2025年九年级数学中考二轮复习二次函数综合压轴题题型分类解答题专题训练

2025年九年级数学中考二轮复习 二次函数综合压轴题题型分类解答题专题训练 1．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点和点 B， 与y轴交于点 C． (1)求a的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，， 求点M的坐标； (3)在直线上方的抛物线上有一动点 P，过点P作于点E， 作交于点 F．当的周长有最大值时，求点 P 的坐标和的周长． 2．已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，点M是抛物线对称轴上的一动点，过点M作轴交抛物线于点C和点D（点C在对称轴的左侧）． (1)如图1，求该抛物线的解析式； (2)作交抛物线于点E，连接． ①如图2，当点E在x轴上时，求点M的坐标； ②若是以为底角的等腰三角形，求点E的坐标． 3．如图，已知二次函数（）的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），且点．点是该二次函数图象上的一点，其横坐标为，当点不与点、重合时，连接，以、为邻边作． (1)求这个二次函数的解析式及点的坐标； (2)若平行四边形的面积是，求点的坐标； (3)当二次函数（）的图象在平行四边形内部（包括边界）的最高点与最低点的纵坐标之差是时，求的值； (4)当二次函数（）在平行四边形内部的图象随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 4．如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于图C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点D是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，，，，当的面积等于面积的2倍时，求点D的坐标； (3)过点作直线l与抛物线交于P，Q两点，当线段的长度为5时，求直线l的解析式． 5．如图，抛物线． (1)试说明无论为何值，抛物线必经过某个定点． (2)若抛物线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，且满足． ①求的值． ②抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知直线与x轴、y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t． (1)求抛物线解析式； (2)当，求t的值； (3)若点N到直线的距离为d，求d的最大值； 7．如图，已知抛物线经过，两点，与轴相交于点，该抛物线的顶点为点． (1)求该抛物线的解析式及点的坐标； (2)连接，，，，设，，的面积分别为，和，用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； 8．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且，． (1)求抛物线的表达式； (2)若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的N点；若将点M向右平移个单位，则到达图象上的Q点，求Q点坐标． (3)动点D在直线上方的二次函数图像上，连接，相交于E点，的面积为，的面积为，求的最大值及此时点D的坐标； 9．抛物线交x轴于，B两点（B在A的右侧），交y轴于点，M是第四象限内抛物线上一动点． (1)求此抛物线的表达式； (2)如图1，连接，过动点M作，垂足为点D，连接．当时，求的长； (3)如图2，过动点M作的平行线交y轴于点N，若射线平分线段，求点M的坐标． 10．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过线段上的一个点作轴的垂线，交线段于点，交抛物线于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)问点在什么位置时能成为等腰三角形？ (3)若连接，，则当___________时，与相似．（直接写出结果即可，不用写出解答过程） 11．如图，一条抛物线和直线l交于点O、B，其中O是平面直角坐标系的原点，B点坐标是，在抛物线上． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)求的面积； (3)在直线l下方的抛物线上有一点P，当的面积取得最大值时，求此时P点的坐标． 12．如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； (3)抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积； (3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图1，拋物线交轴于A，B两点（在的左边），与轴负半轴交于点，且，连接． (1)求拋物线的解析式； (2)为抛物线上一点，若，求点的坐标； (3)如图2，为线段上一动点，过点作轴交抛物线于点，第四象限的拋物线上是否存在点，连接，使与互相平分，若存在求点的坐标，若不存在，请说明理由． 15．综合与探究：如图1，已知抛物线与x轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，是下方的抛物线上的一个动点，且点的横坐标为，求面积与的函数关系式及的最大值； (3)在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级数学中考二轮复习二次函数综合压轴题题型分类解答题专题训练》参考答案 1．(1)； (2)； (3)P( ， )；． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，构造二次函数求三角形面积的最大值，熟练掌握抛物线的性质，待定系数法，构造二次函数求最值是解题的关键． （1）运用待定系数法解答计算即可． （2）首先求出二次函数的解析式得出点A，B，C，的坐标，)设， 作轴于点H，构造直角三角形，利用锐角三角函数建立关于m的方程求解即可; （3）连接，，．