山东省临沂市理工学校2024-2025学年高二下学期3月份月考数学试题

山东省临沂市中职学校2024-2025学年高二下学期3月份月考 数学试题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D A C C A C A C 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B B B C D D C C C D 1．D 【分析】本题可根据单位向量、平行向量、相等向量等向量的基本概念，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误. 两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误. 当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误. 向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确. 故选：D. 2．D 【分析】运用三角形法则变形计算即可. 【详解】如图所示，    在中，. 已知点是上靠近点的四等分点，所以. 在中，，代入，可得. . 又因为，，所以. 故选：D. 3．D 【分析】利用给定条件结合平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为，， 所以，故D正确. 故选：D. 4．A 【分析】根据平面向量的定义以及向量共线的概念一一判断. 【详解】对A，都是单位向量，则模长相等，但方向不一定相同， 所以得不到，A错误； 对B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”， 所以“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对C，因为与反向共线， 且，都为单位向量，则，C正确； 对D，若，则，D正确， 故选：A. 5．C 【分析】利用向量的线性运算将用与表示出来，再利用向量共线定理的推理即可得解. 【详解】因为，所以， 则 ， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C 6．C 【分析】先得出向量线性关系，结合向量数量积公式计算求解模长即可. 【详解】在中，， 所以， 则 . 故选：C. 7．A 【分析】根据向量共线的坐标表示，即若向量，则当时，有，即可求解. 【详解】因为三点共线，所以， 因为， 所以，解得. 故选：A. 8．C 【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解． 【详解】解：若， 则，即， 向量，， 则，解得 故选：C 9．A 【分析】先用模长公式求出，再用夹角公式即可得到答案. 【详解】由模长公式， 由夹角公式. 故选：A. 10．C 【分析】由向量的线性运算与数量积的坐标表示，可得答案. 【详解】因为，，，所以，， 则． 故选：C. 11．B 【分析】应用向量的坐标的线性运算求，再根据垂直关系的坐标表示列方程求参数. 【详解】由，又， 所以， 则. 故选：B 12．B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合向量垂直关系与数量和意义判断. 【详解】由，得；反之当中有零向量时，有，而不满足向量夹角的定义， 即不能推出，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 13．B 【分析】把两边同时平方，结合向量的模长可得结果. 【详解】由得，， ∵，∴，即. 故选：B. 14．C 【分析】求出行政人员占的比例，从而得到应抽取人数. 【详解】行政人员占的比例为，故行政人员应抽取的人数为. 故选：C． 15．D 【分析】首先根据题意确定分组情况和抽样间隔，分析即可得出结果. 【详解】根据题意，在60人中抽5人，需将60人分为5组， 每组人，故系统抽样抽取的第一个号码应在1~12之间， 依次加12得到后四个号码.符合的选项为D. 故选：D. 16．D 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式，进而求出古典概率. 【详解】从袋中不放回地依次随机取出2个球的试验有个基本事件， 取出的2个球颜色相同的事件有个基本事件， 所以这2个球颜色相同的概率为. 故选：D 17．C 【分析】由对立事件的概念逐项判断即可； 【详解】任取两件所有可能结果为：全是正品、全是次品、一件正品一件次品； A中，恰好有一件次品即为一件正品一件次品， 所以恰好有一件次品与全是次品是互斥但不对立事件； B中，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品， 所以至少有一件次品与全是次品不是对立事件； C中，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品， 所以至少有一件次品与全是正品是对立事件； D中，至少有一件正品包含：全是正品、一件正品一件次品； 至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品， 所以至少有一件正品与至少有一件次品有交集，不是对立事件． 故选：C 18．C 【分析】借助古典概率特征：①有限性；②等可能性逐项分析即可得. 【详解】对A：取出白球与取出黑球发生的可能性不同，故不是古典概型，故A错误； 对B：一次试验的结果有无限个，故不是古典概型，故B错误； 对C：满足古典概型特征，是古典概型，故C正确； 对D：两个样本点发生的可能性可能不同，故不是古典概型，故D错误． 故选：C. 19．C 【分析】根据频率分布直方图求出不低于90分的频率，即可求得人数. 【详解】由频率分布直方图可知，成绩不低于90分的频率为：， 所以成绩不低于90分的人数为. 故选：C 20．D 【分析】根据给定条件，利用极差、平均数、方差、中位数的意义依次判断即可. 【详解】处理后选手甲的得分为7.5，7.8，7.8，8.0，8.0，8.2，8.3，8.4， 对于A，处理前后最低分不变，最高分变小，极差变小，A错误； 对于B，处理前平均分， 处理后平均分，平均数变小，B错误； 对于C，去掉一个最低分和一个最高分后，数据的波动变小，方差变小，C错误； 对于D，处理前后的中位数都为，D正确. 故选：D 21． 【分析】根据向量的加法、减法运算可得答案. 【详解】 . 故答案为：. 22．/ 【分析】根据向量平行的坐标运算计算即可. 【详解】设， 若，则， 则． 故答案为：. 23． 【分析】根据已知及向量的夹角公式求夹角的余弦值，进而确定角的大小. 【详解】设与的夹角为，因为，，， 所以，因为， 所以，即与的夹角为． 故答案为： 24．14 【分析】根据随机数表及其选取方法依次取到第6个数即可. 【详解】由题意可知，符合题意的编号依次为01，17，09，08，06，14， 故选出来的第6支水笔的编号为14. 故答案为：14 25．19 【分析】根据平均数和方差的公式即可计算. 【详解】设数据，，，…，的平均数为，方差为， 设，设的平均数为，方程为， 则有 ， ， 所以， 故答案为：19. 26．(1) (2) 【分析】（1）利用平方的方法来求得正确答案. （2）根据向量平行列方程来求得. 【详解】（1）， 所以. （2）由于向量与平行， 所以存在实数，使得， 所以，解得. 27．(1) (2) 【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知，即可求出参数值； （2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是且与不共线，从而可得不等式组求解即可. 【详解】（1）由题意可得，， 若向量与共线，可得， 解得. （2）若向量与的夹角为锐角可得且与不共线， 即可得， 解得且， 即实数的取值范围为且 28．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解； （2）结合向量共线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：，， 则， 故； （2）证明：，， 则； ， 所以， 所以，，三点共线． 