（1）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，服从超几何分布，的分布列为 0 1 2 （2）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为，且各次试验之间的结果是独立的，因此. 的分布列为. 0 1 2 3 . 3．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）某全国连锁咖啡店，男会员占60%，女会员占40%，现对会员进行服务质量满意度调查.根据调查结果得知，男会员对服务质量不满意的概率为，女会员对服务质量不满意的概率为. (1)随机选取一名会员，求其对服务质量不满意的概率; (2)从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量不满意的人数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【知识点】二项分布的均值、利用全概率公式求概率、利用二项分布求分布列 【分析】（1）由全概率公式计算即得； （2）根据二项分布的分布列及期望公式分别计算即得. 【详解】（1）设事件会员是男会员，会员是女会员，事件对服务质量不满意. 由题意， 于是，由全概率公式可得，; （2）由题意知，’ 则 . 则的分布列为： 0 1 2 3 因，则. 题型二：服从二项分布随机变量概率最大值 典型例题 例题1．（多选）（23-24高二下·云南昆明·期中）下列命题中，正确的命题是（   ） A．已知随机变量服从两点分布，且．设，那么 B．已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量的方差 0 20 40 C．已知，，，则 D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，当时概率最大 【答案】BCD 【知识点】两点分布、条件概率性质的应用、服从二项分布的随机变量概率最大问题、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】选项A：即；选项B：利用概率之和为1，求出的值，再分别求出期望和方差；选项C：利用条件概率公式，对式子变形后，两式相加，求出；选项D：由二项分布概率计算公式写出，列不等式组，求出的值. 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，由题知，所以， 所以， 所以， 故B正确； 对于选项C，，， 所以，， 所以， 所以， 解得，故C正确； 对于选项D，， 由， 得， 解得，所以， 即当时概率最大，故D正确. 故选：BCD. 例题2．（22-23高二下·江苏南京·期中）某人投篮命中的概率为0.6，投篮14次，最有可能命中 次． 【答案】8或9 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】易知投篮命中次数服从二项分布，设最有可能命中m次，于是，解出不等式即可得到答案. 【详解】投篮命中次数， 设最有可能命中次，则 ，，或． 最有可能命中8或9次． 故答案为：8或9. 精练核心考点 1．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）某校在一次“二项分布的性质”为主题的探究活动中，该校数学第一小组的学生同学表现优异，探究数学的奥秘.设随机变量，记，在探究的最大值时，小组同学发现：当为正整数，则，，此时这两项概率均为最大值；当为非整数，取的整数部分，是唯一的最大值.以此为理论依据，有同学重复投掷一枚大小均匀的骰子实时记录点数6出现的次数.当投掷第20次时，记录到此时点数6出现5次，再进行80次投掷实验，当投掷到100次时，点数6总共出现的次数为 的概率最大. 【答案】18 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】直接根据服从二项分布，结合取整数部分可得后面80次出现点数6的次数为13概率最大，从而得解. 【详解】继续再进行80次投掷试验，出现点数为6次数服从二项分布， 由，结合题中结论可知，时概率最大， 即后面80次中出现13次点数6的概率最大， 加上前面20次中的5次，所以出现18次的概率最大. 故答案为：18. 2．（2024高三·全国·专题练习）在高三的一个班中，有的学生数学成绩合格，若从班中随机找出10名学生，那么数学成绩合格的学生人数，则取最大值时 . 【答案】 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】根据题意得到，得到且，进而求得的值. 【详解】由数学成绩合格的学生人数，可得， 则满足且， 解得且，所以， 所以取最大值时，实数的值为. 故答案为：. 题型三：二项分布的均值和方差 典型例题 例题1．（2025·北京门头沟·一模）不同AI大模型各有千秋，适配领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同AI大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对，两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率， (1)分别估计该校甲学院学生使用款大模型的概率、该校乙学院学生使用款大模型的概率； (2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，估计的数学期望； (3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小，（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求离散型随机变量的均值、二项分布的方差、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）利用古典概型结合表格计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可； （3）利用二项分布的方差公式计算并比较大小即可. 