设，结合的周长为，得当的值最大时，的周长最大，利用求得最值，代入计算即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点， ∴， 解得， （2）∵， ∴二次函数表达式为：， 令，解得或， 令得， ∴，，． ∴， 设， 作轴于点H，如图， ∵， ∴，即， ∴ 解得或（舍去）， ∴， ∴M的坐标为； （3）设直线的解析式为，， 则， 解得：． ∴直线的解析式为． 连接，，． 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长为， ∴当的值最大时，的周长最大， ∵ ， ∵， ∴时，的面积最大，面积的最大值为，，根据是定值，故此时的值最大， ∵， ∴， ∴的周长的最大值：，此时． 2．(1)； (2)①或；②点E的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①分两种情况讨论：当在轴上方时和当在轴下方时，结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理确定点的坐标，然后代入函数解析式并求解，进一步即可获得答案； ②分两种情况讨论，当点在的上方时，作于点，设，求得，，利用待定系数法求得；当点在的下方时，点在的垂直平分线上，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴抛物线的解析式为， 把代入，可得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：①分两种情况讨论： 当在轴上方时，如下图，设抛物线的对称轴交x轴于点，过点作于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵轴， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， 将代入， 得， 整理得， 解得或， ∴； 当在轴下方时，如下图，设抛物线的对称轴交x轴于点，过点作于点， 设， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， 将代入， 得， 整理得， 解得或， ∴． 综上所述，点的坐标为或； ②当点在的上方时，，且，如图，作于点， ∴，，，设， ∵抛物线的对称轴为直线，轴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴，， ∴，， ∴，代入得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴，， ∴； 当点在的下方时，，且，如图， ∴点在的垂直平分线上， ∴， 综上，点E的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等，其中（2）要注意分类求解，避免遗漏． 3．(1)二次函数的解析式为，； (2)点的坐标是或； (3)或或； (4)且． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，二次函数与平行四边形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）根据平行四边形的面积是，则点的纵坐标为，然后代入解析式即可求解； （）分当点在对称轴左侧时，即时，当点在对称轴右侧且在轴下方时，即时，当点在对称轴右侧且在轴上方时，即时三种情况分析即可； （）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴，解得：， ∴这个二次函数的解析式为， 当时，， 解得：，， ∴点； （2）解：∵，， ∴， ∵平行四边形的面积是， ∴点的纵坐标为， ∴，整理得： 解得：，， ∴点的坐标是或； （3）解：如图，当点在对称轴左侧时，即时， 设与抛物线交于点， ∴二次函数的图象在平行四边形内部（包括边界）的最高点为点，最低点为点， ∵最高点与最低点的纵坐标之差是， ∴， ∴，解得：或， ∵， ∴； 如图，当点在对称轴右侧且在轴下方时，即时， ∴二次函数的图象在平行四边形内部（包括边界）的最高点为点，最低点为点， ∵最高点与最低点的纵坐标之差是， ∴， ∴，解得：或， ∵， ∴； 如图，当点在对称轴右侧且在轴上方时，即时， ∴二次函数的图象在平行四边形内部（包括边界）的最高点为点，最低点为点， ∵最高点与最低点的纵坐标之差是， ∴， ∴，解得：或， ∵， ∴； 综上可知：的值为或或； （4）解：根据图象可知，平行四边形内部的图象随的增大而增大时， ∴的取值范围且． 4．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求得点坐标是，再求得直线的解析式为，设，则，，由列方程，进而求解即可； （3）先用待定系数法求出直线l解析式为，再联立两函数解析式，求得、两点的坐标用k表示，再列方程求k值即可． 【详解】（1）解：把，代入中，得： ， 解得：， 抛物线解析式为； （2）解：过点作轴平行线交轴于，交于点，作于点，如图①， 把代入中，得：， 点坐标是， 设直线， 把，代入，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； 设，则， ， 由得：， ， 整理得：， 解得：，， ， 的值为1或2， 当时，， 当时，， 点的坐标为或； （3）解：设直线l的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， 联立直线l与抛物线解析式，得 ， 解得：，， ∴、两点的坐标为，， ∴， ∴， ∵线段的长度为5， ∴，解得， ∴或， ∴直线l的解析式为或． 【点睛】本题属于二次函数的综合应用，考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，抛物线与直线的交点问题，解一元二次方程，两点坐标距离公式等知识，掌握这些知识是解题关键． 5．(1)说明见解析 (2)①；②存在，点的坐标为或 【分析】（）把代入函数解析式得，即可说明； （）①由题意可知，，可得，即可求出点的坐标，进而求解的值；②连接，在轴上取点，使得，过点作，交抛物线于点，可得，把代入求出点的坐标，求出直线的解析式，进而求得直线的表达式，最后联立函数解析式即可求解； 本题考查了待定系数法，二次函数的几何应用，二次函数与一次函数的交点问题，求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴无论为何值，抛物线必经过定点； （2）解：①由题意，知，， ∵抛物线必经过定点 ∴， ∵， ∴， 解方程，得（舍去），， ∴点的坐标是， 把点代入，得， 解得； ②∵， ∴抛物线的解析式是． 