10.3 实际问题与二元一次方程组（ 两课时）教案 2024—2025学年 2024人教版数学 七年级 下册

人教版初中数学七年级下册第十章 10.3 实际问题与二元一次方程组（分两课时） 第一课时 一、教学目标 1. 核心素养 抽象能力：从实际问题中抽象出二元一次方程组模型。 应用意识：用方程组解决资源分配、消费问题。 模型观念：通过分析等量关系构建数学模型。 1. 学习目标 能根据两个未知量设未知数，列出方程组。 会解方程组并检验解的合理性。 二、学情分析 已有知识：已掌握代入消元法、加减消元法。 认知难点： 从文字中提取两个独立的等量关系。 将实际问题转化为数学表达式。 兴趣点：结合养殖、购物等生活实例增强代入感。 三、教学重难点 重点：分析等量关系，列方程组。 难点：检验解的实际意义。 四、教学过程 1. 情景导入（10分钟） 生活实例： 展示教材图10.3-1（养牛场饲料问题）： “李大叔需要估算每头牛的饲料量，如何通过两次饲料使用量计算大牛和小牛的饲料需求？” 学生活动：分小组讨论，提出以下问题： 第一次饲料总量如何表示？（30大牛 + 15小牛 = 675 kg） 第二次饲料总量如何表示？（42大牛 + 20小牛 = 940 kg） 总结：实际问题中需通过多个条件建立方程组。 2. 新课知识点讲解（25分钟） 知识点1：实际问题转化为方程组的步骤 1. 设未知数：明确问题中的两个未知量。 例：设每头大牛饲料量 kg，每头小牛饲料量 kg。 1. 找等量关系：从问题中提取两个独立条件。 条件1： 条件2： 1. 列方程组： 1. 解方程组： 化简第一式： 代入第二式：，解得，。 1. 检验解： 大牛饲料量20 kg（符合李大叔估计1820 kg），小牛饲料量5 kg（低于估计78 kg）。 知识点2：典型问题分析（教材探究1） 关键点： 两次饲料总量的变化反映牛的数量变化。 验证解是否在合理范围内（如饲料量不能为负数）。 知识点3：消费问题模型 例题（教材练习1）： 题目：A车间买3甲型灯+5乙型灯=50元；B车间买12甲型灯+4乙型灯=88元。 解析： 知识点：总价=单价×数量，通过消元法解方程组。 知识点4：混合购买问题 例题（教材练习2）： 题目：两次购买《西游记》和《水浒传》，第一次2西+3水=151元，第二次4西+2水=178元。 解析： 知识点：利用方程组的对称性简化计算。 3. 例题精讲（20分钟） 例题1（教材习题10.3第2题） 题目：两日徒步共98 km，第一天8小时，第二天10小时，且第一天比第二天少走2 km。求平均速度。 解析： 设第一天速度 km/h，第二天速度 km/h： 知识点：行程问题中的时间、速度、路程关系。 例题2（教材习题10.3第3题） 题目：处理餐厨垃圾和建筑垃圾，处理费总和由7020元升至8520元，收费标准上调。求去年垃圾量。 解析： 设餐厨垃圾 t，建筑垃圾 t： 知识点：费用=单价×数量，验证价格上调的影响。 4. 巩固练习（10分钟） 教材习题10.3第1题：解方程组： 拓展题：设计一个“买笔记本和笔”的问题，要求列出方程组并求解。 5. 总结与作业（5分钟） 总结：列方程组的步骤（设、找、列、解、验）。 作业：教材习题10.3第4题（机器人搬运问题）、第5题（通道宽度问题）。 6、 板书设计 知识点概要 1. 实际问题→方程组步骤 设未知数：（大牛饲料量），（小牛饲料量）。 找等量关系：两次饲料总量。 列方程： 解方程：, 。 检验：符合实际范围。 1. 消费问题模型 总价=单价×数量，如： 例题解析 1. 徒步问题 方程组： 1. 垃圾处理问题 方程组： 第二课时 一、教学目标 1. 核心素养 模型观念：通过比例分配、运输问题构建方程组。 应用意识：解决多步骤实际问题。 运算能力：熟练解复杂方程组。 1. 学习目标 能根据比例、运输成本等条件列出方程组。 掌握多步骤问题的分析方法。 二、学情分析 已有知识：已掌握列方程组的基本步骤。 认知难点： 处理比例问题中的分数关系。 分析运输问题中的原料与产品数量关系。 兴趣点：结合农业、物流案例增强代入感。 三、教学重难点 重点：从复杂问题中提取等量关系。 难点：验证多步骤问题的解。 四、教学过程 1. 情景导入（10分钟） 生活实例： 展示教材图10.3-2（土地划分问题）： “如何划分土地，使两种作物的总产量比为3:4？” 学生活动：讨论“单位面积产量与总面积的关系”。 总结：比例问题需通过方程组实现精确分配。 2. 新课知识点讲解（25分钟） 知识点1：比例分配问题（教材探究2） 1. 设未知数：甲作物种植长 m，乙作物种植长 m（土地总长200 m）。 1. 找等量关系： 总长度： 产量比例： 1. 列方程组： 1. 解方程组： 化简第二式：，解得 m， m。 1. 实际意义：甲作物种植120m×100m，乙作物种植80m×100m。 知识点2：运输成本问题（教材探究3） 1. 设未知数：购买 t长绒棉，制成 t面料。 1. 找等量关系： 公路运费： 铁路运费： 价值关系：销售额，原料费。 1. 列方程组（需结合教材表10.3-1）： 1. 解方程组（假设运输距离如图10.3-2标注）： 1. 计算利润：销售额 -（原料费 + 运费）= 。 知识点3：多步骤问题分析 关键点： 运输问题需结合原料与产品的数量关系（如 t原料制成 t面料）。 费用计算需分公路、铁路两段。 知识点4：行程问题模型 例题（教材习题10.3第9题）： 题目：甲到乙有上坡和平路，上坡30 km/h，平路40 km/h，下坡50 km/h，甲→乙54分钟，乙→甲42分钟。求全程。 解析： 设上坡 km，平路 km： 全程： km。 3. 例题精讲（20分钟） 例题1（教材练习1，土地划分变式） 题目：若按图10.3-1中DMNC和MABN划分，求AM的长度。 解析： 设AM为 m，则MB为 m。 产量比例： 解得： m。 例题2（教材练习3，货车运货） 题目：2大车+3小车运15.5t，5大车+6小车运35t，求3大+5小运货量。 解析： 3大+5小运量： t。 例题3（缆车票问题） 题目：20人买往返票（80元）和单程票（45元），总花费1180元。求票数。 解析： 设往返票张，单程票张： 例题4（广告公司利润问题） 题目：制作展板、宣传册、横幅，宣传册是展板的5倍，总时间25h，利润975元。求总件数。 解析： 设展板件，宣传册件，横幅件： 总件数：件。 4. 巩固练习（10分钟） 教材习题10.3第7题（毛笔价格问题）： 方程组： 解：元（A型），元（B型）。 5. 总结与作业（5分钟） 总结：比例分配、运输问题的建模与验算。 作业：教材习题10.3第8题（超市账目问题）、第9题（编应用题）。 7、 板书设计 知识点概要 1. 比例分配问题 等量关系：总长度、产量比例。 方程组： 1. 运输成本问题 等量关系：公路/铁路运费=总费用。 方程组： 例题解析 1. 缆车票问题 方程组： 1. 广告公司利润问题 方程组： 学科网（北京）股份有限公司 $$