【详解】（1）由表格可知：该校甲学院学生使用款大模型的概率为， 该校乙学院学生使用款大模型的概率为 （2）由题意可知的可能取值为：， 则， ， ， ， 所以； （3）同第一问，可知该校甲学院学生使用款大模型的概率为, 该校乙学院学生使用款大模型的概率为， 易知， 由二项分布的方差公式可知， ，则. 例题2．（2025·山东青岛·一模）为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占，女生中有的人日均运动时间大于小时，男生中有的人日均运动时间大于小时. (1)在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，求此人为男生的概率； (2)用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取人，求日均运动时间大于小时的人数的期望和方差. 【答案】(1) (2)期望为，方差为 【知识点】二项分布的均值、利用贝叶斯公式求概率、二项分布的方差 【分析】（1）记事件抽取的人为男生，记事件抽取的人日均运动时间大于小时，利用全概率公式可求出的值，再利用条件概率公式可求得的值； （2）分析可知，，利用二项分布的期望和方差公式即可得解. 【详解】（1）记事件抽取的人为男生，记事件抽取的人日均运动时间大于小时， 则，，，， 由全概率公式可得， 由条件概率公式可得. 因此，在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，则此人为男生的概率为. （2）从该地区的高中生中随机抽取人，该生日均运动时间大于小时的概率为， 由题意可知，所以，，. 精练核心考点 1．（24-25高三上·北京石景山·期末）某城市的甲、乙两个区，甲区有500个居民小区，乙区有300个居民小区. 为了解甲、乙两个区在绿化与垃圾分类两方面的达标情况，进行了调查统计，结果如下：（单位：个） 绿化达标 垃圾分类达标 绿化达标且垃圾分类达标 甲区 300 250 200 乙区 180 150 120 (1)从甲乙两区的所有居民小区中随机抽取一个居民小区，求抽到的是“甲区且绿化达标”的概率； (2)从甲区和乙区中各随机抽取一个居民小区，设表示这两个居民小区中“垃圾分类达标”的个数，求的分布列和数学期望； (3)城市管理部门计划按照分层抽样从甲、乙两区抽取40个居民小区进行评比，在抽取的40个居民小区中，设为“绿化达标”居民小区的数量，为“绿化达标且垃圾分类达标”居民小区的数量，试判断方差的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见详解，1 (3) 【知识点】计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、二项分布的方差 【分析】（1）根据表格中的数据，利用古典概型计算概率即可； （2）根据表格求得从甲区中随机抽取一个居民小区，它是“垃圾分类达标”小区的概率，以及从乙区中随机抽取一个居民小区，它是“垃圾分类达标”小区的概率，再分别求得的概率，即可写出分布列，进而求得数学期望； （3）根据表格中的数据，求出离散型随机变量的方差，从而判断.（学生作答时，直接写结果即可，无需说明理由）. 【详解】（1）设事件“抽到的是甲区且绿化达标”， 因为该城市试点区的所以居民小区共有个， 甲区且绿化达标的居民小区共有个， 则， 所以，抽到的是“甲区且绿化达标”的概率为. （2）由题意，的所有可能的取值为. 从甲区中随机抽取一个居民小区，它是“垃圾分类达标”小区的概率为， 从乙区中随机抽取一个居民小区，它是“垃圾分类达标”小区的概率为， 则，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 所以，数学期望. （3）因为甲区有500个居民小区，乙区有300个居民小区，共个， 所以从甲小区里抽取个，从乙小区里抽取个， 由表格可知： 从甲区中随机抽取一个居民小区，它是“绿化达标”小区的概率为， 从乙区中随机抽取一个居民小区，它是“绿化达标”小区的概率为， 因此，随机变量，则. 由表格可知： 从甲区中随机抽取一个居民小区，它是“绿化达标且垃圾分类达标”小区的概率为， 从乙区中随机抽取一个居民小区，它是“绿化达标且垃圾分类达标”小区的概率为， 因此，随机变量，则. 所以，. 2．（23-24高三上·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求： (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】利用二项分布求分布列、超几何分布的分布列、超几何分布的方差、二项分布的方差 【分析】(1)由题意知，甲乙两位考生正确完成实验操作的题数分别服从超几何和二次项分布，分别列出分布列，计算均值即可； (2)结合分布列中数据，分别计算对应的均值，方差以及至少正确两题的概率比较大小即可. 【详解】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3， ， 所以ξ的分布列为： ξ 1 2 2 P 则； 设考生乙正确完成实验操作的题数为η，易知， 所以， ， 所以η的分布列为： η 0 1 2 3 P 所以． （2）由(1)知， ， ， ， 所以，， 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当； 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定； 从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大． 3．（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）2021年底某购物网站为了解会员对售后服务（包括退货、换货、维修等）的满意度，从2021年下半年的会员中随机调查了25个会员，得到会员对售后服务的满意度评分如下： 95  88  75  82  90    94  98  65  92  100    85  90  95  77  87    70  89  93  90  84    82   83  97  73  91 根据会员满意度评分，将会员的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于75分 75分到94分 不低于95分 满意度等级 不满意 比较满意 非常满意 (1)根据这25个会员的评分，估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率； (2)以（1）中的频率作为概率，假设每个会员的评价结果相互独立. （i）若从下半年的所有会员中随机选取2个会员，求恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意的概率； （ⅱ）若从下半年的所有会员中随机选取3个会员，记评分非常满意的会员的个数为X，求X的分布列，数学期望及方差. 