如图，在轴上取点，使得，过点作交抛物线于点， 则， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 把代入，得， ∴点的坐标是， 设直线的解析式是． 则， 解得， ∴直线的解析式是， 设直线的解析式是， 把点代入，得， ∴直线的解析式是 联立函数式得， 解得或， ∴抛物线上存在点，使得，点的坐标是或． 6．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求一次函数与坐标轴的交点坐标，待定系数法求二次函数解析式等等，通过把求线段的长转换成点P横坐标的二次函数是解题的关键． （1）先根据一次函数解析式求出A、B的坐标，再把A、B坐标代入抛物线解析式中求出抛物线解析式即可； （2）由，得，，分别表示出，，由，建立方程，，解方程即可得到答案； （3）如图所示，连接，设点N到的距离为d，设，同理得到，利用勾股定理求出，根据，最大值为8，得，推出，即d的最大值为 【详解】（1）解：直线中，时，；时，． ∴点A的坐标为，点B的坐标为． ∵抛物线经过点A，B， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵设点（），则点，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或4（与点B重合，舍去）， ∴； （3）解：点N到直线的距离为d， 求d的最大值即为求面积的最大值， 连接，如下图所示， ∵点， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴面积最大为8， ∵， ∴， 解得， 即d的最大值为； 7．(1)， (2)，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）直接根据两点式写出函数解析式即可，将一般式转化为顶点式，求出点的坐标； （2）分别求出三个三角形的面积，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下： ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 连接， ∵， ∴ ， ∴． 8．(1) (2) (3)的最大值为，． 【分析】（1）把，代入抛物线，再建立方程组求解即可； （2）先表示平移后，，再利用对称性可得答案； （3）如图，过作轴交于，过作轴交于，可得，可得，求解直线为，，可得，设，则，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：把，代入抛物线， 得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为； （2）解：∵将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的N点； ∴， ∵将点M向右平移个单位，则到达图象上的Q点， ∴， ∵关于抛物线的对称轴对称， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过作轴交于，过作轴交于， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴， ∵，， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∵当， 解得：，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 当时，的最大值为， 此时， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的对称性，平移的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 9．(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴，垂足为，交于点，证明，得到，求出，进而求出点的坐标，进而求出的长即可； （3）求出直线的解析式，设，平行求出直线的解析式，进而得到点的坐标，中点坐标公式求出点坐标，代入直线的解析式，求出的值即可． 【详解】（1）解：抛物线过 解得： 抛物线解析式为： （2）抛物线与轴交于， 令，则：， ， ∵， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为：，把代入得：， 解析式为：， 如图，过点作轴，垂足为，交于点， ， ∴， ∵， ， 又 ， ， 又， ， 设，则 解得： ； （3） 同（2）法可得：直线解析式为： 由（2）知解析式为： 设 设的解析式为：，把代入，得：， 解析式为： 中点为 将代入 得： 解得：（舍）， ． 10．(1) (2)当点坐标为或或时，是等腰三角形 (3) 【分析】（1）用待定系数法将点的坐标代入中即可求解； （2）设直线的解析式为，得直线的解析式为，设点的坐标为，其中，由题意得点，进而可得，，由，得；同理可得，；分三种情况：当时；当时；当时分别列方程求解即可求是等腰三角形时D的坐标； （3）若与相似，可得，设， 得 ，’ 解方程即可求得． 【详解】（1）解：把点的坐标代入中，得， 解得， 此抛物线的解析式为； （2）解：对于，取，得， 点的坐标为； 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 设点的坐标为，其中， 由题意得点， ， 又， ， ； 同理，，； 当时，， 解得， 经检验，舍去，只取； 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得或，经检验，舍去，只取； 综上所述，当点坐标为或或时，是等腰三角形． （3）解：点，点的坐标为， ， 若与相似， 可得， ， 设， ， ， ， 或（舍去）， 时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，相似三角形的性质等，解题关键是在求等腰三角形的存在性质时注意分类讨论思想的运用，要把所有符合条件的点求全． 11．