8.2 立体图形的直观图 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 8.2 立体图形的直观图(1) 前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征. 为了将这些空间几何体画在纸上,用平面图形表示出来,使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构,这就需要学习直观图的有关知识. 下图是相应空间几何体的直观图. 圆台 棱柱 棱台 圆锥 棱锥 圆柱 球体 新知导入 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形,画立体图形的直观图,实际上是把不完全在同一平面内的点的集合,用同一平面内的点表示.因此,直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.在立体几何中,立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. 要画立体图形的直观图,首先要学会画水平放置的平面图形. 新知导入 如下图,矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状? 眺望远处成块的农田,矩形的农田在我们眼里又是什么形状? 新知导入 思考 为什么是这些形状?能用平行投影知识加以解释吗?还记得初中学过的投影分为哪几类吗? 光由一点向外散形成的投影,叫做中心投影. 中心投影的投影线交于一点. 在一束平行光线照射下形成的投影,叫做平行投影. 平行投影的投影线是平行的. 1. 投影 在平行投影下, 1.投影的结果仍然是直线或线段; 2.平行性不变,但形状、长度、夹角会改变; 3.平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变; 4.如果一个矩形垂直于投影面,投影线不垂直于投影面, 那么矩形的平行投影是一个平行四边形. 1. 投影 利用平行投影,人们获得了画直观图的斜二测画法. 利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图,其步骤是: ① 画轴:在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O. 画直观图时,把它们画成对应的x' 轴与y' 轴,两轴相交两轴交于点O',且使∠xO'y=45 (或135 ),它们确定的平面表示水平面. 2. 斜二测画法 ——画水平放置的平面图形的直观图 x y x' y' O O' ③取长度:已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的一半. ②画线:已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x' 轴或y' 轴的线段. 2. 斜二测画法 ——画水平放置的平面图形的直观图 ④成图:连接线段,擦除辅助线. 横不变,竖减半,平行关系不变 试一试:用斜二测画法画水平放置的正方形ABCD的直观图. x y A B C D x' y' A' D' C' 2. 斜二测画法 ①画轴:以A为原点,直线AB,AD为 轴,轴,建立如图所示的坐标系. ②画出对应的轴,轴,交于A,使 ③画线、取长度: 画,; 作轴,使; 连接. B' 例1:用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图. A B C D F E O M N 例题分析 ①在正六边形中,取所在直线为轴,的垂直平分线为轴,两轴相交于点. 画相应的轴与轴,两轴相交于点,使. O' O M N 例1:用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图. A B C D F E 例题分析 ②以为中点, 在轴上取, 在轴上取. 以点为中点, 画//轴,=; 再以为中点, 画轴,=. B' C' A' D' F' E' M' N' O' O M N 例1:用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图. A B C D F E 例题分析 ③连接, ,,, 并擦去辅助线轴和轴,便获得正六边形水平放置的直观图. B' C' A' D' M' F' E' N' (1)建系画轴. 斜二测画法的基本步骤: 450或1350 方法总结 (2)确定坐标轴上的点. (3)确定平行线段. (4)连点并擦去辅助线. 1. 在原图中选取适当的直角坐标系非常关键,一般可结合对称性,并且要使尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点. 2. 画图的关键是确定多边形顶点的位置. 对于原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来确定位置,确定它的两个端点,然后连接成线段. 斜二测画法的作图技巧: 方法总结 横不变,竖减半,平行关系不变 练习1:用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图. 巩固训练 巩固训练 变式1:画出如图所示下列水平放置的平面图形的直观图. 练习2:下图是用斜二测画法画出的水平放置的 ABC的直观图 A'B'C' , 其中A'O'=O'B',请画出这个图形的真实图形. 巩固训练 (1)建坐标系 (2)画坐标轴上的点 (平行于x'轴的线段长度不变, 平行于y'轴的线段长度加倍) 画平行于坐标轴的线段 (本题无); (3)连线,擦去辅助线 练习2:下图是用斜二测画法画出的水平放置的 ABC的直观图 A'B'C' , 其中A'O'=O'B',请画出这个图形的真实图形. 巩固训练 思考:正三角形原图形与直观图的面积具有怎样的数量关系? 对任意多边形,都有 四、典型例题 练习3(1)已知等边三角形的边长为 ,则用斜二测画法画出的水平放置的直观图的面积为_. (2)一个平面图形用斜二测画法画出的水平放置的直观图是边长为1的正方形,则这个平面图形的面积为_. x y O C A B x' y' O' C' A' B' x' y' O' C' A' B' x y O C A B 巩固训练 四、典型例题 (3)有一个上底为2,下底为3,直角腰为的直角梯形,则其用 斜二测画法画出的直观图面积为_. 巩固训练 用斜二测画法画可以将一个多边形水平放置,若是一个圆,我们将其水平放置有什么办法? 但生活的经验告诉我们,水平放置的圆看起来非常像椭圆,因此我们一般用椭圆作为圆的直观图. 在实际画水平放置的圆的直观图时常用右图所示的椭圆模板。 2. 斜二测画法 2. 斜二测画法 用斜二测画法画圆的直观图: 1. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论是否 正确? (1)相等的线段在直观图中仍相等。( ) (2)平行的线段在直观图中仍平行。( ) (3)一个角的直观图仍是一个角。 ( ) (4)相等的角在直观图中仍相等。 ( ) √ √ 当堂检测 2.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图,正确的是( ) A B C D C 当堂检测 3.如图,平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图,若O′P′=3,O′R′=1,则原四边形OPQR的周长为 . 10 当堂检测 5、梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形O′A′B′C′的面积为 ,则原梯形的面积为_ 4、如图 A′B′C′是水平放置的 ABC的直观图,则在 ABC的三边及中线AD中,最长的线段是_ 当堂检测 1、直观图; 2、斜二测画法: (1)画水平放置的平面图形的直观图 (2)由直观图还原出原图 (3) 课堂小结 横不变,竖减半,平行关系不变 对任意多边形,都有 $$