【答案】(1)比较满意和非常满意的频率分别为0.68和0.2； (2)（i）；（ⅱ）分布列见解析，. 【知识点】利用二项分布求分布列、用频率估计概率、二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】（1）由题目所给数据估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率即可； （2）以（1）中的频率作为概率，由独立事件的概率公式计算即可，分析X的可能取值，由二项分布的概率公式计算求出分布列，并计算数学期望和方差即可. 【详解】（1）由给出的25个数据可得，非常满意的个数为5， 不满意的个数为3，比较满意的个数为17， ∵                 ∴可估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率分别为0.68和0.2. （2）（i）记“恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意”为事件A， 则.           （ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3， ，，        ，，                则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.512 0.384 0.096 0.008 由题可知，∴. 题型四：超几何分布的均值和方差 典型例题 例题1．（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 性别 中文 数学 英语 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求、的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 【答案】(1)， (2) (3)分布列见解析， 【知识点】计算古典概型问题的概率、超几何分布的方差、计算频率、超几何分布的均值 【分析】（1）先根据已知列方程算出，进一步可得； （2）根据古典概型概率计算公式即可求解； （3）由超几何分步的概率公式，可得分布列，进一步得均值、方差公式. 【详解】（1）由题意得  解得. 由，得解得. （2）所求的概率为 . （3）由已知，这10名同学中是女生或者专业为数学的人数为7，Y的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 均值为， 方差为. 例题2．（2024·北京海淀·一模）网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下： A组：8，9，11，13，15，17，18，26，29，30 B组：5，12，14，21，24，27，28，33，35，39 假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响. (1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率； (2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为，估计的数学期望； (3)从组和组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求离散型随机变量的均值、超几何分布的方差、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）由题可知，X的可能取值为0，1，2，再分别求出对应的概率，由期望公式即可求出； （3）根据方差公式计算可知，． 【详解】（1）设“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20”为事件，在组10户中超过20次的有3户，由样本频率估计总体概率，则. （2）由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为， 二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为， 可知：X的可能取值为0，1，2，则有： ，， ， 所以． （3）依题可知，，的可能取值为0，1，2，且，服从超几何分布， ，，， ，，， 因为，， 可得， ， 所以． 精练核心考点 1．（23-24高二下·江苏盐城·期中）为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. (1)求甲老师答对2个问题的概率； (2)若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量表示甲的得分，求. 【答案】(1) (2)， 【知识点】超几何分布的方差、求超几何分布的概率、超几何分布的均值 【分析】（1）利用超几何分布的概率计算公式计算即可得解； （2）计算超几何分布的期望与方差即可得. 【详解】（1）设甲老师答对2个问题为事件，则. 所以甲老师答对2个问题的概率为. （2）设甲老师得分数为，则的可能取值为4，6，8， ，，， 则， . 2．