(1) (2)18 (3)P点坐标是 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到：待定系数法、一次函数表达式的确定、轴对称、最值问题，综合性强，难度大． （1）把，，代入，用待定系数法即可求解； （2）求直线l的表达式是：；过点A作轴交直线l于点D，求的面积和即可； （3）过点P作轴交直线l于点M，则：M点的横坐标和P点的横坐标一样，设，则，则，求 即可，进而可求坐标． 【详解】（1）解：设抛物线对应的函数表示式为， 依题，它经过，，， 则： ， 解得：， ∴抛物线对应的函数表示式为； （2）解：因为直线l经过原点，设直线l的表达式：， 把代入， 得：， ， ∴直线l的表达式是：； 过点A作轴交直线l于点D， 则：D点的横坐标和A点的横坐标一样，都是3， ∴在中，令，则， ， ，的高均为3， ∴； （3）解：过点P作轴交直线l于点M，则：M点的横坐标和P点的横坐标一样， 设，则，则： ； ∴当时，取得最大值， 此时，， P点坐标是． 12．(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为 (3)的横坐标为或或或． 【分析】（1）把代入求出，再用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）设，则，，由，可得，解出的值可得的坐标为； （3）过作轴交直线于，求出，知，故，设，则，可得，，根据的面积等于面积的一半，有，可得，即或，解出的值可得答案． 【详解】（1）解：把代入得：， ， 把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设，则，， ， ， 解得或（此时不在直线上方，舍去）； 的坐标为； （3）解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下： 过作轴交直线于，过点B作，延长交x轴于点F，如图： 在中，令得， 解得或， ，， ， ， ， 设，则， ， ∵ ， 的面积等于面积的一半， ， ， 或， 解得或， 的横坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 13．(1) (2)9 (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，求出直线的解析式，过点作轴并延长交于E，根据进行求解即可； （3）分四边形为平行四边形和四边形为平行四边形，两种情况进行讨论，利用平移思想进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴当时，， ∴， ∵抛物线的图象与x轴交于，两点， ∴，把，代入，得：， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴设的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴并延长交于E，则：， ∴， ∴； （3）解：存在； 由（2）知，直线的解析式为：，设， ∵，且以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴； ①当四边形为平行四边形时， ∵， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，即：， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）； ②当四边形为平行四边形时， ∵， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，即：， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）； 综上：或． 14．(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，二次函数的综合应用，平行四边形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先得出点的坐标为，点的坐标为，结合令是该方程的根，解得，即可作答． （2）读懂题意，然后进行分类讨论，即点在轴上方，或点在轴下方，分别作图，再运用二次函数的图象性质列式计算，即可作答． （3）依题意，假设存在点．因为与互相平分，所以且，因为且轴交抛物线于点，则，得①，②，联立①②，解得：，将代入中得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，令，得，即点的坐标为， ∵， ，即点的坐标为， 令是该方程的根， ， 得， 故抛物线的解析式为：； （2）解：依题意，设点坐标为， 如图，若点在轴上方，作轴于点， 由（1）知：， ， ， 即：， 得：或（舍去）， 此时点坐标为， 若点在轴下方， 同理得：， 即：， 得：或（舍去）， 此时点坐标为； 综上：点的坐标为或； （3）解：依题意，假设存在点． 当四边形是平行四边形时，与互相平分， 且， 且轴交抛物线于点， 则， 故点与点是一对对称点， ①， 又， ②， 联立①②，解得：， 将代入中得：， 点的坐标为． 15．(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，交直线于点，根据得到，即可得到最大值； （3）分点在点左侧；点在点，点之间；点在点右侧三种情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：，抛物线与x轴交于点（点在点的左侧）， ，， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， 直线的解析式为， 如图，过点作轴于点，交直线于点， 点的横坐标为， ， ， ， ， 当时，的最大值为； （3）解：存在， 当点在点左侧时，是钝角， 当点在点，点之间时，点与点关于直线对称， 点的坐标为， 当点在点右侧时， 如图，过点作直线， 令，则， 解得或， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， 点在点右侧， 点的横坐标大于， 舍去， ， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，结合一次函数解析式求解，勾股定理，一元二次方程计算是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$