29．(1)甲：9；；乙：9，2 (2)甲运动员成绩更好 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式可解； （2）比较平均数和方差的大小可得. 【详解】（1）甲随机抽取的6次射击成绩的平均数为， 方差为； 乙随机抽取的6次射击成绩的平均数为， 方差为. （2）因为，，所以甲随机抽取的6次射击成绩比乙稳定，故甲运动员成绩更好. 30．(1) (2) 【分析】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【详解】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省临沂市中职学校2024-2025学年高二下学期3月份月考 数学试题 答题卡 ( 贴条形码区 )姓 名 ________ 班级________ 日期 ________ 准考证号 ( 注 意 事 项 ) ( 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码； 2.选择题必须用2B铅笔填涂，解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚； 3.请按照题号顺序在各题的答题区域内答题，超出答题区域的答案无效，在草稿纸、试题纸上的答案无效； 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破. ) ( 解答题 26. 27. ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( ) 学科网（北京）股份有限公司 一、选择题 ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] ) ( 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] ) ( 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] ) ( ) ( 二、填空题 21 . 22 . 23 . 24 . 25 . ) ( 16 [A] [B] [C] [D] 17 [A] [B] [C] [D] 18 [A] [B] [C] [D] 19 [A] [B] [C] [D] 20 [A] [B] [C] [D] ) ( 30. ) ( 28. 29. ) $$ 山东省临沂市中职学校2024-2025学年高二下学期3月份月考 数学试题 满分120分，考试时间120分钟。 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 共计20个小题，每题3分，共60分。 一、单选题 1．下列说法正确的是（ ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 2．在中，点是上靠近点的四等分点，设，则（   ） A． B． C． D． 3．在中，设，，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．下列命题错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则. B．“”是“”的必要不充分条件. C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D．若，则. 5．在中，，点E在上，若，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，且三点共线，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 8．已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 9．已知向量满足，则（   ） A． B． C． D． 10．已知向量，，，则（   ） A．6 B．4 C．-6 D．-4 11．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C． D． 12．设、是任意两个向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 13．已知向量，满足，则（   ） A．0 B．2 C． D． 14．某中学共有300名教职员工，其中一线教师200人，行政人员60人，后勤人员40人，采取分层随机抽样，拟抽取一个容量为60的样本，则行政人员应抽取（   ） A．40人 B．28人 C．12人 D．8人 15．某班有60名学生，学号为1~60号，现从中抽出5位学生参与一项活动，用系统抽样的方法确定的样本号码可能为（    ） A．5，10，15，20，25 B．5，12，31，39，57 C．5，15，25，35，45 D．5，17，29，41，53 16．袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个白球.从袋中不放回地依次随机取出2个球，则这2个球颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 17．从一堆产品（其中正品与次品均多于两件）中任取两件，观察所抽取的正品件数与次品件数，则下列每对事件中，是对立事件的是（   ） A．恰好有一件次品与全是次品 B．至少有一件次品与全是次品 C．至少有一件次品与全是正品 D．至少有一件正品与至少有一件次品 18．下列试验是古典概型的是（　　） A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球为白球 B．在区间上任取一个实数，使 C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D．某人射击中靶或不中靶 19．某校高二年级1000名学生参加一次交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于90分的人数为（   ） A．500 B．300 C．200 D．100 20．在某次演讲比赛中，10位评委对选手甲的评分如下：7.5，7.5，7.8，7.8，8.0，8.0，8.2，8.3，8.4，9.9.选手的最终得分将按照去掉一个最低分和一个最高分的规则进行处理，则处理前后选手甲的得分（   ） A．极差不变 B．平均数不变 C．方差不变 D．中位数不变 第II卷（非选择题） 本卷包括填空题和解答题两部分，其中填空题共5个小题，每小题4分，共20分；解答题共5小题，每题8分，共40分。 二、填空题 21．化简 . 22．设，若，则 ． 23．已知，，，则与的夹角为 ． 24．现利用随机数表法从编号为00，01，02，…，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为 . 95226000   49840128   66175168   39682927   43772366   27096623 92583556   43890890   06482834   59741458   29778149   64608925 25．已知数据的平均数为3，方差为1，则数据，，，…，的平均数与方差的和为 ． 三、解答题 26．已知，，且与的夹角为120°，求： (1)； (2)若向量与平行，求实数的值． 27．已知向量. (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 28．已知向量，． (1)求； (2)若，，，求证：，，三点共线． 29．甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人的成绩中各随机抽取6次成绩（满分10分，8分及以上为优秀），如下表所示： 甲射击成绩 10 9 7 8 10 10 乙射击成绩 10 6 10 10 9 9 (1)分别求出甲、乙两名运动员6次射击成绩的平均数与方差； (2)判断哪位运动员的射击成绩更好？ 30．如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$