（23-24高二下·广东东莞·期中）某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 (1)求甲、乙共答对2道题目的概率； (2)设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； (3)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)应选拔甲学生代表学校参加竞赛 【知识点】二项分布的方差、超几何分布的分布列、超几何分布的均值、超几何分布的方差 【分析】（1）甲、乙两名学生共答对2个问题分为：甲2个乙0个，甲1个乙1个，分别计算概率相加得答案. （2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出，； （3）设学生乙答对题数为，则所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知～B（3，），从而求出，，由=，＜，得到甲代表学校参加竞赛的可能性更大． 【详解】（1）由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率： ． （2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1,2,3． ， ， ． X 1 2 3 P 的分布列为： 所以，． （3）设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，3．则． 所以，． 因为，，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定， 所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛． 3．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史､悟思想､办实事､开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.该校理综支部经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲，乙两名教师中间产生，支部书记设计了两种测试方案供两位教师选择. 方案一：从装有6个不同问题的纸盒中依次有放回抽取4个问题作答； 方案二：从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答. 已知这6个问题中，甲，乙两名教师都能正确回答其中的4个问题，且甲，乙两名教师对每个问题回答正确与否都是相互独立､互不影响的.假设甲教师选择了方案一，乙教师选择了方案二. (1)求甲，乙两名教师都只答对2个问题的概率； (2)若测试过程中每位教师答对1个问题得2分，答错得0分.你认为安排哪位教师参赛比较合适？请说明理由. 【答案】(1) (2)选择乙老师，理由见解析 【知识点】超几何分布的方差、二项分布的方差、独立事件的乘法公式 【分析】（1）借助二项分布与超几何分布的概率计算公式计算即可得； （2）计算出相应二项分布与超几何分布的期望与方差即可得. 【详解】（1）设甲，乙两名教师都只答对2个问题的情况分别为事件与事件， 则，； 所以； （2）设甲教师得分数为，则答对题数为，有， 故，， 设乙教师得分数为，则的可能取值为，，， ，，， 则， ， 由，，则乙老师更为稳定，故选择乙老师. 题型五：正态密度函数 典型例题 例题1．（23-24高二下·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 【答案】C 【知识点】正态曲线的性质、正态密度函数、指定区间的概率 【分析】根据密度曲线求得，然后对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意， 所以平均数为，方差为，所以AB选项正确. 依题意， 而，即，所以C选项错误. ，所以D选项正确. 故选：C 例题2．（23-24高二下·陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】正态曲线的性质、正态密度函数 【分析】结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小，表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论. 【详解】根据正态分布密度函数中参数的意义， 结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得； 且都在的右侧，即， 比较和图像可得，其形状相同，即， 又的离散程度比和大，所以可得； 故选：B 精练核心考点 1．（23-24高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【答案】B 【知识点】正态密度函数 【分析】 将化为正态密度函数的定义形式，即可求出. 【详解】， . 故选：B. 2．（多选）（2022·江苏·模拟预测）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（    ） A． B．当时， C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变 D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大 【答案】AC 【知识点】正态密度函数、3δ原则 【分析】根据结合正态曲线的对称性，可判断A;由定义即可判断B;根据正态分布的准则可判断C,D. 【详解】对于A，根据正态曲线的对称性可得：，故A正确； 对于B, 当时，，故B错误； 对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值, 即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在中的概率为0.6826，是常数， 故由可知，C正确，D错误， 故选：AC 3．（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】方差的性质、正态密度函数、正态曲线的性质、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态曲线对应的密度函数可确定中，继而结合方差的性质以及正态曲线的对称性意义判断各选项，即得答案. 【详解】由正态曲线对应的密度函数为，得，， 则，，A正确； 因为，所以，B错误； 因为，结合正态曲线可知，C正确； ，D错误． 故选：AC 题型六：特殊区间的概率 典型例题 例题1．（24-25高三上·江西·期末）某地区积极响应国家政策，在全面推动经济发展后，居民收入有着明显的提升.已知该地区居民目前的人均收入(单位:元)服从正态分布，若，则（   ） 参考数据：，，. A．0.84 B．0.8186 C．0.9759 D．0.8286 【答案】B 【知识点】特殊区间的概率、正态曲线的性质、3δ原则 【分析】求出，根据原则结合对称性分析求解. 【详解】因为服从正态分布，且， 所以，， 故. 故选 ：B. 例题2．（23-24高二下·安徽滁州·期末）若本市2024年高二某次数学测试的成绩（单位：分）近似服从正态分布.从本市中任选1名高二学生，则这名学生数学成绩在分之间的概率约为 . 参考数据：若随机变量，则，. 【答案】/ 【知识点】特殊区间的概率、3δ原则 【分析】根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为，即，， 所以 ， 即这名学生数学成绩在分之间的概率约为. 故答案为： 精练核心考点 1．（24-25高三下·山东聊城·开学考试）设随机变量，若，则（   ） （附：若随机变量，则，） A．0.1359 B．0.1456 C．0.2718 D．0.3174 【答案】A 【知识点】正态曲线的性质、特殊区间的概率 【分析】由条件结合正态分布对称性可求，由条件可得，代入参考数据可得结论. 【详解】因为随机变量，所以， 因为，所以， 所以，故， 所以， 所以， 故选：A. 2．（23-24高二下·安徽安庆·期末）安徽年均降雨量近似服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正态曲线的性质、特殊区间的概率 【分析】根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为且，则， 所以. 故选：C 3．（24-25高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 【答案】(1) (2)2048 【知识点】特殊区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）由题意可知，进而根据参考数据求事件的概率； （2）根据正态分布性质求事件的概率，结合频数频率关系求结论. 【详解】（1）∵， ∴. ∵， . 且， ∴. （2）∵， ， 且， ∴， ∴考试成绩位于区间内的考生人数为（人）. 题型七：求指定区间的概率 典型例题 例题1．（24-25高二下·天津·阶段练习）如果随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】利用正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量，所以， 所以. 故选：. 例题2．（2025·江西·一模）已知随机变量，若，则 . 【答案】0.2 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】根据正态分布的对称性，计算即可得答案. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故答案为：. 精练核心考点 1．（多选）（24-25高二上·江西九江·期末）已知随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】掌握正态分布中的含义，结合正态曲线的对称性求解即可. 【详解】对于选项A，由正态曲线的对称性知，故A正确； 对于选项B，因为 ，所以， 故B错误； 对于选项C，因为， 故C错误； 对于选项D，，故D正确． 故选：AD. 2．（多选）（24-25高三上·河南周口·期末）设随机变量，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】由题意得到正态分布曲线关于对称，再结合题意得到，再对四个选项中的目标式合理变形，逐个判断即可. 【详解】因为，所以该正态曲线关于对称， 不妨记，则， 因为，所以， 由，可知， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 3．（24-25高二下·全国·随堂练习）设随机变量，若. (1)求c的值； (2)若，求. 【答案】(1)2 (2) 【知识点】指定区间的概率、根据正态曲线的对称性求参数、正态曲线的性质 【分析】（1）利用正态分布的对称性，可得解； （2）根据正态分布对称性，可得，可得解 【详解】（1）由题意，随机变量，且 由正态分布的对称性可知， 故c的值为2. （2）由于，因此，， 故 题型八：正态分布的实际应用 典型例题 例题1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）智利的车厘子在中国市场上非常受欢迎，尤其是在春节前后，成为果品市场的“销售冠军”.进口水果办会对智利车厘子进行了分级，标准主要依据果实直径进行划分，通常分为以下几个等级：0级；直径在24mm到26mm之间；J级：直径在26mm到28mm之间；JJ级：直径在28mm到30mm之间；JJJ级：直径在30mm到32mm之间；JJJJ级：直径在32mm以上.某商贸公司根据长期检测结果，发现每批次进口车厘子的直径服从正态分布并把直径不小于的车厘子称为一等品，其余称为二等品.现从某批次的车厘子中随机抽取100颗（直径位于24mm至34mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据长期检测结果，车厘子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数（按四舍五入取整数）作为的近似值.若从该批次中任取一颗，试估计该颗车厘子为一等品的概率（保留小数点后两位数字）；（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，） (2)若从样本中直径在和的车厘子中随机抽取3颗，记其中直径在的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、正态分布的实际应用、由频率分布直方图估计平均数、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）先利用频率分布直方图求出样本平均数，再根据正态分布的性质求解即可； （2）根据频率分布直方图可知所取样本个，直径在的车厘子有个，得到的所有可能取值，根据古典概型的概率公式求分布列，再根据分布列和期望公式求期望即可. 【详解】（1）由题意，估计从该批次的车厘子中随机抽取颗的平均数为： ， 即，，所以， 则， 所以从车厘子中任取一颗，该车厘子为一等品的概率约为. （2）由频率分布直方图可知，所以所取样本个， 直径在的车厘子有个，故可能取的值为，相应的概率为： ，， ，， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 所以的数学期望. 例题2．（24-25高三上·山东·阶段练习）为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求的概率及随机变量Y的数学期望． 附：参考数据： 参考公式：若有，． 【答案】(1)1587名 (2)， 【知识点】二项分布的均值、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）考试成绩近似服从正态分布，根据概率公式计算出概率后可得名次； （2）求出事件：在样本中抽取的学生在本次考试中数学成绩在之外的概率，随机变量服从二项分布，即，由公式计算出概率，再由二项分布的期望公式计算出期望． 【详解】（1）已知本次模拟考试成绩近似服从正态分布， 由题意可得， ， ,即，解得， 甲市学生A在该次考试中成绩为114分，且， 又，即， ， 答：学生A在甲市本次考试的大致名次为1587名． （2）设事件：在样本中抽取的学生在本次考试中数学成绩在之外， 由于成绩在之内的概率为0，9974， ， 随机变量服从二项分布，即， ， 的数学期望为. 精练核心考点 1．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）近期，流感在某小学肆意传播.流感病毒主要在学生之间传染，低年龄段（一、二年级）的学生感染情况相对较多.病毒进入人体后存在潜伏期，潜伏期指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间，潜伏期越长，传染给其他同学的可能性越高.学校对300个感染流感病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计得出潜伏期的平均数为2，方差，若把超过3天的潜伏期视为长潜伏期，按照年级统计样本，得到如下列联表： 年龄/人数 长潜伏期 非长潜伏期 低年龄段（一、二年级） 40 100 高年龄段（三~六年级） 30 130 (1)是否有95%的把握认为“长潜伏期”与年级有关？ (2)假设潜伏期服从正态分布，其中近似样本平均数，近似为样本方差 （i）学校现在对有流感症状学生的密切接触者一律要求隔离5天，请用概率知识解释其合理性. （ii）以题目中的样本估计概率，设800个病例中恰有个属于“长潜伏期”的概率是，当为何值时，取最大值. （附：，） 0.10 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 若，则，，. 参考数据：，，. 【答案】(1)有95%的把握认为“长潜伏期”与年级有关； (2)（i）见解析；（ii）186. 【知识点】独立重复试验的概率问题、正态分布的实际应用、卡方的计算 【分析】（1）由已知数据计算后与临界值比较可得； （2）（i）由潜伏期，利用小概率事件判断；（ii）求得1个人属于长潜伏期的概率为，得，然后解不等式组可得． 【详解】（1）由题意， 所以有95%的把握认为“长潜伏期”与年级有关； （2）（i）由题意，潜伏期， ， 所以， 即潜伏期5天或以上的概率约为，非常的小， 所以隔离5天后，一般不会再传染，即隔离5天是合理的； （ii）由题意，1个人属于长潜伏期的概率为， 所以， 设时最大， 则， 解得，又，所以， 所以时取得最大值． 2．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析 (2) 【知识点】二项分布的方差、特殊区间的概率、正态分布的实际应用、3δ原则 【分析】（1）（i）求出，可得，根据正态分布的对称性可求； （ii）由（i）得，根据，可得小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件，从而可得结论； （2）由正态分布的对称性求出得，可得随机变量，再利用二项分布的方差公式求解即可. 【详解】（1）（i）因为，所以． 因为， 所以． 因为， 所以． （ii）由（i）得． 因为小法计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克，，， 所以小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件， 小概率事件基本不会发生，这就是小法举报该超市的理由． （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则． 由，，得． 根据题意易得随机变量， ． 3．（2024高三·全国·专题练习）按照国际乒联的规定,标准的乒乓球在直径符合的条件下,重量为2.7克,其重量的误差在区间[－0.081,0.081]内就认为是合格产品,在正常情况下样本的重量误差x服从正态分布.现从某厂生产的一批产品中随机抽取10件样本,其重量如下： 2.72　2.68　2.7　2.75　2.66　2.7　2.6　2.69　2.7  2.8 (1)计算上述10件产品的误差的平均数及标准差s； (2)①利用（1）中求的平均数,标准差s,估计这批产品的合格率能否达到96%； ②如果产品的误差服从正态分布,那么从这批产品中随机抽取10件产品,则有不合格产品的概率为多少？（附：若随机变量x服从正态分布,则，，，用0.624，用0.9704分别代替计算） 【答案】(1)0，0.05 (2)①不能；②0.3756 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、正态分布的实际应用、计算几个数的平均数 【分析】（1）根据平均数、标准差的定义计算； （2）①求出后可得；②由计算可得． 【详解】（1）由题意10件产品的误差分别为， 误差的平均数为； 方差为， 所以标准差为； （2）①由（1）中计算得 所以 因为在内包括了所有的合格产品,也包括了不合格的产品,而， 所以这批抽查的产品的合格率不能达到96%. ②因为产品重量的误差服从正态分布，所以， 即为， 所以每件产品合格的概率, 所以随机抽取10件产品中有不合格产品的概率为． 题型九：3原则 典型例题 例题1．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照，，，的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为分，则他的等级是（    ） 附：，，. A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格 【答案】B 【知识点】正态分布的实际应用、3δ原则 【分析】利用正态分布的性质即可求解. 【详解】由题得，，所以，， ，， 因为，， 所以， 根据比例成绩大于分为优秀， 因为， 根据比例成绩在到之间的为良好， ， 根据比例成绩在到之间的为合格， ， 根据比例成绩小于分为基本合格， 因为小张的数学成绩为分，则他的等级是良好. 故选：B. 例题2．（多选）（24-25高三上·江西赣州·期末）小华是一位篮球爱好者，每天坚持投篮训练，每天至少训练10组，每组投篮50次，且每一组投篮命中的次数 X服从正态分布，则（    ）参考数据：，， A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用、3δ原则 【分析】对于A、B选项，根据变量符合正态分布，可得出和的值，对于C、D选项，根据原则，可计算出、的值. 【详解】由题意可得，X服从正态分布，则，，故A正确，B错误， ，故C错误， ，故D正确. 故选： 例题3．（2024·江西南昌·二模）一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值（单位:）服从正态分布. (1)生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间和内各一只的概率;（精确到） (2)根据统计学的知识，从服从正态分布的总体中抽取容量为的样本，则这个样本的平均数服从正态分布. 某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为：1000，1007，1012，1013，1013（单位：Ω）. 你认为这时生产线生产正常吗？说明理由．（参考数据：若，则，，.） 【答案】(1)0.093 (2)不正常，理由见解析. 【知识点】特殊区间的概率、3δ原则、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据正态分布性质分别求电阻阻值在和在的概率，再结合概率公式求结论， （2）根据原则判断即可. 【详解】（1）电阻阻值服从正态分布. 所以，. 所以生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取1只，则这只电阻阻值在和在的概率分别为 ， . 因此这两只电阻的阻值在区间和内各一只的概率； （2）生产正常时，这5个样本的平均数服从正态分布，即， 记，计算可得， 而，即， 因为在一次实验中，小概率事件发生了，因此认为这时生产线生产不正常. 精练核心考点 1．（23-24高二下·广东江门·期末）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态分布，将考试成绩从高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分为A，B，C，D四个等级．若小明的数学成绩为105分，则属于等级（    ） （附：，，） A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用、3δ原则 【分析】根据正态分布的性质即可求解. 【详解】数学测试成绩服从正态分布，则，， 由于等级的概率之和为， 所以 ，而即 故为A等级，为B等级，为C等级， 为D等级， 故105分为A等级． 故选：A. 2．（2024·河南·三模）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（    ） A．286 B．293 C．252 D．246 【答案】B 【知识点】指定区间的概率、特殊区间的概率、3δ原则 【分析】根据正态分布的对称性求出的概率，即可得解. 【详解】由题意得， ， ， 所以被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为293. 故选：B. 3．（多选）（24-25高三上·全国·阶段练习）若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.随机变量服从正态分布，则.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.程女士在该珠宝店随机地挑选了16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条璀璨夺目的项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（    ） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 【答案】BC 【知识点】指定区间的概率、3δ原则、正态曲线的性质、正态分布的实际应用 【分析】由题设可知：随机变量，即可判断AB；根据题中数据结合正态分布的性质求，，即可得判断CD. 【详解】由题设可知：，则随机变量， 所以随机变量的标准差为，故A错误， B正确； 因为 ，故C正确； 因为，故D错误. 故选：BC. 4．（23-24高二下·福建福州·期中）某企业生产一种零部件，其质量指标介于(49.4，50.6)的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为 ．(若，则，) 【答案】 【知识点】3δ原则 【分析】根据题意利用正态分布性质分别计算出技术改造前后的优品率，可得结果. 【详解】技术改造前，易知， 则其优品率为； 技术改造后，其中， 则其优品率为； 所以优品率之差为. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$